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初中数学中考复习 考点11 一次函数的实际应用（解析版）
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这是一份初中数学中考复习 考点11 一次函数的实际应用（解析版），共31页。
考点十一 一次函数的实际应用
【命题趋势】
在中考中，一次函数的实际应用常以解答题考查，并结合二次函数最值问题考查为主
【中考考查重点】
一、 利用一次函数解决购买、销售、分配问题
二、 利用一次函数解决工程、生产、行程问题
三、 利用一次函数解决有关方案问题
考点一：购买、销售、分配类问题
1．（2021秋•柯桥区月考）在近期“抗疫”期间，某药店销售A，B两种型号的口罩，已知销售80只A型和45只B型的利润为21元，销售40只A型和60只B型的利润为18元．
（1）求每只A型口罩和B型口罩的销售利润；
（2）该药店计划一次购进两种型号的口罩共2000只，其中B型口罩的进货量不少于A型口罩的进货量且不超过它的3倍，则该药店购进A型、B型口罩各多少只，才能使销售总利润y最大？最大值是多少？
【答案】（1） A为0.15元，B为0.2元 （2）A型口罩500只、B型口罩1500只，才能使销售总利润最大为375元
【解答】解：（1）设每只A型口罩销售利润为a元，每只B型口罩销售利润为b元，根据题意得：
，
解得，
答：每只A型口罩销售利润为0.15元，每只B型口罩销售利润为0.2元；
（2）根据题意得，y＝0.15x+0.2（2000﹣x），即y＝﹣0.05x+400；
根据题意得，，
解得500≤x≤1000，
∴y＝﹣0.05x+400（500≤x≤1000），
∵﹣0.05＜0，
∴y随x的增大而减小，
∵x为正整数，
∴当x＝500时，y取最大值为375元，则2000﹣x＝1500
即药店购进A型口罩500只、B型口罩1500只，才能使销售总利润最大为375元．
2．（2021•南宁一模）自2020年12月以来，我国全面有序地推进全民免费接种新冠疫苗，现某国药集团在甲、乙仓库共存放新冠疫苗450万剂，如果调出甲仓库所存新冠疫苗的60%和乙仓库所存新冠疫苗的40%后，剩余的新冠疫苗乙仓库比甲仓库多30万剂．
（1）求甲、乙两仓库各存放新冠疫苗多少万剂？
（2）若该国药集团需从甲、乙仓库共调出300万剂新冠疫苗运往B市，设从甲仓库调运新冠疫苗m万剂，请求出总运费W关于m的函数解析式并写出m的取值范围；
其中，从甲、乙仓库调运新冠疫苗到B市的运费报价如表：
甲仓库
运费定价
调运疫苗不超过130万剂时
调运疫苗超过130万剂时
135元/万剂
不优惠
优惠10%m元/万剂
乙仓库
105元/万剂
不优惠
（3）在（2）的条件下，国家审批此次调运新冠疫苗总运费不高于33000元，请通过计算说明此次调运疫苗最低总运费是否在国家审批的范围内？
【答案】（1）甲仓库240万剂，乙仓库210万剂；
（2） （3）是
【解答】解：（1）设甲仓库存放新冠疫苗x万剂，乙仓库存放新冠疫苗y万剂，
由题意，得：，
解得：，
答：甲仓库存放新冠疫苗240万剂，乙仓库存放新冠疫苗210万剂；
（2）由题意，从甲仓库运m万剂新冠疫苗到B市，则从乙仓库运新冠疫苗（300﹣m）万剂到B市，
∵300﹣m≤210，
∴m≥90
①若90≤m≤130时，此时甲仓库运费不优惠，乙仓库运费不优惠，
则总运费W＝135m+105（300﹣m）＝30m+31500；
②若130≤m≤240时，此时甲仓库运费优惠10%m元/万剂，乙仓库运费不优惠，
则总运费W＝（135﹣10%m）m+105（300﹣m）＝﹣0.1m2+30m+31500；
综上，总运费W关于m的解析式为：W＝；
（3）由（2）知，
①当90≤m≤130时，
∵30＞0，
∴W随着m的增大而增大的一次函数，
当m＝90时，可获得最低总运费，此时W＝34200元；
②当130≤m≤240时，W时关于m的二次函数，
对称轴m＝﹣＝150，
∵﹣0.1＜0，
∴当m＝240时，W有最小值，最小值为32940，
∵34200＞32940，
∴W最低为32940元，
∵32940＜33000，
∴此次调运疫苗最低总运费是在国家审批的范围内．
3．（2019春•增城区期末）为了让学生体验生活，某学校决定组织师生参加社会实践活动，现准备租用7辆客车，现有甲、乙两种客车，它们的载客量和租金如下表，设租用甲种客车x辆，租车总费用为y元．
甲种客车
乙种客车
载客量（人/辆）
60
45
租金（元/辆）
360
300
（1）求出y与x之间的函数关系式；
（2）若该校共有380名师生前往参加活动，确保每人都有座位坐，共有哪几种租车方案？
（3）在（2）的条件下，带队老师从学校预支租车费2500元，试问预支的租车费用是否有结余？若有结余，最多可以结余多少元？
【答案】（1） y＝60x+2100，（0≤x≤7，且x为整数）
（2）三种租车方案 （3）100元
【解答】解：（1）依题意得：y＝360x+300（7﹣x）＝60x+2100，（0≤x≤7，且x为整数）
（2）依题意得：
60x+45（7﹣x）≥380，
解之，得 ，
由（1）得 0≤x≤7，
∴x 的取值范围为：，
∵x 为整数，
∴x 的值为 5，6，7，
当 x＝5 时，7﹣x＝7﹣5＝2；当 x＝6 时，7﹣x＝7﹣6＝1；当 x＝7 时，7﹣x＝7﹣7＝0；
∴共有三种租车方案：
①租用甲种客车 5 辆，乙种客车 2 辆；
②租用甲种客车 6 辆，乙种客车 1 辆；
③租用甲种客车 7 辆，乙种客车 0 辆．
（3）由（1）得 y＝60x+2100，
∵k＝60≥0，
∴y 随 x 的增大而增大，
当 x＝5 时，y 的值最小，其最小值 y＝360×5+300×2＝2400，
∴最多可结余：2500﹣2400＝100（元），
答：在（2）的条件下，带队老师从学校预支租车费2500元，预支的租车费有结余，最多可以结余100元．
考点二：工程、生产、行程问题
4．（2021春•江夏区期末）在2018春季环境整治活动中，某社区计划对面积为1600m2的区域进行绿化．经投标，由甲、乙两个工程队来完成，若甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化面积的2倍，并且在独立完成面积为400m2区域的绿化时，甲队比乙队少用5天．
（1）求甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积；
（2）设甲工程队施工x天，乙工程队施工y天，刚好完成绿化任务，求y关于x的函数关系式；
（3）若甲队每天绿化费用是0.6万元，乙队每天绿化费用为0.25万元，且甲乙两队施工的总天数不超过25天，则如何安排甲乙两队施工的天数，使施工总费用最低？并求出最低费用．
【答案】（1） 甲、乙面积分别为80m2、40m2（2）y＝﹣2x+40
（3）x＝15时，W最低＝1.5+10＝11.5
【解答】解：（1）设乙队每天能完成绿化面积为am2，则甲队每天能完成绿化面积为2am2
根据题意得：
解得
a＝40
经检验，a＝40为原方程的解
则甲队每天能完成绿化面积为80m2
答：甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别为80m2、40m2
（2）由（1）得
80x+40y＝1600
整理的：
y＝﹣2x+40
（3）由已知y+x≤25
∴﹣2x+40+x≤25
解得x≥15
总费用W＝0.6x+0.25y＝0.6x+0.25（﹣2x+40）＝0.1x+10
∵k＝0.1＞0
∴W随x的增大而增大
∴当x＝15时，W最低＝1.5+10＝11.5
5．（2021秋•金牛区期末）某模具厂引进一种新机器，这种机器同一时间只能生产一种零件，每天只能工作8小时，每月工作25天．若一天用3小时生产A型零件、5小时生产B型零件共可生产34个；若一天用5小时生产A型零件、3小时生产B型零件则共可生产30个．
（1）每小时可单独加工A型零件、B型零件各多少个？
（2）按市场统计，一个A型零件的利润是150元，一个B型零件的利润是100元，设该模具厂每月安排x（小时）生产A型零件，这两种零件所获得的总利润为y（元），试写出y与x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）．
【答案】（1） A型零件3个，B型零件5个 （2）y＝﹣50x+100000
【解答】解：（1）设每小时可单独加工A型零件m个，B型零件n个，
根据题意得：，
解得；，
答：每小时可单独加工A型零件3个，B型零件5个；
（2）∵这种机器每天只能工作8小时，每月工作25天，
设该模具厂每月安排x（小时）生产A型零件，则每月安排（25×8﹣x）小时生产B零件，
由题意得：y＝150×3x+100×5（200﹣x）＝﹣50x+100000，
∴y与x的函数关系式为y＝﹣50x+100000．
6．（2020秋•沭阳县期末）学校与图书馆在同一条笔直道路上，甲从学校去图书馆，乙从图书馆回学校，甲、乙两人都匀速步行且同时出发，乙先到达目的地两人之间的距离y（米）与时间t（分钟）之间的函数关系如图所示．
（1）根据图象信息，当t＝ 分钟时甲乙两人相遇，甲的速度为 米/分钟；
（2）求出线段AB所表示的函数表达式．
（3）当t为何值时，甲、乙两人相距2000米？
【答案】（1）24，40 （2） y＝40t（40≤t≤60） （3）t＝4或t＝50
【解答】解：（1）甲乙两人相遇即是两人之间的距离y＝0，从图中可知此时x＝24（分钟），
图中可知甲用60分钟走完2400米，速度为2400÷60＝40（米/分钟），
故答案为：24，40；
（2）甲、乙速度和为2400÷24＝100（米/分钟），而甲速度为40米/分钟，
∴乙速度是60米/分钟，
∴乙达到目的地所用时间是2400÷60＝40（分钟），即A横坐标为40，
此时两人相距（40﹣24）×100＝1600（米），即A纵坐标为1600，
∴A（40，1600），
设线段AB所表示的函数表达式为y＝kt+b，将A（40，1600）、B（60，2400）代入得：
，解得k＝40，b＝0，
∴线段AB所表示的函数表达式为y＝40t（40≤t≤60），
（3）甲、乙两人相距2000米分两种情况：
①二人相遇前，两人路程和为2400﹣2000＝400（米），甲、乙两人相距2000米，此时t＝400÷100＝4（分钟），
②二人相遇后，乙达到目的地时二人相距1600米，甲再走400米两人就相距2000米，此时t＝40+400÷40＝50（分钟），
综上所述，二人相距2000时，t＝4或t＝50．
考点三：方案问题
7．某鲜花销售公司每月付给销售人员的工资有两种方案．
