专题29 【五年中考+一年模拟】填空压轴题二-备战2023年河南中考真题模拟题分类汇编

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参考答案
1．1或3
【分析】设BP＝x，CE＝k，则CP＝BC﹣BP＝4﹣x，根据翻折的性质证明△ABP∽△PCE，可得，所以，整理得：x2﹣4x+3k＝0，由题意可知，该方程有实数根，所以Δ＝16﹣12k≥0，解得k，因为k＞0，且k为整数，k＝1，然后把k＝1代入方程即可解决问题．
【详解】解：设BP＝x，CE＝k，
则CP＝BC﹣BP＝4﹣x，
由折叠可知：∠APB＝∠APB′，∠CPE＝∠C′PE，
∵∠APB+∠APB′+∠CPE+∠C′PE＝180°，
∴∠APE＝90°，
∵∠BAP+∠APB＝90°，
∴∠BAP＝∠CPE，
∵∠B＝∠C＝90°，
∴△ABP∽△PCE，
∴，
∴，
整理得：x2﹣4x+3k＝0，
由题意可知，该方程有实数根，
∴Δ＝16﹣12k≥0，解得k，
∵k＞0，且k为整数，
∴k＝1，
∴x2﹣4x+3＝0，
解得x1＝1，x2＝3，
则线段BP的长是1或3．
故答案为：1或3．
【点睛】本题主要考查了翻折变换，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，一元二次方程，综合性较强，要求学生有较强的识图能力．
2．或
【分析】利用勾股定理求出AB的长，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出CM的长，然后分类讨论，当点P在BC上方时，由折叠的性质可知∠P＝∠B，PM＝BM，证明△PGM∽△BAC，利用相似三角形对应边成比例求出GM的长度，然后求出CG的长；当点P在BC的下方时，同理求出GM的长度，然后求出CG的长．
【详解】在Rt△ABC中，，
由题意，可知需分以下两种情况进行讨论：
当点P在BC上方时，如图1所示，

∵∠ACB=90°，M为AB边的中点，
∴AM＝CM＝BM＝，
∴∠BCM＝∠B．
由折叠的性质可知∠P＝∠B，PM＝BM＝，
∴∠BCM＝∠P．
∵PN//AC，
∴∠PNC＝90°．
又∵∠CGN＝∠PGM，
∴∠PMG＝∠PNC＝90°．
∴△PGM∽△BAC，
∴，
解得，
∴．
当点P在BC的下方时，如图2所示：

同理可得∠PM C＝90°，△PGM∽△BAC，
∴
解得，
∴，
综上：CG的长为或．
故答案为：或．
【点睛】本题考查折叠的性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质和勾股定理，熟练掌握和应用相似三角形的判定和性质是解答本题的关键．
3．（2，0）或（4，0）
【分析】分M、N、C分别为直角顶点，三种情况讨论求解即可．
【详解】解：∵抛物线解析式为，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵点B与点C关于抛物线的对称轴对称，  
∴点C的坐标为（3，3）；
如图1所示，当M为直角顶点且M在x轴上方时，
∴CM=MN，∠CMN=∠CBM=∠MHN=90°，
∴∠BMC+∠HMN=90°，∠HMN+∠HNM=90°，
∴∠BMC=∠HNM，
在△CBM和△MHN中
，
∴△CBM≌△MHN（AAS），
∴MH=BC=2，
∴HN=BM=BH-MH=1，
∴点N的坐标为（2，0）；

如图2所示，当N为直角顶点且N在y轴右侧时，过点N作y轴的平行线，交直线BC于D，过点M作平行于x轴的直线交直线DN于E，
同理可证ME=DN=NH=3，
∴ON=4，
∴点N的坐标为（4，0）；
当以C为直角顶点时，不能构成满足条件的等腰直角三角形，
综上所述，点N的坐标为（2，0）或（4，0），
故答案为：（2，0）或（4，0）．

【点睛】本题主要考查了二次函数综合，等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定，解题的关键在于能够利用分类讨论的思想求解．
4．或或2
【分析】主要分三种情况进行讨论：①当线段AF的延长线AG经过BC的中点时，②当线段AF的延长线经过AD的中点时，③当线段AF的延长线AG经过CD的中点时，进行一一求解即可．
【详解】解：分三种情况讨论，
①当线段AF的延长线AG经过BC的中点时，如图1，此时BG=CG=2，

         图1
由折叠的性质可得：AF=AB=2，∠AFE=∠B=90°，
∵Rt△ABG中，AB=BG=2，
∴AG=，∠AGB=45°，
∴FG=，EF=FG，
∴BE=EF=FG=；
②当线段AF的延长线经过AD的中点时，如图2，此时BE=CE=2，

