2023青岛高三上学期期末数学试题含解析

2022–2023学年度第一学期期末考试

高三数学试题

本试题卷共6页，22题.全卷满分150分.考试用时120分钟.

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 复数的虚部为（）

A.  B.  C.  D.

2. 若的展开式中含有项的系数为18，则（）

A2 B.  C. 或 D. 或

3. 已知集合，.若，则（）

A.  B.

C. 或 D. 或

4. “阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美.如图，将一个正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德多面体”，则该多面体中具有公共顶点的两个正三角形所在平面的夹角正切值为（）

A.  B. 1 C.  D.

5. “”是“函数为奇函数”的（）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

6. 已知函数的部分图像如下图所示，将的图像向左平移个单位后得到函数的图像，则函数的最小值为（）

A.  B.  C.  D. 0

7. 为了解甲、乙两个班级学生的物理学习情况，从两个班学生的物理成绩（均为整数）中各随机抽查20个，得到如图所示的数据图（用频率分布直方图估计总体平均数时，每个区间的值均取该区间的中点值），关于甲、乙两个班级的物理成绩，下列结论正确的是（）

A. 甲班众数小于乙班众数 B. 乙班成绩75百分位数为79

C. 甲班的中位数为74 D. 甲班平均数大于乙班平均数估计值

8. 已知定义域为的“类康托尔函数”满足：①，；②；③.则（）

A.  B.  C.  D.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 通过长期调查知，人类汗液中指标的值服从正态分布.则（）

参考数据：若，则；.

A. 估计人中汗液指标的值超过的人数约为

B. 估计人中汗液指标的值超过的人数约为

C. 估计人中汗液指标的值不超过的人数约为

D. 随机抽检人中汗液指标的值恰有人超过的概率为

10. 已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点绕点A沿逆时针方向旋转角得到点.已知平面内点，点，，，点绕点A沿逆时针方向旋转角得到点，则（）

A.  B.

C. 的坐标为 D. 的坐标为

11. 已知为坐标原点，离心率为的椭圆的左，右焦点分别为，，与曲线恰有三个交点，则（）

A. 椭圆的长轴长为

B. 的内接正方形面积等于3

C. 点在上，，则的面积等于1

D. 曲线与曲线没有交点

12. 已知数列和满足，，，.则（）

A.  B. 数列是等比数列

C. 数列是等差数列 D.

三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分.

13已知，，则______.

14. 将8块完全相同的巧克力分配给A，B，C，D四人，每人至少分到1块且最多分到3块，则不同的分配方案共有______种（用数字作答）.

15. 已知为坐标原点，抛物线的焦点为，过的直线交于A，B两点，A，B中点在轴上方且其横坐标为1，，则直线的斜率为______.

16. 已知球的半径为2，圆锥的顶点和底面圆周上的点均在球上，记球心到圆锥底面的距离为，圆锥的底面半经为.则（1）的最大值为______；（2）圆锥体积的最大值为______.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17. 在中，，内角，，的对边分别记为，，.

（1）求的值；

（2）求的最小值.

18. 如图1所示，在中，点E，F在线段上，点在线段上，，，，.将△ACE，△BDF分别沿CE，DF折起至点A，B重合为点，形成如图2所示的几何体，在几何体中作答下面的问题.

（1）证明：平面平面；

（2）求点到平面的距离.

19. 记数列的前项和为，，______.给出下列两个条件：条件①：数列和数列均为等比数列；条件②：.试在上面的两个条件中任选一个，补充在上面的横线上，完成下列两问的解答：

（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.）

（1）求数列的通项公式；

（2）记正项数列的前项和为，，，，求.

20. 由个小正方形构成长方形网格有行和列.每次将一个小球放到一个小正方形内，放满为止，记为一轮.每次放白球的频率为，放红球的概率为q，.

（1）若，，记表示100轮放球实验中“每一列至少一个红球”的轮数，统计数据如表：

求y关于n的回归方程，并预测时，y的值；（精确到1）

（2）若，，，，记在每列都有白球的条件下，含红球的行数为随机变量，求的分布列和数学期望；

（3）求事件“不是每一列都至少一个红球”发生的概率，并证明：.

附：经验回归方程系数：，，，.

21. 已知为坐标原点，动直线与双曲线的渐近线交于A，B两点，与椭圆交于E，F两点.当时，.

（1）求双曲线的方程；

（2）若动直线与相切，证明：的面积为定值.

22. 已知函数最小值和的最大值相等.

（1）求；

（2）证明：；

（3）已知正整数，证明：.