初中数学中考复习 考点09 一次函数-中考数学考点一遍过

这是一份初中数学中考复习 考点09 一次函数-中考数学考点一遍过，共40页。试卷主要包含了正比例函数的概念，一次函数，一次函数的图象及性质，待定系数法，一次函数与方程，一次函数图象与图形面积，一次函数的实际应用等内容，欢迎下载使用。

考点09 一次函数

一、正比例函数的概念
一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k叫做正比例系数．
二、一次函数
1.一次函数的定义
一般地，形如y=kx+b(k，b为常数，且k≠0)的函数叫做x的一次函数.
特别地，当一次函数y=kx+b中的b=0时，y=kx（k是常数，k≠0）．这时， y叫做x的正比例函数．
2.一次函数的一般形式
一次函数的一般形式为y=kx+b，其中k，b为常数，k≠0．
一次函数的一般形式的结构特征：学&科网
（1）k≠0，（2）x的次数是1；（3）常数b可以为任意实数.
3.注意
（1）正比例函数是一次函数，但一次函数不一定是正比例函数.
（2）一般情况下，一次函数的自变量的取值范围是全体实数.
（3）如果一个函数是一次函数，则含有自变量x的式子是一次的，系数k不等于0，而b可以为任意实数．
（4）判断一个函数是不是一次函数，就是判断它是否能化成y=kx+b（k≠0）的形式.
（5）一次函数的一般形式可以转化为含x、y的二元一次方程.
三、一次函数的图象及性质
1．正比例函数的图象特征与性质
正比例函数y=kx（k≠0）的图象是经过原点（0，0）的一条直线．
k的符号
函数图象
图象的位置
性质
k>0

图象经过第一、三象限
y随x的增大而增大
k <0

图象经过第二、四象限
y随x的增大而减小

2.一次函数的图象特征与性质
（1）一次函数的图象
一次函数的图象
一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是经过点(0，b)和(-，0)的一条直线
图象关系
一次函数y=kx+b(k≠0)的图象可由正比例函数y=kx(k≠0)的图象平移得到；b>0，向上平移b个单位长度；b<0，向下平移|b|个单位长度
图象确定
因为一次函数的图象是一条直线，由两点确定一条直线可知画一次函数图象时，只要取两点即可
（2）一次函数的性质
函数
字母取值
图象
经过的象限
函数性质
y=kx+b
(k≠0)
k>0，b>0

一、二、三
y随x的增大而增大
k>0，b<0

一、三、四
y=kx+b
(k≠0)
k<0，b>0

一、二、四
y随x的增大而减小
k<0，b<0

二、三、四
3.k，b的符号与直线y=kx+b（k≠0）的关系
在直线y=kx+b（k≠0）中，令y=0，则x=- ，即直线y=kx+b与x轴交于（–，0）．
①当–>0时，即k，b异号时，直线与x轴交于正半轴．
②当–=0，即b=0时，直线经过原点．
③当–<0，即k，b同号时，直线与x轴交于负半轴．
4.两直线y=k1x+b1（k1≠0）与y=k2x+b2（k2≠0）的位置关系：
①当k1=k2，b1≠b2，两直线平行；
②当k1=k2，b1=b2，两直线重合；
③当k1≠k2，b1=b2，两直线交于y轴上一点；
④当k1·k2=–1时，两直线垂直．
四、待定系数法
1．定义：
先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知数的系数，从而得出函数解析式的方法叫做待定系数法．
2．待定系数法求正比例函数解析式的一般步骤
（1）设含有待定系数的函数解析式为y=kx（k≠0）．
（2）把已知条件（自变量与函数的对应值）代入解析式，得到关于系数k的一元一次方程．
（3）解方程，求出待定系数k．
（4）将求得的待定系数k的值代入解析式．
3．待定系数法求一次函数解析式的一般步骤
（1）设出含有待定系数k、b的函数解析式y=kx+b．
（2）把两个已知条件（自变量与函数的对应值）代入解析式，得到关于系数k，b的二元一次方程组．
（3）解二元一次方程组，求出k，b．
（4）将求得的k，b的值代入解析式．
五、一次函数与正比例函数的区别与联系


