专题28 【五年中考+一年模拟】填空压轴题一-备战2023年河南中考真题模拟题分类汇编

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参考答案
1．或
【分析】连接，根据题意可得，当∠ADQ＝90°时，分点在线段上和的延长线上，且，勾股定理求得即可．
【详解】如图，连接，

在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，
，，
，
根据题意可得，当∠ADQ＝90°时，点在上，且，
，
如图，在中，，

在中，

故答案为：或．
【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，直角三角形斜边上中线的性质，确定点的位置是解题的关键．
2．或
【分析】因为点恰好在原直角三角形纸片的边上，所以分为当落在边上和边上两种情况分析，根据勾股定理求解即可．
【详解】解：当落在边上时，如图（1）：
设交于点，
由折叠知：,
,,
，，

设，则在中，
在中，


即．

当落在边上时，如图（2）
因为折叠，

．

故答案为：或
【点睛】本题考查了轴对称变换，勾股定理，直角三角形中的性质，正确的作出图形是解题的关键．
3．
【分析】如图，先作扇形关于对称的扇形 连接交于，再分别求解的长即可得到答案．
【详解】解：
最短，则最短，
如图，作扇形关于对称的扇形 连接交于，
则

此时点满足最短，
平分



而的长为：
最短为
故答案为：

【点睛】本题考查的是利用轴对称求最短周长，同时考查了圆的基本性质，扇形弧长的计算，勾股定理的应用，掌握以上知识是解题的关键．
4．或
【分析】分两种情况：①点落在AD边上，根据矩形与折叠的性质易得，即可求出a的值；②点落在CD边上，证明，根据相似三角形对应边成比例即可求出a的值．
【详解】解：分两种情况：

①当点落在AD边上时，如图1．
四边形ABCD是矩形，
，
将沿AE折叠，点B的对应点落在AD边上，
，
，
，
；

②当点落在CD边上时，如图2．
∵四边形ABCD是矩形，
，．
将沿AE折叠，点B的对应点落在CD边上，
，，，
，．
在与中，
，
，
，即，
解得，（舍去）．
综上，所求a的值为或．
故答案为或．
【点睛】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质．进行分类讨论与数形结合是解题的关键．
5．或4
【详解】分析：当△A′EF为直角三角形时，存在两种情况：
①当∠A'EF=90°时，如图1，根据对称的性质和平行线可得：A'C=A'E=4，根据直角三角形斜边中线的性质得：BC=2A'B=8，最后利用勾股定理可得AB的长；
②当∠A'FE=90°时，如图2，证明△ABC是等腰直角三角形，可得AB=AC=4．
详解：当△A′EF为直角三角形时，存在两种情况：
①当∠A'EF=90°时，如图1，
.
∵△A′BC与△ABC关于BC所在直线对称，
∴A'C=AC=4，∠ACB=∠A'CB，
∵点D，E分别为AC，BC的中点，
∴D、E是△ABC的中位线，
∴DE∥AB，
∴∠CDE=∠MAN=90°，
∴∠CDE=∠A'EF，
∴AC∥A'E，
∴∠ACB=∠A'EC，
∴∠A'CB=∠A'EC，
∴A'C=A'E=4，
Rt△A'CB中，∵E是斜边BC的中点，
∴BC=2A'E=8，
由勾股定理得：AB2=BC2-AC2，
∴AB=；
②当∠A'FE=90°时，如图2，
.
∵∠ADF=∠A=∠DFB=90°，
∴∠ABF=90°，
∵△A′BC与△ABC关于BC所在直线对称，
∴∠ABC=∠CBA'=45°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴AB=AC=4；.
综上所述，AB的长为4或4；
故答案为4或4.
点睛：本题考查了三角形的中位线定理、勾股定理、轴对称的性质、等腰直角三角形的判定、直角三角形斜边中线的性质，并利用分类讨论的思想解决问题．
6．
【分析】由题意以及等边三角形的性质得过等边三角形的顶点时，d最小，OP过等边三角形各边的中点时，d最大，分别求出d的值即可得出答案．
【详解】解：如图：过顶点A时，点O与边上所有点的连线中，最大，此时最小；设的中点是E，过点E时，点O与边上所有点的连线中，最小，此时最大，
如图1，过顶点A时，过点O作于点E，