方案一：没有底薪，只付销售提成；
方案二：底薪加销售提成．
如图中的射线l1，射线l2分别表示该鲜花销售公司每月按方案一，方案二付给销售人员的工资y1（单位：元）和y2（单位：元）与其当月鲜花销售量x（单位：千克）（x≥0）的函数关系．
（1）分别求y1、y2与x的函数解析式（解析式也称表达式）；
（2）若该公司某销售人员今年3月份的鲜花销售量没有超过70千克，但其3月份的工资超过2000元．这个公司采用了哪种方案给这名销售人员付3月份的工资？
【答案】（1）y1＝30x（x≥0） ，y1＝30x（x≥0） （2）采用了方案一
【解答】解：（1）设y1＝k1x，
根据题意得40k1＝1200，
解得k1＝30，
∴y1＝30x（x≥0）；
设y2＝k2x+b，
根据题意，得，
解得，
∴y2＝10x+800（x≥0）；
（2）当x＝70时，
y1＝30×70＝2100＞2000；
y2＝10×70+800＝1500＜2000；
∴这个公司采用了方案一给这名销售人员付3月份的工资．
1．（2021春•饶平县校级期末）小王花1200元从农贸市场购进批发价分别为每箱30元与50元的A、B两种水果进行销售，并分别以每箱35元与60元的价格售出，设购进A水果x箱，B水果y箱．
（1）若小王将水果全部售出共赚了215元，则小王共购进A、B水果各多少箱？
（2）若要求购进A水果的数量不得少于B水果的数量，则应该如何分配购进A、B水果的数量并全部售出才能获得最大利润，此时最大利润是多少？
【答案】（1）A种水果25箱，B种水果9箱 （2）购进水果A、B的数量均为15箱并全部售出才能获得最大利润，此时最大利润为225元．
【解答】解：（1）由题意可得，
，
解得，
答：小王共购进A种水果25箱，B种水果9箱．
（2）设利润为W元，
W＝（35﹣30）x+（60﹣50）y＝5x+10×＝﹣x+240．
∵购进A水果的数量不得少于B水果的数量，
∴x≥，解得：x≥15．
∵﹣1＜0，
∴W随x的增大而减小，
∴当x＝15时，W取最大值，最大值为225，此时y＝（1200﹣30×15）÷50＝15．
答：购进水果A、B的数量均为15箱并全部售出才能获得最大利润，此时最大利润为225元．
2．（2020秋•秦都区期末）某工厂新开发生产一种机器，每台机器成本y（万元）与生产数量x（台）之间满足一次函数关系（其中10≤x≤70，且x为整数），函数y与自变量x的部分对应值如表：
x（单位：台）
10
20
y（单位：万元/台）
60
55
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）市场调查发现，这种机器每月销售量z（台）与售价a（万元/台）之间满足如图所示的函数关系．若该厂第一个月生产这种机器40台，且都按同一售价全部售出，请求出该厂第一个月销售这种机器的总利润．（注：利润＝售价﹣成本）
【答案】（1）y＝﹣0.5x+65 （2）200万元
【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，根据题意，得，
解得：，
即y与x之间的函数关系式为y＝﹣0.5x+65．
（2）当x＝40时，y＝﹣0.5×40+65＝45．
设z与a之间的函数关系式为z＝ma+n，根据题意，得，
解得：，
即z与a之间的函数关系式为z＝﹣a+90．
当z＝40时，40＝﹣a+90，
解得，a＝50，
（50﹣45）×40＝200（万元）．
答：该厂第一个月销售这种机器的总利润是200万元．
3．（2020秋•浦东新区校级期末）有两段长度相等的河渠挖掘任务，分别交给甲、乙两个工程队同时进行挖掘．如图是反映所挖河渠长度y（米）与挖掘时间x（时）之间关系的部分图象．请解答下列问题：
（1）乙队开挖到30米时，用了 小时，开挖6小时，甲队比乙队多挖了 米；
（2）甲队在0≤x≤6的时段内，y与x之间的函数关系式是 ；
（3）在开挖6小时后，如果甲、乙两队施工速度不变，完成总长110米的挖掘任务，乙队比甲队晚 小时完成．
【答案】（1） 2，10 （2）y＝10x（0≤x≤6） （3）7
【解答】解：（1）由图可知：乙队开挖到30米时，用了2小时，
开挖6小时时，甲队挖了60米，乙队挖了50米，
所以甲队比乙队多挖了60﹣50＝10米，
故答案为：2，10；
（2）设2小时后乙的解析式为：y＝kx（k≠0），
把C（6，60）代入得：6k＝60，
k＝10，
∴2小时后乙的解析式为：y＝10x，
即y与x之间的函数关系式是：y＝10x（0≤x≤6）．
故答案是：y＝10x（0≤x≤6）；
（3）开挖6小时，甲挖了60米，甲的速度为10米/小时，
∵要完成总长110米的挖掘任务，
∴甲再挖50米，所需时间为50÷10＝5小时；
开挖6小时，乙挖了50米，乙的速度为＝5米/小时，
∵要完成总长110米的挖掘任务，
∴乙需再挖60米，所用时间为60÷5＝12（小时），
则12﹣5＝7（小时），
∴乙队比甲队晚7小时完成．
故答案是：7．
4．（2021春•华容县期末）某玩具批发市场A、B玩具的批发价分别为每件30元和50元，张阿姨花1200元购进A、B两种玩具若干件，并分别以每件35元与60元价格出售．设购入A玩具为x件，B玩具为y件．
（1）若张阿姨将玩具全部出售赚了220元，那么张阿姨购进A、B型玩具各多少件？
（2）若要求购进A玩具的数量不得少于B玩具的数量，则怎样分配购进玩具A、B的数量并全部售出才能获得最大利润，此时最大利润为多少？
【答案】（1）A型玩具20件，B型玩具12件 （2）购进玩具A、B的数量均为15件并全部售出才能获得最大利润，此时最大利润为225元．
【解答】解：（1）由题意可得，，
解得，．
答：张阿姨购进A型玩具20件，B型玩具12件；
（2）设利润为w元，
w＝（35﹣30）x+（60﹣50）y＝5x+10×＝﹣x+240，
∵购进A玩具的数量不得少于B玩具的数量，
∴x≥，
解得：x≥15，
∵﹣1＜0，
∴w随x的增大而减小，
∴当x＝15时，w取最大值，最大值为225，
此时y＝（1200﹣30×15）÷50＝15，
故购进玩具A、B的数量均为15件并全部售出才能获得最大利润，此时最大利润为225元．
5．（2020•老河口市模拟）2020年是全面建成小康社会目标实现之年，是全面打赢脱贫攻坚战收官之年．我市始终把产业扶贫摆在突出位置，建立了A，B两个扶贫种植基地．为了帮扶我市的扶贫产业，扶贫办联系了C，D两家肥料厂对我市共捐赠100吨肥料，将这100吨肥料平均分配到A，B两个种植基地．已知C厂捐赠的肥料比D厂捐赠的肥料的2倍少20吨，从C，D两厂将肥料运往A，B两地的费用如表：
C厂
D厂
运往A地（元/吨）
22
20
运往B地（元/吨）
20
22
（1）求C，D两厂捐赠的肥料的数量各是多少吨；
（2）设从C厂运往A地肥料x吨，从C，D两厂运输肥料到A，B两地的总运费为y元，求y与x的函数关系式，并求出最少总运费；
（3）由于从D厂到B地开通了一条新的公路，使D厂到B地的运费每吨减少了a（0＜a＜6）元，这时怎样调运才能使总运费最少？
【答案】（1）C厂捐赠的数量是60吨，则D厂捐赠的数量是40吨
（2） y＝4x+1980（10≤x≤50），最少总运费为2020元
（3）①当0＜a＜4时，y随x的减小而减小，当x＝10时，y取最小值，y＝2020；
②当a＝4时，不管x取何值，均有y＝2020；
③当4＜a＜6时，y随x的减小而增大，当x＝50时，y取最小值，y＝2180﹣40a．
【解答】解：（1）设D厂捐赠的数量是a吨，则C厂捐赠的数量是（2a﹣20）吨．
根据题意可得，a+2a﹣20＝100，
解得，a＝40，
则2a﹣20＝60．
答：C厂捐赠的数量是60吨，则D厂捐赠的数量是40吨．
（2）根据题意可得，从C厂运往A地肥料x吨，从C厂运往B地肥料（60﹣x）吨；从D厂运往A地肥料（50﹣x）吨，从D厂运往B地肥料（x﹣10）吨．
由题意可得，y＝22x+20（60﹣x）+20（50﹣x）+22（x﹣10）＝4x+1980，
根据实际意义可得，，
解得，10≤x≤50，
∵4＞0，
∴y随x的减小而减小，
∴当x＝10时，y取最小值2020．
答：y与x的函数关系式为y＝4x+1980（10≤x≤50），最少总运费为2020元．
（3）在（2）的基础上，可得，y＝22x+20（60﹣x）+20（50﹣x）+（22﹣a）（x﹣10）＝（4﹣a）x+（1980+10a）（10≤x≤50，0＜a＜6），
①当4﹣a＞0，即0＜a＜4时，y随x的减小而减小，当x＝10时，y取最小值，y＝2020；
②当a＝4时，不管x取何值，均有y＝2020；
③当4﹣a＜0，即4＜a＜6时，y随x的减小而增大，当x＝50时，y取最小值，y＝2180﹣40a．
综上，①当0＜a＜4时，y随x的减小而减小，当x＝10时，y取最小值，y＝2020；
②当a＝4时，不管x取何值，均有y＝2020；
③当4＜a＜6时，y随x的减小而增大，当x＝50时，y取最小值，y＝2180﹣40a．
1．（2020•广安）某小区为了绿化环境，计划分两次购进A，B两种树苗，第一次购进A种树苗30棵，B种树苗15棵，共花费1350元；第二次购进A种树苗24棵，B种树苗10棵，共花费1060元．（两次购进的A，B两种树苗各自的单价均不变）
（1）A，B两种树苗每棵的价格分别是多少元？
（2）若购买A，B两种树苗共42棵，总费用为W元，购买A种树苗t棵，B种树苗的数量不超过A种树苗数量的2倍．求W与t的函数关系式．请设计出最省钱的购买方案，并求出此方案的总费用．
【答案】（1）A种树苗每棵的价格40元，B种树苗每棵的价格10元；
（2）A种花草的数量为14棵、B种28棵，费用最省；最省费用是840元．
【解答】解：（1）设A种树苗每棵的价格x元，B种树苗每棵的价格y元，根据题意得：
，
解得，
答：A种树苗每棵的价格40元，B种树苗每棵的价格10元；
（2）设A种树苗的数量为t棵，则B种树苗的数量为（42﹣t）棵，
∵B种树苗的数量不超过A种树苗数量的2倍，
∴42﹣t≤2t，
解得：t≥14，
∵t是正整数，
∴t最小值＝14，
设购买树苗总费用为W＝40t+10（42﹣t）＝30t+420，
∵k＞0，
∴W随t的减小而减小，
当t＝14时，W最小值＝30×14+420＝840（元）．
答：购进A种花草的数量为14棵、B种28棵，费用最省；最省费用是840元．
2．（2020•云南）众志成城抗疫情，全国人民在行动．某公司决定安排大、小货车共20辆，运送260吨物资到A地和B地，支援当地抗击疫情．每辆大货车装15吨物资，每辆小货车装10吨物资，这20辆货车恰好装完这批物资．已知这两种货车的运费如下表：
目的地
车型
A地（元/辆）
B地（元/辆）
大货车
900
1000
小货车
500
700