正比例函数
一次函数
区别
一般形式
y=kx+b（k是常数，且k≠0）
y=kx+b（k，b是常数，且k≠0）
图象
经过原点的一条直线
一条直线
k，b符号的作用
k的符号决定其增减性，同时决定直线所经过的象限
k的符号决定其增减性；b的符号决定直线与y轴的交点位置；k，b的符号共同决定直线经过的象限
求解析式的条件
只需要一对x，y的对应值或一个点的坐标
需要两对x，y的对应值或两个点的坐标
联系
① 比例函数是特殊的一次函数．
②正比例函数图象与一次函数图象的画法一样，都是过两点画直线，但画一次函数的图象需取两个不同的点，而画正比例函数的图象只要取一个不同于原点的点即可．
③一次函数y=kx+b（k≠0）的图象可以看作是正比例函数y=kx（k≠0）的图象沿y轴向上（b>0）或向下（b<0）平移|b|个单位长度得到的．由此可知直线y=kx+b（k≠0，b≠0）与直线y=kx（k≠0）平行．
④一次函数与正比例函数有着共同的性质：
a．当k>0时，y的值随x值的增大而增大；b．当k<0时，y的值随x值的增大而减小．
六、一次函数与方程（组）、不等式
1．一次函数与一元一次方程
任何一个一元一次方程都可以转化为kx+b=0(k，b为常数，且k≠0)的形式．
从函数的角度来看，解这个方程就是寻求自变量为何值时函数值为0；从函数图象的角度考虑，解这个方程就是确定直线y=kx+b与x轴的交点的横坐标．
2．一次函数与一元一次不等式
任何一个一元一次不等式都能写成ax+b>0（或ax+b<0）（a，b为常数，且a≠0）的形式．
从函数的角度看，解一元一次不等式就是寻求使一次函数y=ax+b（a≠0）的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=ax+b（a≠0）在x轴上（或下）方部分的点的横坐标满足的条件．
3．一次函数与二元一次方程组
一般地，二元一次方程mx+ny=p（m，n，p是常数，且m≠0，n≠0）都能写成y=ax+b（a，b为常数，且a≠0）的形式．因此，一个二元一次方程对应一个一次函数，又因为一个一次函数对应一条直线，所以一个二元一次方程也对应一条直线．进一步可知，一个二元一次方程对应两个一次函数，因而也对应两条直线．
从数的角度看，解二元一次方程组相当于考虑自变量为何值时，两个函数的值相等，以及这两个函数值是何值；从形的角度看，解二元一次方程组相当于确定两条直线的交点坐标，一般地，如果一个二元一次方程组有唯一解，那么这个解就是方程组对应的两条直线的交点坐标．
七、一次函数图象与图形面积
解决这类问题的关键是根据一次函数解析式求出一次函数图象与坐标轴的交点的坐标，或两条直线的交点坐标，进而将点的坐标转化成三角形的边长，或者三角形的高．如果围成的三角形没有边在坐标轴上或者与坐标轴平行，可以采用“割”或“补”的方法．
八、一次函数的实际应用
1．主要题型：
（1）求相应的一次函数表达式；
（2）结合一次函数图象求相关量、求实际问题的最值等．
2．用一次函数解决实际问题的一般步骤为：
（1）设定实际问题中的自变量与因变量；
（2）通过列方程(组)与待定系数法求一次函数关系式；
（3）确定自变量的取值范围；
（4）利用函数性质解决问题；
（5）检验所求解是否符合实际意义；
（6）答．
3．方案最值问题：
对于求方案问题，通常涉及两个相关量，解题方法为根据题中所要满足的关系式，通过列不等式，求解出某一个事物的取值范围，再根据另一个事物所要满足的条件，即可确定出有多少种方案．
4．方法技巧
求最值的本质为求最优方案，解法有两种：
（1）可将所有求得的方案的值计算出来，再进行比较；
（2）直接利用所求值与其变量之间满足的一次函数关系式求解，由一次函数的增减性可直接确定最优方案及最值；若为分段函数，则应分类讨论，先计算出每个分段函数的取值，再进行比较．
显然，第（2）种方法更简单快捷．

考向一 一次函数和正比例函数的定义
1．正比例函数是特殊的一次函数．
2．正比例函数解析式y=kx（k≠0）的结构特征：①k≠0；②x的次数是1．

典例1 下列函数：（1）y=2x–1；（2）y=–；（3）y=；（4）y=2–1–x；（5）y=x2中，一次函数有
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】一次函数y=kx+b的定义条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1．分析可知所给函数中是一次函数的有y=2x–1；y=–；y=2–1–x；共3个，故选C．
【名师点睛】解题关键是掌握一次函数的定义条件：一次函数y=kx+b的定义条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1．
典例2　下列函数中，正比例函数是
A．y= B．y=
C．y=x D．y=（x-1）
【答案】C
【解析】A，分母中含有自变量x，不是正比例函数，故A错误；B，y=是一次函数，故B错误； C，y=x是正比例函数，故C正确； D，y=（x-1）可变形为y=x-是一次函数，故D错误．故选C．

1．若函数y=6xn-1+2是一次函数，则n=__________．
2．已知函数y=（m+2）是正比例函数，则m的值是__________．
考向二 一次函数的图象及性质
1．通常画正比例函数y=kx（k≠0）的图象时只需取一点（1，k），然后过原点和这一点画直线．
2．当k>0时，函数y=kx（k≠0）的图象从左向右，呈上升趋势；当k<0时，函数y=kx（k≠0）的图象从左向右，呈下降趋势．
3．正比例函数y=kx中，|k|越大，直线y=kx越靠近y轴；|k|越小，直线y=kx越靠近x轴．
4．一次函数图象的位置和函数值y的增减性完全由b和比例系数k的符号决定．

典例3 一次函数y=–2x+b，b<0，则其大致图象正确的是
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因为k=–2，b<0，所以图象在第二、三、四象限，故选B．
典例4下列四个选项中，不符合直线y=3x–2的性质的选项是
A．经过第一、三、四象限 B．y随x的增大而增大
C．与x轴交于（–2，0） D．与y轴交于（0，–2）
【答案】C
【名师点睛】牢记一次函数的性质：k>0，y随x的增大而增大，函数图象从左到右上升；k<0，y随x的增大而减小，函数图象从左到右下降．