           图2
由折叠的性质可得：AF=AB=2，∠AFE=∠B=90°，
∴四边形ABEF是正方形，
∴BE=AF=2，
③当线段AF的延长线AG经过CD的中点时，如图3，此时DG=CG=1，

           图3
由折叠的性质可得：AF=AB=2，∠AFE=∠B=90°，
∵Rt△ADG中，AD=4，DG=1，
∴，
∴，
设BE=x，则EF=x，CE=4-x，
∵，
∴，
∴，
解得：，
∴，
故答案为：或或2．
【点睛】本题考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理，熟练掌握翻折变换的性质是解决本题的关键．
5．或
【分析】连接，根据菱形的性质可得由Q是CD中点，QH⊥AC可证明△求出，分两种情况求出AP，再根据可求解．
【详解】解：连接，交AC于点如图1，

∵四边形ABCD是菱形，
∴
在中，
∵
∴△
∴
∴
∴
∵点E是边AD的三等分点,
∴分两种情况讨论求解：
①当时，如图1，
∵，
∴△，
∴
∴
∴
∵P是AG中点，
∴
∴
②当时，如图2，

同理可得，
∴
综上，的长为或
故答案为：或
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，相似三角形的判定与性质，求出CH和AP的长是解答本题的关键．
6．或
【分析】根据矩形的性质可得AD=BC=4，∠BAD=∠D=∠B=90°，根据勾股定理可得，设PD'=PD=x，则AP=6-x，△APD'’是直角三角形可以分两种情况讨论，①当∠AD'P=90°时，②当∠APD'=90°时，根据相似三角形的性质列出方程求解，即可得到结论．
【详解】 四边形ABCD是矩形， AB=4， BC=6，
AD=BC=12，∠BAD=∠D=∠B=90°，
E是BC的中点，
BE=CE=3，
，
沿过点P的直线将矩形折叠，使点D落在AE上的点D'处，
PD'= PD，
设PD'=PD=x，则AP=6-x，
要使得△APD'是直角三角形时，
①当∠AD'P=90°时，∠AD'P=∠B=90°，
AD // BC，
∠PAD'=∠AEB，
，
，即
解得 ，
；
②当∠APD'=90°时，∠APD'=∠B=90°，
∠PAE=∠AEB，
，
，即 ，
解得： ，
；
综上所述，当△APD′是直角三角形时，或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了翻折、矩形的性质及相似三角形的判定和性质，掌握折叠的性质是解题的关键．
7．
【分析】作、的垂直平分线，交于点，即为圆心，连接、、，则可求出、、，进而判断出为等腰直角三角形，，进而求出、；再由于，则边上的高最大时，最小，计算即可得出答案．
【详解】解：作、的垂直平分线，交于点，即为圆心，
连接、、，则：
，
，
，
，，
为等腰直角三角形，，
，．
，
最大时，最小．
的底为定值，
边上的高最大时，最大，
过点作，交于点，交于点，

此时边上的高最大为，
，
，

此时．
阴影部分面积的最小值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查扇形面积的计算，解题关键是判断出最大时，最小．
8．或
【分析】因为点D′恰好在原直角三角形纸片的边上，所以分为当D′落在AB边上和BC边上两种情况分析，勾股定理求解即可．
【详解】解：当D′落在AB边上时，如下图，

设DD′交AB于点E，
由折叠知：∠ =∠=∠A=45°，
AD=A′D=A′D′，DD′⊥A′E，A′C=AC，
∵∠ACB=90°，BC=AC= ，
∴AB=1，∠B=45°，
设=x，则在Rt△中， ，
在Rt△ECB中，EC=BC=1，
∵A′C=AC=，
∴+1=，
即x=2−；
当D′落在BC边上时，如下图，

因为折叠，∠ACD=∠A′CD=∠A′CD′=30°，
∠A=∠=∠CA′D′=45°，
作⊥，
设 =x，则 ，CE=，
∵A′C=AC=，
∵+=，
解得：x=，
故答案为：2−或
【点睛】本题考查了轴对称变换，勾股定理，直角三角形中30°的性质，正确的作出图形是解题的关键．
9．或
【分析】分类讨论，当∠BPF=90°时和当∠PFD=90°时，根据勾股定理结合三角形相似的判定和性质即可求解．
【详解】解：如图1所示，当∠BPF=90°时，过点O作OH⊥AB于H，

∴∠HPF=90°．
∵四边形ABCD是矩形，
∴BD=2OB，∠BAD=∠OHB=90°，
∴，
∴△BHO∽△BAD，
∴，
∴，，
由折叠的性质可得：∠HPO=∠FPO=∠HPF=45°，
∴∠HOP=∠HPO=45°，
∴OH=PH=，
∴PB=BH-PH=；
如图2所示，当∠PFB=90°时，

