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初中数学中考复习 考点11 二次函数-中考数学考点一遍过
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这是一份初中数学中考复习 考点11 二次函数-中考数学考点一遍过，共42页。试卷主要包含了二次函数的概念，二次函数解析式的三种形式，二次函数的图象及性质，抛物线的平移，二次函数与一元二次方程的关系，二次函数的综合等内容，欢迎下载使用。
考点11 二次函数
一、二次函数的概念
一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．
二、二次函数解析式的三种形式
（1）一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）．
（2）顶点式：y=a（x–h）2+k（a，h，k为常数，a≠0），顶点坐标是（h，k）．
（3）交点式：y=a（x–x1）（x–x2），其中x1，x2是二次函数与x轴的交点的横坐标，a≠0．
三、二次函数的图象及性质
1．二次函数的图象与性质
解析式
二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）
对称轴
x=–
顶点
（–，）
a的符号
a>0
a<0
图象
开口方向
开口向上
开口向下
最值
当x=–时，
y最小值=
当x=–时，
y最大值=
最点
抛物线有最低点
抛物线有最高点
增减性
当x<–时，y随x的增大而减小；当x>–时，y随x的增大而增大
当x<–时，y随x的增大而增大；当x>–时，y随x的增大而减小
2.二次函数图象的特征与a，b，c的关系
字母的符号
图象的特征
a
a>0
开口向上
a<0
开口向下
b
b=0
对称轴为y轴
ab>0（a与b同号）
对称轴在y轴左侧
ab<0（a与b异号）
对称轴在y轴右侧
c
c=0
经过原点
c>0
与y轴正半轴相交
c<0
与y轴负半轴相交
b2–4ac
b2–4ac=0
与x轴有唯一交点（顶点）
b2–4ac>0
与x轴有两个交点
b2–4ac<0
与x轴没有交点
四、抛物线的平移
1．将抛物线解析式化成顶点式y=a（x–h） 2+k，顶点坐标为（h，k）． 学=科网
2．保持y=ax2的形状不变，将其顶点平移到（h，k）处，具体平移方法如下：
3．注意
二次函数平移遵循“上加下减，左加右减”的原则，据此，可以直接由解析式中常数的加或减求出变化后的解析式；二次函数图象的平移可看作顶点间的平移，可根据顶点之间的平移求出变化后的解析式．
五、二次函数与一元二次方程的关系
1．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），当y=0时，就变成了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）．
2．ax2+bx+c=0（a≠0）的解是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交点的横坐标．
3．（1）b2–4ac>0⇔方程有两个不相等的实数根，抛物线与x轴有两个交点；
（2）b2–4ac=0⇔方程有两个相等的实数根，抛物线与x轴有且只有一个交点；
（3）b2–4ac<0⇔方程没有实数根，抛物线与x轴没有交点．
六、二次函数的综合
1、函数存在性问题
解决二次函数存在点问题，一般先假设该点存在，根据该点所在的直线或抛物线的表达式，设出该点的坐标；然后用该点的坐标表示出与该点有关的线段长或其他点的坐标等；最后结合题干中其他条件列出等式，求出该点的坐标，然后判别该点坐标是否符合题意，若符合题意，则该点存在，否则该点不存在．
2、函数动点问题
（1）函数压轴题主要分为两大类：一是动点函数图象问题；二是与动点、存在点、相似等有关的二次函数综合题．
（2）解答动点函数图象问题，要把问题拆分，分清动点在不同位置运动或不同时间段运动时对应的函数表达式，进而确定函数图象；解答二次函数综合题，要把大题拆分，做到大题小做，逐步分析求解，最后汇总成最终答案．
（3）解决二次函数动点问题，首先要明确动点在哪条直线或抛物线上运动，运动速度是多少，结合直线或抛物线的表达式设出动点的坐标或表示出与动点有关的线段长度，最后结合题干中与动点有关的条件进行计算．
考向一 二次函数的有关概念
1．二次函数的一般形式的结构特征：①函数的关系式是整式；②自变量的最高次数是2；③二次项系数不等于零．学科+网
2．一般式，顶点式，交点式是二次函数常见的表达式，它们之间可以互相转化．
典例1 下列函数中，二次函数是
A．y=–4x+5 B．y=x（2x–3）
C．y=（x+4）2–x2 D．y=
【答案】B
【解析】A、y=–4x+5为一次函数；B、y=x（2x–3）=2x2–3x为二次函数；C、y=（x+4）2–x2=8x+16为一次函数；D、y=不是二次函数．故选B．
【名师点睛】判断一个函数是不是二次函数可从三个方面考虑：①看它是否是整式，若不是整式，则必不是二次函数；②当它是整式时，再看它是不是一个二次的整式；③考虑其二次项的系数是否为0．只有综合考虑了上述三点，才能得出正确的判断．
典例2 函数y=是二次函数，则m的值是
A．±1 B．1
C．–1 D．以上都不对
【答案】B
【解析】∵函数y=是二次函数，∴m2+1=2且m+1≠0，解得m=1．故选B．
1．下列函数中，y关于x的二次函数是
A．y=ax2+bx+c B．y=x（x–1）
C．y= D．y=（x–1）2–x2
2．如果y=（a–1）x2–ax+6是关于x的二次函数，那么a的取值范围是
A．a≠0 B．a≠1
C．a≠1且a≠0 D．无法确定
考向二 二次函数的图象
二次函数的图象是一条关于某条直线对称的曲线，叫做抛物线，该直线叫做抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点.
典例3 函数y=ax2+bx+a+b（a≠0）的图象可能是
A． B．
C． D．
【答案】C
典例4 如果二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，那么下列不等式成立的是
A．a>0 B．b<0
C．ac<0 D．bc<0
【答案】C
【解析】∵抛物线开口向下，∴a<0，∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，∴x=–>0，∴b>0，∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c>0，∴ac<0，bc>0．故选C．
3．如果a、b同号，那么二次函数y=ax2+bx+1的大致图象是
A． B．
C． D．
4．已知函数y=ax+b的大致图象如图所示，那么二次函数y=ax2+bx+1的图象可能是
A． B．
C． D．
5．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论正确的是
A．a<0 B．c>0
C．a+b+c>0 D．b2–4ac<0
考向三 二次函数的性质
二次函数的解析式中，a决定抛物线的形状和开口方向，h、k仅决定抛物线的位置．若两个二次函数的图象形状完全相同且开口方向相同，则它们的二次项系数a必相等．
典例5 二次函数y=x2+2x+3的图象的开口方向为
A．向上 B．向下
C．向左 D．向右
【答案】A
【解析】∵二次函数y=x2+2x+3中a=1>0，∴二次函数y=x2+2x+3的图象的开口向上，故选A．
典例6 对于抛物线y=–（x+2）2+3，下列结论中正确结论的个数为
①抛物线的开口向下；②对称轴是直线x=–2；③图象不经过第一象限；④当x>2时，y随x的增大而减小．
A．4 B．3
C．2 D．1
【答案】A
【解析】∵y=–（x+2）2+3，∴抛物线开口向下、对称轴为直线x=–2，顶点坐标为（–2，3），故①、②都正确；在y=–（x+2）2+3中，令y=0可求得x=–2+<0，或x=–2–<0，∴抛物线图象不经过第一象限，故③正确；∵抛物线开口向下，对称轴为x=–2，∴当x>–2时，y随x的增大而减小，∴当x>2时，y随x的增大而减小，故④正确；综上可知正确的结论有4个，故选A．
6．如果二次函数y=ax2+bx+c的图象全部在x轴的下方，那么下列判断正确的是
A．a<0，b<0 B．a>0，b<0
C．a<0，c>0 D．a<0，c<0
7．对于下列结论：
①二次函数y=6x2，当x>0时，y随x的增大而增大．
②关于x的方程a（x+m）2+b=0的解是x1=–2，x2=1（a、m、b均为常数，a≠0），则方程a（x+m+
2）2+b=0的解是x1=–4，x2=–1．
③设二次函数y=x2+bx+c，当x≤1时，总有y≥0，当1≤x≤3时，总有y≤0，那么c的取值范围是c≥3．
其中，正确结论的个数是
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
考向四 二次函数的平移
1．抛物线在平移的过程中，a的值不发生变化，变化的只是顶点的位置，且与平移方向有关．
2．涉及抛物线的平移时，首先将表达式转化为顶点式y=a（x–h）2+k的形式．
3．抛物线的移动主要看顶点的移动，y=ax2的顶点是（0，0），y=a（x–h）2的顶点是（h，0），y=a（x–
h）2+k的顶点是（h，k）．
4．抛物线的平移口诀：自变量加减左右移，函数值加减上下移．
典例7 如果将抛物线y=–x2–2向右平移3个单位长度，那么所得到的新抛物线的表达式是
A．y=–x2–5 B．y=–x2+1
C．y=–（x–3）2–2 D．y=–（x+3）2–2
【答案】C
【解析】y=–x2–2的顶点坐标为（0，–2），∵向右平移3个单位长度，∴平移后的抛物线的顶点坐标为（3，–2），∴所得到的新抛物线的表达式是y=–（x–3）2–2．故选C．
【名师点睛】牢记抛物线的平移口诀可轻松解决此类问题．
典例8 如图，如果把抛物线y=x2沿直线y=x向上方平移2个单位后，其顶点在直线y=x上的A处，那么平移后的抛物线解析式是
A．y=（x+2）2+2 B．y=（x+2）2+2
C．y=（x–2）2+2 D．y=（x–2）2+2
【答案】D
【解析】如图，过点A作AB⊥x轴于B，∵直线y=x与x轴夹角为45°，OA=2，∴OB=AB=2× =2，∴点A的坐标为（2，2），∴平移后的抛物线解析式是y=（x–2）2+2．故选D．
8．已知抛物线C：y=x2+2x–3，将抛物线C平移得到抛物线C′，如果两条抛物线，关于直线x=1对称，那么下列说法正确的是
A．将抛物线C沿x轴向右平移个单位得到抛物线C′
B．将抛物线C沿x轴向右平移4个单位得到抛物线C′
C．将抛物线C沿x轴向右平移个单位得到抛物线C′
D．将抛物线C沿x轴向右平移6个单位得到抛物线C′
9．把抛物线y=12x2–1先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式为
A．y=12（x+1）2–3 B．y=12（x–1）2–3
C．y=12（x+1）2+1 D．y=12（x–1）2+1
考向五 二次函数与一元二次方程、不等式的综合
抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴的交点个数及相应的一元二次方程根的情况都由Δ=b2–4ac决定.