现安排上述装好物资的20辆货车中的10辆前往A地，其余前往B地，设前往A地的大货车有x辆，这20辆货车的总运费为y元．
（1）这20辆货车中，大货车、小货车各有多少辆？
（2）求y与x的函数解析式，并直接写出x的取值范围；
（3）若运往A地的物资不少于140吨，求总运费y的最小值．
【答案】（1）大货车、小货车各有12与8辆 （2）y＝100x+15600 （2≤x≤10）x为整数 （3）当x＝8时，y有最小值，此时y＝100×8+15600＝16400元，
【解答】解：（1）设大货车、小货车各有m与n辆，
由题意可知：，
解得：
答：大货车、小货车各有12与8辆
（2）设到A地的大货车有x辆，
则到A地的小货车有（10﹣x）辆，
到B地的大货车有（12﹣x）辆，
到B地的小货车有（x﹣2）辆，
∴y＝900x+500（10﹣x）+1000（12﹣x）+700（x﹣2）
＝100x+15600，
其中2≤x≤10，x为整数．
（3）运往A地的物资共有[15x+10（10﹣x）]吨，
15x+10（10﹣x）≥140，
解得：x≥8，
∴8≤x≤10，x为整数，
当x＝8时，
y有最小值，此时y＝100×8+15600＝16400元，
答：总运费最小值为16400元．
3．（2021•青岛）某超市经销甲、乙两种品牌的洗衣液，进货时发现，甲品牌洗衣液每瓶的进价比乙品牌高6元，用1800元购进甲品牌洗衣液的数量是用1800元购进乙品牌洗衣液数量的．销售时，甲品牌洗衣液的售价为36元/瓶，乙品牌洗衣液的售价为28元/瓶．
（1）求两种品牌洗衣液的进价；
（2）若超市需要购进甲、乙两种品牌的洗衣液共120瓶，且购进两种洗衣液的总成本不超过3120元，超市应购进甲、乙两种品牌洗衣液各多少瓶，才能在两种洗衣液完全售出后所获利润最大？最大利润是多少元？
【答案】（1） 甲进价是30元，乙进价是24元 （2）应购进甲品牌洗衣液40瓶，乙品牌洗衣液80瓶，才能在两种洗衣液完全售出后所获利润最大，最大利润是560元
【解答】解：（1）设甲品牌洗衣液每瓶的进价是x元，则乙品牌洗衣液每瓶的进价是（x﹣6）元，
依题意得：，
解得：x＝30，
经检验，x＝30是原方程的解，且符合题意，
∴x﹣6＝24（元）．
答：甲品牌洗衣液每瓶的进价是30元，乙品牌洗衣液每瓶的进价是24元；
（2）设可以购买甲品牌洗衣液m瓶，则可以购买（120﹣m）瓶乙品牌洗衣液，
依题意得：30m+24（120﹣m）≤3120，
解得：m≤40．
依题意得：y＝（36﹣30）m+（28﹣24）（120﹣m）＝2m+480，
∵k＝2＞0，
∴y随m的增大而增大，
∴m＝40时，y取最大值，y最大值＝2×40+480＝560．
120﹣40＝80（瓶），
答：超市应购进甲品牌洗衣液40瓶，乙品牌洗衣液80瓶，才能在两种洗衣液完全售出后所获利润最大，最大利润是560元．
4．（2021•宿迁）一辆快车从甲地驶往乙地，一辆慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，匀速行驶，两车在途中相遇时，快车恰巧出现故障，慢车继续驶往甲地，快车维修好后按原速继续行驶乙地，两车到达各地终点后停止，两车之间的距离s（km）与慢车行驶的时间t（h）之间的关系如图：
（1）快车的速度为 km/h，C点的坐标为 ．
（2）慢车出发多少小时后，两车相距200km．
【答案】（1） 100，（8，480） （2）出发h或h时两车相距200km．
【解答】解：（1）由图象可知：慢车的速度为：60÷（4﹣3）＝60（km/h），
∵两车3小时相遇，此时慢车走的路程为：60×3＝180（km），
∴快车的速度为：（480﹣180）÷3＝300÷3＝100（km/h），
通过图象和快车、慢车两车速度可知快车比慢车先到达终点，
∴慢车到达终点时所用时间为：480÷60＝8（h），
∴C点坐标为：（8，480），
故答案为：100，（8，480）；
（2）设慢车出发t小时后两车相距200km，
①相遇前两车相距200km，
则：60t+100t+200＝480，
解得：t＝，
②相遇后两车相距200km，
则：60t+100（t﹣1）﹣480＝200，
解得：t＝，
∴慢车出发h或h时两车相距200km，
答：慢车出发h或h时两车相距200km．
5．（2020•广西）倡导垃圾分类，共享绿色生活．为了对回收的垃圾进行更精准的分类，某机器人公司研发出A型和B型两款垃圾分拣机器人，已知2台A型机器人和5台B型机器人同时工作2h共分拣垃圾3.6吨，3台A型机器人和2台B型机器人同时工作5h共分拣垃圾8吨．
（1）1台A型机器人和1台B型机器人每小时各分拣垃圾多少吨？
（2）某垃圾处理厂计划向机器人公司购进一批A型和B型垃圾分拣机器人，这批机器人每小时一共能分拣垃圾20吨．设购买A型机器人a台（10≤a≤45），B型机器人b台，请用含a的代数式表示b；
（3）机器人公司的报价如下表：
型号
原价
购买数量少于30台
购买数量不少于30台
A型
20万元/台
原价购买
打九折
B型
12万元/台
原价购买
打八折
在（2）的条件下，设购买总费用为w万元，问如何购买使得总费用w最少？请说明理由．
【答案】（1） 1台A型机器人和1台B型机器人每小时各分拣垃圾0.4吨和0.2吨
（2）b＝100﹣2a（10≤a≤45）
（3）A型号机器人35台时，总费用w最少，此时需要918万元
【解答】解：（1）设1台A型机器人和1台B型机器人每小时各分拣垃圾x吨和y吨，
由题意可知：，
解得：，
答：1台A型机器人和1台B型机器人每小时各分拣垃圾0.4吨和0.2吨．
（2）由题意可知：0.4a+0.2b＝20，
∴b＝100﹣2a（10≤a≤45）．
（3）当10≤a＜30时，
此时40＜b≤80，
∴w＝20×a+0.8×12（100﹣2a）＝0.8a+960，
当a＝10时，此时w有最小值，w＝968，
当30≤a≤35时，
此时30≤b≤40，
∴w＝0.9×20a+0.8×12（100﹣2a）＝﹣1.2a+960，
当a＝35时，此时w有最小值，w＝918，
当35＜a≤45时，
此时10≤b＜30，
∴w＝0.9×20a+12（100﹣2a）＝﹣6a+1200
当a＝45时，
w有最小值，此时w＝930，
答：选购A型号机器人35台时，总费用w最少，此时需要918万元．
6．（2020•德阳）推进农村土地集约式管理，提高土地的使用效率是新农村建设的一项重要举措．某村在小城镇建设中集约了2400亩土地，计划对其进行平整．经投标，由甲乙两个工程队来完成平整任务．甲工程队每天可平整土地45亩，乙工程队每天可平整土地30亩．已知乙工程队每天的工程费比甲工程队少500元，当甲工程队所需工程费为12000元，乙工程队所需工程费为9000元时，两工程队工作天数刚好相同．
（1）甲乙两个工程队每天各需工程费多少元？
（2）现由甲乙两个工程队共同参与土地平整，已知两个工程队工作天数均为正整数，且所有土地刚好平整完，总费用不超过110000元．
①甲乙两工程队分别工作的天数共有多少种可能？
②写出其中费用最少的一种方案，并求出最低费用．
【答案】（1甲每天需工程费2000元、乙工程队每天需工程费1500元）
（2）甲乙两工程队分别工作的天数共有7种可能 （3）最低费用为107000元
【解答】解：（1）设甲每天需工程费x元、乙工程队每天需工程费（x﹣500）元，
由题意，＝，
解得x＝2000，
经检验，x＝2000是分式方程的解．
答：甲每天需工程费2000元、乙工程队每天需工程费1500元．
（2）①设甲平整x天，则乙平整y天．
由题意，45x+30y＝2400①，且2000x+1500y≤110000②，
由①得到y＝80﹣1.5x③，
把③代入②得到，2000x+1500（80﹣1.5x）≤110000，
解得，x≥40，
∵y＞0，
∴80﹣1.5x＞0，
x＜53.3，
∴40≤x＜53.3，
∵x，y是正整数，
∴x＝40，y＝20或x＝42，y＝17或x＝44，y＝14或x＝46，y＝11或x＝48，y＝8或x＝50，y＝5或x＝52，y＝2．
∴甲乙两工程队分别工作的天数共有7种可能．
②总费用w＝2000x+1500（80﹣1.5x）＝﹣250x+120000，
∵﹣250＜0，
∴w随x的增大而减小，
∴x＝52时，w的最小值＝107000（元）．
答：最低费用为107000元．
7．（2021•湘西州）2020年以来，新冠肺炎的蔓延促使世界各国在线教育用户规模不断增大．网络教师小李抓住时机，开始组建团队，制作面向A、B两个不同需求学生群体的微课视频．已知制作3个A类微课和5个B类微课需要4600元成本，制作5个A类微课和10个B类微课需要8500元成本．李老师又把做好的微课出售给某视频播放网站，每个A类微课售价1500元，每个B类微课售价1000元．该团队每天可以制作1个A类微课或者1.5个B类微课，且团队每月制作的B类微课数不少于A类微课数的2倍（注：每月制作的A、B两类微课的个数均为整数）．假设团队每月有22天制作微课，其中制作A类微课a天，制作A、B两类微课的月利润为w元．
（1）求团队制作一个A类微课和一个B类微课的成本分别是多少元？
（2）求w与a之间的函数关系式，并写出a的取值范围；
（3）每月制作A类微课多少个时，该团队月利润w最大，最大利润是多少元？
【答案】（1） A类微课的成本为700元，B类微课的成本为500元
（3） 当a＝8时，w有最大值，w最大＝50×8+16500＝16900（元）
【解答】解：（1）设团队制作一个A类微课的成本为x元，制作一个B类微课的成本为y元，根据题意得：
，
解得，
答：团队制作一个A类微课的成本为700元，制作一个B类微课的成本为500元；
（2）由题意，得w＝（1500﹣700）a+（1000﹣500）×1.5（22﹣a）＝50a+16500；
1.5（22﹣a）≥2a，
解得a≤，
又∵每月制作的A、B两类微课的个数均为整数，
∴a的值为0，2，4，6，8．
（3）由（2）得w＝50a+16500，
∵50＞0，
∴w随a的增大而增大，
∴当a＝8时，w有最大值，w最大＝50×8+16500＝16900（元）．
答：每月制作A类微课8个时，该团队月利润w最大，最大利润是16900元．
1．（2021•玉泉区二模）甲、乙两个工程队共同承担一项筑路任务，甲队单独施工完成此项任务比乙队单独施工完成此项任务多用10天，且甲队单独施工45天和乙队单独施工30天的工作量相同．
（1）甲、乙两队单独完成此项任务各需多少天？
（2）设先由甲队施工x天，再由乙队施工y天，刚好完成筑路任务，求y与x之间的函数关系式．
（3）在（2）的条件下，若每天需付给甲队的筑路费用为0.1万元，需付给乙队的筑路费用为0.2万元，且甲、乙两队施工的总天数不超过24天，则如何安排甲、乙两队施工的天数，使施工费用最少，并求出最少费用．