3．已知正比例函数y=x的图象如图所示，则一次函数y=mx+n图象大致是

A． B．
C． D．
4．在一次函数y=（2m+2）x+4中，y随x的增大而增大，那么m的值可以是
A．0 B．–1
C．–1.5 D．–2
考向三 用待定系数法确定一次函数的解析式
运用待定系数法求一次函数解析式的步骤可简单记为：一设，二代，三解，四回代．

典例5 一次函数图象经过（3，1），（2，0）两点．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）求当x=6时，y的值．
【解析】（1）设一次函数解析式为y=kx+b，
把（3，1），（2，0）代入得，解得，
所以这个一次函数的解析式为y=x–2；
（2）当x=6时，y=x–2=6–2=4．
【名师点睛】利用待定系数法求一次函数解析式：先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y=kx+b；将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．学=科网
典例6 已知y–3与3x+1成正比例，且x=2时，y=6.5．
（1）求y与x之间的函数关系式，并指出它是什么函数；
（2）若点（a，2）在这个函数的图象上，求a的值．

【名师点睛】（1）设y–3=k（3x+1）（k≠0），代入点（2，6.5）可求出k值，进而即可得出y与x之间的函数关系式；
（2）代入（a，2）可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出a值．

5．一个正比例函数的图象经过点（–2，4），它的表达式为
A．y=–2x B．y=2x
C．y=–x D．y=x
6．一次函数y=kx+b（k≠0）的图象如图所示，则

A． B．
C． D．
7．已知函数y=kx+b的图象经过点（1，–3）和（–1，1）．
（1）求这个函数的表达式；
（2）该函数图象在哪些象限？
（3）点（2，–3）是否在该函数图象上？











考向四 一次函数与一元一次方程
1．方程ax+b=k（a≠0）的解⇔函数y=ax+b（a≠0）中，y=k时x的值.
2．方程ax+b=k（a≠0）的解⇔函数y=ax+b（a≠0）的图象与直线y=k的交点的横坐标．

典例7 已知函数y=kx+b的部分函数值如表所示，则关于x的方程kx+b+3=0的解是
x
…
–2
–1
0
1
…
y
…
5
3
1
–1
…
A．x=2 B．x=3
C．x=–2 D．x=–3
【答案】A
【解析】∵当x=0时，y=1，当x=1，y=–1，
∴，解得：，
∴y=–2x+1，
当y=–3时，–2x+1=–3，
解得：x=2，
故关于x的方程kx+b+3=0的解是x=2，
故选A．
典例8　如图为y=kx+b的图象，则kx+b=0的解为x=

A．2 B．–2
C．0 D．–1
【答案】D
【解析】从图象上可知，一次函数y=kx+b与x轴交点的横坐标为–1，所以关于x的方程kx+b=0的解为x=–1．故选D．
【名师点睛】关于x的一元一次方程kx+b=0的解就是一次函数y=kx+b当函数值为0时x的值，据此可以直接得到答案．

8．已知直线y=mx+n（m，n为常数）经过点（0，–2）和（3，0），则关于x的方程mx+n=0的解为
A．x=0 B．x=1
C．x=–2 D．x=3
9．一次函数y=kx+b的图象如图所示，则关于x的方程kx+b=–1的解为

A．x=0 B．x=1 C．x= D．x=–2
考向五 一次函数与一元一次不等式
一次函数y=ax+b（a≠0）与一元一次不等式ax+b>0（或ax+b<0）的关系：
ax+b>0的解集⇔y=ax+b中，y>0时x的取值范围，即直线y=ax+b在x轴上方部分图象对应的x的取值范围；
ax+b<0的解集⇔y=ax+b中，y<0时x的取值范围，即直线y=ax+b在x轴下方部分图象对应的x的取值范围．

典例9 如图，直线y1=kx+b与直线y2=mx–n交于点P（1，m），则不等式mx–n＞kx+b的解集是

A．x＞0 B．x<0
C．x＞1 D．x<1
【答案】C
【解析】利用函数图象，写出直线y2=mx–n在直线y1=kx+b上方所对应的自变量的范围即可．不等式mx–n＞kx+b的解集为x＞1．故选C．
【名师点睛】一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
典例10　一次函数y1=kx+b与y2=x+a图象如图：则下列结论①k<0；②a>0；③不等式kx+b
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A

10．一次函数y=3x+b和y=ax–3的图象如图所示，其交点为P（–2，–5），则不等式3x+b>ax–3的解集在数轴上表示正确的是
​
A．​ B．​ C．​ D．​
11．定义符号max{a，b}的意义为：当a≥b时，max{a，b}=a．如：max{4，–2}=4．若关于x的函数为y=max{x+3，–x+1}，则该函数
A．有最小值，为–1 B．有最大值，为–1
C．有最小值，为2 D．有最大值，为2
考向六 一次函数与二元一次方程（组）
1．二元一次方程kx-y+b=0（k≠0）的解与一次函数y=kx+b（k≠0）的图象上的点的坐标是一一对应的．
2．两个一次函数图象的交点坐标，就是相应二元一次方程组的解，体现了数形结合的思想方法．

典例11　如图，函数y=kx+b与y=mx+n的图象交于点P（1，2），那么关于x，y的方程组的解是

A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标，所以方程组的解是．故选A．
【名师定睛】方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．
典例12 若方程组没有解，则一次函数y=2–x与y=–x的图象必定
A．重合 B．平行 C．相交 D．无法确定
【答案】B
【解析】∵方程组没有解，∴一次函数y=2–x与y=–x的图象没有交点，
∴一次函数y=2–x与y=–x的图象必定平行．故选B．

