初中数学中考复习 专题38 几何最值之胡不归问题【热点专题】-【中考高分导航】备战2022年中考数学考点总复习（全国通用）（解析版）

问题分析

从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．根据“两点之间线段最短”，虽然从他此刻位置A到家B之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭．邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？

看到这里很多人都会有一个疑问，少年究竟能不能提前到家呢？假设可以提早到家，那么他该选择怎样的一条路线呢？这就是今天要讲的“胡不归”问题.

模型展示：

如图，一动点P在直线MN外的运动速度为V1，在直线MN上运动的速度为V2，且V1<V2，A、B为定点，点C在直线MN上，确定点C的位置使的值最小．

，记，

即求BC+kAC的最小值．

构造射线AD使得sin∠DAN=k，CH/AC=k，CH=kAC．

将问题转化为求BC+CH最小值，过B点作BH⊥AD交MN于点C，交AD于H点，此时BC+CH取到最小值，即BC+kAC最小．

最值解法：在求形如“PA+kPB”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB相等的线段，将“PA+kPB”型问题转化为“PA+PC”型．

【例1】如图，平行四边形ABCD中，∠DAB=60°，AB=6，BC=2，P为边CD上的一动点，则的最小值等于________．

【解析】已知∠A=60°，且sin60°=，故延长AD，作PH⊥AD延长线于H点，

即可得，∴=PB+PH．

当B、P、H三点共线时，可得PB+PH取到最小值，即BH的长，解直角△ABH即可得BH长．

【例2】（2021·重庆中考真题）在等边中，， ，垂足为D，点E为AB边上一点，点F为直线BD上一点，连接EF．

图1                            图2                               图3

（1）将线段EF绕点E逆时针旋转60°得到线段EG，连接FG．

①如图1，当点E与点B重合，且GF的延长线过点C时，连接DG，求线段DG的长；

②如图2，点E不与点A，B重合，GF的延长线交BC边于点H，连接EH，求证：；

（2）如图3，当点E为AB中点时，点M为BE中点，点N在边AC上，且，点F从BD中点Q沿射线QD运动，将线段EF绕点E顺时针旋转60°得到线段EP，连接FP，当最小时，直接写出的面积．

【答案】（1）①；②见解析；（2）

【分析】

（1）①连接AG，根据题意得出△ABC和△GEF均为等边三角形，从而可证明△GBC≌△GAC，进一步求出AD=3，AG=BG=，然后利用勾股定理求解即可；②以点F为圆心，FB的长为半径画弧，与BH的延长线交于点K，连接KF，先证明出△BFK是顶角为120°的等腰三角形，然后推出△FEB≌△FHK，从而得出结论即可；

（2）利用“胡不归”模型构造出含有30°角的直角三角形，构造出，当N、P、J三点共线的时候满足条件，然后利用相似三角形的判定与性质分别计算出PN与DN的长度，即可得出结论．