∴∠OFE=90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴，
∴，
∴∠BAO=∠OBA，
由折叠的性质可知：AO=EO=，∠PEO=∠BAO=∠ABO，
又∵∠OFE=∠DAB=90°，
∴△OFE∽△DAB，
∴，
∴，
∴BF=OB−OF=，
∵∠PFB=∠DAB，∠PBF=∠DBA，
∴△PBF∽△DBA，
∴ ，
∴，
综上所述，当△PDF为直角三角形，则PD的长为或，
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质、相似三角形的性质与判定、勾股定理、折叠的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相似三角形的性质与判定条件．注意分类讨论，避免漏答案．
10．
【分析】以点E为圆心，以AE长为半径作圆，连接BE，交圆O于点，此时，BD的长度最小，即的周长最小，过点E作于点M，通过含30°角的直角三角形的性质和勾股定理进行求解即可．
【详解】
在中，，，，
，
由勾股定理得，
如图，以点E为圆心，以AE长为半径作圆，连接BE，交圆O于点，
此时，BD的长度最小，
将沿对折得到，点E是的中点，
，
的周长，
此时，的周长最小，
过点E作于点M，
，
由勾股定理得，
，
由勾股定理得，
，
的周长最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形周长的最小值问题，涉及含30°角的直角三角形的性质和勾股定理等，熟练掌握知识点是解题的关键．
11．2或
【分析】分和两种情况结合勾股定理求解即可．
【详解】解：当时，
∵点E为AC的中点，
∴CE=AE=
由折叠得，
∴
∴点E，，B三点共线
在Rt中，
∴
设CF=x，则BF=BC-CF=4-x，
∵
∴
∴，即
解得，
即：
当时，则
由折叠得，
∴
∴
综上，CF的值为2或
【点睛】本题主要考查了折叠的性质，勾股定理，以及等腰三角形的判定与性质，正确进行分类讨论是解答本题的关键．
12．或
【分析】存在两种情况①当点F在线段AB上时，由题意得出AE的长，在中可求出AG的长，由根据折叠的性质，可知
在中，可求出GF的长，即可得出AF的长．②当点F在线段AB延长线上时，由得出
由中，求出由得出即可得出结果．
【详解】解：如图1所示：当点F在线段AB上时，过点E作于G，

∵四边形是菱形，

∵点E是AD的中点，









如图2所示：当点F在线段AB延长线上时，过点E作交AD于点H，

∵四边形是菱形，

∵点E是AD的中点，







又


故答案为：或
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，折叠的性质，锐角三角函数的知识，区分点F的位置在线段AB上和在线段AB的延长线上是解本题的关键．
13．或
【分析】分过点A与过点A两种情况讨论即可．
【详解】解：①当过点A时，如图所示，
∵，，
∴∠B=45°．
由折叠性质得：，，．
∴．
∴△是等腰直角三角形，且D点是的中点．
∴DE⊥AB．
∴DE=BD=AB−AD=7−3=4．
由勾股定理得；

②当过点A时，如图所示，过点A作AF∥BC交ED的延长线于点F，过点A作AG⊥于点G．
由折叠性质得：，
∵AF∥BC，
∴∠F=∠BED，
∴，
∴AF=AE．
∵∠ADF=∠BDE，
∴△ADF∽△BDE，
∴，
∴．
设，则，．
∵，AG⊥，
∴，
由勾股定理得：．
∴．
在中，由勾股定理得：，
整理得：，
解得：，（舍去）．
即．

综上，BE的长为或．
故答案为：或．
【点睛】本题考查了图形折叠的性质，等腰直角三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，关键是构造直角三角形，运用勾股定理建立方程，注意分类讨论．
14．
【分析】连接，由B、D关于对称，推出，得出，得出当D、P、E共线时，的值最小，设正方形的边长为，则，，分别求出的最小值和的长即可解决问题．
【详解】解：如图，连接，设正方形ABCD的边长为，

∴，
∴，
∵点E是边的中点，
∴，
∵正方形是轴对称图形，关于对称，点B和点D是一组对应点，
∴点B、D关于对称，
∴，
∴，
．当D、P、E共线时，的值最小，如下图：

在中，，
∴的最小值为，
∴点Q的纵坐标为，
∵，
∴
∵，
∴，
∴点Q的横坐标为，
∴点Q的为，
结合图2可知，当点P与点C重合时，
，
解得：，
∴点Q的坐标为．
【点睛】本题考查动点问题的函数图像．解答本题的关键是利用数形结合的思想，把函数图像上最低点的纵坐标转化为求两条线段长度和的最小值来解答．
15．
【分析】分别求出当落在AC和BC上时的长度即可.
【详解】∵∠ABC=90°，AB=2，BC=4，
∴，
当点落在AC上时，如图，


