2022-2023学年广东省广州市海珠外国语实验中学高二（上）期末数学试卷(含答案解析)

这是一份2022-2023学年广东省广州市海珠外国语实验中学高二（上）期末数学试卷(含答案解析)，共20页。试卷主要包含了 如图，把椭圆C， 点F1，F2是曲线C， 已知F1，F2分别是椭圆C等内容，欢迎下载使用。
A. 30∘B. 45∘C. 120∘D. 150∘
2. 已知空间向量a=(−1,2,1),b=(3,x,−3)，且a//b，则x=( )
A. −3B. 3C. −6D. 6
3. 在数列{an}中，a1=−2，an+1=1+an1−an，则a2022=( )
A. −2B. −13C. −12D. 3
4. 已知直线x+y+2=0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆(x−2)2+y2=2上，则△ABP面积的取值范围是( )
A. [2,4]B. [2,6]C. [2,32]D. [22,32]
5. 四棱柱ABCD−A1B1C1D1的底面ABCD是边长为1的菱形，侧棱长为2，且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=60∘，则线段A1C的长度是( )
A. 6B. 342C. 3D. 11
6. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1=2，S3=S21，则S23=( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
7. 如图，把椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)绕短轴旋转形成的几何体称为“扁椭球”，其中a称为扁椭球长半径，b称为扁椭球短半径，e=a−ba称为扁椭球的“扁率”．假设一扁椭球的短半径为22，且一棱长为1的正方体内接于扁椭球(即正方体的8个顶点都在扁椭球球面上)，则此扁椭球的扁率为( )
A. 1−32B. 1−22C. 12D. 22
8. 点F1，F2是曲线C：x23−y2=1的左右焦点，过F1作互相垂直的两条直线分别与曲线交于A，B和C，D；线段AB，CD的中点分别为M，N，直线GF2与x轴垂直且点G在C上．若以G为圆心的圆与直线MN恒有公共点，则圆面积的最小值为( )
A. 115π3
B. 76π3
C. 49π3
D. 28π3
9. 已知Sn是等比数列{an}的前n项和，S3，S9，S6成等差数列，则下列结论正确的是( )
A. a2+a5=2a8
B. a3+a6=2a9
C. a82=a2⋅a5
D. a92=a3⋅a6
10. 已知F1，F2分别是椭圆C：x29+y25=1的左，右焦点，P为椭圆C上异于长轴端点的动点，则下列结论正确的是( )
A. △PF1F2的周长为10
B. △PF1F2面积的最大值为25
C. |PF1|的最小值为1
D. 椭圆C的焦距为6
11. 已知三棱锥P−ABC的底面ABC是正三角形，则( )
A. BC与平面ACP所成角的最大值为π3
B. BC与平面ABP所成角的最小值为π3
C. 若平面PBC⊥平面ABC，则二面角A−PB−C的最小值为π3
D. 若∠PAC，∠PAB都不小于π4，则二面角B−PA−C为锐二面角
12. 数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、推理论证、思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美．在平面直角坐标系中，曲线C：x2+y2=2|x|+2|y|就是一条形状优美的曲线，对于此曲线，下列说法正确的有( )
A. 曲线C围成的图形有4条对称轴
B. 曲线C围成的图形的周长是42π
C. 曲线C上的任意两点间的距离不超过5
D. 若T(a,b)是曲线C上任意一点，|4a+3b−18|的最小值是11−52
13. 双曲线C：x2−y22=1，写出一个与双曲线C有共同的渐近线但离心率不同的双曲线方程______.
14. 在直三棱柱ABC−A1B1C1中，CA=33，CB=32，CC1=6，∠BCA=90∘，2A1M=MB1，则异面直线CM与A1B夹角的余弦值为______.
15. 已知数列{an}的各项均为正数，a1=2，an+12−anan+1−2an2=0，则数列{an(an+1+1)(an+1)}前10项的和为______.