12．二元一次方程组的解为，则一次函数y=5–x与y=2x–1的交点坐标为
A．（2，3） B．（3，2） C．（–2，3） D．（2，–3）
13．如图，直线l1的函数解析式为y=2x–2，直线l1与x轴交于点D．直线l2：y=kx+b与x轴交于点A，且经过点B（3，1），如图所示．直线l1、l2交于点C（m，2）．
（1）求点D、点C的坐标；
（2）求直线l2的函数解析式；
（3）利用函数图象写出关于x、y的二元一次方程组的解．










考向七 一次函数的应用
一次函数本身并没有最值，但在实际问题中，自变量的取值往往有一定的限制，其图象为射线或线段.涉及最值问题的一般思路：确定函数表达式→确定函数增减性→根据自变量的取值范围确定最值．

典例13　一辆公交车从A站出发匀速开往B站．在行驶时间相同的前提下，如果车速是60千米/小时，就会超过B站0.2千米；如果车速是50千米/小时，就还需行驶0.8千米才能到达B站．
（1）求A站和B站相距多少千米？行驶时间是多少？如果要在行驶时间点恰好到达B站，行驶的速度是多少？
（2）图①是这辆公交车线路的收支差额y（票价总收入减去运营成本）与乘客数量的函数图象．目前这条线路亏损，为了扭亏，有关部门举行了提高票价的听证会．乘客代表认为：公交公司应节约能源，改善管理，降低运营成本，以此举实现扭亏．公交公司认为：运营成本难以下降，公司已尽力，提高票价才能扭亏．根据这两种意见，可以把图①分别改画成图②和图③．
（a）说明图①中点A和点B的实际意义；
（b）你认为图②和图③两个图象中，反映乘客意见的是__________，反映公交公司意见的是__________．

【解析】（1）设A站和B站相距x千米，行驶的时间是y小时，根据题意得：，
解之得：，
5.8÷0.1=58（千米/小时）；
答：A站和B站相距5.8千米，行驶时间是0.1小时，如果要在行驶时间点恰好到达B站，行驶的速度是58千米/小时．
（2）（a）A点表示公交公司的该条公交路线的运营成本为1万元；
B点表示当乘客量为1.5万人时，公交公司的该条公交路线收支恰好平衡；
（b）反映乘客意见的是图③；
反映公交公司意见的是图②；
故答案为：③，②．
典例14 　某文化用品商店出售书包和文具盒，书包每个定价40元，文具盒每个定价10元，该店制定了两种优惠方案：方案一，买一个书包赠送一个文具盒；方案二：按总价的九折付款，购买时，顾客只能选用其中的一种方案．某学校为给学生发奖品，需购买5个书包，文具盒若干（不少于5个）．设文具盒个数为x（个），付款金额为y（元）．
（1）分别写出两种优惠方案中y与x之间的关系式；
方案一：y1=_________；方案二：y2=__________．
（2）若购买20个文具盒，通过计算比较以上两种方案中哪种更省钱？
（3）学校计划用540元钱购买这两种奖品，最多可以买到__________个文具盒（直接回答即可）．
【答案】（1）10x+150；9x+180；（2）详解见解析；（3）40.

【名师点睛】（1）根据方案一，买一个书包赠送一个文具盒；方案二：按总价的九折付款，即可得出两种优惠方案中y与x之间的关系式；
（2）将x=20分别代入（1）中关系式，通过计算比较两种方案中哪种更省钱即可；
（3）根据购买时，顾客只能选用其中的一种方案，所以分别求出y≤540时两种方案中x的最大整数值，比较即可得到答案．

14．甲、乙两城市相距600千米，一辆货车和一辆客车均从甲城市出发匀速行驶至乙城市，已知货车出发1小时后客车再出发，先到终点的车辆原地休息，在汽车行驶过程中，设两车之间的距离为s（千米），客车出发的时间为t（小时），它们之间的关系如图所示．有如下结论：①货车的速度是60千米/小时；②离开出发地后，两车第一次相遇时，距离出发地150千米；③货车从出发地到终点共用时7小时；④客车到达终点时，两车相距180千米．其中正确的有

A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
15．某县组织20辆汽车装运食品、药品、生活用品三种扶贫物资共100吨到某乡实施扶贫工作，按计划20辆汽车都要装运，每辆汽车只能装运同一种救灾物资且必须装满，根据表中提供的信息，解答下列问题：
物资种类
食品
药品
生活用品
每辆汽车运载量（吨）
6
5
4
每吨所需运费（元/吨）
120
160
100
（1）设装运食品的车辆数为x，装运药品的车辆数为y．求y与x的函数关系式；
（2）如果装运食品的车辆数不少于5辆，装运药品的车辆数不少于4辆，那么车辆的安排有几种方案？并写出每种安排方案；
（3）在（2）的条件下，若要求总运费最少，应如何安排车辆？并求出最少总运费．