【答案】（1） 甲、乙各需30天、20天 （2）y＝﹣x+20
（3）甲施工12天、乙施工12天，使施工费用最少，最少费用是3.6万元．
【解答】解：（1）设乙队完成此项任务需要x天，则甲队完成此项任务（x+10）天，
，
解得，x＝20，
经检验，x＝20是原分式方程的解，
∴x+10＝30，
答：甲、乙两队单独完成此项任务各需30天、20天；
（2）由题意可得，
＝1，
化简，得
y＝﹣x+20，
即y与x之间的函数关系式是y＝﹣x+20；
（3）设施工的总费用为w元，
w＝0.1x+0.2y＝0.1x+0.2×（﹣x+20）＝x+4，
∵甲、乙两队施工的总天数不超过24天，
∴x+y≤24，
即x+（﹣x+20）≤24，
解得，x≤12，
∴当x＝12时，w取得最小值，此时w＝3.6，y＝12，
答：安排甲施工12天、乙施工12天，使施工费用最少，最少费用是3.6万元．
2．（2021•富平县二模）甲、乙两家草莓采摘园的草莓品质相同，销售价格也相同．“五一”假期，两家均推出了优惠方案，甲采摘园的优惠方案：游客进园需购买60元的门票，采摘的草莓六折优惠；乙采摘园的优惠方案：游客进园不需购买门票，采摘的草莓超过一定数量后，超过部分打折优惠．优惠期间，设某游客的草莓采摘量为x（千克），在甲采摘园所需总费用为y甲（元），在乙采摘园所需总费用为y乙（元），图中折线O﹣A﹣B表示y乙与x之间的函数关系．
（1）求y甲、y乙与x之间的函数关系式；
（2）当游客采摘15千克的草莓时，你认为他在哪家草莓园采摘更划算？
【答案】（1） y乙＝ （2）甲家草莓园采摘更划算
【解答】解：（1）根据题意得，甲、乙两采摘园优惠前的草莓销售价格：300÷10＝30（元/千克）．
∴y甲＝30×0.6x+60＝18x+60；
当0＜x≤10时，y乙＝30x；
当x＞10时，设y乙＝kx+b，
由题意的：，
解得，
∴y乙＝12x+180，
∴y乙与x之间的函数关系式为：y乙＝；
（2）当x＝15时，y甲＝18×15+60＝330，
y乙＝12×15+180＝360，
∴y甲＜y乙，
∴他在甲家草莓园采摘更划算．
3．（2021•五华区校级模拟）截至3月20日，全国累计报告接种新型冠状病毒疫苗7495.6万剂次．为了满足市场需求，尽快让全国人民都打上疫苗，某公司计划新增10个大、小两种车间共同生产同一种新型冠状病毒疫苗，已知1个大车间和2个小车间每周能生产疫苗共35万剂，2个大车间和1个小车间每周能生产疫苗共40万剂，大车间生产1万剂疫苗的平均成本为80万元，小车间生产1万剂疫苗的平均成本为70万元．
（1）该公司大车间、小车间每周分别能生产疫苗多少万剂？
（2）设新增x个大车间，新增的10个车间每周生产疫苗的总成本为y万元，求y与x的函数解析式（也称关系式），并直接写出x的取值范围；
（3）若新增的10个车间每周生产的疫苗不少于140万剂，新增的车间一共有哪几种新增方案，哪一种方案每周生产疫苗的总成本y最小？
【答案】（1） 大车间每周能生产疫苗15万剂、小车间每周能生产疫苗10万剂
（2） y＝150x+7000（0＜x＜10，x为整数）；（3）新增8个大车间，2个小车间
【解答】解：（1）设大车间每周能生产疫苗x万剂、小车间每周能生产疫苗y万剂．，
由题意得：，
解得，
答：该公司大车间每周能生产疫苗15万剂、小车间每周能生产疫苗10万剂；
（2）设新增x个大车间，则新增的小车间有（10﹣x）个，根据题意，得：
y＝80×15x+70×10（10﹣x）＝150x+7000（0＜x＜10，x为整数）；
（3）由题意得：15x+10（10﹣x）≥140，
解得：x≥8，
由（2）得：y＝150x+7000，其中0＜x＜10，且x是整数，
∴8≤x＜10，且x是整数，
∴共有2种方案：
方案一：新增8个大车间，2个小车间；
方案二：新增9个大车间，3个小车间；
∵k＝150＞0，
∴y随x的增大而增大，
∴当x＝8时，总成本y最小．
即新增8个大车间，2个小车间时每周生产疫苗的总成本y最小．
4．（2021•南关区校级一模）已知A，B两地之间有一条长240千米的公路．甲车从A地出发匀速开往B地，甲车出发半小时后，乙车从A地出发沿同一路线匀速追赶甲车，两车相遇后，乙车原路原速返回A地．两车之间的距离y（千米）与甲车行驶时间x（小时）之间的函数关系如图所示，请解答下列问题：
（1）甲车的速度是 千米/时，乙车的速度是 千米/时，m＝ ．
（2）求乙车返回过程中，y与x之间的函数关系式．
（3）当甲、乙两车相距160千米时，直接写出甲车的行驶时间．
【答案】（1） 60，80，3.5； （2） y＝140x﹣280（2≤x≤3.5） （3）小时
【解答】解：（1）由图象可得，
甲车的速度为：30÷0.5＝60（千米/时），
乙车的速度为：60×2÷（2﹣0.5）＝80（千米/时），
m＝2+（2﹣0.5）＝2+1.5＝3.5，
故答案为：60，80，3.5；
（2）当x＝3.5时，y＝1.5×（60+80）＝210，
设乙车返回过程中，y与x之间的函数关系式是y＝kx+b，
∵点（2，0），（3.5，210）在该函数图象上，
∴，
解得，
即乙车返回过程中，y与x之间的函数关系式是y＝140x﹣280（2≤x≤3.5）；
（3）当y＝160时，160＝140x﹣280，
解得x＝，
答：当甲、乙两车相距160千米时，甲车的行驶时间是小时．
5．（2021•枣阳市模拟）为推进美丽乡村建设，改善人居环境，创建美丽家园．我市甲、乙两工厂积极生产了某种建设物资共800吨，甲工厂的生产量比乙工厂的2倍少100吨，这批建设物资将运往A地420吨，B地380吨，运费如表：（单位：元/吨）
目的地
生产厂
A
B
甲
25
20
乙
15
24
（1）求甲、乙两厂各生产了这批建设物资多少吨？
（2）设这批物资从甲工厂运往A地x吨，全部运往A，B两地的总运费为y元，求y与x之间的函数关系式，写出x的取值范围并设计使总运费最少的调运方案；
（3）由于甲工厂到A地的路况得到了改善，缩短了运输距离和运输时间，运费每吨降低m元（0＜m≤15），其余路线运费不变．若到A，B两市的总运费的最小值不小于14020元，求m的取值范围．
【答案】（1） 甲、乙两厂分别生产了这批建设物资500吨、300吨
（2） 甲工厂运往A地120吨，运往B地380吨；乙工厂运往A地300吨
（3） m的取值范围是0＜m≤9
【解答】解：（1）设这批建设物资甲厂生产了a吨，乙厂生产了b吨，
由题意可得，，
解得，
答：甲、乙两厂分别生产了这批建设物资500吨、300吨；
（2）由题意可得，
y＝25x+20（500﹣x）+15（420﹣x）+24[380﹣（500﹣x）]＝14x+13420（120≤x≤420），
∵k＝14＞0，
∴y随x的增大而增大，
∴当x＝120时运费最小，此时500﹣x＝380，420﹣x＝300，380﹣380＝0，
答：总运费最少的调运方案是：甲工厂运往A地120吨，运往B地380吨；乙工厂运往A地300吨；
（3）由题意可得，
y＝14x+13420﹣mx＝（14﹣m）x+13420，
当0＜m＜14时，14﹣m＞0，则y随x的增大而增大．
∴当x＝120时，y取得最小值，此时y＝（14﹣m）×120+13420≥14020，
解得m≤9，
∴0＜m≤9；
当m＝14时，14﹣m＝0，y＝13420不合题意，舍去；
当14＜m≤15时，
14﹣m＜0，y随x的增大而减少，
∴当x＝420时，y取得最小值，此时y＝（14﹣m）×420+13420≥14020，
解得m≤12（舍去），
由上可得，m的取值范围是0＜m≤9．
6．（2021•广西模拟）某商店销售一种商品，经市场调查发现：当该商品的售价是50元时，可以销售100件，且利润为1000元；当该商品的售价是60元时，可以销售80件，且利润为1600元．
（1）该商品的进价是多少元/件？
（2）当用字母x表示商品的售价，用字母y表示商品的销售量时，发现本题中x，y的值总是满足关系式：y＝kx+b，请同学们根据题目提供的数据求出k，b的值，并求出当售价为70元时，销售利润是多少？
（3）在第2问的基础上，商品的销售量y与商品的售价x的关系保持不变，当商品的售价为80元时，每售出一件商品将捐赠a（a＞0）元给希望工程，要使最大利润不小于1400，求出a的取值范围．
【答案】（1）40元/件 （2），当售价为70元时，销售利润是1800元
（3）0＜a≤5
【解答】解：（1）∵100件商品的利润为1000元，
∴一件衣服的利润为1000÷100＝10（元）；
50﹣10＝40（元/件）
∴该商品的进价是40元/件；
（2）把x＝50，y＝100；x＝60，y＝80分别代入y＝kx+b得：
，
解得：，
由题意得：，
解得：40≤x≤100，
∴y＝﹣2x+200（40≤x≤100），
当x＝70元时，y＝﹣2×70+200＝60，
销售利润为：（70﹣40）×60＝1800（元）．
∴，当售价为70元时，销售利润是1800元；
（3）由题意得，当x＝80元时，y＝﹣2×80+200＝40，
要使最大利润不小于1400，则有：（80﹣40﹣a）×40≥1400，
解得：a≤5，
∵a＞0，
∴a的取值范围是0＜a≤5．
7．（2021•开福区模拟）为加强校园文化建设，某校准备打造校园文化墙，需用甲、乙两种石材经市场调查，甲种石材的费用y（元）与使用面积x（m2）间的函数关系如图所示，乙种石材的价格为每平方米50元．
（1）求y与x间的函数解析式；
（2）若校园文化墙总面积共600m2，其中使用甲石材xm2，设购买两种石材的总费用为w元，请直接写出w与x间的函数解析式；
（3）在（2）的前提下，若甲种石材使用面积多于300m2，且不超过乙种石材面积的2倍，那么应该怎样分配甲、乙两种石材的面积才能使总费用最少？最少总费用为多少元？
【答案】（1） y＝ （2）y＝
（3）甲种石材400m2，乙种石材200m2时，总费用最少，最少总费用为37000元
【解答】解：（1）①0≤x≤300时，
设y＝kx+b（k≠0），
过（0，0），（300，24000），
，
解得，
∴y＝80x，
②x＞300时，
设y＝kx+b（k≠0），
过（300，24000），（500，30000），
，
解得，
∴y＝30x+15000，
∴y＝；
（2）当0≤x≤300时，w＝80x+50（600﹣x）＝30x+30000；
当x＞300时，w＝30x+15000+50（600﹣x），
即w＝﹣20x+45000；
∴y＝；
（3）设甲种石材为 am2，则乙种石材（600﹣a）m2，
，
∴300＜x≤400，
由（2）知w＝﹣20x+45000，
∵k＝﹣20＜0，
∴W随x的增大而减小，
即甲400m2，乙200m2时，
