2022-2023学年重庆市云阳县高阳中学高二（上）期末数学试卷(含答案解析)

2022-2023学年重庆市云阳县高阳中学高二（上）期末数学试卷

1.  经过点且倾斜角为的直线的方程是(    )

A.  B.
C.  D.

2.  “”是“曲线表示椭圆”的(    )

A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

3.  若圆与圆有且仅有一条公切线，则实数(    )

A.  B. 1 C.  D. 0

4.  在三棱柱中，是等边三角形，平面ABC，，D，E，F分别是，，的中点，则直线EF与CD所成角的余弦值为(    )

A.
B.
C. 0
D.

5.  《中国共产党党旗党徽制作和使用的若干规定》指出，中国共产党党旗为旗面缀有金黄色党徽图案的红旗，通用规格有五种．这五种规格党旗的长，，，，单位：成等差数列，对应的宽为，，，，单位：，且长与宽之比都相等．已知，，，则(    )

A. 64 B. 96 C. 128 D. 160

6.  设F为双曲线C：的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆交于P，Q两点．若，则C的离心率为(    )

A.
B.
C. 2
D.

7.  设m为实数，若直线与圆相交于M，N两点，且，则(    )

A. 3
B.
C. 3或
D. 或1

8.  已知数列满足，，若对任意的正整数n，恒成立，则实数的取值范围为(    )

A.
B.
C.
D.

9.  已知空间向量，，则下列正确的是(    )

A.
B.
C.
D. ，

10.  已知数列满足，，则(    )

A. 为等比数列
B. 的通项公式为
C. 为递增数列
D. 的前n项和

11.  已知实数x，y满足方程，则下列说法错误的是(    )

A. 的最大值为
B. 的最大值为
C. 的最大值为
D. 的最大值为

12.  泰戈尔说过一句话：世界上最远的距离，不是树枝无法相依，而是相互了望的星星，却没有交汇的轨迹；世界上最远的距离，不是星星之间的轨迹，而是纵然轨迹交汇，却在转瞬间无处寻觅．已知点，直线l：，动点P到点F的距离是点P到直线l的距离的一半．若某直线上存在这样的点P，则称该直线为“最远距离直线”，则下列结论中正确的是(    )

A. 点P的轨迹方程是
B. 直线：是“最远距离直线”
C. 平面上有一点，则的最小值为5
D. 点P的轨迹与圆C：是没有交汇的轨迹也就是没有交点

13.  若直线与直线平行，则______.

14.  已知等差数列满足，，则______.

15.  长方体中，，，则点B到平面的距离为______.

16.  过椭圆上一点P分别向圆和圆作切线，切点分别为M，N，则的最小值为______.

17.  已知公差不为零的等差数列中，，又，，成等比数列．
求数列的通项公式；
设，求数列的前n项和

18.  已知抛物线C：的焦点为F，为抛物线C上的点，且
求抛物线C的方程；
若直线与抛物线C相交于A，B两点，求弦长

19.  已知正项等比数列的前n项和为，是和的等差中项，且
求的通项公式；
若数列满足，且的前n项和为，求使得成立的n的最小值．

20.  已知点，，动点P满足
求动点P的轨迹C的方程；
直线l经过点且与曲线C只有一个公共点，求直线l的方程．

21.  如图，在三棱锥中，，，O为AC的中点．
证明：平面ABC；
若点M在棱BC上，且二面角为，求PC与平面PAM所成角的正弦值．

22.  已知点在椭圆C：上，且点M到C的左、右焦点的距离之和为
求C的方程；
设O为坐标原点，若C的弦AB的中点在线段不含端点O，上，求・的取值范围．

答案和解析

1.【答案】B 

【解析】解：倾斜角为的直线的方程的斜率，
经过点且倾斜角为的直线的方程是，即为
故选：
根据点斜式方程和一般式方程即可求出．
本题考查了点斜式方程和一般式方程，属于基础题．
 

2.【答案】B 

【解析】解：曲线表示椭圆，
，
且
“”是“曲线表示椭圆”的必要而不充分条件．
故选：
本题考查的判断充要条件的方法，我们可以根据充要条件的定义进行判断．
本题考查充要条件的判断，椭圆的标准方程的形式，属于基础题．
 

3.【答案】D 

【解析】解：将化为标准方程得，则圆心为，半径为2，
又圆的圆心为，半径为1，
圆与圆有且仅有一条公切线，
两圆的位置关系为内切，则，即，解得，
故选：
根据圆的性质和圆的位置关系，即可得出两圆的位置关系为内切，即可得出答案．
本题考查圆的位置关系，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
 

4.【答案】C 

【解析】
取AC中点H，中点G，连接GH，，，因为，，所以即为异面直线所成角．
在中，，连接BH，在中，，所以由余弦定理知
故选：
平移EF与CD，成GH，，则即为异面直线所成角．
本题考查了异面直线所成的角，属于简单题．
 