∵将△ABD沿BD折叠，点A落在处，
∴∠ADB==90°，
∵，
∴，
当点落在BC上时，如图，过点D作DH⊥AB于H，
∵将△ABD沿BD折叠，点A落在处，
∴∠ABD=∠DBC=45°，
∵DH⊥AB，
∴∠HDB=∠HBD=45°，
∴BH=DH，
∵，
∴HD=2AH=BH，
∵AB=AH+BH=2AH+AH=2，
∴，，
∴，
∴当点在△ABC内部（不含边界）时，AD长度的取值范围为．
【点睛】本题考查折叠问题，解题的关键是考虑两种极端情况．还可以利用相似来解题．
16．2
【分析】根据旋转的性质、三角形的相似进行求解即可；
【详解】解：如图，取DE中点F，连接CF，

∵点F是Rt△CDE斜边DE的中点，
∴CF=DE，
即CF的值最小时，DE有最小值，
∴当点F与点B重合时，CF的值最小，
∴DE的最小值为2
【点睛】本题主要考查旋转的性质、掌握相关知识并灵活应用是解题的关键．
17．或．
【分析】如图，根据轴对称的性质可得，AB=BF=FG=，BG=2AB=13．当点G恰好落在矩形ABCD的边上时，有两种情况：①当G在边AD上；②点G在DC上．当点G在AD上时，利用特殊三角函数值求出，再求，最后利用正切定义求得AE；当点G在DC上时，过点F作交AD于点M，交BC于点N，在中，利用勾股定理求求CG，利用三角形中位线求出FN，最后在中，利用勾股定理求出EF，即可求出AE．
【详解】解： 沿直线BE翻折，点A的对应点为F，
，
点B，点G关干直线EF的对称，
，
，
当点G恰好落在矩形ABCD的边上时，有两种情况：
①如图，当G在边AD上时，
在矩形ABCD中，，
，
，

②如图，点G在DC上时，过点F作交AD于点M，交BC于点N，则 ，，四边形ABNM是矩形，
在中，，
，
，
，
在中，，
设，根据勾股定理，得，
，
，解得， ，
，
综上，AE=或，
故答案为：或．

【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，锐角三角函数定义，利用特殊三角函数值求角，轴对称的性质，等腰三角形的判定和性质，平行线的性质及三角形中位线的性质，分类讨论的思想是解决本题的关键．
18．或
【分析】根据矩形的性质和折叠的性质得，由题意，可知需分以下两种情况进行讨论．①当点落在AC上时，根据得，即可得，即，根据得，根据即可得；②当点落在BD上时，根据得，即，即可得，则，根据得，即，即可得．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴．
∴，
由折叠的性质，可知，
，
∴，
由题意，可知需分以下两种情况进行讨论．
①当点落在AC上时，如图所示，

则，
∵，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
∴，
即，
∴，
②当点落在BD上时，如图所示，

∵，
∴，
∴，
∴．
即，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即，
∴，
综上所述，CF的长为或是，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，锐角三角形函数，解题的关键是掌握这些知识点．
19．或
【分析】两种情况讨论，当点 落 在 边上时, 证明 ，根据，即可求解，②当点 落在 的延长线上时，根据含30度角的直角三角形的性质，求得
【详解】①当点 落 在 边上时，
四边形是正方形
，
根据折叠可知，
在与中



.
是等腰直角三角形
设 , 则
,
解得 .
.
②当点 落在 的延长线上时,

，
综上可知, 或 ，
故答案为：或
【点睛】本题考查了正方形的折叠问题，勾股定理，掌握正方形的性质是解题的关键．
20．
【分析】如图，连接，作于，于，可得，，是的中位线，是的中位线，在中，由勾股定理得求出的值，然后根据求出的值即可．
【详解】解：如图，连接，作于，于，

由正方形的性质可知，，，
∴，，
∴为的中点，
∵，
∴是的中位线，
∴是的中点，
∵是的中点，
∴是的中位线，  
∴，
在中，由勾股定理得，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的性质，中位线，勾股定理等知识．解题的关键在于明确是的中位线．
21．或
【分析】分和两种情况求解即可．
【详解】解：①当时，如图1，

∵四边形ABCD是菱形，
∴，，BC//AD，
∴，，
∴，
∴，
∴AF=BF，
在Rt中，，
∴，
由折叠得，∠
∴∠，
又
∴，
∴；
②当时，如图2，即∠，

∴∠，
过点E作于点G，则，
又∵，
∴，
∴，
∴，
综上，BE的长为或，
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，折叠的性质，用正切值求边长，勾股定理等知识，熟练掌握相关知识是解答本题的关键．
22．2或##2或2
【分析】分两种情况讨论：①若PA′与AO交于点F，连接A′O，易得S△DFP=S△ODP=S△A′DP，即可得到DF=OD=OF，PF=A′P=A′F．从而可得四边形A′DPO是平行四边形，即可得到OP=A′D，从而可求出OP；②若DA′与OC交于点G，连接AA′，交DP与H，如图，同理可得GP=OG，DG=DA′=1，根据三角形中位线定理可得AP=2，此时点P与点C重合，从而可求出OP．
【详解】解：①若PA′与为OA交于点F，连接A′O，如图．