Wmin＝﹣20×400+45000＝37000．
答：甲种石材400m2，乙种石材200m2时，总费用最少，最少总费用为37000元．
考点十一 一次函数的实际应用
【命题趋势】
在中考中，一次函数的实际应用常以解答题考查，并结合二次函数最值问题考查为主
【中考考查重点】
一、 利用一次函数解决购买、销售、分配问题
二、 利用一次函数解决工程、生产、行程问题
三、 利用一次函数解决有关方案问题
考点一：购买、销售、分配类问题
1．（2021秋•柯桥区月考）在近期“抗疫”期间，某药店销售A，B两种型号的口罩，已知销售80只A型和45只B型的利润为21元，销售40只A型和60只B型的利润为18元．
（1）求每只A型口罩和B型口罩的销售利润；
（2）该药店计划一次购进两种型号的口罩共2000只，其中B型口罩的进货量不少于A型口罩的进货量且不超过它的3倍，则该药店购进A型、B型口罩各多少只，才能使销售总利润y最大？最大值是多少？
【答案】（1） A为0.15元，B为0.2元 （2）A型口罩500只、B型口罩1500只，才能使销售总利润最大为375元
【解答】解：（1）设每只A型口罩销售利润为a元，每只B型口罩销售利润为b元，根据题意得：
，
解得，
答：每只A型口罩销售利润为0.15元，每只B型口罩销售利润为0.2元；
（2）根据题意得，y＝0.15x+0.2（2000﹣x），即y＝﹣0.05x+400；
根据题意得，，
解得500≤x≤1000，
∴y＝﹣0.05x+400（500≤x≤1000），
∵﹣0.05＜0，
∴y随x的增大而减小，
∵x为正整数，
∴当x＝500时，y取最大值为375元，则2000﹣x＝1500
即药店购进A型口罩500只、B型口罩1500只，才能使销售总利润最大为375元．
2．（2021•南宁一模）自2020年12月以来，我国全面有序地推进全民免费接种新冠疫苗，现某国药集团在甲、乙仓库共存放新冠疫苗450万剂，如果调出甲仓库所存新冠疫苗的60%和乙仓库所存新冠疫苗的40%后，剩余的新冠疫苗乙仓库比甲仓库多30万剂．
（1）求甲、乙两仓库各存放新冠疫苗多少万剂？
（2）若该国药集团需从甲、乙仓库共调出300万剂新冠疫苗运往B市，设从甲仓库调运新冠疫苗m万剂，请求出总运费W关于m的函数解析式并写出m的取值范围；
其中，从甲、乙仓库调运新冠疫苗到B市的运费报价如表：
甲仓库
运费定价
调运疫苗不超过130万剂时
调运疫苗超过130万剂时
135元/万剂
不优惠
优惠10%m元/万剂
乙仓库
105元/万剂
不优惠
（3）在（2）的条件下，国家审批此次调运新冠疫苗总运费不高于33000元，请通过计算说明此次调运疫苗最低总运费是否在国家审批的范围内？
【答案】（1）甲仓库240万剂，乙仓库210万剂；
（2） （3）是
【解答】解：（1）设甲仓库存放新冠疫苗x万剂，乙仓库存放新冠疫苗y万剂，
由题意，得：，
解得：，
答：甲仓库存放新冠疫苗240万剂，乙仓库存放新冠疫苗210万剂；
（2）由题意，从甲仓库运m万剂新冠疫苗到B市，则从乙仓库运新冠疫苗（300﹣m）万剂到B市，
∵300﹣m≤210，
∴m≥90
①若90≤m≤130时，此时甲仓库运费不优惠，乙仓库运费不优惠，
则总运费W＝135m+105（300﹣m）＝30m+31500；
②若130≤m≤240时，此时甲仓库运费优惠10%m元/万剂，乙仓库运费不优惠，
则总运费W＝（135﹣10%m）m+105（300﹣m）＝﹣0.1m2+30m+31500；
综上，总运费W关于m的解析式为：W＝；
（3）由（2）知，
①当90≤m≤130时，
∵30＞0，
∴W随着m的增大而增大的一次函数，
当m＝90时，可获得最低总运费，此时W＝34200元；
②当130≤m≤240时，W时关于m的二次函数，
对称轴m＝﹣＝150，
∵﹣0.1＜0，
∴当m＝240时，W有最小值，最小值为32940，
∵34200＞32940，
∴W最低为32940元，
∵32940＜33000，
∴此次调运疫苗最低总运费是在国家审批的范围内．
3．（2019春•增城区期末）为了让学生体验生活，某学校决定组织师生参加社会实践活动，现准备租用7辆客车，现有甲、乙两种客车，它们的载客量和租金如下表，设租用甲种客车x辆，租车总费用为y元．
甲种客车
乙种客车
载客量（人/辆）
60
45
租金（元/辆）
360
300
（1）求出y与x之间的函数关系式；
（2）若该校共有380名师生前往参加活动，确保每人都有座位坐，共有哪几种租车方案？
（3）在（2）的条件下，带队老师从学校预支租车费2500元，试问预支的租车费用是否有结余？若有结余，最多可以结余多少元？
【答案】（1） y＝60x+2100，（0≤x≤7，且x为整数）
（2）三种租车方案 （3）100元
【解答】解：（1）依题意得：y＝360x+300（7﹣x）＝60x+2100，（0≤x≤7，且x为整数）
（2）依题意得：
60x+45（7﹣x）≥380，
解之，得 ，
由（1）得 0≤x≤7，
∴x 的取值范围为：，
∵x 为整数，
∴x 的值为 5，6，7，
当 x＝5 时，7﹣x＝7﹣5＝2；当 x＝6 时，7﹣x＝7﹣6＝1；当 x＝7 时，7﹣x＝7﹣7＝0；
∴共有三种租车方案：
①租用甲种客车 5 辆，乙种客车 2 辆；
②租用甲种客车 6 辆，乙种客车 1 辆；
③租用甲种客车 7 辆，乙种客车 0 辆．
（3）由（1）得 y＝60x+2100，
∵k＝60≥0，
∴y 随 x 的增大而增大，
当 x＝5 时，y 的值最小，其最小值 y＝360×5+300×2＝2400，
∴最多可结余：2500﹣2400＝100（元），
答：在（2）的条件下，带队老师从学校预支租车费2500元，预支的租车费有结余，最多可以结余100元．
考点二：工程、生产、行程问题
4．（2021春•江夏区期末）在2018春季环境整治活动中，某社区计划对面积为1600m2的区域进行绿化．经投标，由甲、乙两个工程队来完成，若甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化面积的2倍，并且在独立完成面积为400m2区域的绿化时，甲队比乙队少用5天．
（1）求甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积；
（2）设甲工程队施工x天，乙工程队施工y天，刚好完成绿化任务，求y关于x的函数关系式；
（3）若甲队每天绿化费用是0.6万元，乙队每天绿化费用为0.25万元，且甲乙两队施工的总天数不超过25天，则如何安排甲乙两队施工的天数，使施工总费用最低？并求出最低费用．
【答案】（1） 甲、乙面积分别为80m2、40m2（2）y＝﹣2x+40
（3）x＝15时，W最低＝1.5+10＝11.5
【解答】解：（1）设乙队每天能完成绿化面积为am2，则甲队每天能完成绿化面积为2am2
根据题意得：
解得
a＝40
经检验，a＝40为原方程的解
则甲队每天能完成绿化面积为80m2
答：甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别为80m2、40m2
（2）由（1）得
80x+40y＝1600
整理的：
y＝﹣2x+40
（3）由已知y+x≤25
∴﹣2x+40+x≤25
解得x≥15
总费用W＝0.6x+0.25y＝0.6x+0.25（﹣2x+40）＝0.1x+10
∵k＝0.1＞0
∴W随x的增大而增大
∴当x＝15时，W最低＝1.5+10＝11.5
5．（2021秋•金牛区期末）某模具厂引进一种新机器，这种机器同一时间只能生产一种零件，每天只能工作8小时，每月工作25天．若一天用3小时生产A型零件、5小时生产B型零件共可生产34个；若一天用5小时生产A型零件、3小时生产B型零件则共可生产30个．
（1）每小时可单独加工A型零件、B型零件各多少个？
（2）按市场统计，一个A型零件的利润是150元，一个B型零件的利润是100元，设该模具厂每月安排x（小时）生产A型零件，这两种零件所获得的总利润为y（元），试写出y与x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）．
【答案】（1） A型零件3个，B型零件5个 （2）y＝﹣50x+100000
【解答】解：（1）设每小时可单独加工A型零件m个，B型零件n个，
根据题意得：，
解得；，
答：每小时可单独加工A型零件3个，B型零件5个；
（2）∵这种机器每天只能工作8小时，每月工作25天，
设该模具厂每月安排x（小时）生产A型零件，则每月安排（25×8﹣x）小时生产B零件，
由题意得：y＝150×3x+100×5（200﹣x）＝﹣50x+100000，
∴y与x的函数关系式为y＝﹣50x+100000．
6．（2020秋•沭阳县期末）学校与图书馆在同一条笔直道路上，甲从学校去图书馆，乙从图书馆回学校，甲、乙两人都匀速步行且同时出发，乙先到达目的地两人之间的距离y（米）与时间t（分钟）之间的函数关系如图所示．
（1）根据图象信息，当t＝ 分钟时甲乙两人相遇，甲的速度为 米/分钟；
（2）求出线段AB所表示的函数表达式．
（3）当t为何值时，甲、乙两人相距2000米？
【答案】（1）24，40 （2） y＝40t（40≤t≤60） （3）t＝4或t＝50
【解答】解：（1）甲乙两人相遇即是两人之间的距离y＝0，从图中可知此时x＝24（分钟），
图中可知甲用60分钟走完2400米，速度为2400÷60＝40（米/分钟），
故答案为：24，40；
（2）甲、乙速度和为2400÷24＝100（米/分钟），而甲速度为40米/分钟，
∴乙速度是60米/分钟，
∴乙达到目的地所用时间是2400÷60＝40（分钟），即A横坐标为40，
此时两人相距（40﹣24）×100＝1600（米），即A纵坐标为1600，
∴A（40，1600），
设线段AB所表示的函数表达式为y＝kt+b，将A（40，1600）、B（60，2400）代入得：
，解得k＝40，b＝0，
∴线段AB所表示的函数表达式为y＝40t（40≤t≤60），
（3）甲、乙两人相距2000米分两种情况：
①二人相遇前，两人路程和为2400﹣2000＝400（米），甲、乙两人相距2000米，此时t＝400÷100＝4（分钟），
②二人相遇后，乙达到目的地时二人相距1600米，甲再走400米两人就相距2000米，此时t＝40+400÷40＝50（分钟），
综上所述，二人相距2000时，t＝4或t＝50．
考点三：方案问题
7．某鲜花销售公司每月付给销售人员的工资有两种方案．
方案一：没有底薪，只付销售提成；
方案二：底薪加销售提成．
如图中的射线l1，射线l2分别表示该鲜花销售公司每月按方案一，方案二付给销售人员的工资y1（单位：元）和y2（单位：元）与其当月鲜花销售量x（单位：千克）（x≥0）的函数关系．