1．当Δ>0，即抛物线与x轴有两个交点时，方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，这两个交点的横坐标即为一元二次方程的两个根．
2．当Δ=0，即抛物线与x轴有一个交点（即顶点）时，方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根，此时一元二次方程的根即为抛物线顶点的横坐标．
3．当Δ<0，即抛物线与x轴无交点时，方程ax2+bx+c=0无实数根，此时抛物线在x轴的上方（a>0时）或在x轴的下方（a<0时）．
典例9 二次函数y=ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表，则方程ax2+bx+c=0的一个解的范围是
x
6.17
6.18
6.19
y
–0.03
–0.01
0.02
A．–0.03
【解析】由表格中的数据看出–0.01和0.02更接近于0，故x应取对应的范围为：6.18
A．x<2 B．x>–3
C．–31
【答案】C
10．如图是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象，由图象可知不等式ax2+bx+c>0的解集是
A．–15
C．x<–1 D．x<–1或x>5
11．抛物线y=2x2–4x+m的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程2x2–4x+m=0的解是__________．
考向六 二次函数的实际应用
在生活中，我们常会遇到与二次函数及其图象有关的问题，解决这类问题的一般思路：首先要读懂题意，弄清题目中牵连的几个量的关系，并且建立适当的直角坐标系，再根据题目中的已知条件建立数学模型，即列出函数关系式，然后运用数形结合的思想，根据函数性质去解决实际问题．
典例11 如图，正方形ABCD的边长为5，点E是AB上一点，点F是AD延长线上一点，且BE=DF．四边形AEGF是矩形，则矩形AEGF的面积y与BE的长x之间的函数关系式为
A．y=5–x B．y=5–x2 C．y=25–x D．y=25–x2
【答案】D
【解析】设BE的长度为x（0≤x<5），则AE=5–x，AF=5+x，∴y=AE•AF=（5–x）（5+x）=25–x2．故选D．
典例12 烟花厂为雁荡山旅游节特别设计制作一种新型礼炮，这种礼炮的升空高度h（m）与飞行时间t（s）的关系式是h=–t2+20t+1，若这种礼炮在点火升空到最高点处引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为
A．3 s B．4 s C．5 s D．6 s
【答案】
【解析】∵h=–t2+20t+1，∴h=–（t–4）2+41，∴当t=4秒时，礼炮达到最高点爆炸．故选B．
12．某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映，如果调整商品售价，每降价1元，每星期可多卖出20件．设每件商品降价x元后，每星期售出商品的总销售额为y元，则y与x的关系式为
A．y=60（300+20x） B．y=（60–x）（300+20x）
C．y=300（60–20x） D．y=（60–x）（300–20x）
13．图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2 m，水面宽4 m．如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是
A．y=–2x2 B．y=2x2
C．y=–0.5x2 D．y=0.5x2
考向七 存在性问题与动点问题
此类问题一般是通过分析动点在几何图形边上的运动情况，确定出有关动点函数图象的变化情况．分析此类问题，首先要明确动点在哪条边上运动，在运动过程中引起了哪个量的变化，然后求出在运动过程中对应的函数表达式，最后根据函数表达式判别图象的变化．学=科网
典例13 已知二次函数y=ax2+bx-2的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为（4，0），且当x=-2和x=5时二次函数的函数值y相等．
（1）求实数a，b的值；
（2）如图①，动点E，F同时从A点出发，其中点E以每秒2个单位长度的速度沿AB边向终点B运动，点F以每秒个单位长度的速度沿射线AC方向运动．当点E停止运动时，点F随之停止运动．设运动时间为t秒．连接EF，将△AEF沿EF翻折，使点A落在点D处，得到△DEF．
①是否存在某一时刻t，使得△DCF为直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
②设△DEF与△ABC重叠部分的面积为S，求S关于t的函数关系式．
【答案】（1），；（2）①存在时刻t，使得△DCF为直角三角形，t=或t=；②．
【解析】（1）由题意得：，解得．
如图1，由翻折知，DE=AE，∴AD=2AE=4t，EF=AE=t．
假设△DCF为直角三角形，当点F在线段AC上时：
ⅰ）若C为直角顶点，则点D与点B重合，如图2，∴AE=AB=t=÷2=；
ⅱ）若D为直角顶点，如图3．∵∠CDF=90°，∴∠ODC+∠EDF=90°．
∵∠EDF=∠EAF，∴∠OBC+∠EAF=90°，∴∠ODC=∠OBC，∴BC=DC．
∵OC⊥BD，∴OD=OB=1，∴AD=3，∴AE=，∴t=；
当点F在AC延长线上时，∠DFC>90°，△DCF为钝角三角形．
综上所述，存在时刻t，使得△DCF为直角三角形，t=或t=．
②ⅰ）当0
ⅱ）当
∴S=S△DEF-S△DBG=×2t×t-（4t-5）×（4t-5）=；
ⅲ）当2
∴S=×（5-2t）×2（5-2t）=4t2-20t+25．
综上所述：．
【名师点睛】此题主要考查的是动点函数问题，涉及了函数解析式的确定、直角三角形以及相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质以及图形面积的解法等综合知识；第二题的两个小题涉及的情况较多，一定要根据动点的不同位置来分类讨论，抓住动点的关键位置来确定未知数的取值范围是解题的关键所在．
14．已知抛物线y=ax2+bx+5与x轴交于点A（1，0）和点B（5，0），顶点为M．点C在x轴的负半轴上，且AC=AB，点D的坐标为（0，3），直线l经过点C、D．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P是直线l在第三象限上的点，连接AP，且线段CP是线段CA、CB的比例中项，求tan∠CPA的值；
（3）在（2）的条件下，连接AM、BM，在直线PM上是否存在点E，使得∠AEM=∠AMB，若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
1．若是二次函数，则m的值是
A．±3 B．3
C．–3 D．9
2．将抛物线y=x2平移得到抛物线y=x2+5，下列叙述正确的是
A．向上平移5个单位长度 B．向下平移5个单位长度
C．向左平移5个单位长度 D．向右平移5个单位长度
3．二次函数y=x2–2x+1的图象与x轴的交点情况是
A．有一个交点 B．有两个交点
C．没有交点 D．无法确定
4．二次函数y=ax2+bx+c与一次函数y=ax+c在同一直角坐标系内的大致图象是
A． B．
C． D．
5．二次函数y=（x–2）2+m的图象如图所示，一次函数y=kx+b的图象经过该二次函数图象上的点A（1，0）及点B（4，3），则满足kx+b≥（x–2）2+m的x的取值范围是
A．1≤x≤4 B．x≤1
C．x≥4 D．x≤1或x≥4
6．如图，已知正方形ABCD的边长为4，P是BC边上一动点（与B，C不重合），连接AP，作PE⊥AP交∠BCD的外角平分线于E，设BP=x，△PCE的面积为y，则y与x的函数关系式是
A．y=–x2+4x B．
C． D．y=x2–4x
7．如图是抛物线形拱桥，当拱顶高离水面2 m时，水面宽4 m，水面下降2.5 m，水面宽度增加
A．1 m B．2 m
C．3 m D．6 m
8．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，有下列5个结论：①abc<0；②3a+c>0；③4a+2b+c>0；④2a+b=0；⑤b2>4ac．其中正确的结论的有
A．2个 B．3个
C．4个 D．5个
9．抛物线y=（x–2）（x+3）与y轴的交点坐标是__________．
10．若A（–3.5，y1）、B（–1，y2）、C（1，y3）为二次函数y=–x2–4x+5的图象上三点，则y1，y2，y3的大小关系是__________．（用>连接）学科=网
11．二次函数y=x（x–6）的图象的对称轴是__________．
12．已知一个二次函数的图象经过A（1，6）、B（–3，6）、C（0，3）三点，求这个二次函数的解析式，并指出它的开口方向．
13．为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长25 m）的空地上修建一个矩形绿化带ABCD，绿化带一边靠墙，另三边用总长为40 m的栅栏围住（如图）．设绿化带的BC边长为x m，绿化带的面积为y m2．
（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
（2）当x为何值时，满足条件的绿化带的面积最大？
14．已知二次函数y=–x2–x+．
（1）用配方法把这个二次函数的解析式化为y=a（x+m）2+k的形式；
（2）写出这个二次函数图象的开口方向、顶点坐标和对称轴；
（3）将二次函数y=–x2的图象如何平移能得到二次函数y=–x2–x+的图象，请写出平移方法．
15．如图，抛物线的顶点坐标为，并且与轴交于点，与轴交于、两点．
（1）求抛物线的表达式．
（2）如图1，设抛物线的对称轴与直线交于点，点为直线上一动点，过点作轴的平行线，与抛物线交于点，问是否存在点，使得以、、为顶点的三角形与△BCO相似．若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
16．如图，二次函数的图象与轴交于点A、B，与轴交于点C．
（1）__________；__________；
（2）点P为该函数在第一象限内的图象上的一点，过点P作于点Q，连接PC，
①求线段PQ的最大值；
②若以P、C、Q为顶点的三角形与△ABC相似，求点P的坐标．
1．（2018·甘孜州）抛物线的顶点坐标
A．（-3，4） B．（-3，-4） C．（3，-4） D．（3，4）
2．（2018·上海）下列对二次函数y=x2-x的图象的描述，正确的是
A．开口向下 B．对称轴是y轴
C．经过原点 D．在对称轴右侧部分是下降的
3．（2018·襄阳）已知二次函数y=x2-x+m-1的图象与x轴有交点，则m的取值范围是
A．m≤5 B．m≥2 C．m<5 D．m>2
4．（2018·连云港）已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度h（m）与飞行时间t（s）满足函数表达式h=-t2+24t+1，则下列说法中正确的是
A．点火后9 s和点火后13 s的升空高度相同
B．点火后24 s火箭落于地面
C．点火后10 s的升空高度为139 m
D．火箭升空的最大高度为145 m
5．（2018·呼和浩特）若满足2成立，则实数m的取值范围是
A．m<-1 B．m≥-5
C．m<-4 D．m≤-4
6．（2018·巴中）一位篮球运动员在距离篮圈中心水平距离4 m处起跳投篮，球沿一条抛物线运动，当球运动的水平距离为2.5 m时，达到最大高度3.5 m，然后准确落入篮框内．已知篮圈中心距离地面高度为3.05 m，在如图所示的平面直角坐标系中，下列说法正确的是
A．此抛物线的解析式是y=-x2+3.5
B．篮圈中心的坐标是（4，3.05）
C．此抛物线的顶点坐标是（3.5，0）
D．篮球出手时离地面的高度是2 m
7．（2018·长沙）若对于任意非零实数a，抛物线y=ax2+ax-2a总不经过点P（x0-3，x02-16），则符合条件的点P
A．有且只有1个 B．有且只有2个
C．有且只有3个 D．有无穷多个
8．（2018·泰安）二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一坐标系内的大致图象是
A． B．
C． D．
9．（2018·兰州）如图，抛物线与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其下方的部分记作，将向左平移得到，与x轴交于点B、D，若直线与、共有3个不同的交点，则m的取值范围是
A． B．
C． D．
10．（2018·随州）如图所示，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线x=1．直线y=-x+c与抛物线y=ax2+bx+c交于C、D两点，D点在x轴下方且横坐标小于3，则下列结论：
①2a+b+c>0；②a-b+c<0；③x（ax+b）≤a+b；④a<-1．其中正确的有
A．4个 B．3个
C．2个 D．1个
11．（2018·巴中）把抛物线y=x2-2x+3沿x轴向右平移2个单位，得到的抛物线解析式为__________．
12．（2018·沈阳）如图，一块矩形土地ABCD由篱笆围着，并且由一条与CD边平行的篱笆EF分开．已知篱笆的总长为900 m（篱笆的厚度忽略不计），当AB=_________m时，矩形土地ABCD的面积最大．
13．（2018·贵州）已知：二次函数y=ax2+bx+c图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表格所示，那么它的图象与x轴的另一个交点坐标是__________．
x
…
-1
0
1
2
…
y
…
0
3
4
3
…
14．（2018·湖州）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2+bx（a>0）的顶点为C，与x轴的正半轴交于点A，它的对称轴与抛物线y=ax2（a>0）交于点B．若四边形ABOC是正方形，则b的值是__________．
15．（2018·云南）已知二次函数y=-x2+bx+c的图象经过A（0，3），B（-4，-）两点．
（1）求b，c的值．
（2）二次函数y=-x2+bx+c的图象与x轴是否有公共点，求公共点的坐标；若没有，请说明情况．
16．（2018·甘孜州）某商场将每件进价为80元的A商品按每件100元出售，一天可售出128件．经过市场调查，发现这种商品的销售单价每降低1元，其日销量可增加8件．设该商品每件降价x元，商场一天可通过A商品获利润y元．
（1）求y与x之间的函数解析式（不必写出自变量x的取值范围）
（2）A商品销售单价为多少时，该商场每天通过A商品所获的利润最大？
17．（2018·甘孜州）如图，已知二次函数的图象与轴分别交于A（1，0），B（3，，0）两点，与轴交于点C．
（1）求此二次函数解析式；
（2）点D为抛物线的顶点，试判断的形状，并说明理由.