5.【答案】C 

【解析】解：和是两个等差数列，且是常值，由于，，
故，
由于
所以
另解：，解得：
故：
故选：
直接利用数列的等差中项的应用求出结果．
本题考查的知识要点：数列的等差中项的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
 

6.【答案】A 

【解析】

【分析】

本题考查双曲线的简单性质，考查数形结合的解题思想方法，属于中档题.
方法一：根据题意画图，由图形的对称性得出P点坐标，代入圆的方程得到c与a的关系，可求双曲线的离心率.
方法二：由题意画出图形，先求出，再由列式求C的离心率．

【解答】

解：方法一：设 PQ与x轴交于点A，由对称性可知轴，

又，  ，
为以OF为直径的圆的半径，
为圆心，，
，又P点在圆上，
，即，

，
故选
方法二：如图，以 OF为直径的圆的方程为，

又圆O的方程为，
所在直线方程为
把代入，得，
再由，得，
即，
，解得
故选

7.【答案】C 

【解析】解：圆，
，即圆心为，半径为，
直线，
，
，
由圆的垂径定理可得，，解得或
故选：
将圆的一般方程化成圆的标准方程，求出圆心和半径，再结合垂径定理，即可求解．
本题主要考查直线与圆的位置关系，掌握垂径定理是解本题的关键，属于基础题．
 

8.【答案】A 

【解析】解：，，
，
，
数列是以为首项，以为公比的等比数列，
，
对任意的正整数n，恒成立，
恒成立，
令，
则，
当时，，当时，，
当或时，最大，最大值为，
，
故选：
先求出数列的通项公式，由对任意的正整数n，恒成立，可得恒成立，令，再利用作差法，判断数列的变化趋势，即可求出．
本题考查了数列的通项公式，数列的函数性质，不等式恒成立，考查了运算求解能力，属于中档题．
 

9.【答案】AB 

【解析】解：空间向量，，
，故A正确，
，故B正确，
，故C错误，
，，，，故D错误，
故选：
根据空间向量的线性运算和数量积运算对各选项判断即可．
本题考查了空间向量的线性运算和数量积运算，是基础题．
 

10.【答案】AD 

【解析】解：依题意，由两边倒过来，
可得，
两边同时加3，可得，
，
数列是以4为首项，2为公比的等比数列，故选项A正确；
，
即，
，，故选项B错误；
，
，
当时，，，
，即，
数列为递减数列，故选项C错误；
又



，故选项D正确．
故选：
先将题干中的递推公式两边倒过来，再同时加3，推导即可发现数列是以4为首项，2为公比的等比数列，判断选项A的正确性；然后根据数列的通项公式推导出数列的通项公式，判断选项B；根据数列的通项公式，写出的表达式，作差并与0比较大小，从而判断数列的单调性，得到选项C是否正确；最后根据的表达式逐项代入，运用分组求和法，等比数列的求和公式进行计算可判断选项
本题主要考查数列由递推公式推导通项公式，以及运用分组求和法求前n项和问题．考查了转化与化归思想，整体思想，作差法，不等式的运算，分组求和法，等比数列的求和公式，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．
 

11.【答案】CD 

【解析】解：实数x，y满足方程，即，
方程表示以为圆心，以为半径的圆；
令，，，则三条直线都与该圆有公共点，
所以，，，
解得，，，
所以的最大值为，的最大值为，的最大值为，
所以选项A正确，CD错误；
原点到圆心的距离为，
又因为表示圆上的点与坐标原点距离的平方，
所以圆上的点到原点的距离的范围为，
所以，即，
所以的最大值为，B项正确．
故选：
令，，，得到直线与圆有公共点从而求得a，k，b的范围；看成原点到圆上的距离的平方即可求解．
本题考查与圆有关的最值问题，考查直线与圆的位置关系，是中档题．
 

12.【答案】ABC 

【解析】解：对于A，设，因为点P到点F的距离是点P到直线l距离的一半，
所以，化简可得，
故选项A正确；
对于B，联立方程组，解得，
故存在点，
所以直线：是“最远距离直线”，
故选项B正确；
对于C，过点P作PB垂直直线l：，垂足为B，
由题意可得，，
则，
由图象可知，的最小值即为点A到直线l：的距离5，
故选项C正确；
对于D，由可得，
故圆心为，半径为1，
所以点P的轨迹与圆C交于点，
故选项D错误．
故选：
利用题中给出的新定义，结合动点的轨迹方程的求解方法、直线与椭圆交点的求解以及两条线段距离和的最值的求解，依次判断四个选项即可．
本题考查了动点轨迹方程的求解，圆的方程的理解与应用，直线与圆位置关系的运用，要掌握常见的求解轨迹的方法：直接法、定义法、代入法、消参法、交轨法等等，属于中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：直线与直线平行，
，
解得
故答案为：
利用直线与直线平行的性质直接求解．
本题考查实数值的求法，考查直线与直线平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