∵等边三角形边长为，O为等边三角形的中心，
∴，，，
，
，
，
；
如图2，过点的中点E时，

∵等边三角形边长为，O为等边三角形中心，
∴，，
，
，
；
∴d的取值范围为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，旋转的性质，根据题意得出d最大、最小时点P的位置是解题的关键．
7．或
【分析】因为DE∥AB得到∠DEC＝∠ACE，所以△CDE与△ACE相似分两种情况分类讨论．
【详解】∵DE∥AB，
∴∠DEC＝∠ACE，△ODE∽△OBA，
∴△ODE也是等边三角形，则OD＝OE＝DE，
设E（a，0），则OE＝OD＝DE＝a，BD＝AE＝4−a，
∵△CDE与△ACE相似，分两种情况讨论：
①当△CDE∽△EAC时，则∠DCE＝∠CEA，
∴CD∥AE，
∴四边形AEDC是平行四边形，
∴AC＝a，
∵BD＝2AC，
∴4−a＝2a，
∴，
∴；
②当△CDE∽△AEC时，∠DCE＝∠EAC＝60°＝∠B，
∴∠BCD＋∠ECA＝180°−60°＝120°，
又∵∠BDC＋∠BCD＝180°−∠B＝120°，
∴∠BCD＋∠ECA＝∠BDC＋∠BCD，
∴∠ECA＝∠BDC，
∴△BDC∽△ACE，
∴，
∴BC＝2AE＝2（4−a）＝8−2a，
∴，
∴，
∴．
综上所述，点E的坐标为或．
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查相似三角形，考虑分类讨论是本题的关键．
8．
【分析】首先连接AE，由题可知，DE=DC=AD,所以△DEC,△AED,△EFC是等腰三角形，由正方形的性质得∠EBC=∠ADE=∠EDC=45°，求出,得出=22.5°，,,所以 ,得出∠AEF=90°，再证明 ,则,所以△AEF为等腰直角三角形，∠FAE=45°，减去∠BAE即可．
【详解】连接AE,如图，

∵四边形ABCD为正方形，
∴AD=CD,∠ADE=∠EDC=∠CBE=45°， ,
∵DE=CD,
∴AD=DE=CD，
∴∠DAE=∠DEA=∠DEC=∠DCE=67.5°，
∴ , ,
又∵EF=EC,
∴ ,
∴ ,
∴ ,
∴ ,
在△DAE和△DEC中：
∵
∴△DAE≌△DEC(SAS),
∴AE=EC，
又∵EC=EF,
∴AE=EF，
∴△AEF为等腰直角三角形，
∴∠FAE=45°，
∴,
故填：22.5°．
【点睛】本题考查正方形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定，三角形内角和，解题关键是添加辅助线，构造全等三角形．
9．
【分析】连接CF，交PQ于R，延长AD交EF于H，连接AF，则四边形ABEH是矩形，求出FH=1，AF= ，由ASA证得△RFP≌△RCQ，得出RP=RQ，则点R与点M重合，得出MN是△CAF的中位线，即可得出结果．
【详解】解：连接CF，交PQ于R，延长AD交EF于H，连接AF，如图所示：
则四边形ABEH是矩形，
∴HE=AB=1，AH=BE=BC+CE=2+4=6，
∵四边形CEFG是矩形，
∴FG//CE，EF=CG=2，
∴∠RFP=∠RCQ，∠RPF=∠RQC，FH=EF-HE=2-1=1，
在Rt△AHF中，由勾股定理得：AF=，
在△RFP和△RCQ中，
，
∴△RFP≌△RCQ（ASA），
∴RP=RQ，
∴点R与点M重合，
∵点N是AC的中点，
∴MN是△CAF的中位线，
∴MN=，
故答案为：．

【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行线的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理等知识；作辅助线构建全等三角形是解题的关键．
10．
【分析】连接BF，EF，根据作法可得MN为BE的垂直平分线，从而得到△BEF为等边三角形，再求出弧EF的长，再根据阴影部分的周长为，即可求解．
【详解】解：如图，连接BF，EF，

根据题意得：BF=BE=AB=12，
根据作法得：MN为BE的垂直平分线，
∴BF=EF，BG=EG=6，
∴BE=BF=EF，，
∴△BEF为等边三角形，
∴∠EBF=60°，
∴弧EF的长为，
∴阴影部分的周长为．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了求弧长，等边三角形的判定和性质，尺规作图，熟练掌握弧长公式，等边三角形的判定和性质，作已知线段的垂直平分线的作法是解题的关键．
11．
【分析】根据题意，证明四边形是平行四边形，运用的正弦和余弦的关系，求出HE．
【详解】如图，分别过作， 垂足分别为
则
根据题意，，因为折叠，则
四边形ABCD是矩形