【详解】

（1）解：①如图所示，连接AG，

由题意可知，△ABC和△GEF均为等边三角形，

∴∠GFB=60°，

∵BD⊥AC，

∴∠FBC=30°，

∴∠FCB=30°，∠ACG=30°，

∵AC=BC，GC=GC，

∴△GBC≌△GAC（SAS），

∴∠GAC=∠GBC=90°，AG=BG，

∵AB=6，

∴AD=3，AG=BG=，

∴在Rt△ADG中，，

∴；

②证明：以点F为圆心，FB的长为半径画弧，与BH的延长线交于点K，连接KF，如图，

∵△ABC和△GEF均为等边三角形，

∴∠ABC=60°，∠EFH=120°，

∴∠BEF+∠BHF=180°，

∵∠BHF+∠KHF=180°，

∴∠BEF=∠KHF，

由辅助线作法可知，FB=FK，则∠K=∠FBE，

∵BD是等边△ABC的高，

∴∠K=∠DBC=∠DBA=30°，

∴∠BFK=120°，

在△FEB与△FHK中，

∴△FEB≌△FHK（AAS），

∴BE=KH，

∴BE+BH=KH+BH=BK，

∵FB=FK，∠BFK=120°，

∴BK=BF，

即：；

（2）如图1所示，以MP为边构造∠PMJ=30°，∠PJM=90°，则PJ=MP，

∴求的最小值，即为求的最小值，

如图2所示，当运动至N、P、J三点共线时，满足最小，

此时，连接EQ，则根据题意可得EQ∥AD，且EQ=AD，

∴∠MEQ=∠A=60°，∠EQF=90°，

∵∠PEF=60°，

∴∠MEP=∠QEF，

由题意，EF=EP，

∴△MEP≌△QEF（SAS），

∴∠EMP=∠EQF=90°，

又∵∠PMJ=30°，

∴∠BMJ=60°，

∴MJ∥AC，

∴∠PMJ=∠DNP=90°，

∵∠BDC=90°，

∴四边形ODNJ为矩形，NJ=OD，

由题，AD=3，BD=，

∵MJ∥AC，

∴△BMO∽△BAD，

∴，

∴OD=BD=，OM=AD=，

设PJ=x，则MJ=x，OJ=x-，

由题意可知，DN=CD=2，

∴，

解得：，

即：PJ=，

∴，

∴．

【例3】已知抛物线过点，两点，与y轴交于点C，．

（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；

（2）过点A作，垂足为M，求证：四边形ADBM为正方形；

（3）点P为抛物线在直线BC下方图形上的一动点，当面积最大时，求点P的坐标；

（4）若点Q为线段OC上的一动点，问：是否存在最小值？若存在，求岀这个最小值；若不存在，请说明理由．

【答案】(1)抛物线的表达式为：，顶点；(2)证明见解析；(3)点；(4)存在，的最小值为．

【详解】

(1)函数的表达式为：，

即：，解得：，

故抛物线的表达式为：，

则顶点；

(2)，，

∵A(1,0)，B(3,0)，∴ OB=3，OA=1，

∴AB=2，

∴，

又∵D(2，-1)，

∴AD=BD=，

∴AM=MB=AD=BD，

∴四边形ADBM为菱形，

又∵，

菱形ADBM为正方形；

(3)设直线BC的解析式为y=mx+n，

将点B、C的坐标代入得：，

解得：，

所以直线BC的表达式为：y=-x+3，

过点P作y轴的平行线交BC于点N，

设点，则点N，

则，

，故有最大值，此时，

故点；

(4)存在，理由：

如图，过点C作与y轴夹角为的直线CF交x轴于点F，过点A作，垂足为H，交y轴于点Q，

此时，

则最小值，

在Rt△COF中，∠COF=90°，∠FOC=30°，OC=3，tan∠FCO=，

∴OF=，

∴F(-，0)，

利用待定系数法可求得直线HC的表达式为：…①，

∵∠COF=90°，∠FOC=30°，

∴∠CFO=90°-30°=60°，

∵∠AHF=90°，

∴∠FAH=90°-60°=30°，

∴OQ=AO•tan∠FAQ=，

∴Q(0,)，

利用待定系数法可求得直线AH的表达式为：…②，

联立①②并解得：，

故点，而点，

则，

即的最小值为．

1．如图，△ABC中，AB＝AC＝10，tanA＝2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，则的最小值是______.

【答案】B

【详解】

如图，作DH⊥AB于H，CM⊥AB于M．

∵BE⊥AC，

∴∠AEB=90°，

∵tanA==2，设AE=a，BE=2a，

则有：100=a2+4a2，

∴a2=20，

∴a=2或-2（舍弃），

∴BE=2a=4，

∵AB=AC，BE⊥AC，CM⊥AB，

∴CM=BE=4（等腰三角形两腰上的高相等））

∵∠DBH=∠ABE，∠BHD=∠BEA，

∴，

∴DH=BD，

∴CD+BD=CD+DH，

∴CD+DH≥CM，

∴CD+BD≥4，

∴CD+BD的最小值为4．

故选B．

2．在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与轴交于点、(点在点的左侧)，，经过点的一次函数的图象与轴正半轴交于点，且与抛物线的另一个交点为，的面积为5．

（1）求抛物线和一次函数的解析式；

（2）抛物线上的动点在一次函数的图象下方，求面积的最大值，并求出此时点E的坐标；

（3）若点为轴上任意一点，在(2)的结论下，求的最小值．

【答案】(1)；；(2)的面积最大值是，此时点坐标为；(3)的最小值是3.