14.【答案】3 

【解析】解：设等差数列的公差为d，，，
，，
解得，，
，
则，
故答案为：
利用等差数列的通项公式即可得出．
本题考查了等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：在长方体中，以A为坐标原点，AB，AD，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示空间直角坐标系，

因为，，所以，，，，，，
设平面的法向量为：，
，
，令得：，
又，
点B到平面的距离为：
故答案为：
建立空间直角坐标系，求平面的法向量，利用点到平面的距离公式求解即可．
本题考查了点到平面的距离公式，属于中档题．
 

16.【答案】90 

【解析】解：因为圆和圆，
则，半径，，半径，
由椭圆的方程可知，，
则，
所以，为椭圆的两个焦点，
因为PM为圆的切线，PN为圆的切线，
故，，
则，
，
故，
根据椭圆的定义可得，，
设，
则，即，
所以，
故当时，取得最小值
故答案为：
由圆的方程求出圆心和半径，由此确定，为椭圆的两个焦点，利用圆的切线的几何性质表示出，从而设，转化为二次函数求解最值，即可得到答案．
本题考查了椭圆与圆的综合应用，主要考查了椭圆的标准方程与圆的标准方程的应用，圆的切线的几何性质的应用，椭圆定义的应用以及二次函数求解最值的应用，考查了逻辑推理能力、转化化归能力与化简运算能力，属于中档题．
 

17.【答案】解：公差d不为零的等差数列中，，又，，成等比数列，
可得，，即，
解得，，
则；
，
可得前n项和…
 

【解析】设公差d不为零的等差数列，运用等比数列的中项性质和等差数列的通项公式，解方程可得首项和公差，即可得到所求通项公式；
，由数列的裂项相消求和即可得到所求和．
本题考查等差数列的通项公式和等比数列中项性质，考查数列的裂项相消求和，考查化简运算能力，属于中档题．
 

18.【答案】解：在抛物线C：上，且，
，则，
故抛物线C的方程为；
联立，可得
设，，
，，

 

【解析】由已知结合焦半径公式求得p，则抛物线方程可求；
联立直线方程与抛物线方程，化为关于x的一元二次方程，再由弦长公式求弦长
本题考查抛物线方程的求法，考查焦半径公式及弦长公式的应用，是中档题．
 

19.【答案】解：设等比数列的公比为，
又是和的等差中项，得，即，
又，所以，解得或舍去，
由，得，即，解得，
所以；
由可知，
则…，，
所以等价于，
因为为单调递增数列，当时，，当时，，
所以n的最小值为 

【解析】设等比数列的公比为，根据题意可得，从而求出与q的值即可得到的通项公式；
根据等差数列与等比数列的前n项和公式可求得，，从而不等式转化为，进一步结合为单调递增数列即可求出n的最小值．
本题考查等比数列的通项公式与前n项和公式，数列与函数的综合问题，考查学生的逻辑推理和运算求解的能力，属于中档题．
 

20.【答案】解：设，因为点，，动点P满足，
所以，
整理得，即，
所以曲线C方程为；
由，可知曲线C为圆心为，半径为4的圆，
所以直线 l与圆相切，
当直线l的斜率不存在时，直线l：，满足题意；
当直线l的斜率存在时，设直线，即，
则，解得，
所以直线l的方程为，即，
综上，直线l的方程为或 

【解析】设，根据两点间距离公式结合条件即得；
由题可知直线与圆相切，分斜率存在和不存在讨论，结合点到直线的距离公式即得．
本题考查直线与圆的位置关系以及综合问题，属于中档题．
 

21.【答案】证明：连接BO，
，O是AC的中点，
，且，
又，
，，
则，
则，
，
平面ABC；
建立以O坐标原点，OB，OC，OP分别为x，y，z轴的空间直角坐标系如图：
，，，，
，
设，
则，
则平面PAC的法向量为，
设平面MPA的法向量为，
则，
则，
令，则，，
即，
二面角为，
，
即，
解得或舍，
则平面MPA的法向量，
，
PC与平面PAM所成角的正弦值， 

【解析】利用线面垂直的判定定理证明，即可；
根据二面角的大小求出平面PAM的法向量，利用向量法即可得到结论．
本题主要考查空间直线和平面的位置关系的应用以及二面角，线面角的求解，建立坐标系求出点的坐标，利用向量法是解决本题的关键．
 

22.【答案】解：由题意可得：，，解得，
椭圆的标准方程为：
设，直线OM的方程为：
弦AB的中点在线段不含端点O，上，，化为：
由，，相减可得：
，

设直线AB的方程为：，代入椭圆方程可得：
解得
又，
由根与系数的关系可得：，
・
而
・ 

【解析】由题意可得：，，解得a，即可得出椭圆的标准方程．
设，直线OM的方程为：弦AB的中点在线段不含端点O，上，可得由，，相减可得：设直线AB的方程为：，代入椭圆方程可得：解得把根与系数的关系代入・化简即可得出．
本题考查了椭圆的标准方程及其性质、一元二次方程的根与系数的关系、中点坐标公式、斜率计算公式、不等式的解法、向量数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．