同理
四边形是平行四边形

，



中，



故答案为：．
【点睛】本题考查了轴对称图形，平行四边形的性质与判定，锐角三角函数，理解题意作出辅助线，是解题的关键．
12．，3，
【详解】分析：过点B作BF⊥AD于点F，连接BE，根据平行四边形的性质及已知条件，可证得△BEF是等腰直角三角形，求出BF、BE、的长，再利用三角形的外角性质结合已知，证明∠2=∠1，∠EBP=∠C，利用相似三角形的判定，可证得△BPE∽△CQP，再分三种情况讨论：①当CQ=QP时，则BP=PE，可证得四边形BPEF是矩形，可求出BP的长；②当CP=CQ时，则BP=BE=3；③当CP=PQ时，则BE=PE=3，再根据△BPE是等腰直角三角形，利用勾股定理，可求出BP的长，从而可得出答案.
详解：如图，过点B作BF⊥AD于点F，连接BE

∵平行四边形ABCD
∴AD∥BC
∴∠BFE=∠FBP=90°
在Rt△ABF中，∠A=45°，AB=3
∴BF=AF=ABcos45°=3×=
∴EF=AD-AF-DE=4--=
∴EF=BF
∴∠FBE=∠EBP=45°=∠C
∠2+∠EFQ=∠1+∠C
∵∠EFQ=∠C=45°
∴∠2=∠1
∴△BPE∽△CQP
将 △ CPQ沿它的一条边翻折，当翻折前后两个三角形组成的四边形为菱形时，分三种情况：
①当CQ=QP时，则BP=PE
∴∠EBP=∠BEP=45°，则∠BPE=90°
∴四边形BPEF是矩形
∴BP=EF=
②当CP=CQ时，则BP=BE=3
③当CP=PQ时，则BE=PE=3，∠BEP=90°
∴△BPE是等腰直角三角形
∴BP=.
故答案为、3、
点睛：醒题考查了利用平行四边形遥性质进行求解，其中运用了分类讨论的思想，使问题的答案不遗漏，这是解题的关键.
13．
【分析】由图形知，通过计算的面积时，得，即转为求的最大值，首先的确定点的运动轨迹，当与点所在圆弧相切时，取最大，即最小，再利用勾股定理及正切函数来解答．
【详解】解：，建立如图所示坐标系；

，
为的中点，
，
在以为圆心，为半径的圆上，
，
，

当与点所在圆弧相切时，取最大，即最小，
相切时：，
在中，，
，
，
，
，
故答案是：
【点睛】本题考查了不规则图形面积的最小值问题、扇形面积、直角三角形、圆、切线等知识点，解题的关键是：利用数形结合的思想，将阴影部分的面积转化为扇形与直角三角形面积之差来研究．
14．或．
【分析】结合勾股定理逆定理判断是直角三角形，通过证明，，然后利用相似三角形的性质求解，然后分当点位于点左侧时，当点位于点右侧时，进行分类讨论．
【详解】解：中，，，，
，，
，
为直角三角形，
①当点位于点左侧时，如图：
设直线交于点，

，
，，
又四边形是正方形，且，
，，
即，
解得：，
，，
，
，
，
解得：，
，
，
，
，
，
，
，
解得：；
②当点位于点右侧时，如图：

与①同理，此时，
，
解得：，
综上，的长为或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查勾股定理逆定理，相似三角形的判定和性质，理解题意，证明出，特别注意分类思想的运用是解题关键．
15．2或
【分析】根据折叠的性质可得，当是直角三角形时，分，两种情况分类讨论．
【详解】解：根据折叠的性质可得，
∵AB=3，∠B=90°，∠C=30°，
∴AC=6，
当是直角三角形时，当时，∠C=30°，
∴MC=2DM，
∴AC=AM+MC=3AM=6，
∴AM=2，
当时，∠C=30°，
∴MC=DM，
∴AC=AM+MC=AM+AM=6，
∴AM=3-3，
故答案为：2或．
【点睛】本题考查了翻折变换，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
16．
【分析】如图，设△OPQ绕点O逆时针旋转30°到达了△ODC的位置，根据旋转性质，得到阴影部分的面积等于，设点P的坐标为（m，），则Q（m，），计算OP，OQ，代入公式计算，构造关于m的二次函数求最值即可．
【详解】图，设△OPQ绕点O顺时针旋转30°到达了△ODC的位置，

