2022-2023 数学华师大版新中考精讲精练 考点12勾股定理

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考点12勾股定理考点总结1．对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么一定有勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。2．直角三角形的判定：如果三角形的三边长a,b,c有关系，，那么这个三角形是直角三角形。真题演练 一、单选题1．（2021·湖南衡阳·中考真题）如图，矩形纸片，点M、N分别在矩形的边、上，将矩形纸片沿直线折叠，使点C落在矩形的边上，记为点P，点D落在G处，连接，交于点Q，连接．下列结论：①四边形是菱形；②点P与点A重合时，；③的面积S的取值范围是．其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①②③ B．①② C．①③ D．②③【答案】C【分析】根据矩形的性质与折叠的性质，证明出，，通过等量代换，得到PM=CN，则由一组邻边相等的平行四边形是菱形得到结论正确；用勾股定理，，由菱形的性质对角线互相垂直，再用勾股定理求出；当过点D时，最小面积，当P点与A点重合时，S最大为，得出答案．【详解】解：①如图1，
∵，∴，∵折叠，∴，NC=NP∴，∴，∴PM=CN，∴，∴四边形为平行四边形，∵，∴平行四边形为菱形，故①正确，符合题意；②当点P与A重合时，如图2所示
 设，则，在中，，即，解得：，∴，，∴，又∵四边形为菱形，∴，且，∴∴，故②错误，不符合题意．③当过点D时，如图3所示：
此时，最短，四边形的面积最小，则S最小为，当P点与A点重合时，最长，四边形的面积最大，则S最大为，∴，故③正确，符合题意．故答案为：①③．2．（2021·湖南邵阳·中考真题）如图，在中，，．将绕点逆时针方向旋转，得到，连接．则线段的长为（    ）
A．1 B． C． D．【答案】B【分析】根据旋转性质可知，，再由勾股定理即可求出线段的长．【详解】解：∵旋转性质可知，，∴，故选：B．3．（2021·湖南·长沙市长郡双语实验中学一模）如图，直立于地面上的电线杆AB，在阳光的照射下在水平地面和坡面上的影子分别是BC，CD，则得BC=6m，CD=4m，，在D处测得电线杆顶端A的仰角为，则电线杆AB的高度为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意及图形作如图所示辅助线，可得：，然后在在中，利用三角函数及勾股定理可得：，，依据图形可得：，利用其正切值可确定，即可确定，然后继续利用其正切值，即可求出答案．【详解】如图所示，延长AD交BC的延长线于点E，过点D作DF⊥BE于点F，∵，∴，又∵，在中，∴，，根据题意及图形可得：，∴，∴，∴，即电线杆的高度为米．故选：B．4．（2021·湖南怀化·三模）如图，在四边形中，，，，．为上一点，且．若，则的长为（    ）A． B． C．1 D．【答案】C【分析】过点作，交CB延长线于，证明为正方形，表示出后，使用勾股定理即可．【详解】过点作，交CB延长线于
 ∵，∴∵，∴四边形为矩形∵ ，∴ ∴矩形为正方形∴设，则，∴即∴∴，即，故选C．5．（2021·湖南渌口·模拟预测）如图所示，圆柱的高AB＝3，底面直径BC＝6，现在有一只蚂蚁想要从A处沿圆柱侧面爬到对角C处捕食，则它爬行的最短距离是（　　）A．3 B．6 C．9 D．6【答案】A【分析】要求最短路径，首先要把圆柱的侧面展开，利用两点之间线段最短，然后利用勾股定理即可求解．【详解】解： 把圆柱侧面展开，展开图如右图所示，点A、C的最短距离为线段AC的长．在Rt△ADC中，∠ADC＝90°，CD＝AB＝3，AD为底面半圆弧长，AD＝3π，所以AC=，故选：A．6．（2021·湖南雨花·一模）如图所示，琪琪用6个含30°角的直角三角板拼成内外都是正六边形的图形，则大小两个正六边形的边长比AB：GH的值为（   ）A．2 B． C． D．【答案】B【分析】设AG=x，根据直角三角形30度角所对的直角边等于斜边的一半求出BG，再根据勾股定理求出AB的长，再计算求出GH=BG-BH=x，即可得到答案．【详解】解：设AG=x，在△ABG中，，∴BG=2AG=2x，∴，∵BH= AG=x，∴GH=BG-BH=x，∴．故选：B．7．