初中数学中考复习 专题11 规律探究之直角坐标系【考点精讲】（解析版）

题型一：滚动型

【例1】如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形①沿x轴正半轴滚动并且按一定规律变换，每次变换后得到的图形仍是等腰直角三角形．第一次滚动后点A1（0，2）变换到点A2（6，0），得到等腰直角三角形②；第二次滚动后点A2变换到点A3（6，0），得到等腰直角三角形③；第三次滚动后点A3变换到点A4（10，），得到等腰直角三角形④；第四次滚动后点A4变换到点A5（10+，0），得到等腰直角三角形⑤；依此规律…，则第2020个等腰直角三角形的面积是　      ．

【分析】根据A1（0，2）确定第1个等腰直角三角形（即等腰直角三角形①）的面积，根据A2（6，0）确定第1个等腰直角三角形（即等腰直角三角形②）的面积，…，同理，确定规律可得结论．

【解析】∵点A1（0，2），

∴第1个等腰直角三角形的面积2，

∵A2（6，0），

∴第2个等腰直角三角形的边长为2，

∴第2个等腰直角三角形的面积4＝22，

∵A4（10，4），

∴第3个等腰直角三角形的边长为10﹣6＝4，

∴第3个等腰直角三角形的面积8＝23，

…

则第2020个等腰直角三角形的面积是22020；

故答案为：22020（形式可以不同，正确即得分）．

题型二：翻折型

【例2】（2020•荆门）在平面直角坐标系xOy中，Rt△AOB的直角顶点B在y轴上，点A的坐标为（1，），将Rt△AOB沿直线y＝﹣x翻折，得到Rt△A'OB'，过A'作A'C垂直于OA'交y轴于点C，则点C的坐标为（　　）

A．（0，﹣2） B．（0，﹣3） C．（0，﹣4） D．（0，﹣4）

【分析】依据轴对称的性质可得OB'＝OB，A′B′＝AB＝1，OA′＝OA＝2，进而通过证得△A′OB′∽△COA′，求得OC＝4，即可证得C的坐标为（0，﹣4）．

【解析】∵点A的坐标为（1，），

∴AB＝1，OB，

∴OA2，

∵将Rt△AOB沿直线y＝﹣x翻折，得到Rt△A'OB'，

∴OB'＝OB，A′B′＝AB＝1，OA′＝OA＝2，

∴A'（，﹣1），

∵过A'作A'C垂直于OA'交y轴于点C，

∴∠A′OC+∠A′CO＝90°，

∵∠A′OB′+∠A′OC＝90°，

∴∠A′CO＝∠A′OB′，

∵∠A′B′O＝∠OA′C＝90°，

∴△A′OB′∽△COA′，

∴，即，

∴OC＝4，

∴C（0，﹣4），

故选：C．

题型三：渐变型

【例3】（2021·山东泰安市）如图，点在直线上，点的横坐标为2，过点作，交x轴于点，以为边，向右作正方形，延长交x轴于点；以为边，向右作正方形，延长交x轴于点；以为边，向右作正方形，延长的交x轴于点；…；按照这个规律进行下去，则第n个正方形的边长为________（结果用含正整数n的代数式表示）．

【答案】

【分析】

根据题中条件，证明所有的直角三角形都相似且确定相似比，再具体算出前几个正方形的边长，然后再找规律得出第个正方形的边长．

【详解】

解：点在直线上，点的横坐标为2，

点纵坐标为1．

分别过，作轴的垂线，分别交于，下图只显示一条；

,

类似证明可得，图上所有直角三角形都相似，有

，

不妨设第1个至第个正方形的边长分别用：来表示，通过计算得：

，

，

按照这个规律进行下去，则第n个正方形的边长为，

故答案是：．

【例4】（2021·湖北）如图，在平面直角坐标系中，动点P从原点O出发，水平向左平移1个单位长度，再竖直向下平移1个单位长度得到点；接着水平向右平移2个单位长度，再竖直向上平移2个单位长度得到点；接着水平向左平移3个单位长度，再竖直向下平移3个单位长度得到点；接着水平向右平移4个单位长度，再竖直向上平移4个单位长度得到点，…，按此作法进行下去，则点的坐标为___________．

