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初中数学中考复习 专题32 圆的有关概念和性质【考点精讲】-【中考高分导航】备战2022年中考数学考点总复习（全国通用）（原卷版）
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这是一份初中数学中考复习 专题32 圆的有关概念和性质【考点精讲】-【中考高分导航】备战2022年中考数学考点总复习（全国通用）（原卷版），共6页。试卷主要包含了定理，推论1，推论2，运用圆周角定理的注意事项等内容，欢迎下载使用。
知识导航
知识精讲
考点1：垂径定理
1．定理:垂直于弦的 平分弦，并且 弦所对的两条弧.
2．推论1:①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且 弦所对的两条弧.
②弦的垂直平分线经过圆心，并且 弦所对的两条弧.
③平分弦所对的一条弧的直径，垂直 弦，并且 弦所对的另一条弧.
3．推论2:圆的两条平行弦所夹的 相等.
注意：轴对称性是圆的基本性质，垂径定理及其推论就是根据圆的轴对称性总结出来的，它们是证明线段相等、角相等、垂直关系、弧相等和一条弦是直径的重要依据.遇弦作弦心距是圆中常用的辅助线.
【例1】（2021·广西玉林市）学习圆的性质后，小铭与小熹就讨论起来，小铭说：“被直径平分的弦也与直径垂直”，小熹说：“用反例就能说明这是假命题” ．下列判断正确的是（ ）
A．两人说的都对 B．小铭说的对，小燕说的反例不存在
C．两人说的都不对 D．小铭说的不对，小熹说的反例存在
【例2】（2021·青海）如图是一位同学从照片上剪切下来的海上日出时的画面，“图上”太阳与海平线交于，两点，他测得“图上”圆的半径为10厘米，厘米．若从目前太阳所处位置到太阳完全跳出海平面的时间为16分钟，则“图上”太阳升起的速度为（ ）．
A．1.0厘米/分B．0.8厘米分C．12厘米/分D．1.4厘米/分
方法技巧
1．垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
2．根据垂径定理构造直角三角形，一般为过圆心作已知弦的弦心距，常用于求线段的长度. 针对训练
1．如图，已知⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，AE＝6cm，EB＝2cm，∠BED＝30°，求CD的长．
2．如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C、D．
（1）求证AC＝BD；
（2）若AC＝3，大圆和小圆的半径分别为6和4，则CD的长度是 ．
3．某公路上有一隧道，顶部是圆弧形拱顶，圆心为O，隧道的水平宽AB为24m，AB离地面的高度AE＝10 m，拱顶最高处C离地面的高度CD为18m，在拱顶的M，N处安装照明灯，且M，N离地面的高度相等都等于17m，则MN＝ m．
考点2：弧、弦、圆心角、圆周角的关系定理
1．弧、弦、圆心角的关系
定理:在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的 相等，所对的 也相等.
推论:在同圆或等圆中，两个 、两条弧、两条 中如果有一组量相等，则它们所对应的其余各组量也分别相等.
2．圆心角:顶点在圆心，角的两边和圆相交的角叫做圆心角.
圆周角:顶点在圆上且角的两边和圆相交的角叫做圆周角.
3．圆周角定理
定理:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的 .
推论:
①同弧或等弧所对的 相等.
②半圆(或直径)所对的圆周角是 ，90°的圆周角所对的弦是圆的 .
③圆内接四边形的对角 .
【例3】（2021·甘肃武威市）如图，点在上，，则（ ）
A．B．C．D．
【例4】（2021·山东聊城市）如图，A，B，C是半径为1的⊙O上的三个点，若AB＝，∠CAB＝30°，则∠ABC的度数为（ ）
A．95°B．100°C．105°D．110°
【例5】（2021·重庆）如图，AB是⊙O的直径，AC，BC是⊙O的弦，若，则的度数为（ ）
A．70°B．90°C．40°D．60°
方法技巧
1．在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦，如果其中一对相等，那么其余两对也相等．
2．作半径构造圆心角或连线构造直径所对的圆周角，以运用圆心角和圆周角的有关性质与定理来求角的大小或线段的长度等.
3．常需作辅助线构造圆心角或圆周角，并结合弧、弦、圆心角的关系和圆周角的定理及推论来求角的大小或线段的长度.
4．运用圆周角定理的注意事项
（1）圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形,利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化.
（2）圆周角和圆周角可利用其“桥梁”——圆心角来转化.
（3）圆周角定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角.