1．下列关系式中，y是x的一次函数的是
A．

2．若y关于x的函数y=（m–2）x+n是正比例函数，则m，n应满足的条件是
A．m≠2且n=0 B．m=2且n=0
C．m≠2 D．n=0
3．直线y=3x+b经过点（m，n），且n–3m=8，则b的值是
A．–4 B．4
C．–8 D．8
4．一次函数中，当时，值为
A．–4 B．–2
C．6 D．8
5．已知函数y=4–x，当x=时，y的值是
A．3 B．2
C．
6．如图把直线向上平移后得到直线，直线经过点，且，则直线的解析式是

A．

7．若点P（–3，y1）和点Q（–1，y2）在正比例函数y=–k2x（k≠0）图象上，则y1与y2的大小关系为
A．y1>y2 B．y1≥y2
C．y1 8．如图，平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是A（2，2），B（6，2），C（4，4），当直线y=x+b与△ABC有交点时，b的取值范围是

A．1≤b≤2 B．–1≤b≤2
C．–1≤b≤1 D．–2≤b≤2
9．如图，已知一次函数y=kx+b的图象与x轴，y轴分别交于点（2，0），点（0，3）．有下列结论：①关于x的方程kx+b=0的解为x=2；②关于x的方程kx+b=3的解为x=0；③当x>2时，y<0；④当x<0时，y<3．其中正确的是

A．①②③ B．①③④
C．②③④ D．①②④
10．端午节，在大明湖举行第七届全民健身运动会龙舟比赛中，甲、乙两队在500米的赛道上，所划行的路程y（m）与时间x（min）之间的函数关系如图所示，下列说法，其中正确的有

①乙队比甲队提前0.25min到达终点；
②0.5min后，乙队比甲队每分钟快40m；
③当乙队划行110m时，此时落后甲队15m；
④自1.5min开始，甲队若要与乙队同时到达终点，甲队的速度需要提高到260m/min．
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
11．观察图象，可以得出不等式组的解集是

A．x<4 B．x<–1
C．–1 12．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=x+1的图象分别与x轴、y轴交于A、B两点，以A为圆心，适当长为半径画弧分别交AB、AO于点C、D，再分别以C、D为圆心，大于CD的长为半径画弧，两弧交于点E，连接AE并延长交y轴于点F，则下列说法正确的个数是
①AF是∠BAO的平分线；②∠BAO=60°；③点F在线段AB的垂直平分线上；④S△AOF∶S△ABF=1∶2．

A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
13．若y=(m–2)x+(m2–4)是正比例函数，则m的取值为__________．
14．已知点A（），B（）是一次函数图象上的两点，当时，__________．（填“>”“=”或“<”）
15．关于的一元一次不等式组有解，则直线不经过第__________象限．
16．已知一次函数y=4x+3m与y=7x–9的图象经过y轴上同一点，则m=__________．
17．小明和爸爸从家步行去公园，爸爸先出发一直匀速前行，小明后出发匀速前行，且途中休息一段时间后继续以原速前行．家到公园的距离为2000m，如图是小明和爸爸所走的路程s（m）与步行时间t（min）的函数图象．
（1）直接写出BC段图象所对应的函数关系式（不用写出t的取值范围）__________．
（2）小明出发多长时间与爸爸第三次相遇？
（3）在速度都不变的情况下，小明希望比爸爸早18分钟到达公园，则小明在步行过程中停留的时间需减少多少分钟？








18．如图，在平面直角坐标系中，直线y=kx+b经过点A（–30，0）和点B（0，15），直线y=x+5与直线y=kx+b相交于点P，与y轴交于点C．

（1）求直线AB的解析式．
（2）求△PBC的面积．








19．已知一次函数(k≠0)，回答下列问题：
（1）若一次函数的图象过原点，求k的值；
（2）无论k取何值，该函数的图象总经过一个定点，请你求出这个定点的坐标．






20．为建设秀美家乡，某学校组织师生参加一年一度的植树绿化工作，准备租用7辆客车，现有甲、乙两种客车，它们的载客量和租金如下表，设租用甲种客车x辆，租车总费用为y元，

甲种客车
乙种客车
载客量/(人/辆)
60
40
租金/(元/辆)
360
300
（1）求出y（单位：元）与x（单位：辆）之间的函数关系式．
（2）若该校共有350名师生前往参加劳动，共有多少种租车方案？
（3）带队老师从学校预支租车费用2400元，试问预支的租车费用是否能有结余？若有结余，最多可结余多少元？









1．（2018·抚顺市）一次函数y=–x–2的图象经过
A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限
C．第一、三，四象限 D．第二、三、四象限
2．（2018·荆州市）已知：将直线y=x–1向上平移2个单位长度后得到直线y=kx+b，则下列关于直线y=kx+b的说法正确的是
A．经过第一、二、四象限 B．与x轴交于（1，0）
C．与y轴交于（0，1） D．y随x的增大而减小
3．（2018·呼和浩特市）若以二元一次方程x+2y–b=0的解为坐标的点（x，y）都在直线y=–x+b–1上，则常数b=
A． B．2
C．–1 D．1
4．（2018·葫芦岛市）如图，直线y=kx+b（k≠0）经过点A（–2，4），则不等式kx+b>4的解集为

A．x>–2 B．x<–2
C．x>4 D．x<4
5．（2018·沈阳市）在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b的图象如图所示，则k和b的取值范围是

A．k>0，b>0 B．k>0，b<0
C．k<0，b>0 D．k<0，b<0
6．（2018·广元市）如图，点A的坐标为（–1，0），点B在直线y=x上运动，当线段AB最短时，点B的坐标为