由旋转性质可知，，
∴，
设阴影部分的面积为S，
∴，
设点P的坐标为（m，），则Q（m，），
∴，，
∴

当时，S有最大值，且为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一次函数的解析式、旋转的性质、扇形的面积公式、二次函数的最值等知识，灵活运用割补法表示阴影的面积，并构造二次函数计算最值是解题的关键．
17．
【分析】连接CG．证明△ADE≌△CDG（SAS），推出∠DCG＝∠DAE＝45°，推出点G的运动轨迹是射线CG，根据垂线段最短可知，当GH⊥CG时，GH的值最小，最后根据正弦即可得出答案．
【详解】解：连接CG．

∵四边形ABCD是正方形，四边形DECG是正方形，
∴DA＝DC，DE＝DG，∠ADC＝∠EDG＝90°，∠DAC＝45°，
∴∠ADE＝∠CDG，
∴△ADE≌△CDG（SAS），
∴∠DCG＝∠DAE＝45°，
∴点G的运动轨迹是射线CG，
根据垂线段最短可知，当GH⊥CG时，GH的值最小．
此时CH＝

∴
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质，垂线段最短，解决问题的关键是得到∠DCG＝∠DAE＝45°，及证明出点G的运动轨迹是射线CG．
18．2或
【分析】分如图①所示，当折痕经过点B，即四边形ABOD是菱形时，如图②所示，当折痕经过点A，即四边形AECF是菱形时，两种情况讨论求解即可．
【详解】解：如图①所示，当折痕经过点B，即四边形ABOD是菱形时，
∴此时菱形的边长即为AB的长，即

如图②所示，当折痕经过点A，即四边形AECF是菱形时，
∴，
∴∠BEA=∠BCD=60°，
∵∠B=90°，
∴，
∴此时菱形的边长为2，
故答案为：2或．

【点睛】本题主要考查了菱形的性质，解直角三角形，正确画出图形，用分类讨论的思想求解是解题的关键．
19．
【分析】以AB为边向右作等边△ABG，作射线GF交AD于点H，过点D作DM⊥GH于M．利用全等三角形的性质证明∠AGF＝60°，得出点F在平行于AB的射线GH上运动，求出DM即可．
【详解】解：如图，以AB为边向右作等边△ABG，作射线GF交AD于点H，过点D作DM⊥GH于M．

∵四边形ABCD是平行四边形，∠B＝60°，
∴∠BAD＝120°，
∵△ABG是等边三角形，
∴∠BAG＝∠EAF＝60°，BA＝GA，EA＝FA，
∴∠BAE＝∠FAG，
∴△BAE≌△GAF（SAS），
∴∠B＝∠AGF＝60°，
∴点F在在平行于AB的射线GH上运动，
∵∠HAG＝∠AGF＝60°，
∴△AHG是等边三角形，
∴AB＝AG＝AH＝6，
∴DH＝AD﹣AH＝4，
∵∠DHM＝∠AHG＝60°，
∴DM＝DH•sin60°，
根据垂线段最短可知，当点F与M重合时，DF的值最小，最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，旋转变换，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，本题的突破点是证明点F的在射线GH上运动，属于中考填空题中的压轴题．
20．或
【分析】设与交点于点．由对折可知，，，，推出，设，则，根据，列出方程，即可求出答案．
【详解】解：设与交点于点．
由对折可知，，，，
是的中点，
，
①当点在线段上时，
为等边三角形，
，
，
，
设，
，
，
，
，
解得．

②点在线段上时，连接．
，是的中点，
，，
，
在线段上，
由折叠可知，
，，，
，，
，
设，
，，
，
解得．

③点在线段上时，与重合，不符合题意

故答案为：或．
【点睛】本题考查了翻折问题，正确运用翻折的性质和直角三角函数是解题的关键．
21．≤MN≤5
【分析】以点O为圆心，OB为半径作圆，以点O为圆心，作与AB相切的圆，可知AB上所有点扫过的区域为两个圆组成的圆环，进而即可求解．
【详解】解：∵A（3，0），B（0，4），N（0，1），
∴OA=3，OB=4，AB=，ON=1，

