2022-2023学年湖北省武汉外国语学校高一上学期期末数学试题（解析版）

2022-2023学年湖北省武汉外国语学校高一上学期期末数学试题

一、单选题

1．已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】化简集合，然后用交集运算即可得到答案

【详解】因为，

所以

故选：A

2．下列命题中不正确的是（    ）

A．对于任意的实数，二次函数的图象关于轴对称

B．存在一个无理数，它的立方是无理数

C．存在整数、，使得

D．每个正方形都是平行四边形

【答案】C

【分析】利用二次函数的对称性可判断A选项；利用特殊值法可判断B选项；分析可知为偶数，可判断C选项；利用正方形与平行四边形的关系可判断D选项.

【详解】对于A选项，对于任意的实数，二次函数图象的对称轴为轴，A对；

对于B选项，无理数的立方为，且为无理数，B对；

对于C选项，若、为整数，则、均为偶数，所以，也为偶数，

则不成立，C错；

对于D选项，每个正方形都是平行四边形，D对.

故选：C.

3．化简的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用诱导公式结合两角和的正弦公式化简可得所求代数式的值.

【详解】原式

.

故选：D.

4．已知直角三角形的面积等于，则该三角形的周长的最小值为（    ）.

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】设两条直角边长分别为、，利用勾股定理结合基本不等式可求得此三角形周长的最小值.

【详解】由直角三角形的面积等于可设两条直角边长分别为、，

则该直角三角形的周长为，

当且仅当时，即当时，等号成立.

故该三角形的周长的最小值为，

故选：B

5．已知函数的零点分别为，则的大小顺序为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先判断各函数的单调性再根据零点的存在性定理求出函数零点的范围，即可得出答案.

【详解】解：因为函数都是增函数，

所以函数都是增函数，

又，

所以函数的零点在上，即，

因为，

所以函数的零点在上，即，

因为，所以函数的零点为，即，

所以.

故选：C.

6．在平面直角坐标系中，动点在单位圆上沿逆时针方向作匀速圆周运动，点运动的角速度为，若点的初始位置为，则经过秒钟，动点所处的位置的坐标为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】计算出运动秒钟时动点转动的角，再利用诱导公式即可得解.

【详解】解：点运动的角速度为，

则经过秒钟，转了，

设点的初始位置坐标为，则，

则经过秒钟，动点所处的位置的坐标为，

即，

所以经过秒钟，动点所处的位置的坐标为.

故选：C.

7．已知函数，当时，方程的根的个数是（    ）

A． B．5 C．4 D．3

【答案】A

【分析】解方程得或，再依次解方程，确定满足条件的的个数即可.

【详解】因为，所以，

所以或，因为，所以，

当时，若，则，所以，

方程的判别式，方程的根为或，

若，则，所以，

所以方程有3个根，同理可得有3个根，

故方程有6个根，

故选：A.

8．已知函数在区间上单调递减，则正实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用整体代换法求出函数的递减区间，结合集合的包含关系列出不等式组，解之即可.

【详解】由题意知，，

令，

解得，

又函数在区间上单调递减，

所以，解得，

当时，.

故选：C.

二、多选题

9．下列说法正确的是（    ）

A．角终边在第二象限或第四象限的充要条件是

B．圆的一条弦长等于半径，则这条弦所对的圆心角等于

C．经过小时，时针转了

D．若角和角的终边关于对称，则有

【答案】ABD

【分析】对于A，利用三角函数定义结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可；对于B，转化求解弦所对的圆心角即可判断；对于C，根据任意角的定义即可判断；对于D，由角的终边得出两角的关系即可