18．（2018·十堰）为早日实现脱贫奔小康的宏伟目标，我市结合本地丰富的山水资源，大力发展旅游业，王家庄在当地政府的支持下，办起了民宿合作社，专门接待游客，合作社共有80间客房．根据合作社提供的房间单价x（元）和游客居住房间数y（间）的信息，乐乐绘制出y与x的函数图象如图所示：
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）合作社规定每个房间价格不低于60元且不超过150元，对于游客所居住的每个房间，合作社每天需支出20元的各种费用，房价定为多少时，合作社每天获利最大？最大利润是多少？
19．（2018·济宁）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A（3，0），B（-1，0），C（0，-3）．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若以点A为圆心的圆与直线BC相切于点M，求切点M的坐标；
（3）若点Q在x轴上，点P在抛物线上，是否存在以点B，C，Q，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．
20．（2018·资阳）如图，抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴分别交于点A（0，6），B（6，0），C（-2，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点P运动到什么位置时，△PAB的面积有最大值？
（3）过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P做PE∥x轴交抛物线于点E，连结DE，请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
变式拓展
1．【答案】B
【解析】A、当a=0时，y=bx+c不是二次函数；B、y=x（x–1）=x2–x是二次函数；
C、y=不是二次函数；D、y=（x–1）2–x2=–2x+1为一次函数．故选B．
2．【答案】B
【解析】根据二次函数的定义，a–1≠0，即a≠1．故选B．
3．【答案】D
【解析】当a>0，b>0时，抛物线开口向上，对称轴x=–<0，在y轴左边，与y轴正半轴相交，无选项符合；当a<0，b<0时，抛物线开口向下，对称轴x=–<0，在y轴左边，与y轴正半轴相交，D选项符合．故选D．
4．【答案】D
【解析】根据一次函数的图象可得a>0，b<0．则二次函数开口向上，对称轴在y轴的右侧．
故选D．
5．【答案】C
【解析】∵由图象知，开口向上，∴a>0，故A错误；由图象知，与y轴的交点在负半轴，∴c<0，故B错误；令x=1，则a+b+c>0，故C正确；∵抛物线与x轴有两个交点，∴Δ= b2–4ac >0，故D错误．故选C．
6．【答案】D
【解析】∵二次函数y=ax2+bx+c的图象全部在x轴的下方，∴a<0，<0，∴>0，
∴，∵a<0，∴c<0．故选D．
8．【答案】B
【解析】∵抛物线C：y=x2+2x–3=（x+1）2–4，∴抛物线对称轴为直线x=–1．∴抛物线与y轴的交点为A（0，–3）．则与A点关于直线x=–1对称的点是B（–2，–3）．若将抛物线C平移到C′，并且C，C′关于直线x=1对称，就是要将B点平移后以对称轴x=1与A点对称，则B点平移后坐标应为（4，–3）．因此将抛物线C向右平移4个单位长度．故选B．
9．【答案】B
【解析】∵把抛物线y=12x2–1先向右平移1个单位，再向下平移2个单位，∴得到的抛物线的解析式为y=12（x–1）2–3，故选B．
12．【答案】B
【解析】降价x元，则售价为（60–x）元，销售量为（300+20x）件，根据题意得，y=（60–x）（300+20x），故选B．
13．【答案】C
【解析】由题意可得，设抛物线解析式为：y=ax2，且抛物线过（2，–2），故–2=a×22，解得：a=–0.5，故选C．
14．【解析】（1）∵抛物线与x轴交于点A（1，0），B（5，0），
∴，解得．
∴抛物线的解析式为．
（2）∵A（1，0），B（5，0），∴OA=1，AB=4．
∵AC=AB且点C在点A的左侧，
∴AC=4，∴CB=CA+AB=8．
∵线段CP是线段CA、CB的比例中项，
∴，∴CP=．
又∵∠PCB是公共角，
∴△CPA∽△CBP，∴∠CPA= ∠CBP．
过P作PH⊥x轴于H．
∵OC=OD=3，∠DOC=90°，
∴∠DCO=45°，∴∠PCH=45°，
∴PH=CH=CP·=4，
∴H（-7，0），BH=12，
∴P（-7，-4），
∴，tan∠CPA=．
（3）存在点E，使得∠AEM=∠AMB．∵抛物线的顶点是M（3，-4），
又∵P（-7，-4），∴PM∥x轴，
当点E在M左侧，则∠BAM=∠AME，
∵∠AEM=∠AMB，∴△AEM∽△BMA．
∴，
∴，
∴ME=5，∴E（-2，-4）．
过点A作AN⊥PM于点N，则N（1，-4），
当点E在M右侧时，记为点，
∵∠AN=∠AEN，
∴点与E关于直线AN对称，则（4，-4），
综上所述，E的坐标为（-2，-4）或（4，-4）．
考点冲关
1．【答案】C
【解析】由题意，得m2–7=2，且3–m≠0，解得m=–3，故选C．
2．【答案】A
【解析】将抛物线y=x2向上平移5个单位长度得到抛物线y=x2+5，故选A．
3．【答案】A
【解析】二次函数y=x2–2x+1，∵Δ=4–4=0，∴二次函数图象与x轴交点情况是有一个交点．故选A．
4．【答案】D
【解析】A、由抛物线知，a<0，c>0；由直线知a>0，c<0，a、c的值矛盾，故本选项错误；B、由抛物线知，a>0，c<0；由直线知a>0，c>0，c的值矛盾，故本选项错误；
C、由抛物线知，a>0，c>0；由直线知a<0，c>0，a的值矛盾，故本选项错误；
D、由抛物线知，a<0，c>0；由直线知a<0，c>0，两结论一致，故本选项正确．故选D．
5．【答案】A
【解析】由图可知，1≤x≤4时，一次函数图象在二次函数图象上方部分（含交点），所以，满足kx+b≥（x–2）2+m的x的取值范围是1≤x≤4．故选A．
6．【答案】C
【解析】如图，过E作EH⊥BC于H，
∵四边形ABCD是正方形，∴∠DCH=90°，∵CE平分∠DCH，∴∠ECH=∠DCH=45°，
∵∠H=90°，∴∠ECH=∠CEH=45°，∴EH=CH，∵四边形ABCD是正方形，AP⊥EP，
∴∠B=∠H=∠APE=90°，∴∠BAP+∠APB=90°，∠APB+∠EPH=90°，∴∠BAP=∠EPH，
∵∠B=∠H=90°，∴△BAP∽△HPE，∴，∴，∴EH=x，
∴y=×CP×EH=（4–x）•x，∴y=–x2+2x．故选C．
7．【答案】B
【解析】如图，建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，可求出OA和OB均为AB的一半，即OA=OB=2 m，抛物线顶点C坐标为（0，2），设顶点式y=ax2+2，把A点坐标（–2，0）代入得a=–0.5，∴抛物线解析式为y=–0.5x2+2，当水面下降2.5 m，通过观察图上的抛物线可得当y=–2.5时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y=–1与抛物线相交时两点之间的距离，把y=–2.5代入抛物线解析式得出：–2.5=–0.5x2+2，解得：x=±3，2×3–4=2，所以水面下降2.5 m，水面宽度增加2 m．故选B．
8．【答案】C
【解析】开口向下，则a<0，与y轴交于正半轴，则c>0，∵–>0，∴b>0，则abc<0，①正确；∵–=1，则b=–2a，∵a–b+c<0，∴3a+c<0，②错误；∵x=0时，y>0，对称轴是x=1，∴当x=2时，y>0，∴4a+2b+c>0，③正确；∵b=–2a，∴2a+b=0，④正确；
∵b2–4ac>0，∴b2>4ac，⑤正确．故选C．
11．【答案】x=3
【解析】∵y=x（x–6）=x2–6x=（x–3）2–9，∴抛物线的对称轴为直线x=3．故答案为：x=3．
12．【解析】设所求二次函数的解析式y=ax2+bx+c（a≠0），
根据题意，得： ，解得，
∴所求二次函数的解析式为：y=x2+2x+3，
∵a>0，∴开口向上．
13．【解析】（1）∵四边形ABCD为矩形，BC=x m，
∴AB=．
根据题意得：y=AB•BC=x•=–x2+20x（0
∴当x=20时绿化带面积最大．
15．【解析】（1）该抛物线的顶点坐标为，所以该抛物线的解析式为，又该抛物线过点，代入得：学=科网
，解得，故该抛物线的解析式为．
（2）假设存在点E，使得以D、E、F为顶点的三角形与△BCO相似．
由（1）知，该抛物线的解析式是y=x2-4x+3，即y=（x-1）（x-3），
∴该抛物线与x轴的交点坐标分别是A（1，0），B（3，0）．
∵C（0，3），
∴易求直线BC的解析式为：y=-x+3．
∴∠OBC=∠OCB=45°．
又∵点D是对称轴上的一点，∴D（2，1）．
如图，连接DF．
∵EF∥y轴，
∴只有∠EFD=∠COB=90°．
∵以D、E、F为顶点的三角形与△BCO相似，
∴∠DEF=∠FDE=45°，
∴只有△EFD∽△COB．
设E（x，-x+3），则F（x，1），
∴1=x2-4x+3，
解得x=2±，
当x=2+时，y=-x+3=1-；
当x=2-时，y=-x+3=1+；
∴E1（2-，1+）、E2（2+，1-）．
∠EDF=90°；易知，直线AD：y=x-1，联立抛物线的解析式有：
x2-4x+3=x-1，解得 x1=1，x2=4；
当x=1时，y=-x+3=2；
当x=4时，y=-x+3=-1；
∴E3（1，2），E4（4，-1）．
∴综上，点E的坐标为（2-，1+）或（2+，1-）或（1，2）或（4，-1）．
16．【解析】（1）设抛物线解析式为y=a（x+1）（x−4），
即y=ax2−3ax−4a，
则−4a=2，解得a=−，
则b=-3a=．
（2）①作PN⊥x轴于N，交BC于M，如图，