A．（0，0） B．（，）
C．（，） D．（，）
7．（2018·河南省）如图1，点F从菱形ABCD的顶点A出发，沿A→D→B以1cm/s的速度匀速运动到点B，图2是点F运动时，△FBC的面积y（cm2）随时间x（s）变化的关系图象，则a的值为

A． B．2
C． D．2
8．（2018·阜新市）甲、乙两人分别从A，B两地相向而行，他们距B地的距离s（km）与时间t（h）的关系如图所示，那么乙的速度是__________km/h．学-科网

9．（2018·昆明市）如图，点A的坐标为（4，2）．将点A绕坐标原点O旋转90°后，再向左平移1个单位长度得到点A′，则过点A′的正比例函数的解析式为__________．

10．（2018·温州市）如图，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，C是OB的中点，D是AB上一点，四边形OEDC是菱形，则△OAE的面积为________．

11．（2018·牡丹江市）在一条笔直的公路上依次有A，C，B三地，甲、乙两人同时出发，甲从A地骑自行车去B地，途经C地休息1分钟，继续按原速骑行至B地，甲到达B地后，立即按原路原速返回A地；乙步行从B地前往A地．甲、乙两人距A地的路程y（米）与时间x（分）之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题：

（1）请写出甲的骑行速度为__________米/分，点M的坐标为__________；
（2）求甲返回时距A地的路程y与时间x之间的函数关系式（不需要写出自变量的取值范围）；
（3）请直接写出两人出发后，在甲返回A地之前，经过多长时间两人距C地的路程相等．






12．（2018·牡丹江市）某书店现有资金7700元，计划全部用于购进甲、乙、丙三种图书共20套，其中甲种图书每套500元，乙种图书每套400元，丙种图书每套250元．书店将甲、乙、丙三种图书的售价分别定为每套550元，430元，310元．设书店购进甲种图书x套，乙种图书y套，请解答下列问题：
（1）请求出y与x的函数关系式（不需要写出自变量的取值范围）；
（2）若书店购进甲、乙两种图书均不少于1套，则该书店有几种进货方案？
（3）在（1）和（2）的条件下，根据市场调查，书店决定将三种图书的售价作如下调整：甲种图书的售价不变，乙种图书的售价上调a（a为正整数）元，丙种图书的售价下调a元，这样三种图书全部售出后，所获得的利润比（2）中某方案的利润多出20元，请直接写出书店是按哪种方案进的货及a的值．















变式拓展

1．【答案】2
【解析】∵函数y=6xn-1+2是一次函数，∴n-1=1，解得n=2．故答案是：2．
2．【答案】2
【解析】∵函数y=（m+2）xm2−3是正比例函数，∴m2–3=1，m+2≠0，解得：m=2．故答案为：2．
3．【答案】C
【解析】利用正比例函数的性质得出＞0，根据m、n同正，同负进行判断．
由正比例函数图象可得：＞0，
mn同正时，y=mx+n经过第一、二、三象限；
mn同负时，经过第二、三、四象限，
故选C．

6．【答案】D
【解析】由图象可得：，解得：，故选D．
7．【解析】（1）设一次函数表达式为：y=kx+b，
由题意得，，解得，则一次函数表达式为：y=–2x–1；
（2）该函数图象在第二、三、四象限；
（3）–2×2–1=–5，则点（2，–3）不在该函数图象上．
8．【答案】D
【解析】直线y=mx+n与x轴的交点横坐标的值即为方程mx+n=0的解．
∵直线y=mx+n（m，n为常数）经过点（3，0），
∴当y=0时，x=3，
∴关于x的方程mx+n=0的解为x=3．
故选D．
9．【答案】C
【解析】∵一次函数y=kx+b的图象过点（，–1），∴关于x的方程kx+b=–1的解是x=．故选C．

12．【答案】A
【解析】∵二元一次方程组的解为，∴一次函数y=5–x与y=2x–1的交点坐标为（2，3），故选A．
13．【解析】（1）∵点D为直线l1：y=2x–2与x轴的交点，
∴y=0，0=2x–2，解得x=1，
∴D（1，0）；
∵点C在直线l1：y=2x–2上，
∴2=2m–2，解得m=2，
∴点C的坐标为（2，2）；
（2）∵点C（2，2）、B（3，1）在直线l2上，
∴，解得，
∴直线l2的解析式为y=–x+4；
（3）由图可知二元一次方程组的解为．
【名师点睛】一次函数与二元一次方程（组）：方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．
14．【答案】C
【解析】由函数图象，得：货车的速度为60÷1=60（千米/小时），客车的速度为600÷6=100（千米/小时），故①正确；设客车离开起点x小时后，甲、乙两车第一次相遇，根据题意得：100x=60+60x，解得：x=1.5，∴离开起点后，两车第一次相遇时，距离起点为：1.5×100=150（千米），故②正确；货车从起点到终点共用时为：600÷60=10（小时），故③错误；∵客车到达终点时，所用时间为6小时，货车先出发1小时，∴此时货车行走的时间为7小时，∴货车走的路程为：7×60=420（千米），∴客车到达终点时，两车相距：600-420=180（千米），故④正确．故选C．
15．【解析】（1）由题意可得，6x+5y+4（20-x-y）=100，
化简，得y=20-2x，
即y与x的函数关系式是y=-2x+20；
（2）由题意可得，，解得5≤x≤8，即车辆的安排有四种方案，
方案一：运食品的5辆车，装运药品的10辆车，装运生活用品的5辆车；
方案二：运食品的6辆车，装运药品的8辆车，装运生活用品的6辆车；
方案三：运食品的7辆车，装运药品的6辆车，装运生活用品的7辆车；
方案四：运食品的8辆车，装运药品的4辆车，装运生活用品的8辆车；
（3）由题意可得，
w=120×6x+160×5y+100×4（20-x-y）=-480x+16000，
∵5≤x≤8，∴当x=8时，w最小，此时w=-480×8+16000=12160（元），
即在（2）的条件下，若要求总运费最少，应安排运食品的8辆车，装运药品的4辆车，装运生活用品的8辆车，最少总运费是12160元．
考点冲关