【答案】

【分析】

先根据点坐标的平移变换规律求出点的坐标，再归纳类推出一般规律即可得．

【详解】

解：由题意得：，即，

，即，

，即，

，即，

观察可知，点的坐标为，其中，

点的坐标为，其中，

点的坐标为，其中，

归纳类推得：点的坐标为，其中为正整数，

，

点的坐标为，

故答案为：．

【例5】（2020•鄂州）如图，点A1，A2，A3…在反比例函数y（x＞0）的图象上，点B1，B2，B3，…Bn在y轴上，且∠B1OA1＝∠B2B1A2＝∠B3B2A3＝…，直线y＝x与双曲线y=交于点A1，B1A1⊥OA1，B2A2⊥B1A2，B3A3⊥B2A3…，则Bn（n为正整数）的坐标是（　　）

A．（2，0） B．（0，） 

C．（0，） D．（0，2）

【分析】由题意，△OA1B1，△B1A2B2，△B2A3B3，…，都是等腰直角三角形，想办法求出OB1，OB2，OB3，OB4，…，探究规律，利用规律解决问题即可得出结论．

【解析】由题意，△OA1B1，△B1A2B2，△B2A3B3，…，都是等腰直角三角形，

∵A1（1，1），

∴OB1＝2，设A2（m，2+m），

则有m（2+m）＝1，

解得m1，

∴OB2＝2，

设A3（a，2n），则有n＝a（2a）＝1，

解得a，

∴OB3＝2，

同法可得，OB4＝2，

∴OBn＝2，

∴Bn（0，2）．

故选：D．

1．（2020•自贡）如图，直线y与y轴交于点A，与双曲线y在第三象限交于B、C两点，且AB•AC＝16．下列等边三角形△OD1E1，△E1D2E2，△E2D3E3，…的边OE1，E1E2，E2E3，…在x轴上，顶点D1，D2，D3，…在该双曲线第一象限的分支上，则k＝　      　，前25个等边三角形的周长之和为　     ．

【分析】设直线yx+b与x轴交于点D，作BE⊥y轴于E，CF⊥y轴于F．首先证明∠ADO＝60°，可得AB＝2BE，AC＝2CF，由直线yx+b与双曲线y在第一象限交于点B、C两点，可得x+b，整理得，x2+bx﹣k＝0，由韦达定理得：x1x2k，即EB•FCk，由此构建方程求出k即可，第二个问题分别求出第一个，第二个，第三个，第四个三角形的周长，探究规律后解决问题．

【解析】设直线yx+b与x轴交于点D，作BE⊥y轴于E，CF⊥y轴于F．

∵yx+b，

∴当y＝0时，xb，即点D的坐标为（b，0），

当x＝0时，y＝b，即A点坐标为（0，b），

∴OA＝﹣b，ODb．

∵在Rt△AOD中，tan∠ADO，

∴∠ADO＝60°．

∵直线yx+b与双曲线y在第三象限交于B、C两点，

∴x+b，

整理得，x2+bx﹣k＝0，

由韦达定理得：x1x2k，即EB•FCk，

∵cos60°，

∴AB＝2EB，

同理可得：AC＝2FC，

∴AB•AC＝（2EB）（2FC）＝4EB•FCk＝16，

解得：k＝4．

由题意可以假设D1（m，m），

∴m2•4，

∴m＝2

∴OE1＝4，即第一个三角形的周长为12，

设D2（4+n，n），

∵（4+n）•n＝4，

解得n＝22，

∴E1E2＝44，即第二个三角形的周长为1212，

设D3（4a，a），

由题意（4a）•a＝4，

解得a＝22，即第三个三角形的周长为1212，

…，

∴第四个三角形的周长为1212，

∴前25个等边三角形的周长之和

12+1212+1212121212121260，

故答案为4，60．

2．（2020•怀化）如图，△OB1A1，△A1B2A2，△A2B3A3，…，△An﹣1BnAn，都是一边在x轴上的等边三角形，点B1，B2，B3，…，Bn都在反比例函数（x＞0）的图象上，点A1，A2，A3，…，An，都在x轴上，则An的坐标为　       　．

【分析】如图，过点B1作B1C⊥x轴于点C，过点B2作B2D⊥x轴于点D，过点B3作B3E⊥x轴于点E，先在△OCB1中，表示出OC和B1C的长度，表示出B1的坐标，代入反比例函数解析式，求出OC的长度和OA1的长度，表示出A1的坐标，同理可求得A2、A3的坐标，即可发现一般规律．