BC=，
当x=0时，y=-x2+x+2=2，则C（0，2），
设直线BC的解析式为y=mx+n，
把C（0，2），B（4，0）得，解得，
∴直线BC的解析式为y=x+2，
设P（t，t2+t+2），则M（t，t+2），
∴PM=−t2+t+2−（−t+2）=−t2+2t，
∵∠NBM=∠NPQ，∴△PQM∽△BOC，
∴，即PQ=，
∴PQ=−t2+t=−（t−2）2+，
∴当t=2时，线段PQ的最大值为．
②当∠PCQ=∠OBC时，△PCQ∽△CBO，
此时PC∥OB，点P和点C关于直线x=对称，
∴此时P点坐标为（3，2）；
当∠CPQ=∠OBC时，△CPQ∽△CBO，
∵∠OBC=∠NPQ，
∴∠CPQ=∠MPQ，
而PQ⊥CM，
∴△PCM为等腰三角形，
∴PC=PM，
∴t2+（−t2+t+2−2）2=（−t2+2t）2，
解得t=，
此时P点坐标为（，），
综上所述，满足条件的P点坐标为（3，2）或（，）．
直通中考
1．【答案】D
【解析】因为是抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点，顶点坐标为（3，4），
故选D．
2．【答案】C
【解析】A、∵a=1>0，∴抛物线开口向上，选项A不正确；
B、∵-，∴抛物线的对称轴为直线x=，选项B不正确；
C、当x=0时，y=x2-x=0，∴抛物线经过原点，选项C正确；
D、∵a>0，抛物线的对称轴为直线x=，∴当x>时，y随x值的增大而增大，选项D不正确，故选C．
3．【答案】A
【解析】∵二次函数y=x2-x+m-1的图象与x轴有交点，∴=（-1）2-4×1×（m-1）≥0，
解得m≤5，故选A．
4．【答案】D
【解析】A、当t=9时，h=136；当t=13时，h=144；所以点火后9 s和点火后13 s的升空高度不相同，此选项错误；
B、当t=24时h=1≠0，所以点火后24 s火箭离地面的高度为1 m，此选项错误；
C、当t=10时h=141 m，此选项错误；
D、由h=-t2+24t+1=-（t-12）2+145知火箭升空的最大高度为145 m，此选项正确．故选D．
5．【答案】D
【解析】∵满足2成立，∴m<2x2-x-，∴m≤-4，故选D．
6．【答案】A
【解析】A、∵抛物线的顶点坐标为（0，3.5），∴可设抛物线的函数关系式为y=ax2+3.5．∵篮圈中心（1.5，3.05）在抛物线上，将它的坐标代入上式，得3.05=a×1.52+3.5，∴a=-，∴y=-x2+3.5．故本选项正确；
B、由图示知，篮圈中心的坐标是（1.5，3.05），故本选项错误；
C、由图示知，此抛物线的顶点坐标是（0，3.5），故本选项错误；
D、设这次跳投时，球出手处离地面h m，因为求得y=-0.2x2+3.5，∴当x=-2.5时，h=-0.2×（-2.5）2+
3.5=2.25 m．∴这次跳投时，球出手处离地面2.25 m．故本选项错误．故选A．
7．【答案】B
【解析】∵对于任意非零实数a，抛物线y=ax2+ax-2a总不经过点P（x0-3，x02-16），
∴x02-16≠a（x0-3）2+a（x0-3）-2a，∴（x0-4）（x0+4）≠a（x0-1）（x0-4），∴（x0+4）≠a（x0-1），
∴x0=-4或x0=1，∴点P的坐标为（-7，0）或（-2，-15）．故选B．
8．【答案】C
【解析】由二次函数开口向上可得：a>0，对称轴在y轴左侧，故a，b同号，则b>0，故反比例函数y=图象分布在第一、三象限，一次函数y=ax+b经过第一、二、三象限．故选C．
9．【答案】C
【解析】∵抛物线与x轴交于点A、B，∴=0，∴x1=5，x2=9，
∴，，∴抛物线向左平移4个单位长度后的解析式，
当直线过B点，有2个交点，
∴，，当直线与抛物线相切时，有2个交点，
∴，，∵相切，∴，∴，
如图，
∵若直线与、共有3个不同的交点，∴，故选C．
10．【答案】A
【解析】∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c>0，∵抛物线的对称轴为直线x=-=1，∴b=-2a，
∴2a+b+c=2a-2a+c=c>0，所以①正确；
∵抛物线与x轴的一个交点在点（3，0）左侧，而抛物线的对称轴为直线x=1，∴抛物线与x轴的另一个交点在点（-1，0）右侧，∴当x=-1时，y<0，∴a-b+c<0，所以②正确；
∵x=1时，二次函数有最大值，∴ax2+bx+c≤a+b+c，∴ax2+bx≤a+b，所以③正确；
∵直线y=-x+c与抛物线y=ax2+bx+c交于C、D两点，D点在x轴下方且横坐标小于3，∴x=3时，一次函数值比二次函数值大，即9a+3b+c<-3+c，而b=-2a，∴9a-6a<-3，解得a<-1，所以④正确，故选A．
11．【答案】y=（x-3）2+2
【解析】y=x2-2x+3=（x-1）2+2，其顶点坐标为（1，2）．向右平移2个单位长度后的顶点坐标为（3，2），得到的抛物线的解析式是y=（x-3）2+2，故答案为：y=（x-3）2+2．
14．【答案】-2
【解析】∵四边形ABOC是正方形，∴点B的坐标为（-，-）．∵抛物线y=ax2过点B，∴-=
a（-）2，解得：b1=0（舍去），b2=-2．故答案为：-2．
15．【解析】（1）把A（0，3），B（-4，-）分别代入y=-x2+bx+c，
得，解得．
（2）由（1）可得，该抛物线解析式为：y=-x2+x+3，
=（）2-4×（-）×3=>0，
所以二次函数y=-x2+bx+c的图象与x轴有公共点，
∵-x2+x+3=0的解为：x1=-2，x2=8，
∴公共点的坐标是（-2，0）或（8，0）．
16．【解析】（1）由题意得，商品每件降价x元时单价为（100-x）元，销售量为件，
则．
（2）由（1）得，
对称轴，
∵，
∴开口向下，函数有最大值，
即当时，y有最大值，
100-2=98，
答：A商品销售单价为98元时，该商场每天通过A商品所获的利润最大．
17．【解析】（1）将A、B两点坐标分别代入函数，得
，解得，
所以，二次函数解析式为y=x2-4x+3．
（2）△BCD为直角三角形，理由如下：
∵y=x2-4x+3=（x-2）2-1，
∴抛物线顶点坐标D（2，-1），
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴△BCD为直角三角形．
18．【解析】（1）设y与x之间的函数关系式为y=kx+b，
，解得，
即y与x之间的函数关系式是y=-0.5x+110．
（2）设合作社每天获得的利润为w元，
w=x（-0.5x+110）-20（-0.5x+110）=-0.5x2+120x-2200=-0.5（x-120）2+5000，
∵60≤x≤150，
∴当x=120时，w取得最大值，此时w=5000，
答：房价定为120元时，合作社每天获利最大，最大利润是5000元．
19．【解析】（1）把A（3，0），B（-1，0），C（0，-3）代入抛物线解析式得
，解得，
则该抛物线解析式为y=x2-2x-3．
（3）存在以点B，C，Q，P为顶点的四边形是平行四边形，
分两种情况考虑：
设Q（x，0），P（m，m2-2m-3），
当四边形BCQP为平行四边形时，由B（-1，0），C（0，-3），
根据平移规律得：-1+x=0+m，0+0=-3+m2-2m-3，
解得：m=1±，x=2±，
当m=1+时，m2-2m-3=8+2-2-2-3=3，即P（1+，2）；
当m=1-时，m2-2m-3=8-2-2+2-3=3，即P（1-，2）；
当四边形BCPQ为平行四边形时，由B（-1，0），C（0，-3），
根据平移规律得：-1+m=0+x，0+m2-2m-3=-3+0，
解得：m=0或2，
当m=0时，P（0，-3）（舍去）；当m=2时，P（2，-3），
综上，存在以点B，C，Q，P为顶点的四边形是平行四边形，P的坐标为（1+，2）或（1-，2）或（2，-3）．
20．【解析】（1）∵抛物线过点B（6，0）、C（-2，0），
∴设抛物线解析式为y=a（x-6）（x+2），
将点A（0，6）代入，得：-12a=6，
解得：a=-，
所以抛物线解析式为y=-（x-6）（x+2）=-x2+2x+6．
（2）如图1，过点P作PM⊥OB与点M，交AB于点N，作AG⊥PM于点G，
设直线AB解析式为y=kx+b，
将点A（0，6），B（6，0）代入，得，
解得，
则直线AB解析式为y=-x+6，
设P（t，-t2+2t+6），其中0
∴PN=PM-MN=-t2+2t+6-（-t+6）=-t2+2t+6+t-6=-t2+3t，
∴S△PAB=S△PAN+S△PBN=PN·AG+PN·BM=PN·（AG+BM）=PN·OB=×（-t2+3t）×6=-t2+9t
=-（t-3）2+，
∴当t=3时，△PAB的面积有最大值．
（3）如图2，
∵PH⊥OB于H，
∴∠DHB=∠AOB=90°，
∴DH∥AO，
∵OA=OB=6，
∴∠BDH=∠BAO=45°，
∵PE∥x轴、PD⊥x轴，
∴∠DPE=90°，
若△PDE为等腰直角三角形，
则∠EDP=45°，
∴∠EDP与∠BDH互为对顶角，即点E与点A重合，
则当y=6时，-x2+2x+6=6，
解得：x=0（舍）或x=4，
即点P（4，6）．
考点11 二次函数
一、二次函数的概念
一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．
二、二次函数解析式的三种形式
（1）一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）．
（2）顶点式：y=a（x–h）2+k（a，h，k为常数，a≠0），顶点坐标是（h，k）．
（3）交点式：y=a（x–x1）（x–x2），其中x1，x2是二次函数与x轴的交点的横坐标，a≠0．
三、二次函数的图象及性质
1．二次函数的图象与性质
解析式
二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）
对称轴
x=–
顶点
（–，）
a的符号
