初中数学中考复习 专题37 几何最值之费马点问题【热点专题】-【中考高分导航】备战2022年中考数学考点总复习（全国通用）（解析版）

这是一份初中数学中考复习 专题37 几何最值之费马点问题【热点专题】-【中考高分导航】备战2022年中考数学考点总复习（全国通用）（解析版），共15页。试卷主要包含了已知等内容，欢迎下载使用。
    问题分析“费马点”指的是位于三角形内且到三角形三个顶点距高之和最短的点。主要分为两种情况：（1）当三角形三个内角都小于120°的三角形，通常将某三角形绕点旋转60度，从而将“不等三爪图”中三条线段转化在同一条直线上，利用两点之间线段最短解决问题。（2）当三角形有一个内角大于120°时，费马点就是此内角的顶点.费马点问题解题的核心技巧：旋转60°   构造等边三角形     将“不等三爪图”中三条线段转化至同一直线上    利用两点之间线段最短求解问题模型展示：如图，在△ABC内部找到一点P，使得PA＋PB＋PC的值最小.当点P满足∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120º，则PA＋PB＋PC的值最小，P点称为三角形的费马点.特别地，△ABC中，最大的角要小于120º，若最大的角大于或等于120º，此时费马点就是最大角的顶点A（这种情况一般不考，通常三角形的最大顶角都小于120°）费马点的性质：1．费马点到三角形三个顶点距离之和最小。2．费马点连接三顶点所成的三夹角皆为120°。 最值解法：以△ABC任意一边为边向外作等边三角形，这条边所对两顶点的距离即为最小值。证明过程：将△APC边以A为顶点逆时针旋转60°，得到AQE，连接PQ，则△APQ为等边三角形，PA=PQ。即PA+PB+PC=PQ+PB+PC，当B、P、Q、E四点共线时取得最小值BE  【例1】如图，四边形 是菱形，B=6，且∠ABC=60° ，M是菱形内任一点，连接AM，BM，CM，则AM+BM+CM 的最小值为________．【答案】【详解】将△BMN绕点B顺时针旋转60度得到△BNE，∵BM=BN，∠MBN=∠CBE=60°，∴MN=BM∵MC=NE∴AM+MB+CM=AM+MN+NE．当A、M、N、E四点共线时取最小值AE．∵AB=BC=BE=6，∠ABH=∠EBH=60°，∴BH⊥AE，AH=EH，∠BAH=30°，∴BH=AB=3，AH=BH=，∴AE=2AH=．故答案为．    【例2】如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM.（1）求证：△AMB≌△ENB；（2）①当M点在何处时，AM＋CM的值最小；②当M点在何处时，AM＋BM＋CM的值最小，并说明理由；（3）当AM＋BM＋CM的最小值为时，求正方形的边长.【答案】（1）△AMB≌△ENB，证明略。（2）①当M点落在BD的中点时，AM＋CM的值最小.②连接CE，当M点位于BD与CE的交点处时，AM＋BM＋CM的值最小，图略（3）【解析】 解：⑴∵△ABE是等边三角形，∴BA＝BE，∠ABE＝60°.∵∠MBN＝60°，∴∠MBN－∠ABN＝∠ABE－∠ABN.即∠BMA＝∠NBE.又∵MB＝NB，∴△AMB≌△ENB（SAS）⑵①当M点落在BD的中点时，AM＋CM的值最小②如图，连接CE，当M点位于BD与CE的交点处时，AM＋BM＋CM的值最小理由如下：连接MN.由⑴知，△AMB≌△ENB，∴AM＝EN.∵∠MBN＝60°，MB＝NB，∴△BMN是等边三角形.∴BM＝MN.∴AM＋BM＋CM＝EN＋MN＋CM根据“两点之间线段最短”，得EN＋MN＋CM＝EC最短∴当M点位于BD与CE的交点处时，AM＋BM＋CM的值最小，即等于EC的长⑶过E点作EF⊥BC交CB的延长线于F，∴∠EBF＝90°－60°＝30°.设正方形的边长为x，则BF＝x，EF＝.在Rt△EFC中，∵EF2＋FC2＝EC2，∴（）2＋（x＋x）2＝解得，x＝（舍去负值）.