∵点D是AO的中点，
∴OD=AD=2．
由折叠可得A′D=AD=2，
由题可得S△DFP=S△ODP=S△ADP=S△A′DP，
∴DF=OD=OF，PF=A′P=A′F．
∴四边形A′DPO是平行四边形，
∴OP=A′D=2；
②若DA′与BO交于点G，连接AA′，交DP与H，如图．

同理可得GP=OP=OG，DG=DA′=×2=1．
∵OD=AD，
∴DG=AP=1，
∴AP=2，
过点A作AC⊥OB于点C，
∵∠AOB=30°，OA=4，
∴AC=2，
∴点P与点C重合，
∴OP=OC=2．
故答案为：2或2．
【点睛】本题主要考查了轴对称的性质、30°角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理、平行四边形的判定与性质、等高三角形的面积比等于底的比、三角形中位线定理等知识，运用分类讨论的思想是解决本题的关键．
23．
【分析】如图，连接OF，OE，BF，取OF的中点T，连接BT，证明△OBF是等边三角形，利用直角三角形斜边中线的性质求出OE，EF≥OF−OE＝2，推出当O，E，F共线时，EF的值最小，此时点E与点T重合，求出BT，根据阴影部分的面积＝S扇形BOF－S△BOT计算即可．
【详解】：如图，连接OF，OE，BF，取OF的中点T，连接BT．

∵∠AOB＝90°，，
∴∠BOF＝60°，
∵CE＝DE，
∴OE＝CD＝2，
∵OF＝4，
∴EF≥OF−OE＝2，
∴当O，E，F共线时，EF的值最小，此时点E与点T重合，OT＝OE＝2，
∵OF＝OB，∠BOF＝60°，
∴△BOF是等边三角形，
∵OT＝TF，
∴BT⊥OF，
∴BT＝ ，
∴此时阴影部分的面积＝S扇形BOF－S△BOT＝，
故答案为：．
【点睛】本题考查了扇形面积的计算，等边三角形的判定与性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理等知识，明确当O，E，F共线时，EF的值最小是解题的关键．
24．##-5+
【分析】连接AP，BD，先由勾股定理求出BD长为，再由轴对称性质得PD=AD=5，即可由BP+PD≥BD求解．
【详解】解：如图，连接AP，BD，

∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°
∵AB=3，AD=5，
∴BD=，
∵点A与点P关于DE对称，
∴PD=AD=5，
∵BP+PD≥BD，
∴BP≥BD-BP=-5，
故答案为：-5．
【点睛】本题考查矩形的性质，轴对称的性质，勾股定理，线段公理：两点之间线段最短，连接BD，得出BP+PD≥BD，由轴对称性质和勾股定理求出PD、BD长是解题的关键．
25．或
【分析】分∠DA'F= 90°和∠A'FD= 90°两种情况，再根据折叠的性质加以分析即可；
【详解】在矩形ABCD中，，，
∵将沿EF所在直线翻折，得到，
∴
如图①所示，当∠DA'F= 90°时，

∴. E，A'，D在同一直线上，
∵点E是AB的中点，
∴
在中，，
∴，
∵，
∴
∴，即
∴
如图②所示，当∠A'FD= 90°

∴，
∵折叠
∴
∴
∴
∴
综上所述：或；
故答案为：或
【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质，相似三角形的判定与性质，分类讨论思想的运用是解题的关键．
26．3
【分析】在BC上截取，构造相似，可得出，过C点作CH⊥EQ可得出
即可求出CE的长
【详解】解：在BC上截取，则，
中，，
∵，
∴在中，，
∴
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴的角度固定不变，
∴CH为CE的最小值．
过C点作CH⊥EQ
∴∠CHQ=∠ABQ=90°
∵
∴∠CQH=∠QAB
∴，
∵，
∴，
CE的最小值是3.

【点睛】本题主要考查相似的性质与性质，正确作出辅助线是解题的关键．
27．或
【分析】先根据等腰三角形的性质、折叠的性质可得，，再根据相似三角形的判定证出，根据相似三角形的性质可得，然后分①，②和③三种情况，分别利用相似三角形的性质、勾股定理求解即可得．
【详解】解：，
，
由折叠的性质得：，
，
，
，
，
由题意，分以下三种情况：
①如图，当时，为等腰三角形，