a>0
a<0
图象
开口方向
开口向上
开口向下
最值
当x=–时，
y最小值=
当x=–时，
y最大值=
最点
抛物线有最低点
抛物线有最高点
增减性
当x<–时，y随x的增大而减小；当x>–时，y随x的增大而增大
当x<–时，y随x的增大而增大；当x>–时，y随x的增大而减小
2.二次函数图象的特征与a，b，c的关系
字母的符号
图象的特征
a
a>0
开口向上
a<0
开口向下
b
b=0
对称轴为y轴
ab>0（a与b同号）
对称轴在y轴左侧
ab<0（a与b异号）
对称轴在y轴右侧
c
c=0
经过原点
c>0
与y轴正半轴相交
c<0
与y轴负半轴相交
b2–4ac
b2–4ac=0
与x轴有唯一交点（顶点）
b2–4ac>0
与x轴有两个交点
b2–4ac<0
与x轴没有交点
四、抛物线的平移
1．将抛物线解析式化成顶点式y=a（x–h） 2+k，顶点坐标为（h，k）． 学=科网
2．保持y=ax2的形状不变，将其顶点平移到（h，k）处，具体平移方法如下：
3．注意
二次函数平移遵循“上加下减，左加右减”的原则，据此，可以直接由解析式中常数的加或减求出变化后的解析式；二次函数图象的平移可看作顶点间的平移，可根据顶点之间的平移求出变化后的解析式．
五、二次函数与一元二次方程的关系
1．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），当y=0时，就变成了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）．
2．ax2+bx+c=0（a≠0）的解是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交点的横坐标．
3．（1）b2–4ac>0⇔方程有两个不相等的实数根，抛物线与x轴有两个交点；
（2）b2–4ac=0⇔方程有两个相等的实数根，抛物线与x轴有且只有一个交点；
（3）b2–4ac<0⇔方程没有实数根，抛物线与x轴没有交点．
六、二次函数的综合
1、函数存在性问题
解决二次函数存在点问题，一般先假设该点存在，根据该点所在的直线或抛物线的表达式，设出该点的坐标；然后用该点的坐标表示出与该点有关的线段长或其他点的坐标等；最后结合题干中其他条件列出等式，求出该点的坐标，然后判别该点坐标是否符合题意，若符合题意，则该点存在，否则该点不存在．
2、函数动点问题
（1）函数压轴题主要分为两大类：一是动点函数图象问题；二是与动点、存在点、相似等有关的二次函数综合题．
（2）解答动点函数图象问题，要把问题拆分，分清动点在不同位置运动或不同时间段运动时对应的函数表达式，进而确定函数图象；解答二次函数综合题，要把大题拆分，做到大题小做，逐步分析求解，最后汇总成最终答案．
（3）解决二次函数动点问题，首先要明确动点在哪条直线或抛物线上运动，运动速度是多少，结合直线或抛物线的表达式设出动点的坐标或表示出与动点有关的线段长度，最后结合题干中与动点有关的条件进行计算．
考向一 二次函数的有关概念
1．二次函数的一般形式的结构特征：①函数的关系式是整式；②自变量的最高次数是2；③二次项系数不等于零．学科+网
2．一般式，顶点式，交点式是二次函数常见的表达式，它们之间可以互相转化．
典例1 下列函数中，二次函数是
A．y=–4x+5 B．y=x（2x–3）
C．y=（x+4）2–x2 D．y=
【答案】B
【解析】A、y=–4x+5为一次函数；B、y=x（2x–3）=2x2–3x为二次函数；C、y=（x+4）2–x2=8x+16为一次函数；D、y=不是二次函数．故选B．
【名师点睛】判断一个函数是不是二次函数可从三个方面考虑：①看它是否是整式，若不是整式，则必不是二次函数；②当它是整式时，再看它是不是一个二次的整式；③考虑其二次项的系数是否为0．只有综合考虑了上述三点，才能得出正确的判断．
典例2 函数y=是二次函数，则m的值是
A．±1 B．1
C．–1 D．以上都不对
【答案】B
【解析】∵函数y=是二次函数，∴m2+1=2且m+1≠0，解得m=1．故选B．
1．下列函数中，y关于x的二次函数是
A．y=ax2+bx+c B．y=x（x–1）
C．y= D．y=（x–1）2–x2
2．如果y=（a–1）x2–ax+6是关于x的二次函数，那么a的取值范围是
A．a≠0 B．a≠1
C．a≠1且a≠0 D．无法确定
考向二 二次函数的图象
二次函数的图象是一条关于某条直线对称的曲线，叫做抛物线，该直线叫做抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点.
典例3 函数y=ax2+bx+a+b（a≠0）的图象可能是
A． B．
C． D．
【答案】C
典例4 如果二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，那么下列不等式成立的是
A．a>0 B．b<0
C．ac<0 D．bc<0
【答案】C
【解析】∵抛物线开口向下，∴a<0，∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，∴x=–>0，∴b>0，∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c>0，∴ac<0，bc>0．故选C．
3．如果a、b同号，那么二次函数y=ax2+bx+1的大致图象是
A． B．
C． D．
4．已知函数y=ax+b的大致图象如图所示，那么二次函数y=ax2+bx+1的图象可能是
A． B．
C． D．
5．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论正确的是
A．a<0 B．c>0
C．a+b+c>0 D．b2–4ac<0
考向三 二次函数的性质
二次函数的解析式中，a决定抛物线的形状和开口方向，h、k仅决定抛物线的位置．若两个二次函数的图象形状完全相同且开口方向相同，则它们的二次项系数a必相等．
典例5 二次函数y=x2+2x+3的图象的开口方向为
A．向上 B．向下
C．向左 D．向右
【答案】A
【解析】∵二次函数y=x2+2x+3中a=1>0，∴二次函数y=x2+2x+3的图象的开口向上，故选A．
典例6 对于抛物线y=–（x+2）2+3，下列结论中正确结论的个数为
①抛物线的开口向下；②对称轴是直线x=–2；③图象不经过第一象限；④当x>2时，y随x的增大而减小．
A．4 B．3
C．2 D．1
【答案】A
【解析】∵y=–（x+2）2+3，∴抛物线开口向下、对称轴为直线x=–2，顶点坐标为（–2，3），故①、②都正确；在y=–（x+2）2+3中，令y=0可求得x=–2+<0，或x=–2–<0，∴抛物线图象不经过第一象限，故③正确；∵抛物线开口向下，对称轴为x=–2，∴当x>–2时，y随x的增大而减小，∴当x>2时，y随x的增大而减小，故④正确；综上可知正确的结论有4个，故选A．
6．如果二次函数y=ax2+bx+c的图象全部在x轴的下方，那么下列判断正确的是
A．a<0，b<0 B．a>0，b<0
C．a<0，c>0 D．a<0，c<0
7．对于下列结论：
①二次函数y=6x2，当x>0时，y随x的增大而增大．
②关于x的方程a（x+m）2+b=0的解是x1=–2，x2=1（a、m、b均为常数，a≠0），则方程a（x+m+
2）2+b=0的解是x1=–4，x2=–1．
③设二次函数y=x2+bx+c，当x≤1时，总有y≥0，当1≤x≤3时，总有y≤0，那么c的取值范围是c≥3．
其中，正确结论的个数是
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
考向四 二次函数的平移
1．抛物线在平移的过程中，a的值不发生变化，变化的只是顶点的位置，且与平移方向有关．
2．涉及抛物线的平移时，首先将表达式转化为顶点式y=a（x–h）2+k的形式．
3．抛物线的移动主要看顶点的移动，y=ax2的顶点是（0，0），y=a（x–h）2的顶点是（h，0），y=a（x–
h）2+k的顶点是（h，k）．
4．抛物线的平移口诀：自变量加减左右移，函数值加减上下移．
典例7 如果将抛物线y=–x2–2向右平移3个单位长度，那么所得到的新抛物线的表达式是
A．y=–x2–5 B．y=–x2+1
C．y=–（x–3）2–2 D．y=–（x+3）2–2
【答案】C
【解析】y=–x2–2的顶点坐标为（0，–2），∵向右平移3个单位长度，∴平移后的抛物线的顶点坐标为（3，–2），∴所得到的新抛物线的表达式是y=–（x–3）2–2．故选C．
【名师点睛】牢记抛物线的平移口诀可轻松解决此类问题．
典例8 如图，如果把抛物线y=x2沿直线y=x向上方平移2个单位后，其顶点在直线y=x上的A处，那么平移后的抛物线解析式是
A．y=（x+2）2+2 B．y=（x+2）2+2
C．y=（x–2）2+2 D．y=（x–2）2+2
【答案】D
【解析】如图，过点A作AB⊥x轴于B，∵直线y=x与x轴夹角为45°，OA=2，∴OB=AB=2× =2，∴点A的坐标为（2，2），∴平移后的抛物线解析式是y=（x–2）2+2．故选D．
8．已知抛物线C：y=x2+2x–3，将抛物线C平移得到抛物线C′，如果两条抛物线，关于直线x=1对称，那么下列说法正确的是
A．将抛物线C沿x轴向右平移个单位得到抛物线C′
B．将抛物线C沿x轴向右平移4个单位得到抛物线C′
C．将抛物线C沿x轴向右平移个单位得到抛物线C′
D．将抛物线C沿x轴向右平移6个单位得到抛物线C′
9．把抛物线y=12x2–1先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式为
A．y=12（x+1）2–3 B．y=12（x–1）2–3
C．y=12（x+1）2+1 D．y=12（x–1）2+1
考向五 二次函数与一元二次方程、不等式的综合
抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴的交点个数及相应的一元二次方程根的情况都由Δ=b2–4ac决定.