针对训练
1．（2019•浙江模拟）如图，已知半⊙O的直径AB为3，弦AC与弦BD交于点E，OD⊥AC，垂足为点F，AC＝BD，则弦AC的长为 ．
2．（2020•眉山）如图，四边形ABCD的外接圆为⊙O，BC＝CD，∠DAC＝35°，∠ACD＝45°，则∠ADB的度数为（ ）
A．55°B．60°C．65°D．70°
3．（2020•河池）如图，AB是⊙O的直径，点C，D，E都在⊙O上，∠1＝55°，则∠2＝ °．
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知识精讲
考点1：垂径定理
1．定理:垂直于弦的 平分弦，并且 弦所对的两条弧.
2．推论1:①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且 弦所对的两条弧.
②弦的垂直平分线经过圆心，并且 弦所对的两条弧.
③平分弦所对的一条弧的直径，垂直 弦，并且 弦所对的另一条弧.
3．推论2:圆的两条平行弦所夹的 相等.
注意：轴对称性是圆的基本性质，垂径定理及其推论就是根据圆的轴对称性总结出来的，它们是证明线段相等、角相等、垂直关系、弧相等和一条弦是直径的重要依据.遇弦作弦心距是圆中常用的辅助线.
【例1】（2021·广西玉林市）学习圆的性质后，小铭与小熹就讨论起来，小铭说：“被直径平分的弦也与直径垂直”，小熹说：“用反例就能说明这是假命题” ．下列判断正确的是（ ）
A．两人说的都对 B．小铭说的对，小燕说的反例不存在
C．两人说的都不对 D．小铭说的不对，小熹说的反例存在
【例2】（2021·青海）如图是一位同学从照片上剪切下来的海上日出时的画面，“图上”太阳与海平线交于，两点，他测得“图上”圆的半径为10厘米，厘米．若从目前太阳所处位置到太阳完全跳出海平面的时间为16分钟，则“图上”太阳升起的速度为（ ）．
A．1.0厘米/分B．0.8厘米分C．12厘米/分D．1.4厘米/分
方法技巧
1．垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
2．根据垂径定理构造直角三角形，一般为过圆心作已知弦的弦心距，常用于求线段的长度. 针对训练
1．如图，已知⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，AE＝6cm，EB＝2cm，∠BED＝30°，求CD的长．
2．如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C、D．
（1）求证AC＝BD；
（2）若AC＝3，大圆和小圆的半径分别为6和4，则CD的长度是 ．
3．某公路上有一隧道，顶部是圆弧形拱顶，圆心为O，隧道的水平宽AB为24m，AB离地面的高度AE＝10 m，拱顶最高处C离地面的高度CD为18m，在拱顶的M，N处安装照明灯，且M，N离地面的高度相等都等于17m，则MN＝ m．
考点2：弧、弦、圆心角、圆周角的关系定理
1．弧、弦、圆心角的关系
定理:在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的 相等，所对的 也相等.
推论:在同圆或等圆中，两个 、两条弧、两条 中如果有一组量相等，则它们所对应的其余各组量也分别相等.
2．圆心角:顶点在圆心，角的两边和圆相交的角叫做圆心角.
圆周角:顶点在圆上且角的两边和圆相交的角叫做圆周角.
3．圆周角定理
定理:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的 .
推论:
①同弧或等弧所对的 相等.
②半圆(或直径)所对的圆周角是 ，90°的圆周角所对的弦是圆的 .
③圆内接四边形的对角 .
【例3】（2021·甘肃武威市）如图，点在上，，则（ ）
A．B．C．D．
【例4】（2021·山东聊城市）如图，A，B，C是半径为1的⊙O上的三个点，若AB＝，∠CAB＝30°，则∠ABC的度数为（ ）
A．95°B．100°C．105°D．110°
【例5】（2021·重庆）如图，AB是⊙O的直径，AC，BC是⊙O的弦，若，则的度数为（ ）
A．70°B．90°C．40°D．60°
方法技巧
1．在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦，如果其中一对相等，那么其余两对也相等．
2．作半径构造圆心角或连线构造直径所对的圆周角，以运用圆心角和圆周角的有关性质与定理来求角的大小或线段的长度等.
3．常需作辅助线构造圆心角或圆周角，并结合弧、弦、圆心角的关系和圆周角的定理及推论来求角的大小或线段的长度.
4．运用圆周角定理的注意事项
（1）圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形,利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化.
（2）圆周角和圆周角可利用其“桥梁”——圆心角来转化.
（3）圆周角定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角.
针对训练
1．（2019•浙江模拟）如图，已知半⊙O的直径AB为3，弦AC与弦BD交于点E，OD⊥AC，垂足为点F，AC＝BD，则弦AC的长为 ．
2．（2020•眉山）如图，四边形ABCD的外接圆为⊙O，BC＝CD，∠DAC＝35°，∠ACD＝45°，则∠ADB的度数为（ ）
A．55°B．60°C．65°D．70°
3．（2020•河池）如图，AB是⊙O的直径，点C，D，E都在⊙O上，∠1＝55°，则∠2＝ °．
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