（1）分别求y1、y2与x的函数解析式（解析式也称表达式）；
（2）若该公司某销售人员今年3月份的鲜花销售量没有超过70千克，但其3月份的工资超过2000元．这个公司采用了哪种方案给这名销售人员付3月份的工资？
【答案】（1）y1＝30x（x≥0） ，y1＝30x（x≥0） （2）采用了方案一
【解答】解：（1）设y1＝k1x，
根据题意得40k1＝1200，
解得k1＝30，
∴y1＝30x（x≥0）；
设y2＝k2x+b，
根据题意，得，
解得，
∴y2＝10x+800（x≥0）；
（2）当x＝70时，
y1＝30×70＝2100＞2000；
y2＝10×70+800＝1500＜2000；
∴这个公司采用了方案一给这名销售人员付3月份的工资．
1．（2021春•饶平县校级期末）小王花1200元从农贸市场购进批发价分别为每箱30元与50元的A、B两种水果进行销售，并分别以每箱35元与60元的价格售出，设购进A水果x箱，B水果y箱．
（1）若小王将水果全部售出共赚了215元，则小王共购进A、B水果各多少箱？
（2）若要求购进A水果的数量不得少于B水果的数量，则应该如何分配购进A、B水果的数量并全部售出才能获得最大利润，此时最大利润是多少？
【答案】（1）A种水果25箱，B种水果9箱 （2）购进水果A、B的数量均为15箱并全部售出才能获得最大利润，此时最大利润为225元．
【解答】解：（1）由题意可得，
，
解得，
答：小王共购进A种水果25箱，B种水果9箱．
（2）设利润为W元，
W＝（35﹣30）x+（60﹣50）y＝5x+10×＝﹣x+240．
∵购进A水果的数量不得少于B水果的数量，
∴x≥，解得：x≥15．
∵﹣1＜0，
∴W随x的增大而减小，
∴当x＝15时，W取最大值，最大值为225，此时y＝（1200﹣30×15）÷50＝15．
答：购进水果A、B的数量均为15箱并全部售出才能获得最大利润，此时最大利润为225元．
2．（2020秋•秦都区期末）某工厂新开发生产一种机器，每台机器成本y（万元）与生产数量x（台）之间满足一次函数关系（其中10≤x≤70，且x为整数），函数y与自变量x的部分对应值如表：
x（单位：台）
10
20
y（单位：万元/台）
60
55
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）市场调查发现，这种机器每月销售量z（台）与售价a（万元/台）之间满足如图所示的函数关系．若该厂第一个月生产这种机器40台，且都按同一售价全部售出，请求出该厂第一个月销售这种机器的总利润．（注：利润＝售价﹣成本）
【答案】（1）y＝﹣0.5x+65 （2）200万元
【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，根据题意，得，
解得：，
即y与x之间的函数关系式为y＝﹣0.5x+65．
（2）当x＝40时，y＝﹣0.5×40+65＝45．
设z与a之间的函数关系式为z＝ma+n，根据题意，得，
解得：，
即z与a之间的函数关系式为z＝﹣a+90．
当z＝40时，40＝﹣a+90，
解得，a＝50，
（50﹣45）×40＝200（万元）．
答：该厂第一个月销售这种机器的总利润是200万元．
3．（2020秋•浦东新区校级期末）有两段长度相等的河渠挖掘任务，分别交给甲、乙两个工程队同时进行挖掘．如图是反映所挖河渠长度y（米）与挖掘时间x（时）之间关系的部分图象．请解答下列问题：
（1）乙队开挖到30米时，用了 小时，开挖6小时，甲队比乙队多挖了 米；
（2）甲队在0≤x≤6的时段内，y与x之间的函数关系式是 ；
（3）在开挖6小时后，如果甲、乙两队施工速度不变，完成总长110米的挖掘任务，乙队比甲队晚 小时完成．
【答案】（1） 2，10 （2）y＝10x（0≤x≤6） （3）7
【解答】解：（1）由图可知：乙队开挖到30米时，用了2小时，
开挖6小时时，甲队挖了60米，乙队挖了50米，
所以甲队比乙队多挖了60﹣50＝10米，
故答案为：2，10；
（2）设2小时后乙的解析式为：y＝kx（k≠0），
把C（6，60）代入得：6k＝60，
k＝10，
∴2小时后乙的解析式为：y＝10x，
即y与x之间的函数关系式是：y＝10x（0≤x≤6）．
故答案是：y＝10x（0≤x≤6）；
（3）开挖6小时，甲挖了60米，甲的速度为10米/小时，
∵要完成总长110米的挖掘任务，
∴甲再挖50米，所需时间为50÷10＝5小时；
开挖6小时，乙挖了50米，乙的速度为＝5米/小时，
∵要完成总长110米的挖掘任务，
∴乙需再挖60米，所用时间为60÷5＝12（小时），
则12﹣5＝7（小时），
∴乙队比甲队晚7小时完成．
故答案是：7．
4．（2021春•华容县期末）某玩具批发市场A、B玩具的批发价分别为每件30元和50元，张阿姨花1200元购进A、B两种玩具若干件，并分别以每件35元与60元价格出售．设购入A玩具为x件，B玩具为y件．
（1）若张阿姨将玩具全部出售赚了220元，那么张阿姨购进A、B型玩具各多少件？
（2）若要求购进A玩具的数量不得少于B玩具的数量，则怎样分配购进玩具A、B的数量并全部售出才能获得最大利润，此时最大利润为多少？
【答案】（1）A型玩具20件，B型玩具12件 （2）购进玩具A、B的数量均为15件并全部售出才能获得最大利润，此时最大利润为225元．
【解答】解：（1）由题意可得，，
解得，．
答：张阿姨购进A型玩具20件，B型玩具12件；
（2）设利润为w元，
w＝（35﹣30）x+（60﹣50）y＝5x+10×＝﹣x+240，
∵购进A玩具的数量不得少于B玩具的数量，
∴x≥，
解得：x≥15，
∵﹣1＜0，
∴w随x的增大而减小，
∴当x＝15时，w取最大值，最大值为225，
此时y＝（1200﹣30×15）÷50＝15，
故购进玩具A、B的数量均为15件并全部售出才能获得最大利润，此时最大利润为225元．
5．（2020•老河口市模拟）2020年是全面建成小康社会目标实现之年，是全面打赢脱贫攻坚战收官之年．我市始终把产业扶贫摆在突出位置，建立了A，B两个扶贫种植基地．为了帮扶我市的扶贫产业，扶贫办联系了C，D两家肥料厂对我市共捐赠100吨肥料，将这100吨肥料平均分配到A，B两个种植基地．已知C厂捐赠的肥料比D厂捐赠的肥料的2倍少20吨，从C，D两厂将肥料运往A，B两地的费用如表：
C厂
D厂
运往A地（元/吨）
22
20
运往B地（元/吨）
20
22
（1）求C，D两厂捐赠的肥料的数量各是多少吨；
（2）设从C厂运往A地肥料x吨，从C，D两厂运输肥料到A，B两地的总运费为y元，求y与x的函数关系式，并求出最少总运费；
（3）由于从D厂到B地开通了一条新的公路，使D厂到B地的运费每吨减少了a（0＜a＜6）元，这时怎样调运才能使总运费最少？
【答案】（1）C厂捐赠的数量是60吨，则D厂捐赠的数量是40吨
（2） y＝4x+1980（10≤x≤50），最少总运费为2020元
（3）①当0＜a＜4时，y随x的减小而减小，当x＝10时，y取最小值，y＝2020；
②当a＝4时，不管x取何值，均有y＝2020；
③当4＜a＜6时，y随x的减小而增大，当x＝50时，y取最小值，y＝2180﹣40a．
【解答】解：（1）设D厂捐赠的数量是a吨，则C厂捐赠的数量是（2a﹣20）吨．
根据题意可得，a+2a﹣20＝100，
解得，a＝40，
则2a﹣20＝60．
答：C厂捐赠的数量是60吨，则D厂捐赠的数量是40吨．
（2）根据题意可得，从C厂运往A地肥料x吨，从C厂运往B地肥料（60﹣x）吨；从D厂运往A地肥料（50﹣x）吨，从D厂运往B地肥料（x﹣10）吨．
由题意可得，y＝22x+20（60﹣x）+20（50﹣x）+22（x﹣10）＝4x+1980，
根据实际意义可得，，
解得，10≤x≤50，
∵4＞0，
∴y随x的减小而减小，
∴当x＝10时，y取最小值2020．
答：y与x的函数关系式为y＝4x+1980（10≤x≤50），最少总运费为2020元．
（3）在（2）的基础上，可得，y＝22x+20（60﹣x）+20（50﹣x）+（22﹣a）（x﹣10）＝（4﹣a）x+（1980+10a）（10≤x≤50，0＜a＜6），
①当4﹣a＞0，即0＜a＜4时，y随x的减小而减小，当x＝10时，y取最小值，y＝2020；
②当a＝4时，不管x取何值，均有y＝2020；
③当4﹣a＜0，即4＜a＜6时，y随x的减小而增大，当x＝50时，y取最小值，y＝2180﹣40a．
综上，①当0＜a＜4时，y随x的减小而减小，当x＝10时，y取最小值，y＝2020；
②当a＝4时，不管x取何值，均有y＝2020；
③当4＜a＜6时，y随x的减小而增大，当x＝50时，y取最小值，y＝2180﹣40a．
1．（2020•广安）某小区为了绿化环境，计划分两次购进A，B两种树苗，第一次购进A种树苗30棵，B种树苗15棵，共花费1350元；第二次购进A种树苗24棵，B种树苗10棵，共花费1060元．（两次购进的A，B两种树苗各自的单价均不变）
（1）A，B两种树苗每棵的价格分别是多少元？
（2）若购买A，B两种树苗共42棵，总费用为W元，购买A种树苗t棵，B种树苗的数量不超过A种树苗数量的2倍．求W与t的函数关系式．请设计出最省钱的购买方案，并求出此方案的总费用．
【答案】（1）A种树苗每棵的价格40元，B种树苗每棵的价格10元；
（2）A种花草的数量为14棵、B种28棵，费用最省；最省费用是840元．
【解答】解：（1）设A种树苗每棵的价格x元，B种树苗每棵的价格y元，根据题意得：
，
解得，
答：A种树苗每棵的价格40元，B种树苗每棵的价格10元；
（2）设A种树苗的数量为t棵，则B种树苗的数量为（42﹣t）棵，
∵B种树苗的数量不超过A种树苗数量的2倍，
∴42﹣t≤2t，
解得：t≥14，
∵t是正整数，
∴t最小值＝14，
设购买树苗总费用为W＝40t+10（42﹣t）＝30t+420，
∵k＞0，
∴W随t的减小而减小，
当t＝14时，W最小值＝30×14+420＝840（元）．
答：购进A种花草的数量为14棵、B种28棵，费用最省；最省费用是840元．
2．（2020•云南）众志成城抗疫情，全国人民在行动．某公司决定安排大、小货车共20辆，运送260吨物资到A地和B地，支援当地抗击疫情．每辆大货车装15吨物资，每辆小货车装10吨物资，这20辆货车恰好装完这批物资．已知这两种货车的运费如下表：
目的地
车型
A地（元/辆）
B地（元/辆）
大货车
900
1000
小货车
500
700
现安排上述装好物资的20辆货车中的10辆前往A地，其余前往B地，设前往A地的大货车有x辆，这20辆货车的总运费为y元．
（1）这20辆货车中，大货车、小货车各有多少辆？
（2）求y与x的函数解析式，并直接写出x的取值范围；