，
，
在和中，，
，
，即，
解得，
，
由得：，
解得，
；
②如图，当时，为等腰三角形，

，
由得：，
解得，
；
③当时，点与点重合，不符题意，舍去；
综上，当为等腰三角形时，的长为或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理、折叠的性质等知识点，正确分三种情况讨论，并找出相似三角形是解题关键．
28．38
【分析】首先连接AC，过B作BH⊥AC于H，当G在BH上时，三角形ACG面积取最小值，此时四边形AGCD面积取最小值，再连接BG，知BG=2，得到G点轨迹圆，该轨迹与BH交点即为所求最小值时的G点，利用面积法求出BH、GH的长，代入三角形面积公式求解即可．
【详解】解：连接，过作于，
当G在BH上时，△ACG面积取最小值，此时四边形AGCD面积取最小值，
四边形AGCD面积=三角形ACG面积+三角形ACD面积，
即四边形AGCD面积=三角形ACG面积+24．
连接BG，由G是EF中点，EF=4知，
BG=2，
故G在以为圆心，为半径的圆弧上，圆弧交于，此时四边形AGCD面积取最小值，如图所示，

由勾股定理得：AC=10，
∵AC·BH=AB·BC，
∴BH=4.8，
∴，
即四边形面积的最小值=．
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理及矩形中的与动点相关的最值问题，解题的关键是利用直角三角形斜边的直线等于斜边的一半确定出点的运动轨迹．
29．2π+4+4
【分析】取的中点M，连接AD，DM，BM，OC，OD，OM，作点C关于AB的对称点C’，连接C’O，C’M，C’M交AB于点E，根据，，得到，，的度数都是60°，的度数是30°，根据弧、圆心角、弦之间的关系得MD=AD=MB=AB，DM∥AB，根据EF=AB，得到MD=EF，推出四边形DMEF为平行四边形，得到DF=ME，根据阴影部分的周长为DF+EF+CE+，且和EF为定长，推出阴影部分的周长最小，即DF+CE最小，根据DF=ME，推出周长最小时ME+CE最小，根据对称性得到EC=EC'，推出ME+EC=ME+EC'≥MC'，ME+CE的最小值为MC'的长，∵根据∠MOC'=∠BOM+∠BOC'=60°+30°=90°，OM=OC'，推出△MOC'为等腰直角三角形，得到MC'=OM=4．根据∠COD=∠BOD-∠BOC=120°-30°=90°，得到的长为，得到阴影部分周长的最小值为2π+4+4．
【详解】如图，取的中点M，连接AD，DM，BM，OC，OD，OM，作点C关于AB的对称点C’，连接C’O，C’M，C’M交AB于点E，
∵，，
∴==，度数都是60°，的度数是30°，
∴MD=AD=MB，∠AOD=∠DOM=∠MOB=60°，∠COB=30°，
∵OD=OM，
∴△ODM是等边三角形，
∴DM=OD，∠OMD=60°，
∴MD=AB，∠OMD=∠MOB，
∴DM∥AB，
又EF=AB，
∴MD=EF，
∴四边形DMEF为平行四边形，
∴DF=ME，
∵阴影部分的周长为DF+EF+CE+，且和EF为定长，
∴阴影部分的周长最小时，DF+CE最小，
又DF=ME，
∴阴影部分的周长最小时ME+CE最小，
由对称性可知，EC=EC'，
∴ME+EC=ME+EC'≥MC'，即ME+CE的最小值为MC'的长，∵∠MOC'=∠BOM+∠BOC'=60°+30°=90°，OM=OC'，
∴△MOC'为等腰直角三角形，
∴MC'=OM=4．
∵∠COD=∠BOD-∠BOC=120°-30°=90°，
∴的长=，
∴阴影部分周长的最小值为2π+4+4．

【点睛】本题主要考查了圆弧、圆心角、弦之间的关系定理，平行四边形的判定和性质定理，等边三角形的判定和性质定理，用轴对称求几条线段和的最小值，勾股定理，弧长公式，解决问题的关键是添加辅助线，熟练掌握这些定理、公式、和方法．
30．或2
【分析】先求出AB与BC的长，当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：①当点B′落在矩形内部时，如答图1所示．连接AC，先利用勾股定理计算出AC=5，根据折叠的性质得∠AB′E=∠B=90°，而当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C=90°，所以点A、B′、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处，则EB=EB′，AB=AB′=3，可计算出CB′=2，设BE=x，则EB′=x，CE=4-x，然后在Rt△CEB′中运用勾股定理可计算出x．②当点B′落在AD边上时，如答图2所示．此时ABEB′为正方形．
【详解】解：，
，
解得：，
∴AB=3，BC=4，
当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：
①当点B′落在矩形内部时，如答图1所示．

          图1
连接AC，在Rt△ABC中，AB=3，BC=4，
∴AC=5，
∵∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处，
∴∠AB′E=∠B=90°，
当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C=90°，
∴点A、B′、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处，
∴EB=EB′，AB=AB′=3，
∴CB′=5-3=2；
②当点B′落在AD边上时，如答图2所示．