16. 在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：(x−2)2+(y−2)2=20与x轴交于A、B(点A在点B的左侧)，圆C的弦EF过点G(4,3)，分别过E、F作圆C的切线，交点为P，则线段AP的最小值为______.
17. 数列{an}中，a1=3，an+1=3an，Sn为{an}的前n项和．
(1)若Sn=363，求n；
(2)若bn=lg3an，求数列{1bnbn+1}的前n项和Tn.
18. 已知圆C：x2+y2=8内有一点P(−1,2)，直线l过点P且和圆C交于A，B两点，直线l的倾斜角为α.
(1)当α=135∘时，求弦AB的长；
(2)当弦AB被点P平分时，求直线l的方程．
19. 如图，在三棱锥P−ABC中，AB=BC=22，PA=PB=PC=AC=4，O为AC的中点．
(1)证明：PO⊥平面ABC；
(2)若点M在棱BC上，且二面角M−PA−C为30∘，求PC与平面PAM所成角的正弦值．
20. 双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=23x且焦距为213，点M(0,1)，过M的直线l与双曲线C交于A，B两点
(1)求双曲线C的方程；
(2)若A，B两点均在y轴左侧，求直线l的斜率k的取值范围．
21. 某企业2021年年初有资金5千万元，由于引进了先进生产设备，资金年平均增长率可达到50%.每年年底扣除下一年的消费基金1.5千万元后，剩余资金投入再生产．
设从2021年的年底起，每年年底企业扣除消费基金后的剩余资金依次为a1，a2，a3，…．
(1)写出a1，a2，a3，并证明数列{an−3}是等比数列；
(2)至少到哪一年的年底，企业的剩余资金会超过21千万元？(lg2≈0.3010,lg3≈0.4771.)
22. 在平面直角坐标系xOy中，椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为63.点P是椭圆E上的一个动点，且P在第一象限．记△PF1F2的面积为S，当PF2⊥F1F2时，S=263.
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)如图，PF1，PF2的延长线分别交椭圆于点M，N，记△MF1F2和△NF1F2的面积分别为S1和S2.求证：存在常数λ，使得1S1+1S2=λS成立．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：直线方程可化为：y=33x+33，则直线的斜率k=33，
∴直线的倾斜角为30∘.
故选：A.
由直线方程可求得直线斜率，根据斜率和倾斜角关系可得结果．
本题主要考查直线的倾斜角，属于基础题．
2.【答案】C
【解析】解：因为a=(−1,2,1),b=(3,x,−3)，且a//b，
所以−13=2x=1−3，
则x=−6.
故选：C.
由已知结合向量共线条件即可求解．
本题主要考查了向量共线条件的应用，属于基础题．
3.【答案】B
【解析】解：∵a1=−2，an+1=1+an1−an，
∴a2=1+−21−−2=−13，
a3=1+−131−−13=12，
a4=1+121−12=3，
a5=1+31−3=−2，...
∴该数列是周期数列，周期T=4，
又2022=505×4+2，
∴a2022=a2=−13，
故选：B.
根据数列的递推关系式求得周期，进而求解结论．
本题主要考查数列递推关系式的应用，考查计算能力．属于基础题．
4.【答案】B
【解析】解：由题意，A(−2,0)，B(0,−2)，
则|AB|=22，
圆(x−2)2+y2=2的圆心坐标为(2,0)，半径为2，
圆心(2,0)到直线x+y+2=0的距离d=|2+2|2=22，
∴圆(x−2)2+y2=2上的点P到直线x+y+2=0的最小距离为2，最大距离为32.
∴△ABP面积的最小值为12×22×2=2，最大值为12×22×32=6.
∴△ABP面积的取值范围是[2,6].
故选：B.
由已知直线方程求得A，B的坐标，可得|AB|，再由点到直线的距离公式求出圆(x−2)2+y2=2上的点P到直线x+y+2=0的距离的范围，然后利用三角形的面积公式求解．
本题考查直线与圆位置关系的应用，考查运算求解能力，是中档题．
5.【答案】D
【解析】解：如图，
A1C=A1A+AD+DC=−CC1−CD−CB，
∴A1C2=CC12+CD2+CB2+2|CC1||CD|cs60∘+2|CC1||CB|cs60∘+2|CD||CB|cs60∘
=4+1+1+2×2×1×12+2×2×1×12+2×1×1×12
=11，
∴|A1C|=11.