（3）若运往A地的物资不少于140吨，求总运费y的最小值．
【答案】（1）大货车、小货车各有12与8辆 （2）y＝100x+15600 （2≤x≤10）x为整数 （3）当x＝8时，y有最小值，此时y＝100×8+15600＝16400元，
【解答】解：（1）设大货车、小货车各有m与n辆，
由题意可知：，
解得：
答：大货车、小货车各有12与8辆
（2）设到A地的大货车有x辆，
则到A地的小货车有（10﹣x）辆，
到B地的大货车有（12﹣x）辆，
到B地的小货车有（x﹣2）辆，
∴y＝900x+500（10﹣x）+1000（12﹣x）+700（x﹣2）
＝100x+15600，
其中2≤x≤10，x为整数．
（3）运往A地的物资共有[15x+10（10﹣x）]吨，
15x+10（10﹣x）≥140，
解得：x≥8，
∴8≤x≤10，x为整数，
当x＝8时，
y有最小值，此时y＝100×8+15600＝16400元，
答：总运费最小值为16400元．
3．（2021•青岛）某超市经销甲、乙两种品牌的洗衣液，进货时发现，甲品牌洗衣液每瓶的进价比乙品牌高6元，用1800元购进甲品牌洗衣液的数量是用1800元购进乙品牌洗衣液数量的．销售时，甲品牌洗衣液的售价为36元/瓶，乙品牌洗衣液的售价为28元/瓶．
（1）求两种品牌洗衣液的进价；
（2）若超市需要购进甲、乙两种品牌的洗衣液共120瓶，且购进两种洗衣液的总成本不超过3120元，超市应购进甲、乙两种品牌洗衣液各多少瓶，才能在两种洗衣液完全售出后所获利润最大？最大利润是多少元？
【答案】（1） 甲进价是30元，乙进价是24元 （2）应购进甲品牌洗衣液40瓶，乙品牌洗衣液80瓶，才能在两种洗衣液完全售出后所获利润最大，最大利润是560元
【解答】解：（1）设甲品牌洗衣液每瓶的进价是x元，则乙品牌洗衣液每瓶的进价是（x﹣6）元，
依题意得：，
解得：x＝30，
经检验，x＝30是原方程的解，且符合题意，
∴x﹣6＝24（元）．
答：甲品牌洗衣液每瓶的进价是30元，乙品牌洗衣液每瓶的进价是24元；
（2）设可以购买甲品牌洗衣液m瓶，则可以购买（120﹣m）瓶乙品牌洗衣液，
依题意得：30m+24（120﹣m）≤3120，
解得：m≤40．
依题意得：y＝（36﹣30）m+（28﹣24）（120﹣m）＝2m+480，
∵k＝2＞0，
∴y随m的增大而增大，
∴m＝40时，y取最大值，y最大值＝2×40+480＝560．
120﹣40＝80（瓶），
答：超市应购进甲品牌洗衣液40瓶，乙品牌洗衣液80瓶，才能在两种洗衣液完全售出后所获利润最大，最大利润是560元．
4．（2021•宿迁）一辆快车从甲地驶往乙地，一辆慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，匀速行驶，两车在途中相遇时，快车恰巧出现故障，慢车继续驶往甲地，快车维修好后按原速继续行驶乙地，两车到达各地终点后停止，两车之间的距离s（km）与慢车行驶的时间t（h）之间的关系如图：
（1）快车的速度为 km/h，C点的坐标为 ．
（2）慢车出发多少小时后，两车相距200km．
【答案】（1） 100，（8，480） （2）出发h或h时两车相距200km．
【解答】解：（1）由图象可知：慢车的速度为：60÷（4﹣3）＝60（km/h），
∵两车3小时相遇，此时慢车走的路程为：60×3＝180（km），
∴快车的速度为：（480﹣180）÷3＝300÷3＝100（km/h），
通过图象和快车、慢车两车速度可知快车比慢车先到达终点，
∴慢车到达终点时所用时间为：480÷60＝8（h），
∴C点坐标为：（8，480），
故答案为：100，（8，480）；
（2）设慢车出发t小时后两车相距200km，
①相遇前两车相距200km，
则：60t+100t+200＝480，
解得：t＝，
②相遇后两车相距200km，
则：60t+100（t﹣1）﹣480＝200，
解得：t＝，
∴慢车出发h或h时两车相距200km，
答：慢车出发h或h时两车相距200km．
5．（2020•广西）倡导垃圾分类，共享绿色生活．为了对回收的垃圾进行更精准的分类，某机器人公司研发出A型和B型两款垃圾分拣机器人，已知2台A型机器人和5台B型机器人同时工作2h共分拣垃圾3.6吨，3台A型机器人和2台B型机器人同时工作5h共分拣垃圾8吨．
（1）1台A型机器人和1台B型机器人每小时各分拣垃圾多少吨？
（2）某垃圾处理厂计划向机器人公司购进一批A型和B型垃圾分拣机器人，这批机器人每小时一共能分拣垃圾20吨．设购买A型机器人a台（10≤a≤45），B型机器人b台，请用含a的代数式表示b；
（3）机器人公司的报价如下表：
型号
原价
购买数量少于30台
购买数量不少于30台
A型
20万元/台
原价购买
打九折
B型
12万元/台
原价购买
打八折
在（2）的条件下，设购买总费用为w万元，问如何购买使得总费用w最少？请说明理由．
【答案】（1） 1台A型机器人和1台B型机器人每小时各分拣垃圾0.4吨和0.2吨
（2）b＝100﹣2a（10≤a≤45）
（3）A型号机器人35台时，总费用w最少，此时需要918万元
【解答】解：（1）设1台A型机器人和1台B型机器人每小时各分拣垃圾x吨和y吨，
由题意可知：，
解得：，
答：1台A型机器人和1台B型机器人每小时各分拣垃圾0.4吨和0.2吨．
（2）由题意可知：0.4a+0.2b＝20，
∴b＝100﹣2a（10≤a≤45）．
（3）当10≤a＜30时，
此时40＜b≤80，
∴w＝20×a+0.8×12（100﹣2a）＝0.8a+960，
当a＝10时，此时w有最小值，w＝968，
当30≤a≤35时，
此时30≤b≤40，
∴w＝0.9×20a+0.8×12（100﹣2a）＝﹣1.2a+960，
当a＝35时，此时w有最小值，w＝918，
当35＜a≤45时，
此时10≤b＜30，
∴w＝0.9×20a+12（100﹣2a）＝﹣6a+1200
当a＝45时，
w有最小值，此时w＝930，
答：选购A型号机器人35台时，总费用w最少，此时需要918万元．
6．（2020•德阳）推进农村土地集约式管理，提高土地的使用效率是新农村建设的一项重要举措．某村在小城镇建设中集约了2400亩土地，计划对其进行平整．经投标，由甲乙两个工程队来完成平整任务．甲工程队每天可平整土地45亩，乙工程队每天可平整土地30亩．已知乙工程队每天的工程费比甲工程队少500元，当甲工程队所需工程费为12000元，乙工程队所需工程费为9000元时，两工程队工作天数刚好相同．
（1）甲乙两个工程队每天各需工程费多少元？
（2）现由甲乙两个工程队共同参与土地平整，已知两个工程队工作天数均为正整数，且所有土地刚好平整完，总费用不超过110000元．
①甲乙两工程队分别工作的天数共有多少种可能？
②写出其中费用最少的一种方案，并求出最低费用．
【答案】（1甲每天需工程费2000元、乙工程队每天需工程费1500元）
（2）甲乙两工程队分别工作的天数共有7种可能 （3）最低费用为107000元
【解答】解：（1）设甲每天需工程费x元、乙工程队每天需工程费（x﹣500）元，
由题意，＝，
解得x＝2000，
经检验，x＝2000是分式方程的解．
答：甲每天需工程费2000元、乙工程队每天需工程费1500元．
（2）①设甲平整x天，则乙平整y天．
由题意，45x+30y＝2400①，且2000x+1500y≤110000②，
由①得到y＝80﹣1.5x③，
把③代入②得到，2000x+1500（80﹣1.5x）≤110000，
解得，x≥40，
∵y＞0，
∴80﹣1.5x＞0，
x＜53.3，
∴40≤x＜53.3，
∵x，y是正整数，
∴x＝40，y＝20或x＝42，y＝17或x＝44，y＝14或x＝46，y＝11或x＝48，y＝8或x＝50，y＝5或x＝52，y＝2．
∴甲乙两工程队分别工作的天数共有7种可能．
②总费用w＝2000x+1500（80﹣1.5x）＝﹣250x+120000，
∵﹣250＜0，
∴w随x的增大而减小，
∴x＝52时，w的最小值＝107000（元）．
答：最低费用为107000元．
7．（2021•湘西州）2020年以来，新冠肺炎的蔓延促使世界各国在线教育用户规模不断增大．网络教师小李抓住时机，开始组建团队，制作面向A、B两个不同需求学生群体的微课视频．已知制作3个A类微课和5个B类微课需要4600元成本，制作5个A类微课和10个B类微课需要8500元成本．李老师又把做好的微课出售给某视频播放网站，每个A类微课售价1500元，每个B类微课售价1000元．该团队每天可以制作1个A类微课或者1.5个B类微课，且团队每月制作的B类微课数不少于A类微课数的2倍（注：每月制作的A、B两类微课的个数均为整数）．假设团队每月有22天制作微课，其中制作A类微课a天，制作A、B两类微课的月利润为w元．
（1）求团队制作一个A类微课和一个B类微课的成本分别是多少元？
（2）求w与a之间的函数关系式，并写出a的取值范围；
（3）每月制作A类微课多少个时，该团队月利润w最大，最大利润是多少元？
【答案】（1） A类微课的成本为700元，B类微课的成本为500元
（3） 当a＝8时，w有最大值，w最大＝50×8+16500＝16900（元）
【解答】解：（1）设团队制作一个A类微课的成本为x元，制作一个B类微课的成本为y元，根据题意得：
，
解得，
答：团队制作一个A类微课的成本为700元，制作一个B类微课的成本为500元；
（2）由题意，得w＝（1500﹣700）a+（1000﹣500）×1.5（22﹣a）＝50a+16500；
1.5（22﹣a）≥2a，
解得a≤，
又∵每月制作的A、B两类微课的个数均为整数，
∴a的值为0，2，4，6，8．
（3）由（2）得w＝50a+16500，
∵50＞0，
∴w随a的增大而增大，
∴当a＝8时，w有最大值，w最大＝50×8+16500＝16900（元）．
答：每月制作A类微课8个时，该团队月利润w最大，最大利润是16900元．
1．（2021•玉泉区二模）甲、乙两个工程队共同承担一项筑路任务，甲队单独施工完成此项任务比乙队单独施工完成此项任务多用10天，且甲队单独施工45天和乙队单独施工30天的工作量相同．
（1）甲、乙两队单独完成此项任务各需多少天？
（2）设先由甲队施工x天，再由乙队施工y天，刚好完成筑路任务，求y与x之间的函数关系式．
（3）在（2）的条件下，若每天需付给甲队的筑路费用为0.1万元，需付给乙队的筑路费用为0.2万元，且甲、乙两队施工的总天数不超过24天，则如何安排甲、乙两队施工的天数，使施工费用最少，并求出最少费用．
【答案】（1） 甲、乙各需30天、20天 （2）y＝﹣x+20
（3）甲施工12天、乙施工12天，使施工费用最少，最少费用是3.6万元．
【解答】解：（1）设乙队完成此项任务需要x天，则甲队完成此项任务（x+10）天，