以点O为圆心，OB为半径作圆，以点O为圆心，作与AB相切的圆，此时，小圆的半径=3×4÷5=2.4，
∴AB上所有点扫过的区域为两个圆组成的圆环，延长NO交大圆于点E，ON交小圆于点F，则NE为MN的最大值，NF为MN的最小值，NF=2.4-1=1.4，EN=1+4=5，
∴MN的取值范围是：≤MN≤5．
故答案是：≤MN≤5．
【点睛】本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握旋转的性质，找出线段AB扫过的区域，是解题的关键．
22．或
【分析】根据题意，分两种情况讨论：①当时，设，则，根据矩形的性质和折叠的性质，根据解直角三角形的知识可用表示出和来，再表示出和来，进而得解；②当时，设，则，根据矩形的性质和折叠的性质，根据解直角三角形的知识可用表示出和来，再表示出和来，进而得解．
【详解】∵的两条直角边的比为，
∴或．
①当时，设，则，
∵四边形是矩形，
∴．
由题意折叠形成，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
由题意折叠形成，
∴，
∴．
②当时，设，则，
由①得，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
∴，
由题意折叠形成，
∴，
∴．
故答案为：或．
【点睛】本题考查了矩形的性质，翻折变换问题和解直角三角形等知识，灵活运用翻折变换的性质和解直角三角形是解本题的关键．
23．或
【分析】分两种情况讨论：如图，当在线段CD上时，如图，当在线段的延长线上时，再分别求解，再利用弧长公式求得即可．
【详解】解：菱形ABCD中，∠A=30°，AB=3，
∴BC=AB=3，∠BCD=∠A=30°，
∵点C关于BM的对称点为N，
∴∠BNM=∠BCM=30°，  
∵MN⊥CD，
∴∠CMN=90°，
如图，当在线段CD上时，连接CN，



∴劣弧NC的弧长为：
如图，当在线段的延长线上时，

同理可得：

∴劣弧NC的弧长为：
故答案为： 或．
【点睛】本题考查了弧长的计算，菱形的性质，轴对称的性质，求得∠NBC=30°或是解题的关键．
24．8或2
【分析】连接EC，利用矩形的性质，求出DE的长度，证明EC平分∠DCF，再证∠FEC=90°，最后证△FEC∽△EDC，利用相似的性质即可求出AB的长度．
【详解】解：如图，连接EC，


∵四边形ABCD为矩形，
∴∠A=∠D=90°，BC=AD=8，DC=AB=a，
∵E为AD中点，
∴AE=DE=AD=4，
∴CE2=CD2+DE2=a2+16，
∵BF=6，BC=8，
∴CF=，
由翻折知，△AEF≌△GEF，
∴AE=GE，∠AEF=∠GEF，∠EGF=∠EAF=90°=∠D，
∴GE=DE，
∴EC平分∠DCG，
∴∠DCE=∠GCE，
∵∠GEC=90°-∠GCE，∠DEC=90°-∠DCE，
∴∠GEC=∠DEC，
∴∠FEC=∠FEG+∠GEC=×180°=90°，
∴∠FEC=∠D=90°，
又∵∠DCE=∠GCE，
∴△FEC∽△EDC，
∴，
∴CE2=CF•CD，
∴a2+16=10a，
解得：a=8或2．
故答案为：8或2．
【点睛】本题考查了矩形的性质，轴对称的性质，相似三角形的判定与性质等，解题关键是能够作出适当的辅助线，熟练运用相似三角形的判定与性质．
25．或或
【分析】分∠ABE=30°或∠AEB=30°或∠ABA′=30°时三种情况，利用锐角三角函数进行求解即可．
【详解】解：当∠ABE=30°时，
∵AB=4cm，∠A=90°，
∴AE=AB·tan30°=cm；
当∠AEB=30°时，则∠ABE=60°，
∵AB=4cm，∠A=90°，
∴AE=AB·tan60°=cm；
当∠ABE=15°时，∠ABA′=30°，延长BA′交AD于F，如下图所示，