1．当Δ>0，即抛物线与x轴有两个交点时，方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，这两个交点的横坐标即为一元二次方程的两个根．
2．当Δ=0，即抛物线与x轴有一个交点（即顶点）时，方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根，此时一元二次方程的根即为抛物线顶点的横坐标．
3．当Δ<0，即抛物线与x轴无交点时，方程ax2+bx+c=0无实数根，此时抛物线在x轴的上方（a>0时）或在x轴的下方（a<0时）．
典例9 二次函数y=ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表，则方程ax2+bx+c=0的一个解的范围是
x
6.17
6.18
6.19
y
–0.03
–0.01
0.02
A．–0.03
【解析】由表格中的数据看出–0.01和0.02更接近于0，故x应取对应的范围为：6.18
A．x<2 B．x>–3
C．–3
【答案】C
10．如图是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象，由图象可知不等式ax2+bx+c>0的解集是
A．–1
C．x<–1 D．x<–1或x>5
11．抛物线y=2x2–4x+m的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程2x2–4x+m=0的解是__________．
考向六 二次函数的实际应用
在生活中，我们常会遇到与二次函数及其图象有关的问题，解决这类问题的一般思路：首先要读懂题意，弄清题目中牵连的几个量的关系，并且建立适当的直角坐标系，再根据题目中的已知条件建立数学模型，即列出函数关系式，然后运用数形结合的思想，根据函数性质去解决实际问题．
典例11 如图，正方形ABCD的边长为5，点E是AB上一点，点F是AD延长线上一点，且BE=DF．四边形AEGF是矩形，则矩形AEGF的面积y与BE的长x之间的函数关系式为
A．y=5–x B．y=5–x2 C．y=25–x D．y=25–x2
【答案】D
【解析】设BE的长度为x（0≤x<5），则AE=5–x，AF=5+x，∴y=AE•AF=（5–x）（5+x）=25–x2．故选D．
典例12 烟花厂为雁荡山旅游节特别设计制作一种新型礼炮，这种礼炮的升空高度h（m）与飞行时间t（s）的关系式是h=–t2+20t+1，若这种礼炮在点火升空到最高点处引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为
A．3 s B．4 s C．5 s D．6 s
【答案】
【解析】∵h=–t2+20t+1，∴h=–（t–4）2+41，∴当t=4秒时，礼炮达到最高点爆炸．故选B．
12．某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映，如果调整商品售价，每降价1元，每星期可多卖出20件．设每件商品降价x元后，每星期售出商品的总销售额为y元，则y与x的关系式为
A．y=60（300+20x） B．y=（60–x）（300+20x）
C．y=300（60–20x） D．y=（60–x）（300–20x）
13．图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2 m，水面宽4 m．如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是
A．y=–2x2 B．y=2x2
C．y=–0.5x2 D．y=0.5x2
考向七 存在性问题与动点问题
此类问题一般是通过分析动点在几何图形边上的运动情况，确定出有关动点函数图象的变化情况．分析此类问题，首先要明确动点在哪条边上运动，在运动过程中引起了哪个量的变化，然后求出在运动过程中对应的函数表达式，最后根据函数表达式判别图象的变化．学=科网
典例13 已知二次函数y=ax2+bx-2的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为（4，0），且当x=-2和x=5时二次函数的函数值y相等．
（1）求实数a，b的值；
（2）如图①，动点E，F同时从A点出发，其中点E以每秒2个单位长度的速度沿AB边向终点B运动，点F以每秒个单位长度的速度沿射线AC方向运动．当点E停止运动时，点F随之停止运动．设运动时间为t秒．连接EF，将△AEF沿EF翻折，使点A落在点D处，得到△DEF．
①是否存在某一时刻t，使得△DCF为直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
②设△DEF与△ABC重叠部分的面积为S，求S关于t的函数关系式．
【答案】（1），；（2）①存在时刻t，使得△DCF为直角三角形，t=或t=；②．
【解析】（1）由题意得：，解得．
如图1，由翻折知，DE=AE，∴AD=2AE=4t，EF=AE=t．
假设△DCF为直角三角形，当点F在线段AC上时：
ⅰ）若C为直角顶点，则点D与点B重合，如图2，∴AE=AB=t=÷2=；
ⅱ）若D为直角顶点，如图3．∵∠CDF=90°，∴∠ODC+∠EDF=90°．
∵∠EDF=∠EAF，∴∠OBC+∠EAF=90°，∴∠ODC=∠OBC，∴BC=DC．
∵OC⊥BD，∴OD=OB=1，∴AD=3，∴AE=，∴t=；
当点F在AC延长线上时，∠DFC>90°，△DCF为钝角三角形．
综上所述，存在时刻t，使得△DCF为直角三角形，t=或t=．
②ⅰ）当0
ⅱ）当
∴S=S△DEF-S△DBG=×2t×t-（4t-5）×（4t-5）=；
ⅲ）当2
∴S=×（5-2t）×2（5-2t）=4t2-20t+25．
综上所述：．
【名师点睛】此题主要考查的是动点函数问题，涉及了函数解析式的确定、直角三角形以及相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质以及图形面积的解法等综合知识；第二题的两个小题涉及的情况较多，一定要根据动点的不同位置来分类讨论，抓住动点的关键位置来确定未知数的取值范围是解题的关键所在．
14．已知抛物线y=ax2+bx+5与x轴交于点A（1，0）和点B（5，0），顶点为M．点C在x轴的负半轴上，且AC=AB，点D的坐标为（0，3），直线l经过点C、D．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P是直线l在第三象限上的点，连接AP，且线段CP是线段CA、CB的比例中项，求tan∠CPA的值；
（3）在（2）的条件下，连接AM、BM，在直线PM上是否存在点E，使得∠AEM=∠AMB，若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
1．若是二次函数，则m的值是
A．±3 B．3
C．–3 D．9
2．将抛物线y=x2平移得到抛物线y=x2+5，下列叙述正确的是
A．向上平移5个单位长度 B．向下平移5个单位长度
C．向左平移5个单位长度 D．向右平移5个单位长度
3．二次函数y=x2–2x+1的图象与x轴的交点情况是
A．有一个交点 B．有两个交点
C．没有交点 D．无法确定
4．二次函数y=ax2+bx+c与一次函数y=ax+c在同一直角坐标系内的大致图象是
A． B．
C． D．
5．二次函数y=（x–2）2+m的图象如图所示，一次函数y=kx+b的图象经过该二次函数图象上的点A（1，0）及点B（4，3），则满足kx+b≥（x–2）2+m的x的取值范围是
A．1≤x≤4 B．x≤1
C．x≥4 D．x≤1或x≥4
6．如图，已知正方形ABCD的边长为4，P是BC边上一动点（与B，C不重合），连接AP，作PE⊥AP交∠BCD的外角平分线于E，设BP=x，△PCE的面积为y，则y与x的函数关系式是
A．y=–x2+4x B．
C． D．y=x2–4x
7．如图是抛物线形拱桥，当拱顶高离水面2 m时，水面宽4 m，水面下降2.5 m，水面宽度增加
A．1 m B．2 m
C．3 m D．6 m
8．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，有下列5个结论：①abc<0；②3a+c>0；③4a+2b+c>0；④2a+b=0；⑤b2>4ac．其中正确的结论的有
A．2个 B．3个
C．4个 D．5个
9．抛物线y=（x–2）（x+3）与y轴的交点坐标是__________．
10．若A（–3.5，y1）、B（–1，y2）、C（1，y3）为二次函数y=–x2–4x+5的图象上三点，则y1，y2，y3的大小关系是__________．（用>连接）学科=网
11．二次函数y=x（x–6）的图象的对称轴是__________．
12．已知一个二次函数的图象经过A（1，6）、B（–3，6）、C（0，3）三点，求这个二次函数的解析式，并指出它的开口方向．
13．为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长25 m）的空地上修建一个矩形绿化带ABCD，绿化带一边靠墙，另三边用总长为40 m的栅栏围住（如图）．设绿化带的BC边长为x m，绿化带的面积为y m2．
（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
（2）当x为何值时，满足条件的绿化带的面积最大？
14．已知二次函数y=–x2–x+．
（1）用配方法把这个二次函数的解析式化为y=a（x+m）2+k的形式；
（2）写出这个二次函数图象的开口方向、顶点坐标和对称轴；
（3）将二次函数y=–x2的图象如何平移能得到二次函数y=–x2–x+的图象，请写出平移方法．
15．如图，抛物线的顶点坐标为，并且与轴交于点，与轴交于、两点．
（1）求抛物线的表达式．
（2）如图1，设抛物线的对称轴与直线交于点，点为直线上一动点，过点作轴的平行线，与抛物线交于点，问是否存在点，使得以、、为顶点的三角形与△BCO相似．若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
16．如图，二次函数的图象与轴交于点A、B，与轴交于点C．
（1）__________；__________；
（2）点P为该函数在第一象限内的图象上的一点，过点P作于点Q，连接PC，
①求线段PQ的最大值；
②若以P、C、Q为顶点的三角形与△ABC相似，求点P的坐标．
1．（2018·甘孜州）抛物线的顶点坐标
A．（-3，4） B．（-3，-4） C．（3，-4） D．（3，4）
2．（2018·上海）下列对二次函数y=x2-x的图象的描述，正确的是
A．开口向下 B．对称轴是y轴
C．经过原点 D．在对称轴右侧部分是下降的
3．（2018·襄阳）已知二次函数y=x2-x+m-1的图象与x轴有交点，则m的取值范围是
A．m≤5 B．m≥2 C．m<5 D．m>2
4．（2018·连云港）已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度h（m）与飞行时间t（s）满足函数表达式h=-t2+24t+1，则下列说法中正确的是
A．点火后9 s和点火后13 s的升空高度相同
B．点火后24 s火箭落于地面
C．点火后10 s的升空高度为139 m
D．火箭升空的最大高度为145 m
5．（2018·呼和浩特）若满足
A．m<-1 B．m≥-5
C．m<-4 D．m≤-4
6．（2018·巴中）一位篮球运动员在距离篮圈中心水平距离4 m处起跳投篮，球沿一条抛物线运动，当球运动的水平距离为2.5 m时，达到最大高度3.5 m，然后准确落入篮框内．已知篮圈中心距离地面高度为3.05 m，在如图所示的平面直角坐标系中，下列说法正确的是
A．此抛物线的解析式是y=-x2+3.5
B．篮圈中心的坐标是（4，3.05）
C．此抛物线的顶点坐标是（3.5，0）
D．篮球出手时离地面的高度是2 m
7．（2018·长沙）若对于任意非零实数a，抛物线y=ax2+ax-2a总不经过点P（x0-3，x02-16），则符合条件的点P
A．有且只有1个 B．有且只有2个
C．有且只有3个 D．有无穷多个
8．（2018·泰安）二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一坐标系内的大致图象是
A． B．
C． D．
9．（2018·兰州）如图，抛物线与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其下方的部分记作，将向左平移得到，与x轴交于点B、D，若直线与、共有3个不同的交点，则m的取值范围是
A． B．
C． D．
10．（2018·随州）如图所示，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线x=1．直线y=-x+c与抛物线y=ax2+bx+c交于C、D两点，D点在x轴下方且横坐标小于3，则下列结论：
①2a+b+c>0；②a-b+c<0；③x（ax+b）≤a+b；④a<-1．其中正确的有
A．4个 B．3个
C．2个 D．1个
11．（2018·巴中）把抛物线y=x2-2x+3沿x轴向右平移2个单位，得到的抛物线解析式为__________．
12．（2018·沈阳）如图，一块矩形土地ABCD由篱笆围着，并且由一条与CD边平行的篱笆EF分开．已知篱笆的总长为900 m（篱笆的厚度忽略不计），当AB=_________m时，矩形土地ABCD的面积最大．
13．（2018·贵州）已知：二次函数y=ax2+bx+c图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表格所示，那么它的图象与x轴的另一个交点坐标是__________．
x
…
-1
0
1
2
…
y
…
0
3
4
3
…
14．（2018·湖州）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2+bx（a>0）的顶点为C，与x轴的正半轴交于点A，它的对称轴与抛物线y=ax2（a>0）交于点B．若四边形ABOC是正方形，则b的值是__________．
15．（2018·云南）已知二次函数y=-x2+bx+c的图象经过A（0，3），B（-4，-）两点．
（1）求b，c的值．
（2）二次函数y=-x2+bx+c的图象与x轴是否有公共点，求公共点的坐标；若没有，请说明情况．
16．（2018·甘孜州）某商场将每件进价为80元的A商品按每件100元出售，一天可售出128件．经过市场调查，发现这种商品的销售单价每降低1元，其日销量可增加8件．设该商品每件降价x元，商场一天可通过A商品获利润y元．
（1）求y与x之间的函数解析式（不必写出自变量x的取值范围）
（2）A商品销售单价为多少时，该商场每天通过A商品所获的利润最大？
17．（2018·甘孜州）如图，已知二次函数的图象与轴分别交于A（1，0），B（3，，0）两点，与轴交于点C．
（1）求此二次函数解析式；
（2）点D为抛物线的顶点，试判断的形状，并说明理由.