∴正方形的边长为       1．如图，已知矩形ABCD，AB=4，BC=6，点M为矩形内一点，点E为BC边上任意一点，则MA+MD+ME的最小值为______．【分析】依然构造60°旋转，将三条折线段转化为一条直线段．分别以AD、AM为边构造等边△ADF、等边△AMG，连接FG，易证△AMD≌△AGF，∴MD=GF∴ME+MA+MD=ME+EG+GF过F作FH⊥BC交BC于H点，线段FH的长即为所求的最小值．2．如图，四边形ABCD是菱形，AB=4，且∠ABC=∠ABE=60°，G为对角线BD（不含B点）上任意一点，将△ABG绕点B逆时针旋转60°得到△EBF，当AG+BG+CG取最小值时EF的长（　　）A． B． C． D．【答案】D【详解】解：如图，∵将△ABG绕点B逆时针旋转60°得到△EBF，∴BE=AB=BC，BF=BG，EF=AG，∴△BFG是等边三角形．∴BF=BG=FG，．∴AG+BG+CG=FE+GF+CG．根据“两点之间线段最短”，∴当G点位于BD与CE的交点处时，AG+BG+CG的值最小，即等于EC的长，过E点作EF⊥BC交CB的延长线于F，∴∠EBF=180°-120°=60°，∵BC=4，∴BF=2，EF=2，在Rt△EFC中，∵EF2+FC2=EC2，∴EC=4．∵∠CBE=120°，∴∠BEF=30°，∵∠EBF=∠ABG=30°，∴EF=BF=FG，∴EF=CE=，故选：D．3．如图，已知矩形ABCD，AB=4，BC=6，点M为矩形内一点，点E为BC边上任意一点，则MA+MD+ME的最小值为______．【解析】依然构造60°旋转，将三条折线段转化为一条直线段．分别以AD、AM为边构造等边△ADF、等边△AMG，连接FG，易证△AMD≌△AGF，∴MD=GF∴ME+MA+MD=ME+EG+GF过F作FH⊥BC交BC于H点，线段FH的长即为所求的最小值．4．已知正方形ABCD内一动点E到A、B、C三点的距离之和的最小值为，求正方形的边长．                     【解析】如图，连接AC，把△AEC绕点C顺时针旋转60°，得到△GFC，连接EF、BG、AG，可知△EFC、△AGC都是等边三角形，则EF=CE．又FG=AE，∴AE+BE+CE = BE+EF+FG．∵ 点B、点G为定点（G为点A绕C点顺时针旋转60°所得）． ∴ 线段BG即为点E到A、B、C三点的距离之和的最小值，此时E、F两点都在BG上．设正方形的边长为，那么BO=CO=，GC=, GO=．∴ BG=BO+GO =+．∵ 点E到A、B、C三点的距离之和的最小值为．∴ +=，解得=2．5．已知：△ABC是锐角三角形，G是三角形内一点。∠AGC=∠AGB=∠BGC=120°.求证：GA+GB+GC的值最小.【解析】证明：将△BGC逆时针旋转60°，连GP,DB.则 △CGB≌△CPD；       ∴ ∠CPD=∠CGB=120°,CG=CP,GB=PD, BC=DC,∠GCB=∠PCD.∵ ∠GCP=60°,∴ ∠BCD=60°,∴ △GCP和△BCD都是等边三角形。∵ ∠AGC=120°, ∠CGP=60°.∴ A、G、P三点一线。∵ ∠CPD=120°, ∠CPG=60°.∴ G、P、D三点一线。∴ AG、GP、PD三条线段同在一条直线上。∵ GA+GC+GB=GA+GP+PD=AD.∴ G点是等腰三角形内到三个顶点的距离之和最小的那一点6．若点P 为△ABC所在平面上一点，且∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°， 则点P叫做△ABC的费马点．（1）若P为锐角△ABC的费马点，且∠ABC＝60°，PA＝3，PC＝4， 则PB的值为         ；（2）如图，在锐角△ABC的外侧作等边△ACB′，连结BB′．求证：BB′ 过△ABC的费马点P，且BB′＝PA＋PB＋PC．