故选：D.
可画出图形，然后得出A1C=−CC1−CD−CB，根据条件进行数量积的运算可求出A1C2的值，然后即可得出A1C的值．
本题考查了用向量方法解决立体几何问题，向量加法的几何意义，相反向量的定义，向量数量积的运算及计算公式，考查了计算能力，属于基础题．
6.【答案】B
【解析】解：∵S3=S21，
∴S21−S3=a4+a5+⋯+a21=9(a4+a21)=0，
∴a4+a21=0，
∴S23=a1+a2+a3+(a4+a5+⋯a21)+a22+a23=a1+a2+a3+a22+a23=a1+2(a4+a21)=a1=2.
故选：B.
根据等差数列的性质即可求解．
本题主要考查等差数列的性质，属于基础题．
7.【答案】B
【解析】解：由题意可知正方体的对角面的顶点在椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)上，如图所示，
又易知正方体的对角面的矩形的长为2，宽为1，
∴在直角坐标系中，可得矩形的一个顶点P为(22,12)，
又P在椭圆椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)上，且b=22，
∴12a2+1412=1，∴a=1，
∴扁椭球的“扁率”e=a−ba=1−22.
故选：B.
根据正方体与“扁椭球”的对称性，可得正方体的对角面的顶点在椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)上，又易知正方体的对角面的矩形的长为2，宽为1，从而都可得P(22,12)在椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)上，从而建立方程即可求解．
本题考查正方体与“扁椭球”的对称性，椭圆的几何性质，方程思想，属中档题．
8.【答案】B
【解析】解：C：x23−y2=1的a=3，b=1，c=2，
所以F1(−2,0)，F2(2,0)，
过F1(−2,)互相垂直的两条直线的方程设为AB：x=my−2，CD：x=−1my−2.
与3x2−y2=3联立，可得(m2−3)y2−4my+1=0，设A，B的纵坐标分别为y1，y2，可得y1+y2=4mm2−3，
则M的纵坐标为2mm2−3，横坐标为2myM−2=6m2−3，即有M(6m2−3,2mm2−3)，
将M中的m换为−1m，可得N(6m21−3m2,−2m1−3m2)，
所以直线MN的斜率为kMN=yN−yMxN−M=2m3(m2−1)，
即有直线MN的方程为y−2mm2−3=2m3(m2−1)(x−6m2−3)，
化为y=2m3(m2−1)(x+3)，
则直线MN恒过定点Q(−3,0).
由直线GF2与x轴垂直，可得G(2,±33)，
若以G为圆心的圆与直线MN恒有公共点，
即有圆心G到直线MN的距离不大于半径r，
可得r的最小值为|QG|=(2+3)2+(±33)2=763，
所以圆面积的最小值为76π3.
故选：B.
求得双曲线的a，b，c，设出直线AB，CD的方程，与双曲线的方程联立，运用中点坐标公式和直线方程求得M，N的坐标，求得MN的斜率和方程，可得直线MN恒过定点Q，由双曲线的方程求得G的坐标，再由题意可得圆的半径的最小值为|GQ|，可得所求面积的最小值．
本题考查双曲线的方程和性质，以及直线和双曲线的位置关系，直线与圆的位置关系，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
9.【答案】AB
【解析】解：若等比数列{an}公比q=1，则S3+S6=9a1，
而2S9=18a1，与S3+S6=2S9矛盾，
∴q≠1，
∵S3+S6=2S9，
∴a1(1−q3)1−q+a1(1−q6)1−q=2a1(1−q9)1−q，
整理，得2q9−q6−q3=0，
解得q3=−12或q3=1，
∵q≠1，∴q3=−12，
则a2，a5，a8与a3，a6，a9均成等比数列，CD错误；
∴2a8−(a2+a5)=2a1q7−(a1q+a1q4)=12a1q−(a1q−12a1q)=0，
可得a2，a8，a5为等差数列，即a2+a5=2a8，故A正确；
2a9−(a3+a6)=2a1q8−(a1q2+a1q5)=q[2a8−(a2+a5)]=0，
可得a3，a9，a6为等差数列，即a3+a6=2a9，故B正确．
故选：AB.