18．（2018·十堰）为早日实现脱贫奔小康的宏伟目标，我市结合本地丰富的山水资源，大力发展旅游业，王家庄在当地政府的支持下，办起了民宿合作社，专门接待游客，合作社共有80间客房．根据合作社提供的房间单价x（元）和游客居住房间数y（间）的信息，乐乐绘制出y与x的函数图象如图所示：
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）合作社规定每个房间价格不低于60元且不超过150元，对于游客所居住的每个房间，合作社每天需支出20元的各种费用，房价定为多少时，合作社每天获利最大？最大利润是多少？
19．（2018·济宁）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A（3，0），B（-1，0），C（0，-3）．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若以点A为圆心的圆与直线BC相切于点M，求切点M的坐标；
（3）若点Q在x轴上，点P在抛物线上，是否存在以点B，C，Q，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．
20．（2018·资阳）如图，抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴分别交于点A（0，6），B（6，0），C（-2，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点P运动到什么位置时，△PAB的面积有最大值？
（3）过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P做PE∥x轴交抛物线于点E，连结DE，请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
变式拓展
1．【答案】B
【解析】A、当a=0时，y=bx+c不是二次函数；B、y=x（x–1）=x2–x是二次函数；
C、y=不是二次函数；D、y=（x–1）2–x2=–2x+1为一次函数．故选B．
2．【答案】B
【解析】根据二次函数的定义，a–1≠0，即a≠1．故选B．
3．【答案】D
【解析】当a>0，b>0时，抛物线开口向上，对称轴x=–<0，在y轴左边，与y轴正半轴相交，无选项符合；当a<0，b<0时，抛物线开口向下，对称轴x=–<0，在y轴左边，与y轴正半轴相交，D选项符合．故选D．
4．【答案】D
【解析】根据一次函数的图象可得a>0，b<0．则二次函数开口向上，对称轴在y轴的右侧．
故选D．
5．【答案】C
【解析】∵由图象知，开口向上，∴a>0，故A错误；由图象知，与y轴的交点在负半轴，∴c<0，故B错误；令x=1，则a+b+c>0，故C正确；∵抛物线与x轴有两个交点，∴Δ= b2–4ac >0，故D错误．故选C．
6．【答案】D
【解析】∵二次函数y=ax2+bx+c的图象全部在x轴的下方，∴a<0，<0，∴>0，
∴，∵a<0，∴c<0．故选D．
8．【答案】B
【解析】∵抛物线C：y=x2+2x–3=（x+1）2–4，∴抛物线对称轴为直线x=–1．∴抛物线与y轴的交点为A（0，–3）．则与A点关于直线x=–1对称的点是B（–2，–3）．若将抛物线C平移到C′，并且C，C′关于直线x=1对称，就是要将B点平移后以对称轴x=1与A点对称，则B点平移后坐标应为（4，–3）．因此将抛物线C向右平移4个单位长度．故选B．
9．【答案】B
【解析】∵把抛物线y=12x2–1先向右平移1个单位，再向下平移2个单位，∴得到的抛物线的解析式为y=12（x–1）2–3，故选B．
12．【答案】B
【解析】降价x元，则售价为（60–x）元，销售量为（300+20x）件，根据题意得，y=（60–x）（300+20x），故选B．
13．【答案】C
【解析】由题意可得，设抛物线解析式为：y=ax2，且抛物线过（2，–2），故–2=a×22，解得：a=–0.5，故选C．
14．【解析】（1）∵抛物线与x轴交于点A（1，0），B（5，0），
∴，解得．
∴抛物线的解析式为．
（2）∵A（1，0），B（5，0），∴OA=1，AB=4．
∵AC=AB且点C在点A的左侧，
∴AC=4，∴CB=CA+AB=8．
∵线段CP是线段CA、CB的比例中项，
∴，∴CP=．
又∵∠PCB是公共角，
∴△CPA∽△CBP，∴∠CPA= ∠CBP．
过P作PH⊥x轴于H．
∵OC=OD=3，∠DOC=90°，
∴∠DCO=45°，∴∠PCH=45°，
∴PH=CH=CP·=4，
∴H（-7，0），BH=12，
∴P（-7，-4），
∴，tan∠CPA=．
（3）存在点E，使得∠AEM=∠AMB．∵抛物线的顶点是M（3，-4），
又∵P（-7，-4），∴PM∥x轴，
当点E在M左侧，则∠BAM=∠AME，
∵∠AEM=∠AMB，∴△AEM∽△BMA．
∴，
∴，
∴ME=5，∴E（-2，-4）．
过点A作AN⊥PM于点N，则N（1，-4），
当点E在M右侧时，记为点，
∵∠AN=∠AEN，
∴点与E关于直线AN对称，则（4，-4），
综上所述，E的坐标为（-2，-4）或（4，-4）．
考点冲关
1．【答案】C
【解析】由题意，得m2–7=2，且3–m≠0，解得m=–3，故选C．
2．【答案】A
【解析】将抛物线y=x2向上平移5个单位长度得到抛物线y=x2+5，故选A．
3．【答案】A
【解析】二次函数y=x2–2x+1，∵Δ=4–4=0，∴二次函数图象与x轴交点情况是有一个交点．故选A．
4．【答案】D
【解析】A、由抛物线知，a<0，c>0；由直线知a>0，c<0，a、c的值矛盾，故本选项错误；B、由抛物线知，a>0，c<0；由直线知a>0，c>0，c的值矛盾，故本选项错误；
C、由抛物线知，a>0，c>0；由直线知a<0，c>0，a的值矛盾，故本选项错误；
D、由抛物线知，a<0，c>0；由直线知a<0，c>0，两结论一致，故本选项正确．故选D．
5．【答案】A
【解析】由图可知，1≤x≤4时，一次函数图象在二次函数图象上方部分（含交点），所以，满足kx+b≥（x–2）2+m的x的取值范围是1≤x≤4．故选A．
6．【答案】C
【解析】如图，过E作EH⊥BC于H，
∵四边形ABCD是正方形，∴∠DCH=90°，∵CE平分∠DCH，∴∠ECH=∠DCH=45°，
∵∠H=90°，∴∠ECH=∠CEH=45°，∴EH=CH，∵四边形ABCD是正方形，AP⊥EP，
∴∠B=∠H=∠APE=90°，∴∠BAP+∠APB=90°，∠APB+∠EPH=90°，∴∠BAP=∠EPH，
∵∠B=∠H=90°，∴△BAP∽△HPE，∴，∴，∴EH=x，
∴y=×CP×EH=（4–x）•x，∴y=–x2+2x．故选C．
7．【答案】B
【解析】如图，建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，可求出OA和OB均为AB的一半，即OA=OB=2 m，抛物线顶点C坐标为（0，2），设顶点式y=ax2+2，把A点坐标（–2，0）代入得a=–0.5，∴抛物线解析式为y=–0.5x2+2，当水面下降2.5 m，通过观察图上的抛物线可得当y=–2.5时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y=–1与抛物线相交时两点之间的距离，把y=–2.5代入抛物线解析式得出：–2.5=–0.5x2+2，解得：x=±3，2×3–4=2，所以水面下降2.5 m，水面宽度增加2 m．故选B．
8．【答案】C
【解析】开口向下，则a<0，与y轴交于正半轴，则c>0，∵–>0，∴b>0，则abc<0，①正确；∵–=1，则b=–2a，∵a–b+c<0，∴3a+c<0，②错误；∵x=0时，y>0，对称轴是x=1，∴当x=2时，y>0，∴4a+2b+c>0，③正确；∵b=–2a，∴2a+b=0，④正确；
∵b2–4ac>0，∴b2>4ac，⑤正确．故选C．
11．【答案】x=3
【解析】∵y=x（x–6）=x2–6x=（x–3）2–9，∴抛物线的对称轴为直线x=3．故答案为：x=3．
12．【解析】设所求二次函数的解析式y=ax2+bx+c（a≠0），
根据题意，得： ，解得，
∴所求二次函数的解析式为：y=x2+2x+3，
∵a>0，∴开口向上．
13．【解析】（1）∵四边形ABCD为矩形，BC=x m，
∴AB=．
根据题意得：y=AB•BC=x•=–x2+20x（0
∴当x=20时绿化带面积最大．
15．【解析】（1）该抛物线的顶点坐标为，所以该抛物线的解析式为，又该抛物线过点，代入得：学=科网
，解得，故该抛物线的解析式为．
（2）假设存在点E，使得以D、E、F为顶点的三角形与△BCO相似．
由（1）知，该抛物线的解析式是y=x2-4x+3，即y=（x-1）（x-3），
∴该抛物线与x轴的交点坐标分别是A（1，0），B（3，0）．
∵C（0，3），
∴易求直线BC的解析式为：y=-x+3．
∴∠OBC=∠OCB=45°．
又∵点D是对称轴上的一点，∴D（2，1）．
如图，连接DF．
∵EF∥y轴，
∴只有∠EFD=∠COB=90°．
∵以D、E、F为顶点的三角形与△BCO相似，
∴∠DEF=∠FDE=45°，
∴只有△EFD∽△COB．
设E（x，-x+3），则F（x，1），
∴1=x2-4x+3，
解得x=2±，
当x=2+时，y=-x+3=1-；
当x=2-时，y=-x+3=1+；
∴E1（2-，1+）、E2（2+，1-）．
∠EDF=90°；易知，直线AD：y=x-1，联立抛物线的解析式有：
x2-4x+3=x-1，解得 x1=1，x2=4；
当x=1时，y=-x+3=2；