（2021·湖南张家界·一模）如图，将矩形折叠，使点和点重合，折痕为，与交于点若，，则的长为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】先证明再求解利用轴对称可得答案．【详解】解：由对折可得： 矩形， BC=8 由对折得： 故选C．8．（2021·湖南雨花·一模）如图，四边形是矩形，的平分线交延长线于点，若，，则的长为（    ）A．4.2 B．4.5 C．5.2 D．5.5【答案】A【分析】先根据矩形的性质得AB∥CD，∠A＝90°，再根据AB∥CD及DE平分∠BDC证得DB＝BE，设AB＝x，根据勾股定理列出方程求解即可．【详解】解：∵四边形是矩形，∴AB∥CD，∠A＝90°，∴∠E＝∠EDC，∵DE平分∠BDC，∴∠EDB＝∠EDC，∴∠EDB＝∠E，∴DB＝BE，设AB＝x，∵AE＝10，∴DB＝BE＝10－x，∵∠A＝90°，∴在Rt△ABD中，AD2＋AB2＝BD2，∵AD＝4，∴42＋x2＝(10－x)2，解得x＝4.2，故选：A．9．（2021·湖南·一模）如图，已知菱形OABC，OC在x轴上，AB交y轴于点D，点A在反比例函数上，点B在反比例函数上，且OD=2，则k的值为（     ）A．3 B． C． D．【答案】B【分析】由OD=，则点A、B的纵坐标为，得到A（，），B（，），求得AB=AO=，AD=，根据勾股定理即可得到结论．【详解】解：∵四边形OABC是菱形，∴AB∥OC，AB=AO，∵OD=，∴点A、B的纵坐标为，∴A（，），B（，），∴AB=，AD=，∴AO=，在Rt△AOD中，由勾股定理，得，∴，解得：；故选：B．10．（2021·湖南茶陵·模拟预测）如图，要拧开一个边长为a＝6 mm的正六边形螺帽，扳手张开的开口b至少为(     )A．6mm B．12mm C．6mm D．4mm【答案】C【详解】设正多边形的中心是O，其一边是AB，∴∠AOB=∠BOC=60°，∴OA=OB=AB=OC=BC，∴四边形ABCO是菱形，∵AB=6mm,∠AOB=60°，∴cos∠BAC=，∴AM=6×= (mm)，∵OA=OC，且∠AOB=∠BOC，∴AM=MC=AC，∴AC=2AM= (mm).故选C. 二、填空题11．（2021·湖南邵阳·中考真题）如图，在矩形中，，垂足为点．若，，则的长为______．
【答案】3【分析】在中，由正弦定义解得，再由勾股定理解得DE的长，根据同角的余角相等，得到，最后根据正弦定义解得CD的长即可解题．【详解】解：在中，在矩形中，故答案为：3．12．（2021·湖南岳阳·中考真题）《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈．问户高、广各几何？”其意思为：今有一门，高比宽多6尺8寸，门对角线距离恰好为1丈．问门高、宽各是多少？（1丈＝10尺，1尺＝10寸）如图， 设门高为尺，根据题意，可列方程为________．【答案】【分析】先表示出BC的长，再利用勾股定理建立方程即可．【详解】解：由题可知，6尺8寸即为6.8尺，1丈即为10尺；∵高比宽多6尺8寸，门高 AB 为 x 尺，∴BC=尺，∴可列方程为：，
故答案为：．13．（2021·湖南常德·中考真题）如图．在中，，平分，于E，若，则的长为________．【答案】【分析】证明三角形全等，再利用勾股定理即可求出．【详解】解：由题意：平分，于,，，又为公共边，，，在中，，由勾股定理得：，故答案是：．14．（2021·湖南张家界·中考真题）如图，在正方形外取一点，连接，，，过点作的垂线交于点，若，．下列结论：①；②；③点到直线的距离为；④，其中正确结论的序号为______．【答案】①②④【分析】利用同角的余角相等可得∠EDC=∠PDA，利用SAS可证明，可得①正确；②根据全等三角形的性质可得∠APD=∠CED，根据等腰直角三角形的性质可得∠DPE=∠DEP=45°，即可得出∠PEC=90°，可得②正确；过C作CF⊥DE，交DE的延长线于F，利用勾股定理可求出CE的长，根据△DEP是等腰直角三角形，可证△CEF是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质即可求出CF的长，可得③错误；④由③可知EF的长，即可得出DF的长，利用勾股定理可求出CD的长，即可求出正方形ABCD的面积，可得④正确，综上即可得答案．