          图2
此时ABEB′为正方形，
∴B'E=AB=3，
∴CE=4-3=1，
∴Rt△B'CE中，．
综上所述，B'C的长为或2．
故答案为：或2．
【点睛】本题考查了折叠问题：折叠前后两图形全等，即对应线段相等；对应角相等．也考查了矩形的性质以及勾股定理．注意本题有两种情况，需要分类讨论，避免漏解．
31．
【分析】取BC的中点F，连接DF，则BF＝DE，当AQ⊥DF时，AQ最短，根据勾股定理，进而可以解决问题．
【详解】解：取BC的中点F，连接DF，
则BF＝DE，
∵BF∥DE，

∴四边形BFDE是平行四边形，
∴DF∥BE，
∵Q是CP中点，F是BC中点，
∴FQ∥BE，
∴点Q在DF上，
当AQ⊥DF时，AQ最短，如图所示，
∵BC∥AD，
∴∠ADQ＝∠DFC，
在Rt△CDF中，CD＝AB＝3，CF＝BC＝2，根据勾股定理得：
DF＝，
∴sin∠DFC＝，
∴sin∠ADQ＝，
∴AQ＝．
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定与性质，最短路线问题，勾股定理，解直角三角形，解决本题的关键是找到运动到哪个位置AQ最短．
32．3或
【分析】分点F落在BD上和落在AC上，两种情况讨论求解即可．
【详解】解：如图1所示，当点F落在对角线BD上时，
由翻折的性质可得AB=BF，
∵AB=BD=6，
∴BF=BD，即F与D重合，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴；

如图2所示，当点F在AC上时，设AC与BE交于G，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAD=∠BCD=45°，
∵AB=BD，
∴∠BAD=∠BDA=45°，
∴∠ABD=90°，  
∴，
由折叠的性质可知AG=FG，AF⊥BE，
∴∠BGO=∠ABO=90°，
又∵∠AOB=∠BOG，
∴△AOB∽△BOG，
∴
∴,
∴，
∴，
故答案为：3或．

【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，折叠的性质，勾股定理，相似三角形的性质与判定，正确画出图形，利用分类讨论的思想求解是关键．
33．2
【分析】利用折叠的性质得EF＝BE，BC＝CF，∠CFE＝∠B＝∠BCF＝90°，则可判断四边形BEFC为正方形，所以BE＝BC＝6，再根据折叠的性质得△AGH∽△BCG，根据相似比求出AG、AH、BG即可．
【详解】解：∵把△BCE翻折，点B落在DC边上的点F处，
∴EF＝BE，BC＝CF，∠CFE＝∠B＝∠BCF＝90°，
∴四边形BEFC为正方形，
∴BE＝BC＝6，
∵把△CDH翻折，点D落在AE上的点G处，折痕为CH，
∴∠HGC＝90°，DH＝HG，CG＝CD，
∴∠CGB+∠AGH＝90°，
∵∠AHG +∠AGH＝90°，
∴∠CGB＝∠AHG，
∵∠B＝∠A＝90°，
∴△AGH∽△BCG，
∴，
∵BC=6，
∴AG=2，
设AH＝x，则DH＝HG＝6-x，
∴x2+22＝（6-x）2，
解得，
∴BG=3AH=8．
EG= BG- BE=2，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了折叠的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，解题关键是证明三角形相似，依据相似三角形的性质求线段长．
34．7或
【分析】由勾股定理可以求出BC的长，由折叠可知对应边相等，对应角相等，当△DEB′为直角三角形时，可以分为两种情况进行考虑，分别利用勾股定理可求出BD的长．
【详解】解：在中，，
（1）当时，如图1，

过点作，交的延长线于点，
由折叠得：，，
设，则，，
在中，由勾股定理得：
，
即：，解得：（舍去），，
因此，．
（2）当时，如图2，此时点与点重合，

由折叠得：，则，
设，则，，
在△中，由勾股定理得：，解得：，
因此．
故答案为：7或．
【点睛】本题考查了轴对称的性质、直角三角形的性质、勾股定理等知识，分类讨论思想的应用注意分类的原则是不遗漏、不重复．
35．5或
【分析】分以下三种情况讨论：①当；②当；③当时，分别根据勾股定理列方程求解即可．
【详解】当为直角三角形时，
①当时，
∵N为中点，
∴
∵，即，
点的对应点不能落在所在直线上，
∴，故该情况不存在；
②如图1，

当时，，
由折叠的性质得：，
∵，
∴，得；
③如图2，

当时，
∴，故三点共线，
设，则，
在中，
，则，
在中，
由勾股定理可得，即，
解得，即．
综上所述，满足条件的的值为5或．
【点睛】本题考查了折叠问题，矩形的性质，以及勾股定理．解题时注意：折叠前后两图形全等，即对应线段相等；对应角相等．本题有三种可能情况，需要分类讨论，避免漏解．
36．或7
【分析】分两种情形，当∠DMF=90°或∠FDM=90°时，分别画出图形，用相似三角形等知识来解答．
【详解】解：∵在△ABC中，，，，
∴AB===10，
∵点D是AB的中点，
∴CD=AD=AB=，
分两种情形：
①当∠DMF=90°时，