【解析】如图，过点B1作B1C⊥x轴于点C，过点B2作B2D⊥x轴于点D，过点B3作B3E⊥x轴于点E，

∵△OA1B1为等边三角形，

∴∠B1OC＝60°，OC＝A1C，

∴B1COC，

设OC的长度为t，则B1的坐标为（t，t），

把B1（t，t）代入y得t•t，解得t＝1或t＝﹣1（舍去），

∴OA1＝2OC＝2，

∴A1（2，0），

设A1D的长度为m，同理得到B2Dm，则B2的坐标表示为（2+m，m），

把B2（2+m，m）代入y得（2+m）m，解得m1或m1（舍去），

∴A1D，A1A2，OA2，

∴A2（，0）

设A2E的长度为n，同理，B3E为n，B3的坐标表示为（2n，n），

把B3（2n，n）代入y得（2n）•n，

∴A2E，A2A3，OA3，

∴A3（，0），

综上可得：An（，0），

故答案为：．

1．（2020•内江）如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣2，0），直线l：yx与x轴交于点B，以AB为边作等边△ABA1，过点A1作A1B1∥x轴，交直线l于点B1，以A1B1为边作等边△A1B1A2，过点A2作A2B2∥x轴，交直线l于点B2，以A2B2为边作等边△A2B2A3，以此类推……，则点A2020的纵坐标是　　．

【分析】先根据解析式求得B的坐标，即可求得AB＝1，根据等边三角形的性质以及含30°角的直角三角形的性质，分别求得A1的纵坐标为，A2的纵坐标为，A3的纵坐标为，进而得到An的纵坐标为，据此可得点A2020的纵坐标．

【解析】∵直线l：yx与x轴交于点B，

∴B（﹣1，0），

∴OB＝1，

∵A（﹣2，0），

∴OA＝2，

∴AB＝1，

∵△ABA1是等边三角形，

∴A1（，），

把y代入yx，求得x，

∴B1（，），

∴A1B1＝2，

∴A2（，2），即A2（，），

把y代入yx，求得x，

∴B2（，），

∴A2B2＝4，

∴A3（3，4），即A3（3，），

……，

An的纵坐标为，

∴点A2020的纵坐标是，

故答案为．

2．（2021·四川广安市）如图，在平面直角坐标系中，轴，垂足为，将绕点逆时针旋转到的位置，使点的对应点落在直线上，再将绕点逆时针旋转到的位置，使点的对应点也落在直线上，以此进行下去……若点的坐标为，则点的纵坐标为______．

【答案】

【分析】

计算出△AOB的各边，根据旋转的性质，求出OB1，B1B3，...，得出规律，求出OB21，再根据一次函数图像上的点求出点B21的纵坐标即可．

【详解】

解：∵AB⊥y轴，点B（0，3），

∴OB=3，则点A的纵坐标为3，代入，

得：，得：x=-4，即A（-4，3），

∴OB=3，AB=4，OA==5，

由旋转可知：

OB=O1B1=O2B1=O2B2=…=3，OA=O1A=O2A1=…=5，AB=AB1=A1B1=A2B2=…=4，

∴OB1=OA+AB1=4+5=9，B1B3=3+4+5=12，

∴OB21=OB1+B1B21=9+（21-1）÷2×12=129，

设B21（a，），则OB21=，

解得：或（舍），

则，即点B21的纵坐标为，

故答案为：．

3．（2021·贵州毕节市）如图，在平面直角坐标系中，点在直线上，过点作，交轴于点；过点作轴，交直线于点；过点作，交轴于点；过点作轴，交直线于点；…；按此作法进行下去，则点的坐标为_____________．

【答案】（，0）.

【分析】

根据题目所给的解析式，求出对应的坐标，然后根据规律求出的坐标，最后根据题目要求求出最后答案即可.

【详解】

解：如图，过点N作NM⊥x轴于M

将代入直线解析式中得

∴，45°

∵90°

∴

∵

∴

∴的坐标为（2，0）

同理可以求出的坐标为（4，0）

同理可以求出的坐标为（8，0）

同理可以求出的坐标为（，0）

∴的坐标为（，0）

故答案为：（，0）.

4．（2021·内蒙古呼伦贝尔）如图，点在直线上，点的横坐标为2，过点作轴，垂足为，以为边向右作正方形，延长交直线l于点；以为边向右作正方形，延长交直线l于点；……；按照这个规律进行下去，点的坐标为___________．

【答案】

【分析】

由题意分别求出A1、A2、A3、A4……An、B1、B2、B3、B4……Bn、的坐标，根据规律进而可求解．

【详解】

解：∵点在直线上，点的横坐标为2，过点作轴，垂足为，

∴，，∴A1B1=1，

根据题意，OA2=2+1=3，

∴，，

同理，，，

，

……

由此规律，可得：，，

∴即，

故答案为：．