【详解】∵四边形ABCD为正方形，PD⊥DE，∴∠PDA+∠PDC=90°，∠EDC+∠PDC=90°，AD=CD，∴∠EDC=∠PDA，在△APD和△CED中，∴△APD≌△CED，故①正确，∴∠APD=∠DEC，∵DP=DE，∠PDE=90°，∴∠DPE=∠DEP=45°，∴∠APD=∠DEC=135°，∴∠PEC=∠DEC-∠DEP=90°，∴AE⊥CE，故②正确，如图，过C作CF⊥DE，交DE的延长线于F，∵，∠PDE=90°，∴PE=，∵，∠PEC=90°，∴CE==2，∵∠DEP=45°，∠PEC=90°，∴∠FEC=45°，∵∠EFC=90°，∴△CEF是等腰直角三角形，∴CF=EF==，∴点到直线的距离为，故③错误，∴DF=EF+DE=+1，∴CD2===，∴，故④正确，综上所述：正确的结论有①②④，故答案为：①②④15．（2021·湖南岳阳·一模）如图，点O是矩形纸片的对称中心，点E在上，点B与点O重合，若 ，则矩形ABCD的周长为__．【答案】【分析】由折叠的性质及矩形的性质得到垂直平分，得到，根据为的一半确定出，用勾股定理求出AE和AB，即可求出矩形周长．【详解】解：∵点O为矩形ABCD的对称中心，∴点O为矩形ABCD对角线的交点,∴,由题意得：，,,∴,即，∵四边形ABCD为矩形，∴,又∵ ∴垂直平分，∴，,在Rt△ABC中，设，则有，，∴，∴,在Rt△ABE中，∵，∴,∴EC=2,,∴,∴矩形的周长为：，故答案为：． 三、解答题16．（2021·湖南郴州·中考真题）如图1，在等腰直角三角形中，．点，分别为，的中点，为线段上一动点（不与点，重合），将线段绕点逆时针方向旋转得到，连接，．
（1）证明：；（2）如图2，连接，，交于点．①证明：在点的运动过程中，总有；②若，当的长度为多少时，为等腰三角形？【答案】（1）见详解；（2）①见详解；②当的长度为2或时，为等腰三角形【分析】（1）由旋转的性质得AH=AG，∠HAG=90°，从而得∠BAH=∠CAG，进而即可得到结论；（2）①由，得AH=AG，再证明，进而即可得到结论；②为等腰三角形，分3种情况：（a）当∠QAG=∠QGA=45°时，（b）当∠GAQ=∠GQA=67.5°时，（c）当∠AQG=∠AGQ=45°时，分别画出图形求解，即可．【详解】解：（1）∵线段绕点A逆时针方向旋转得到，∴AH=AG，∠HAG=90°，∵在等腰直角三角形中，，AB=AC，∴∠BAH=90°-∠CAH=∠CAG，∴；（2）①∵在等腰直角三角形中，AB=AC，点，分别为，的中点，∴AE=AF，是等腰直角三角形，∵AH=AG，∠BAH =∠CAG，∴，∴∠AEH=∠AFG=45°，∴∠HFG=∠AFG+∠AFE=45°+45°=90°，即：；②∵，点，分别为，的中点，∴AE=AF=2，∵∠AGH=45°，为等腰三角形，分3种情况：（a）当∠QAG=∠QGA=45°时，如图，则∠HAF=90°-45°=45°，∴AH平分∠EAF，∴点H是EF的中点，∴EH=；（b）当∠GAQ=∠GQA=（180°-45°）÷2=67.5°时，如图，则∠EAH=∠GAQ=67.5°，∴∠EHA=180°-45°-67.5°=67.5°，∴∠EHA=∠EAH，∴EH=EA=2；（c）当∠AQG=∠AGQ=45°时，点H与点F重合，不符合题意，舍去，综上所述：当的长度为2或时，为等腰三角形．17．（2021·湖南衡阳·中考真题）如图，点E为正方形外一点，，将绕A点逆时针方向旋转得到的延长线交于H点．（1）试判定四边形的形状，并说明理由；（2）已知，求的长．【答案】（1）正方形，理由见解析；（2）17【分析】（1）由旋转的性质可得∠AEB＝∠AFD＝90°，AE＝AF，∠DAF＝∠EAB，由正方形的判定可证四边形BE'FE是正方形；（2）连接，利用勾股定理可求，再利用勾股定理可求DH的长．【详解】解：（1）四边形是正方形，理由如下：根据旋转： ∵四边形是正方形∴∠DAB=90°
∴∠FAE＝∠DAB=90°∴∴四边形是矩形，又∵∴矩形是正方形．（2）连接
∵，在中，∵四边形是正方形∴在中，，又，∴．故答案是17．18．（2021·湖南长沙·中考真题）如图，在中，，垂足为，，延长至，使得，连接．（1）求证：；（2）若，，求的周长和面积．【答案】（1）证明见解析；（2）周长为，面积为22．【分析】（1）先根据垂直的定义可得，再根据三角形全等的判定定理与性质即可得证；（2）先根据全等三角形的性质可得，从而可得，再利用勾股定理可得，从而可得，然后利用勾股定理可得，最后利用三角形的周长公式和面积公式即可得．【详解】（1）证明：，，在和中，，，；（2），，，，，，，，，，，则的周长为，的面积为．