∵将△BDE沿DE翻折得到△FDE，
∴∠EFD=∠B， DB=DF，BE=EF，
∵，∠DMF=90°，
∴，
∴△ABC∽△DFM，
∴，
∴，
∴MD=3，FM=4，
设ME=x，那么
CE=BC-BE=BC-EF=BC-FM-ME=8-4-x=4-x，
MC=CD-MD=5-3=2，
在Rt△DEM中，ME2+MC2=CE2，
即x2+22=(4-x)2，
解得：x=，
∴BE=EF=FM+ME=4+=；
②当∠FDM=90°时，

∵将△BDE沿DE翻折得到△FDE，
∴∠EFD=∠B， DB=DF，BE=EF，
∵，∠MDF=90°，
∴，
∴△ABC∽△MFD，
∴，
∴，
∴MD=，FM=，MC=CD-MD=5-=，
∵CD=BD，
∴∠DCB=∠B，
又∴∠CME=∠FMD，
∴△CME∽△FMD，
∴，
即，
∴CE=1，
∴BE=BC-CE =8-1=7；
故答案为：或7．
【点睛】此题考查了翻折的性质，勾股定理，相似三角形等知识，解题的关键是学会运用分类讨论的思想思考问题．
37．
【分析】由勾股定理，分别求出当E点落在AB上时和当E点落在BC上时，AD的长，即可求解．
【详解】∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，BC＝2，
∴利用勾股定理得斜边AB=，
∴，，
即，，
当E点落在AB上时，如图，

根据对折的性质，AC=EC，AD=ED，
∴CD为等腰△AEC底边的中线，则DC⊥AE，
∴∠ADC＝90°，
∵，，
∴Rt△ADC中，AC＝1，，
当E点落在BC上时，过D点作DF⊥BC于F点，如图，

根据对折的性质有∠A=∠DEF，∠ACD=∠ECD，AC=EC，AD=DE，
∴∠ACD=∠ECD=45°，
∴∠CDF=45°，
∴在Rt△DFC中，有DF=FC，
∵，，
∴2EF=FC，
∴EC=3EF=AC=1，即EF=，
∴=AD，
不含边界，则综上AD的取值范围为：，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了翻折变换，勾股定理，锐角三角函数等知识，求出点A落在AC和BC上时AD的值是本题的关键．
38．或
【详解】分析：依据△DCM为直角三角形，需要分两种情况进行讨论：当∠CDM=90°时，△CDM是直角三角形；当∠CMD=90°时，△CDM是直角三角形，分别依据含30°角的直角三角形的性质以及等腰直角三角形的性质，即可得到折痕MN的长．
详解：分两种情况：
①如图，当∠CDM=90°时，△CDM是直角三角形，

∵在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=60°，AC=2+4，
∴∠C=30°，AB=AC=+2，
由折叠可得，∠MDN=∠A=60°，
∴∠BDN=30°，
∴BN=DN=AN，
∴BN=AB=，
∴AN=2BN=，
∵∠DNB=60°，
∴∠ANM=∠DNM=60°，
∴∠AMN=60°，
∴AN=MN=；
②如图，当∠CMD=90°时，△CDM是直角三角形，

由题可得，∠CDM=60°，∠A=∠MDN=60°，
∴∠BDN=60°，∠BND=30°，
∴BD=DN=AN，BN=BD，
又∵AB=+2，
∴AN=2，BN=，
过N作NH⊥AM于H，则∠ANH=30°，
∴AH=AN=1，HN=，
由折叠可得，∠AMN=∠DMN=45°，
∴△MNH是等腰直角三角形，
∴HM=HN=，
∴MN=，
故答案为或．
点睛：本题考查了翻折变换-折叠问题，等腰直角三角形的性质，正确的作出图形是解题的关键．折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
39．
【分析】根据题意和平行四边形的性质，可以得到ED和EF的比值，再根据三角形相似和最短距离，即可得到EG的最小值，本题得以解决．
【详解】解：作CH⊥AB于点H，

∵在▱ABCD中，∠B=60°，BC=4，
∴CH=2，
∵四边形ECGF是平行四边形，
∴EF∥CG，
∴△EOD∽△GOC，
∴，
∵DF=DE，
∴，
∴，
∴，
∴当EO取得最小值时，EG即可取得最小值，
当EO⊥CD时，EO取得最小值，
∴CH=EO，
∴EO=2，
∴GO=，
∴EG的最小值是2+=，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、三角形的相似、垂线段最短，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答