，
解得，x＝20，
经检验，x＝20是原分式方程的解，
∴x+10＝30，
答：甲、乙两队单独完成此项任务各需30天、20天；
（2）由题意可得，
＝1，
化简，得
y＝﹣x+20，
即y与x之间的函数关系式是y＝﹣x+20；
（3）设施工的总费用为w元，
w＝0.1x+0.2y＝0.1x+0.2×（﹣x+20）＝x+4，
∵甲、乙两队施工的总天数不超过24天，
∴x+y≤24，
即x+（﹣x+20）≤24，
解得，x≤12，
∴当x＝12时，w取得最小值，此时w＝3.6，y＝12，
答：安排甲施工12天、乙施工12天，使施工费用最少，最少费用是3.6万元．
2．（2021•富平县二模）甲、乙两家草莓采摘园的草莓品质相同，销售价格也相同．“五一”假期，两家均推出了优惠方案，甲采摘园的优惠方案：游客进园需购买60元的门票，采摘的草莓六折优惠；乙采摘园的优惠方案：游客进园不需购买门票，采摘的草莓超过一定数量后，超过部分打折优惠．优惠期间，设某游客的草莓采摘量为x（千克），在甲采摘园所需总费用为y甲（元），在乙采摘园所需总费用为y乙（元），图中折线O﹣A﹣B表示y乙与x之间的函数关系．
（1）求y甲、y乙与x之间的函数关系式；
（2）当游客采摘15千克的草莓时，你认为他在哪家草莓园采摘更划算？
【答案】（1） y乙＝ （2）甲家草莓园采摘更划算
【解答】解：（1）根据题意得，甲、乙两采摘园优惠前的草莓销售价格：300÷10＝30（元/千克）．
∴y甲＝30×0.6x+60＝18x+60；
当0＜x≤10时，y乙＝30x；
当x＞10时，设y乙＝kx+b，
由题意的：，
解得，
∴y乙＝12x+180，
∴y乙与x之间的函数关系式为：y乙＝；
（2）当x＝15时，y甲＝18×15+60＝330，
y乙＝12×15+180＝360，
∴y甲＜y乙，
∴他在甲家草莓园采摘更划算．
3．（2021•五华区校级模拟）截至3月20日，全国累计报告接种新型冠状病毒疫苗7495.6万剂次．为了满足市场需求，尽快让全国人民都打上疫苗，某公司计划新增10个大、小两种车间共同生产同一种新型冠状病毒疫苗，已知1个大车间和2个小车间每周能生产疫苗共35万剂，2个大车间和1个小车间每周能生产疫苗共40万剂，大车间生产1万剂疫苗的平均成本为80万元，小车间生产1万剂疫苗的平均成本为70万元．
（1）该公司大车间、小车间每周分别能生产疫苗多少万剂？
（2）设新增x个大车间，新增的10个车间每周生产疫苗的总成本为y万元，求y与x的函数解析式（也称关系式），并直接写出x的取值范围；
（3）若新增的10个车间每周生产的疫苗不少于140万剂，新增的车间一共有哪几种新增方案，哪一种方案每周生产疫苗的总成本y最小？
【答案】（1） 大车间每周能生产疫苗15万剂、小车间每周能生产疫苗10万剂
（2） y＝150x+7000（0＜x＜10，x为整数）；（3）新增8个大车间，2个小车间
【解答】解：（1）设大车间每周能生产疫苗x万剂、小车间每周能生产疫苗y万剂．，
由题意得：，
解得，
答：该公司大车间每周能生产疫苗15万剂、小车间每周能生产疫苗10万剂；
（2）设新增x个大车间，则新增的小车间有（10﹣x）个，根据题意，得：
y＝80×15x+70×10（10﹣x）＝150x+7000（0＜x＜10，x为整数）；
（3）由题意得：15x+10（10﹣x）≥140，
解得：x≥8，
由（2）得：y＝150x+7000，其中0＜x＜10，且x是整数，
∴8≤x＜10，且x是整数，
∴共有2种方案：
方案一：新增8个大车间，2个小车间；
方案二：新增9个大车间，3个小车间；
∵k＝150＞0，
∴y随x的增大而增大，
∴当x＝8时，总成本y最小．
即新增8个大车间，2个小车间时每周生产疫苗的总成本y最小．
4．（2021•南关区校级一模）已知A，B两地之间有一条长240千米的公路．甲车从A地出发匀速开往B地，甲车出发半小时后，乙车从A地出发沿同一路线匀速追赶甲车，两车相遇后，乙车原路原速返回A地．两车之间的距离y（千米）与甲车行驶时间x（小时）之间的函数关系如图所示，请解答下列问题：
（1）甲车的速度是 千米/时，乙车的速度是 千米/时，m＝ ．
（2）求乙车返回过程中，y与x之间的函数关系式．
（3）当甲、乙两车相距160千米时，直接写出甲车的行驶时间．
【答案】（1） 60，80，3.5； （2） y＝140x﹣280（2≤x≤3.5） （3）小时
【解答】解：（1）由图象可得，
甲车的速度为：30÷0.5＝60（千米/时），
乙车的速度为：60×2÷（2﹣0.5）＝80（千米/时），
m＝2+（2﹣0.5）＝2+1.5＝3.5，
故答案为：60，80，3.5；
（2）当x＝3.5时，y＝1.5×（60+80）＝210，
设乙车返回过程中，y与x之间的函数关系式是y＝kx+b，
∵点（2，0），（3.5，210）在该函数图象上，
∴，
解得，
即乙车返回过程中，y与x之间的函数关系式是y＝140x﹣280（2≤x≤3.5）；
（3）当y＝160时，160＝140x﹣280，
解得x＝，
答：当甲、乙两车相距160千米时，甲车的行驶时间是小时．
5．（2021•枣阳市模拟）为推进美丽乡村建设，改善人居环境，创建美丽家园．我市甲、乙两工厂积极生产了某种建设物资共800吨，甲工厂的生产量比乙工厂的2倍少100吨，这批建设物资将运往A地420吨，B地380吨，运费如表：（单位：元/吨）
目的地
生产厂
A
B
甲
25
20
乙
15
24
（1）求甲、乙两厂各生产了这批建设物资多少吨？
（2）设这批物资从甲工厂运往A地x吨，全部运往A，B两地的总运费为y元，求y与x之间的函数关系式，写出x的取值范围并设计使总运费最少的调运方案；
（3）由于甲工厂到A地的路况得到了改善，缩短了运输距离和运输时间，运费每吨降低m元（0＜m≤15），其余路线运费不变．若到A，B两市的总运费的最小值不小于14020元，求m的取值范围．
【答案】（1） 甲、乙两厂分别生产了这批建设物资500吨、300吨
（2） 甲工厂运往A地120吨，运往B地380吨；乙工厂运往A地300吨
（3） m的取值范围是0＜m≤9
【解答】解：（1）设这批建设物资甲厂生产了a吨，乙厂生产了b吨，
由题意可得，，
解得，
答：甲、乙两厂分别生产了这批建设物资500吨、300吨；
（2）由题意可得，
y＝25x+20（500﹣x）+15（420﹣x）+24[380﹣（500﹣x）]＝14x+13420（120≤x≤420），
∵k＝14＞0，
∴y随x的增大而增大，
∴当x＝120时运费最小，此时500﹣x＝380，420﹣x＝300，380﹣380＝0，
答：总运费最少的调运方案是：甲工厂运往A地120吨，运往B地380吨；乙工厂运往A地300吨；
（3）由题意可得，
y＝14x+13420﹣mx＝（14﹣m）x+13420，
当0＜m＜14时，14﹣m＞0，则y随x的增大而增大．
∴当x＝120时，y取得最小值，此时y＝（14﹣m）×120+13420≥14020，
解得m≤9，
∴0＜m≤9；
当m＝14时，14﹣m＝0，y＝13420不合题意，舍去；
当14＜m≤15时，
14﹣m＜0，y随x的增大而减少，
∴当x＝420时，y取得最小值，此时y＝（14﹣m）×420+13420≥14020，
解得m≤12（舍去），
由上可得，m的取值范围是0＜m≤9．
6．（2021•广西模拟）某商店销售一种商品，经市场调查发现：当该商品的售价是50元时，可以销售100件，且利润为1000元；当该商品的售价是60元时，可以销售80件，且利润为1600元．
（1）该商品的进价是多少元/件？
（2）当用字母x表示商品的售价，用字母y表示商品的销售量时，发现本题中x，y的值总是满足关系式：y＝kx+b，请同学们根据题目提供的数据求出k，b的值，并求出当售价为70元时，销售利润是多少？
（3）在第2问的基础上，商品的销售量y与商品的售价x的关系保持不变，当商品的售价为80元时，每售出一件商品将捐赠a（a＞0）元给希望工程，要使最大利润不小于1400，求出a的取值范围．
【答案】（1）40元/件 （2），当售价为70元时，销售利润是1800元
（3）0＜a≤5
【解答】解：（1）∵100件商品的利润为1000元，
∴一件衣服的利润为1000÷100＝10（元）；
50﹣10＝40（元/件）
∴该商品的进价是40元/件；
（2）把x＝50，y＝100；x＝60，y＝80分别代入y＝kx+b得：
，
解得：，
由题意得：，
解得：40≤x≤100，
∴y＝﹣2x+200（40≤x≤100），
当x＝70元时，y＝﹣2×70+200＝60，
销售利润为：（70﹣40）×60＝1800（元）．
∴，当售价为70元时，销售利润是1800元；
（3）由题意得，当x＝80元时，y＝﹣2×80+200＝40，
要使最大利润不小于1400，则有：（80﹣40﹣a）×40≥1400，
解得：a≤5，
∵a＞0，
∴a的取值范围是0＜a≤5．
7．（2021•开福区模拟）为加强校园文化建设，某校准备打造校园文化墙，需用甲、乙两种石材经市场调查，甲种石材的费用y（元）与使用面积x（m2）间的函数关系如图所示，乙种石材的价格为每平方米50元．
（1）求y与x间的函数解析式；
（2）若校园文化墙总面积共600m2，其中使用甲石材xm2，设购买两种石材的总费用为w元，请直接写出w与x间的函数解析式；
（3）在（2）的前提下，若甲种石材使用面积多于300m2，且不超过乙种石材面积的2倍，那么应该怎样分配甲、乙两种石材的面积才能使总费用最少？最少总费用为多少元？
【答案】（1） y＝ （2）y＝
（3）甲种石材400m2，乙种石材200m2时，总费用最少，最少总费用为37000元
【解答】解：（1）①0≤x≤300时，
设y＝kx+b（k≠0），
过（0，0），（300，24000），
，
解得，
∴y＝80x，
②x＞300时，
设y＝kx+b（k≠0），
过（300，24000），（500，30000），
，
解得，
∴y＝30x+15000，
∴y＝；
（2）当0≤x≤300时，w＝80x+50（600﹣x）＝30x+30000；
当x＞300时，w＝30x+15000+50（600﹣x），
即w＝﹣20x+45000；
∴y＝；
（3）设甲种石材为 am2，则乙种石材（600﹣a）m2，
，
∴300＜x≤400，
由（2）知w＝﹣20x+45000，
∵k＝﹣20＜0，
∴W随x的增大而减小，
即甲400m2，乙200m2时，
Wmin＝﹣20×400+45000＝37000．
答：甲种石材400m2，乙种石材200m2时，总费用最少，最少总费用为37000元．
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