【详解】对于A，因为角终边在第二象限或第四象限，此时终边上的点的横坐标和纵坐标异号，故；

因为，所以或，

故角终边上点坐标对应为：或即或，所以角终边在第二象限或第四象限，

综上，角终边在第二象限或第四象限的充要条件是，故A正确

对于B，圆的一条弦长等于半径，故由此弦和两条半径构成的三角形是等边三角形，所以弦所对的圆心角为，故B正确；

对于C，钟表上的时针旋转一周是，其中每小时旋转，

所以经过4小时应旋转，故C错误；

对于D，角和角的终边关于直线对称，则，，故D正确

故选：ABD

10．给出下列四个结论，其中正确的是（    ）

A．函数的定义域为

B．函数与是相同的函数

C．函数的定义域为，则函数的定义域为

D．函数的最小值为

【答案】BC

【分析】分别根据对数函数的性质，函数相等，抽象函数的定义域和函数的最值对四个选项逐项验证即可求解.

【详解】对于，要使函数有意义，则有，

即，由正弦函数的图像可知：，

所以函数的定义域为，故选项错误；

对于，因为函数的定义域为，函数的定义域也是，定义域相同，对应法则相同，所以值域也相同，所以函数与是相同的函数，故选项正确；

对于，因为函数的定义域为，所以，则，

由可得：或，所以函数的定义域为，故选项正确；

对于，因为函数，

令，则函数可化为，

因为函数在上单调递增，所以，

也即函数，所以函数的最小值为，故选项错误，

故选：.

11．设正数满足，则有（    ）

A．

B．

C．

D．

【答案】ACD

【分析】对于A，由基本不等式推论可判断选项；对于B，利用分解因式结合A分析可判断选项；对于C，，利用基本不等式可判断选项；对于D，，利用基本不等式可判断选项.

【详解】对于A，由基本不等式推论有，当且仅当取等号.故A正确.

对于B，，由A分析可知，则，当且仅当取等号.故B正确.

对于C，

，当且仅当，即

时取等号.故C正确.

对于D，

，

当且仅当，即时取等号.故D正确.

故选：ACD

12．已知函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数，时，，则下列结论正确的是（    ）

A．的周期为4 B．

C．在上为单调递减函数 D．方程有且仅有四个不同的解

【答案】BCD

【分析】根据题意可知函数关于对称且关于对称，结合周期函数的定义即可判断A，根据函数的对称性结合函数的解析式即可判断B，判断出函数在上的单调性，再结合函数的对称性即可判断D，作出函数与函数图象，结合图象即可判断D.

【详解】解：因为为奇函数，

所以，即，

则函数关于对称，

又为偶函数，所以，

即，即函数关于对称，

则，

则有，则，

所以是以为周期的周期函数，故A错误；

对于B，，故B正确；

对于C，当时，，则函数在上递增，

又且函数关于对称，

所以函数函数在上递增，

又因函数关于对称，

所以在上为单调递减函数，故C正确；

对于D，方程根的个数，

即为函数与函数图象交点的个数，

如图，作出两函数的图象，

由图可知，两函数的图象有4个交点，

即方程有且仅有四个不同的解，故D正确.

故选：BCD.

三、填空题

13．函数的值域为_______________.

【答案】

【分析】求出的取值范围，结合对数函数的基本性质可求得函数的值域.

【详解】因为，对于函数，则有，

所以，.

故答案为：.

14．已知，，则____________.

【答案】

【分析】利用两角和的余弦公式、两角差的正弦公式以及弦化切可求得代数式的值.

【详解】因为，，则，，

所以，

.

故答案为：.

15．已知，，，则___________.

【答案】##

【分析】利用同角的三角函数的基本关系式和两角差的正弦可求的值.

【详解】因为，，故，

而，故，而，

故，

所以

.

故答案为：

16．已知函数的最小值为4，则实数____________．

【答案】4

【分析】根据指数函数的性质，结合与的大小，分四种情况讨论函数的单调性即可求解作答.

【详解】当时，函数在R上单调递增，无最小值，不符合题意；

当时，，有，则，

显然函数在上单调递减，而，不符合题意；

当时，，函数在上单调递减，在上单调递增，

，不符合题意；

当时，，有，则，

函数在上单调递减，在上单调递增，当时，，

函数在上单调递增，则在上单调递增，

因此，解得，符合要求，

所以实数.