1．【答案】B
【解析】A、是二次函数，故A错误；
B、是一次函数，故B正确；
C、是反比例函数的平移，故C错误；
D、是常函数，故D错误；
故选B．
【点睛】本题考查了一次函数的定义，利用一次函数的定义是解题关键，注意k≠0．
2．【答案】A
【解析】若y关于x的函数是正比例函数，解得：故选A.
3．【答案】D
【解析】由题意可得n=3m+b，b=n–3m=8，故选D.
【点睛】本题考查的知识点是一次函数的性质，解题的关键是熟练掌握一次函数的性质.
4．【答案】D
【解析】把代入，可得：y==8. 故选D.
【点睛】本题考核知识点：函数值.解题关键点：理解函数值的意义.
5．【答案】D
【解析】将x=代入函数解析式，得：y=4−×，故选D.
【点睛】本题考查的知识点是函数值及一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是熟练掌握函数值及一次函数图象上点的坐标特征.
6．【答案】C
【解析】设直线y=–2x向上平移m个单位后得到直线AB，则直线AB的解析式可设为y=–2x+m，把点（a，b）代入得：b=–2a+m，解得：m=2a+b．
∵2a+b=3，∴m=3，∴直线AB的解析式为y=–2x+3．
故选C．
【点睛】本题考查了一次函数图象与几何变换：一次函数y=kx+b（k、b为常数，k≠0）的图象为直线，当直线平移时k不变，当向上平移m个单位，则平移后直线的解析式为y=kx+b+m．
7．【答案】A
【解析】∵点P（–3，y1）和点Q（–1，y2）在正比例函数y=–k2x（k≠0）图象上，
∴y1=–k2×（–3）=3k2，y2=–k2×（–1）=k2，
∵k≠0，∴y1>y2.故选A.
【点睛】本题考查了正比例函数，解题的关键是熟练的掌握正比例函数的知识点.
8．【答案】B
【解析】将A(2，2)代入直线y=x+b中，可得，可得b=1；
将B(6，2)代入直线y=x+b中，可得，b=–1；
将C(4，4)代入直线y=x+b中，可得，b=2；
故b的取值范围是–1≤b≤2.
故选B.
9．【答案】A
【解析】由图象得：①关于x的方程kx+b=0的解为x=2，正确；
②关于x的方程kx+b=3的解为x=0，正确；
③当x>2时，y<0，正确；
④当x<0时，y>3，错误；
故选：A．
【点睛】考查了一次函数的性质，一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的关系，利用数形结合是求解的关键．
10．【答案】C
【解析】①由横坐标看出乙队比甲队提前0.25min到达终点，此结论正确；
②乙AB段的解析式为y=240x–40，乙的速度是240m/min；甲的解析式为y=200x，甲的速度是200m/min，0.5min后，乙队比甲队每分钟快40m，此结论正确；
③乙AB段的解析式为y=240x–40，当y=110时，甲的解析式为y=200x，当时，y=125，当乙队划行110m时，此时落后甲队15m，此结论正确；
④甲的解析式为y=200x，当x=1.5时，y=300，甲乙同时到达（500–300）÷（2.25–1.5）≈267m/min，此结论错误；
故选C．
【点睛】此题主要考查了函数图象的性质，读函数的图象时首先要理解横纵坐标表示的含义，理解问题叙述的过程，能够通过图象得到函数值随自变量的变化情况．
11．【答案】B
【解析】∵直线y=ax+b交x轴于点(4，0)，∴ax+b>0的解集为：x<4，∵直线y=cx+d交x轴于点(−1，0)，∴cx+d<0的解集为：x<−1，∴不等式组的解集是：x<−1．故选B．

13．【答案】–2
【解析】根据题意得：；解得：m=–2．故答案为：–2．
14．【答案】<
【解析】∵一次函数y=–2x+5中k=–2<0，∴该一次函数y随x的增大而减小，∵x1>x2，∴y1 故答案为：<．
15．【答案】三
【解析】将不等式组中各个不等式的解集在数轴上表示出来：