【详解】

解：(1)将二次函数的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线解析式为，

∵，∴点的坐标为，

代入抛物线的解析式得，，∴，

∴抛物线的解析式为，即．

令，解得，，∴，

∴，

∵的面积为5，∴，∴，

代入抛物线解析式得，，解得，，∴，

设直线的解析式为，

∴，解得：，

∴直线的解析式为．

(2)过点作轴交于，如图，设，则，

∴，

∴，，

∴当时，的面积有最大值，最大值是，此时点坐标为．

(3)作关于轴的对称点，连接交轴于点，过点作于点，交轴于点，

∵，，

∴，，∴，

∵，

∴，∴，

∵、关于轴对称，∴，

∴，此时最小，

∵，，

∴，

∴．

∴的最小值是3．

3．已知抛物线（为常数，）经过点，点是轴正半轴上的动点．

（Ⅰ）当时，求抛物线的顶点坐标；

（Ⅱ）点在抛物线上，当，时，求的值；

（Ⅲ）点在抛物线上，当的最小值为时，求的值．

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）.

【详解】

解：（Ⅰ）∵抛物线经过点，

∴．即．

当时，，

∴抛物线的顶点坐标为．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，抛物线的解析式为．

∵点在抛物线上，

∴．

由，得，，

∴点在第四象限，且在抛物线对称轴的右侧．

如图，过点作轴，垂足为，则点．

∴，．得．

∴在中，．

∴．

由已知，，

∴．

∴．

（Ⅲ）∵点在抛物线上，

∴．

可知点在第四象限，且在直线的右侧．

考虑到，可取点，

如图，过点作直线的垂线，垂足为，与轴相交于点，

有，得，

则此时点满足题意．

过点作轴于点，则点．

在中，可知．

∴，．

∵点，

∴．解得．

∵，

∴．

∴．

4．如图，已知抛物线y＝（x＋2）（x﹣4）（k为常数，且k＞0）与x轴从左至右依次交于A，B两点，与y轴交于点C，经过点B的直线y＝－x＋b与抛物线的另一交点为D．

（1）若点D的横坐标为﹣5，求抛物线的函数表达式；

（2）若在第一象限内的抛物线上有点P，使得以A，B，P为顶点的三角形与△ABC相似，求k的值；

（3）在（1）的条件下，设F为线段BD上一点（不含端点），连接AF，一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止，当点F的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少？

【答案】（1）；（2）或；（3）当点F坐标为（﹣2，）时，点M在整个运动过程中用时最少.

【解析】（1）抛物线y＝（x＋2）（x﹣4），令y＝0，解得x＝﹣2或x＝4，∴A（﹣2，0），B（4，0）．

∵直线经过点B（4，0），∴×4＋b＝0，解得b＝ ，

∴直线BD解析式为：．

当x＝﹣5时，y＝ ，∴D（﹣5，）．

∵点D（﹣5，）在抛物线y＝（x＋2）（x﹣4）上，∴（﹣5＋2）（﹣5﹣4）＝ ，

∴．∴抛物线的函数表达式为：（x＋2）（x﹣4）．即．

（2）由抛物线解析式，令x＝0，得y＝﹣k，∴C（0，﹣k），OC＝k．

因为点P在第一象限内的抛物线上，所以∠ABP为钝角．

因此若两个三角形相似，只可能是△ABC∽△APB或△ABC∽△PAB．

①若△ABC∽△APB，则有∠BAC＝∠PAB，如答图2﹣1所示．

设P（x，y），过点P作PN⊥x轴于点N，则ON＝x，PN＝y．tan∠BAC＝tan∠PAB，即：，

∴．∴P（x，x＋k），代入抛物线解析式y＝ （x＋2）（x﹣4），

得（x＋2）（x﹣4）＝x＋k，整理得：x2﹣6x﹣16＝0，解得：x＝8或x＝﹣2（与点A重合，舍去），

∴P（8，5k）．∵△ABC∽△APB，

∴，即，解得：．

②若△ABC∽△PAB，则有∠ABC＝∠PAB，如答图2﹣2所示．

设P（x，y），过点P作PN⊥x轴于点N，则ON＝x，PN＝y．

tan∠ABC＝tan∠PAB，即：，

∴．∴P（x，x＋），代入抛物线解析式y＝（x＋2）（x﹣4），

得（x＋2）（x﹣4）＝x＋，整理得：x2﹣4x﹣12＝0，

解得：x＝6或x＝﹣2（与点A重合，舍去），∴P（6，2k）．

∵△ABC∽△PAB，

，∴，解得，

∵k＞0，∴，综上所述，或．

（3）作DK∥AB，AH⊥DK，AH交直线BD于点F，

∵∠DBA＝30°，∴∠BDH＝30°，∴FH＝DF×sin30°＝，∴当且仅当AH⊥DK时，AF＋FH最小，

点M在整个运动中用时为：，∵lBD：，

∴FX＝AX＝﹣2，∴F（﹣2，）