故答案为：4

【点睛】思路点睛：在求分段函数的最值时，应先求每一段上的最值，然后比较得最大值、最小值．

四、解答题

17．已知集合.

(1)求集合；

(2)若，求实数的取值范围.

【答案】(1)或

(2)

【分析】（1）解分式不等式求得集合，进而求得.

（2）根据是否为空集进行分类讨论，由此列不等式来求得的取值范围.

【详解】（1），

所以，解得，

所以，或.

（2）由题意，若，则，

①时，满足，此时，解得；

②时，，解得；

综上，的取值范围为.

18．已知函数.

(1)求函数在区间上的单调递减区间；

(2)若，求.

【答案】(1)单调递减区间是

(2)

【分析】(1)根据余弦函数的单调区间，求出函数在整个定义域上的单调减区间，再与取交集即可求解；

(2) 令，则，利用二倍角的余弦可得，然后将所求式子利用诱导公式化简即可求解.

【详解】（1）

令，

因为的单调递减区间是，，

由，，得，，

即当，时，单调递减；

又，时

所以函数，的单调递减区间是.

（2）令，则,

因为，所以，则，

，

19．函数.

(1)请用五点作图法画出函数在上的图象；（先列表，再画图）

(2)设，，当时，试研究函数的零点的情况.

【答案】(1)答案见解析

(2)答案见解析

【分析】（1）将表示为分段函数的形式，然后利用列表法画出的图象.

（2）由转化为与的公共点个数，对进行分类讨论，由此求得零点的情况.

【详解】（1），

按五个关键点列表：

描点并将它们用光滑的曲线连接起来如下图所示：

（2）因为，

所以的零点个数等价于与图象交点的个数，

设，，则

当，即时，有2个零点；

当，即时，有1个零点；

当，即时，有0个零点.

20．已知函数为幂函数，且在上单调递增.

(1)求的值，并写出的解析式；

(2)令，，求的值域.

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）根据幂函数的定义以及单调性可得出关于实数的等式与不等式，求出的值，即可得出函数的解析式；

（2）求出函数的解析式，在时，利用单调性求出函数的值域；当时，换元，利用二次函数的基本性质可求得函数的值域，综合可得结果.

【详解】（1）解：因为为幂函数，且在上单调递增，

则，解得，所以，.

（2）解：，.

①当时，在上单调递减，

所以，，此时；

②当时，，

设，，可得，

，此时，

综上，的值域为.

21．已知函数.

(1)当时，解不等式；

(2)，，求实数的取值范围.

【答案】(1)或

(2)

【分析】(1)根据，先求出函数的定义域，在根据函数对数函数的单调性解不等式即可，最后与函数定义域取交集即可求出结果；

(2)由可得：，然后分别在和两种情况下，根据对数函数的单调性进而求解.

【详解】（1）当时，，

要使函数有意义，则有，解得：或，

所以定义域为.

因为，即，解得：，

所以不等式解集为或.

（2）由题意，，，

①当时，则有，恒成立，

设，对称轴为，在单调递增，

所以，得，所以.

②当时，则有，恒成立，

在单调递增，

所以，得，舍去.

综上，.

22．已知函数是定义域上的奇函数，且满足.

(1)判断函数在区间上的单调性，并用定义证明；

(2)已知、，且，若，证明：.

【答案】(1)在上单调递增，证明见解析

(2)证明见解析

【分析】（1）利用奇函数的定义可求得的值，利用可求得的值，可得出函数的解析式，判断出函数在上单调递增，然后利用函数单调性的定义可证得结论成立；

（2）由结合作差法可得出，再利用基本不等式可证得结论成立.

【详解】（1）解：因为函数是定义域上的奇函数，

则，即，解得，则，

又，得，所以.

函数在上单调递增，理由如下：

、，且，即，

所以，，，，，

则，

所以，则在上单调递增.

（2）证明：由题意，，则有，

因为，所以，即，

所以，得证.