当x=4时，y=-x+3=-1；
∴E3（1，2），E4（4，-1）．
∴综上，点E的坐标为（2-，1+）或（2+，1-）或（1，2）或（4，-1）．
16．【解析】（1）设抛物线解析式为y=a（x+1）（x−4），
即y=ax2−3ax−4a，
则−4a=2，解得a=−，
则b=-3a=．
（2）①作PN⊥x轴于N，交BC于M，如图，
BC=，
当x=0时，y=-x2+x+2=2，则C（0，2），
设直线BC的解析式为y=mx+n，
把C（0，2），B（4，0）得，解得，
∴直线BC的解析式为y=x+2，
设P（t，t2+t+2），则M（t，t+2），
∴PM=−t2+t+2−（−t+2）=−t2+2t，
∵∠NBM=∠NPQ，∴△PQM∽△BOC，
∴，即PQ=，
∴PQ=−t2+t=−（t−2）2+，
∴当t=2时，线段PQ的最大值为．
②当∠PCQ=∠OBC时，△PCQ∽△CBO，
此时PC∥OB，点P和点C关于直线x=对称，
∴此时P点坐标为（3，2）；
当∠CPQ=∠OBC时，△CPQ∽△CBO，
∵∠OBC=∠NPQ，
∴∠CPQ=∠MPQ，
而PQ⊥CM，
∴△PCM为等腰三角形，
∴PC=PM，
∴t2+（−t2+t+2−2）2=（−t2+2t）2，
解得t=，
此时P点坐标为（，），
综上所述，满足条件的P点坐标为（3，2）或（，）．
直通中考
1．【答案】D
【解析】因为是抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点，顶点坐标为（3，4），
故选D．
2．【答案】C
【解析】A、∵a=1>0，∴抛物线开口向上，选项A不正确；
B、∵-，∴抛物线的对称轴为直线x=，选项B不正确；
C、当x=0时，y=x2-x=0，∴抛物线经过原点，选项C正确；
D、∵a>0，抛物线的对称轴为直线x=，∴当x>时，y随x值的增大而增大，选项D不正确，故选C．
3．【答案】A
【解析】∵二次函数y=x2-x+m-1的图象与x轴有交点，∴=（-1）2-4×1×（m-1）≥0，
解得m≤5，故选A．
4．【答案】D
【解析】A、当t=9时，h=136；当t=13时，h=144；所以点火后9 s和点火后13 s的升空高度不相同，此选项错误；
B、当t=24时h=1≠0，所以点火后24 s火箭离地面的高度为1 m，此选项错误；
C、当t=10时h=141 m，此选项错误；
D、由h=-t2+24t+1=-（t-12）2+145知火箭升空的最大高度为145 m，此选项正确．故选D．
5．【答案】D
【解析】∵满足
6．【答案】A
【解析】A、∵抛物线的顶点坐标为（0，3.5），∴可设抛物线的函数关系式为y=ax2+3.5．∵篮圈中心（1.5，3.05）在抛物线上，将它的坐标代入上式，得3.05=a×1.52+3.5，∴a=-，∴y=-x2+3.5．故本选项正确；
B、由图示知，篮圈中心的坐标是（1.5，3.05），故本选项错误；
C、由图示知，此抛物线的顶点坐标是（0，3.5），故本选项错误；
D、设这次跳投时，球出手处离地面h m，因为求得y=-0.2x2+3.5，∴当x=-2.5时，h=-0.2×（-2.5）2+
3.5=2.25 m．∴这次跳投时，球出手处离地面2.25 m．故本选项错误．故选A．
7．【答案】B
【解析】∵对于任意非零实数a，抛物线y=ax2+ax-2a总不经过点P（x0-3，x02-16），
∴x02-16≠a（x0-3）2+a（x0-3）-2a，∴（x0-4）（x0+4）≠a（x0-1）（x0-4），∴（x0+4）≠a（x0-1），
∴x0=-4或x0=1，∴点P的坐标为（-7，0）或（-2，-15）．故选B．
8．【答案】C
【解析】由二次函数开口向上可得：a>0，对称轴在y轴左侧，故a，b同号，则b>0，故反比例函数y=图象分布在第一、三象限，一次函数y=ax+b经过第一、二、三象限．故选C．
9．【答案】C
【解析】∵抛物线与x轴交于点A、B，∴=0，∴x1=5，x2=9，
∴，，∴抛物线向左平移4个单位长度后的解析式，
当直线过B点，有2个交点，
∴，，当直线与抛物线相切时，有2个交点，
∴，，∵相切，∴，∴，
如图，
∵若直线与、共有3个不同的交点，∴，故选C．
10．【答案】A
【解析】∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c>0，∵抛物线的对称轴为直线x=-=1，∴b=-2a，
∴2a+b+c=2a-2a+c=c>0，所以①正确；
∵抛物线与x轴的一个交点在点（3，0）左侧，而抛物线的对称轴为直线x=1，∴抛物线与x轴的另一个交点在点（-1，0）右侧，∴当x=-1时，y<0，∴a-b+c<0，所以②正确；
∵x=1时，二次函数有最大值，∴ax2+bx+c≤a+b+c，∴ax2+bx≤a+b，所以③正确；
∵直线y=-x+c与抛物线y=ax2+bx+c交于C、D两点，D点在x轴下方且横坐标小于3，∴x=3时，一次函数值比二次函数值大，即9a+3b+c<-3+c，而b=-2a，∴9a-6a<-3，解得a<-1，所以④正确，故选A．
11．【答案】y=（x-3）2+2
【解析】y=x2-2x+3=（x-1）2+2，其顶点坐标为（1，2）．向右平移2个单位长度后的顶点坐标为（3，2），得到的抛物线的解析式是y=（x-3）2+2，故答案为：y=（x-3）2+2．
14．【答案】-2
【解析】∵四边形ABOC是正方形，∴点B的坐标为（-，-）．∵抛物线y=ax2过点B，∴-=
a（-）2，解得：b1=0（舍去），b2=-2．故答案为：-2．
15．【解析】（1）把A（0，3），B（-4，-）分别代入y=-x2+bx+c，
得，解得．
（2）由（1）可得，该抛物线解析式为：y=-x2+x+3，
=（）2-4×（-）×3=>0，
所以二次函数y=-x2+bx+c的图象与x轴有公共点，
∵-x2+x+3=0的解为：x1=-2，x2=8，
∴公共点的坐标是（-2，0）或（8，0）．
16．【解析】（1）由题意得，商品每件降价x元时单价为（100-x）元，销售量为件，
则．
（2）由（1）得，
对称轴，
∵，
∴开口向下，函数有最大值，
即当时，y有最大值，
100-2=98，
答：A商品销售单价为98元时，该商场每天通过A商品所获的利润最大．
17．【解析】（1）将A、B两点坐标分别代入函数，得
，解得，
所以，二次函数解析式为y=x2-4x+3．
（2）△BCD为直角三角形，理由如下：
∵y=x2-4x+3=（x-2）2-1，
∴抛物线顶点坐标D（2，-1），
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴△BCD为直角三角形．
18．【解析】（1）设y与x之间的函数关系式为y=kx+b，
，解得，
即y与x之间的函数关系式是y=-0.5x+110．
（2）设合作社每天获得的利润为w元，
w=x（-0.5x+110）-20（-0.5x+110）=-0.5x2+120x-2200=-0.5（x-120）2+5000，
∵60≤x≤150，
∴当x=120时，w取得最大值，此时w=5000，
答：房价定为120元时，合作社每天获利最大，最大利润是5000元．
19．【解析】（1）把A（3，0），B（-1，0），C（0，-3）代入抛物线解析式得
，解得，
则该抛物线解析式为y=x2-2x-3．
（3）存在以点B，C，Q，P为顶点的四边形是平行四边形，
分两种情况考虑：
设Q（x，0），P（m，m2-2m-3），
当四边形BCQP为平行四边形时，由B（-1，0），C（0，-3），
根据平移规律得：-1+x=0+m，0+0=-3+m2-2m-3，
解得：m=1±，x=2±，
当m=1+时，m2-2m-3=8+2-2-2-3=3，即P（1+，2）；
当m=1-时，m2-2m-3=8-2-2+2-3=3，即P（1-，2）；
当四边形BCPQ为平行四边形时，由B（-1，0），C（0，-3），
根据平移规律得：-1+m=0+x，0+m2-2m-3=-3+0，
解得：m=0或2，
当m=0时，P（0，-3）（舍去）；当m=2时，P（2，-3），
综上，存在以点B，C，Q，P为顶点的四边形是平行四边形，P的坐标为（1+，2）或（1-，2）或（2，-3）．
20．【解析】（1）∵抛物线过点B（6，0）、C（-2，0），
∴设抛物线解析式为y=a（x-6）（x+2），
将点A（0，6）代入，得：-12a=6，
解得：a=-，
所以抛物线解析式为y=-（x-6）（x+2）=-x2+2x+6．
（2）如图1，过点P作PM⊥OB与点M，交AB于点N，作AG⊥PM于点G，
设直线AB解析式为y=kx+b，
将点A（0，6），B（6，0）代入，得，
解得，
则直线AB解析式为y=-x+6，
设P（t，-t2+2t+6），其中0
∴PN=PM-MN=-t2+2t+6-（-t+6）=-t2+2t+6+t-6=-t2+3t，
∴S△PAB=S△PAN+S△PBN=PN·AG+PN·BM=PN·（AG+BM）=PN·OB=×（-t2+3t）×6=-t2+9t
=-（t-3）2+，
∴当t=3时，△PAB的面积有最大值．
（3）如图2，
∵PH⊥OB于H，
∴∠DHB=∠AOB=90°，
∴DH∥AO，
∵OA=OB=6，
∴∠BDH=∠BAO=45°，
∵PE∥x轴、PD⊥x轴，
∴∠DPE=90°，
若△PDE为等腰直角三角形，
则∠EDP=45°，
∴∠EDP与∠BDH互为对顶角，即点E与点A重合，
则当y=6时，-x2+2x+6=6，
解得：x=0（舍）或x=4，
即点P（4，6）．
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