设AE=x，则EA′=x，，
∵AF=AE+EF=ABtan30°=，
∴，
∴，
∴ cm．
故答案为：或或．
【点睛】本题考查了矩形与折叠，以及分类讨论的数学思想，分类讨论是解答本题的关键．
26．4﹣2或3
【分析】存在两种情况：当A′D=DC，连接ED，勾股定理求得ED的长，可判断E，A′，D三点共线，根据勾股定理即可得到结论；当A′D=A′C，证明AEA′F是正方形，于是得到结论．
【详解】解：①当A′D=DC时，如图1，连接ED，

∵点E是AB的中点，AB=4，BC=4，四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=4，∠A=90°，
∴DE==6，
∵将△AEF沿EF所在直线翻折，得到△A'EF，
∴A′E=AE=2，
∵A′D=DC=AB=4，
∴DE=A′E+A′D=6，
∴点E，A′，D三点共线，
∵∠A=90°，
∴∠FA′E=∠FA′D=90°，

设AF=x，则A′F=x，FD=4-x，
在Rt△FA′D中，42+x2=（4-x）2，
解得：x=，
∴FD=3；
②当A′D=A′C时，如图2，
∵A′D=A′C，
∴点A′在线段CD的垂直平分线上，
∴点A′在线段AB的垂直平分线上，
∵点E是AB的中点，
∴EA′是AB的垂直平分线，
∴∠AEA′=90°，
∵将△AEF沿EF所在直线翻折，得到△A'EF，
∴∠A=∠EA′F=90°，AF=FA′，
∴四边形AEA′F是正方形，
∴AF=AE=2，
∴DF=4-2，
故答案为：4-2或3．
【点睛】此题考查翻折变换（折叠问题），矩形的性质，等腰三角形的性质，正方形的判定和性质，分类讨论思想的运用是解题的关键．
27．
【分析】连接，证明，推出，推出点的运动轨迹是射线，根据垂线段最短可知，当时，的值最小．
【详解】连接，

四边形是正方形，四边形是正方形，
，，，，
，
，
，
点的运动轨迹是射线，
根据垂线段最短可知，当，的值最小，
，
，
最小值．
故答案为：．
【点睛】此题考查正方形的性质，关键是根据正方形的性质和三角形中位线定理解答．
28．或
【分析】延长与交于点H，用x表示、，再分情况列出方程求解即可．
【详解】解：延长与交于点H，如图，

根据四边形和都是正方形，易得：四边形和四边形矩形，
∵，四边形是正方形，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
设，则，
即，
∴，
，
当时，，
解得即；
当时，，
解得（舍去）或（舍去），
当时，，
解得（舍去）或 ，即；
综上：或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，注意要进行分类讨论．
29．
【分析】设正方形ABCD的边长为a，ED与MN交于点P，再设PN=PQ=EC=x，根据sin∠DMN=，解方程得出x，进而求出EC即可求解．
【详解】解：如图，设正方形ABCD的边长为a，ED与MN交于点P，

∵MN∥BC，且M为AB的中点，
∴，
过点P作PQ⊥DM于Q，
由折叠的性质知：DE平分∠CDM，
∴PN=PQ，
设PN=PQ=EC=x，
∴PM=MN-PN=a-x，
∵DM==，
∴sin∠DMN=，即，
解得x==，
经检验x=是原方程的解，
∴EC=2x=，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，折叠的性质，解直角三角形，勾股定理等，利用辅助线构造直角三角形利用正弦函数得线段比例关系是解题的关键．
30．或
【分析】分两种情况①当A′落在线段BC的上方时，②当A′落在线段BC的上方时，再利用垂直平分线的性质分析可得答案．
【详解】解：如图：

（1）当A′落在线段BC的上方时，如图①：
在中，，，
∴，
取AB的中点D，连接CD，
则CD=BD=AD，点D在BC的垂直平分线l上，
∴△ACD是等边三角形，
∴CA=CD，
∵将沿折叠，点的对应点是，当点落在边的垂直平分线上，
∴点D与A′重合，
∴∠A′CB=∠B=30°，
∵
∴∠ACA′=90°-30°=60°，
∴∠ACP=∠ACA′=30°．
（2）当A′落在线段BC的下方时，如图②：
∵l是BC的垂直平分线，
∴PC=PB，
∴∠PCB=∠B=30°，
∴∠ACP=90°-30°=60°．
综上，∠ACP的度数是30°或60°．
故答案为：30°或60°．
【点睛】本题考查了折叠的性质，根据折叠得到角相等和利用垂直平分线的性质是解题关键关键，