【答案】（1）；（2）见解析【解析】（1）∵∠PAB＋∠PBA＝180º－∠APB＝60º，∠PBC＋∠PBA＝∠ABC＝60º，∴∠PAB＝∠PBC，又∵∠APB＝∠BPC＝120º，∴△ABP ∽△BCP，；（2）设点P为锐角△ABC的费马点，即∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°如图，把△ACP绕点C顺时针旋转60°到△B′CE，连结PE，则△EPC为正三角形． ∵∠B′EC ＝ ∠APC ＝120°，∠PEC＝60°，∴∠B′EC＋∠PEC＝180°，即 P、E、B′ 三点在同一直线上，∵∠BPC＝120°， ∠CPE＝60°  ，∴∠BPC ＋∠CPE ＝180°，即 B、P、E 三点在同一直线上∴ B、P、E、B′ 四点在同一直线上，即BB′ 过△ABC的费马点P．又PE＝PC，B′E＝ PA，∴ BB′＝E B′＋PB＋PE＝PA＋PB＋PC．7．在正方形ABCD中，点E为对角线AC（不含点A）上任意一点，AB=；（1）如图1，将△ADE绕点D逆时针旋转90°得到△DCF，连接EF；①把图形补充完整（无需写画法）；  ②求的取值范围；(2)如图2，求BE+AE+DE的最小值． 【答案】（1）①补图见解析；②；（2）【详解】（1）①如图△DCF即为所求；②∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝AB＝2，∠B＝90°，∠DAE＝∠ADC＝45°，∴AC＝＝AB＝4，∵△ADE绕点D逆时针旋转90°得到△DCF，∴∠DCF＝∠DAE＝45°，AE＝CF，∴∠ECF＝∠ACD＋∠DCF＝90°，设AE＝CF＝x，EF2＝y，则EC＝4−x，∴y＝（4−x）2＋x2＝2x2−8x＋160（0＜x≤4）．即y＝2（x−2）2＋8，∵2＞0，∴x＝2时，y有最小值，最小值为8，当x＝4时，y最大值＝16，∴8≤EF2≤16．（2）如图中，将△ABE绕点A顺时针旋转60°得到△AFG，连接EG，DF．作FH⊥AD于H．由旋转的性质可知，△AEG是等边三角形，∴AE＝EG，∵DF≤FG＋EG＋DE，BE＝FG，∴AE＋BE＋DE的最小值为线段DF的长．在Rt△AFH中，∠FAH＝30°，AB＝=AF，∴FH＝AF＝，AH＝＝，在Rt△DFH中，DF＝＝，∴BE＋AE＋ED的最小值为．8．已知，如图，二次函数图象的顶点为，与轴交于、两点(点在点右侧)，点、关于直线：对称.(1)求、两点的坐标，并证明点在直线上；(2)求二次函数解析式；(3)过点B作直线交直线于K点，M、N分别为直线AH和直线上的两个动点，连结HN、NM、MK，求HN+NM+MK的最小值.【答案】(1)点坐标为,点坐标为(2)(3)8【详解】(1)依题意,得ax2+2ax−3a=0(a≠0)，两边都除以a得：即x2+2x−3=0，解得x1=−3,x2=1，∵B点在A点右侧，∴A点坐标为(−3,0),B点坐标为(1,0)，答：A. B两点坐标分别是(−3,0),(1,0).证明：∵直线l:y=，当x=−3时,y=，∴点A在直线l上． (2)∵点H、B关于过A点的直线l:y=对称,∴AH=AB=4，过顶点H作HC⊥AB交AB于C点，则AC=，∴顶点H，代入二次函数解析式,解得a=，∴二次函数解析式为，答：二次函数解析式为.(3)直线AH的解析式为，直线BK的解析式为，由解得，即K(3,2)，则BK=4，∵点H、B关于直线AK对称,K(3,2)，∴HN+MN的最小值是MB，过K作KD⊥x轴于D，作点K关于直线AH的对称点Q，连接QK，交直线AH于E，则QM=MK,QE=EK=2，AE⊥QK，∴根据两点之间线段最短得出BM+MK的最小值是BQ，即BQ的长是HN+NM+MK的最小值，∵BK∥AH，∴∠BKQ=∠HEQ=90∘，由勾股定理得QB=∴HN+NM+MK的最小值为8，答：HN+NM+MK和的最小值是8.