由等比数列的定义，验证得当q=1时不符合题意，因此得q≠1，再由等比数列的求和公式，结合S3、S9、S6成等差数列建立关于q的方程，解得q3的值，然后逐一分析四个选项得答案．
本题考查等比数列的通项公式与求和公式，考查等差中项的概念，属于中档题．
10.【答案】BC
【解析】解：∵椭圆C方程为：x29+y25=1，
∴a=3，b=5，c=2，
∴△PF1F2的周长为2a=6，∴A错误；
∴△PF1F2面积的最大值为12⋅2c⋅b=25，∴B正确；
∴|PF1|的最小值为a−c=1，∴C正确；
∴椭圆C的焦距为2c=4，∴D错误．
故选：BC.
根据椭圆的简单几何性质即可分别求解．
本题考查椭圆的简单几何性质，属基础题．
11.【答案】AC
【解析】解：对于A：设点B在平面ACP内的射影点为O，取AC的中点E连接BO，OE，BE，OC，
设等边△ABC的边长为a，则BE=32a，∵BO⊥平面ACP，所以直线BC与平面ACP所成角为∠BCO，
∵BO⊥平面ACP，AC⊂平面ACP，则AC⊥OB，
∵△ABC是等边三角形，E为AC的中点，则BE⊥AC，
∵OB∩BE=B，∴AC⊥平面OBE，∵OE⊂平面OBE，∴AC⊥OE，
∴二面角B−AC−P的平面角为∠BEO，sin∠BEO=OBBE，∴OB=BEsin∠BEO，
则sin∠BCO=OBBC=BEsin∠BEOBC=32sin∠BEO≤32，
即当平面ACP⊥平面ABC时，∠BCO即得最大值为π3，故A正确，
对于B：由A选项可知，BC与平面ABP所成角的最大值为π3，故B错误，
对于C：取BC的中点M，过点M在平面PBC内作MN⊥PB，垂足为N，
连接AM，AN，则AM=32a，
∵△ABC为等边三角形，M为BC的中点，则AM⊥BC，
因为平面ABC⊥平面PBC，平面ABC∩平面PBC=BC，AM⊂平面ABC，
∴AM⊥平面PBC，∵PB⊂平面PBC，∴AM⊥PB，
∵MN⊥PB，AM∩MN=N，∴PB⊥平面ANM，∵AN⊂平面MNA，∴AN⊥PB，
所以，二面角A−PB−C的平面角为∠ANM，∵AM⊥平面PBC，MN⊂平面BCP，∴AM⊥MN，
因为MN=BMsin∠PBC=a2sin∠PBC，
所以tan∠ANM=AMMN=3sin∠PBC≥3，当且仅当PB⊥BC时，等号成立．
故当平面PBC⊥平面PAB时，则二面角A−PB−C的最小值为π3，故C正确；
对于D，过点B在平面PAB内作BT⊥PA，垂足为T，
过点C在平面PAC内作CR⊥PA，垂足为点R，则二面角A−PB−C为，
设∠PAB=α，∠PAC=β，TB=AB−AT，RC=AC−AR，
AB⋅AC=|AB|⋅|AC|csπ3=12a2，
TB⋅RC=(AB−AT)⋅(AC−AR)=AB⋅AC−AB⋅AR−AC⋅AT+AR⋅AT
=AB⋅AC−(AT−TB)⋅AR−(AR+RC)⋅AT+AR⋅AT
=12a2−AR⋅AT=12a2−a2csαcsβ=a2(12−csαcsβ)，
取α=β=5π6，则TB⋅RC