（1）当3b–2 （2）当3b–2=b+2时，如示意图中的②，上述不等式组无解，不合题意；
（3）当3b–2>b+2时，如示意图中的③，上述不等式组有解，符合题意．
因此，根据题目条件，b的取值应该满足：3b–2>b+2，解这个不等式，得b>2，
对照一次函数的一般形式y=kx+b(k≠0)，在直线y=–x+b中，k=–1<0，b>2>0可知，
直线y=–x+b应该经过第一、二、四象限，即不经过第三象限．故答案为：三．
16．【答案】–3
【解析】∵y=7x−9的图象与y轴的交点为(0，−9)，又点(0，−9)也在直线y=4x+3m上，
∴−9=3m，解得m=−3． 故答案为：−3．
17．【解析】（1）设直线BC所对应的函数表达式为s=kt+b，
将（30，800），（60，2000）代入得，
，解得，
∴直线BC所对应的函数表达式为s=40t–400．
（2）设小明的爸爸所走路程s与时间t的函数关系式为s=mt+n，
则，解得．
即小明的爸爸所走路程s与时间t的函数关系式是s=24t+200，
解方程组，得，
即小明出发37.5 min时与爸爸第三次相遇．
（3）当s=2000时，2000=24t+200，得t=75，
∵75–60=15，∴小明希望比爸爸早18 min到达公园，
则小明在步行过程中停留的时间需要减少3 min．
18．【解析】（1）将点A（–30，0）、B（0，15）代入y=kx+b，
得，
解得：，
∴直线AB的解析式为y=x+15；
（2）联立两直线解析式成方程组，
，解得：，
∴点P的坐标为（20，25），
当x=0时，y=x+5=5，
∴点C的坐标为（0，5），
∴BC=15–5=10，
∴S△PBC=BC•xP=×10×20=100．
19．【解析】（1）一次函数 图象过原点，
∴–2k+1=0，解得k=．
（2）∵ =k(x–2)+1，∴（x–2）k=y–1．
∵无论k取何值，该函数图象总经过一个定点，即k有无数个解，
∴x–2=0，y–1=0，
解得x=2，y=1，∴这个定点的坐标为（2，1）．
20．【解析】（1）根据题意，得y=360x+300(7–x)，整理得y=60x+2100；
（2）根据题意得60x+40(7–x)≥350，解得：x≥3.5．
∵0≤x≤7，且x为整数，∴4≤x≤7且x为整数，
所以x的值可以为4，5，6，7，
所以共有4种方案；
（3）最少费用方案是：甲车4辆，乙车3辆，
此时租车费用为y=60x+2100=2340（元），最多结余2400–2340=60（元）．
直通中考


1．【答案】D
【解析】∵–1<0，∴一次函数y=–x–2的图象一定经过第二、四象限，
又∵–2<0，∴一次函数y=–x–2的图象与y轴交于负半轴，
∴一次函数y=–x–2的图象经过第二、三、四象限，
故选D．
【名师点睛】本题考查了一次函数的性质．一次函数y=kx+b的图象有四种情况：
①当k>0，b>0，函数y=kx+b的图象经过第一、二、三象限，y的值随x的值增大而增大；
②当k>0，b<0，函数y=kx+b的图象经过第一、三、四象限，y的值随x的值增大而增大；
③当k<0，b>0时，函数y=kx+b的图象经过第一、二、四象限，y的值随x的值增大而减小；
④当k<0，b<0时，函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象限，y的值随x的值增大而减小．
2．【答案】C
【解析】将直线y=x–1向上平移2个单位长度后得到直线y=x–1+2=x+1，
A、直线y=x+1经过第一、二、三象限，错误；
B、直线y=x+1与x轴交于（–1，0），错误；
C、直线y=x+1与y轴交于（0，1），正确；
D、直线y=x+1，y随x的增大而增大，错误，
故选C．
【名师点睛】本题主要考查了一次函数图象与几何变换，正确把握变换规律以及一次函数的图象和性质是解题的关键．

【名师点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式；观察函数图象，比较函数图象的高低（即比较函数值的大小），确定对应的自变量的取值范围．也考查了数形结合的思想．
5．【答案】C
【解析】∵一次函数y=kx+b的图象经过第一、二、四象限，∴k<0，b>0，故选C．
【名师点睛】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，即一次函数y=kx+b（k≠0）中，当k<0，b>0时图象在第一、二、四象限．
6．【答案】B
【解析】过A点作垂直于直线y=x的垂线AB，
∵点B在直线y=x上运动，∴∠AOB=45°，
∴△AOB为等腰直角三角形，
过B作BC垂直x轴垂足为C，
则点C为OA的中点，
则OC=BC=，
作图可知B在x轴下方，y轴的左方，
∴横坐标为负，纵坐标为负，
所以当线段AB最短时，点B的坐标为（–，–），
故选B．

【名师点睛】本题考查了一次函数的性质，坐标与图形性质，垂线段最短，等腰直角三角形等知识，熟练掌握垂线段最短是解决本题的关键.
7．【答案】C
【解析】如图，过点D作DE⊥BC于点E．
.
由图象可知，点F由点A到点D用时为as，△FBC的面积为acm2．
∴AD=a.∴DE•AD=a.∴DE=2.
当点F从D到B时，用s.∴BD=.
Rt△DBE中，BE=，
∵四边形ABCD是菱形，
∴EC=a–1，DC=a，
Rt△DEC中，a2=22+（a–1）2.
解得a=.
故选C．
【名师点睛】本题综合考查了菱形性质和一次函数图象性质，解答过程中要注意函数图象变化与动点位置之间的关系．
8．【答案】3.6
【解析】由题意，甲速度为6km/h．当甲开始运动时相距36km，两小时后，乙开始运动，经过2.5小时两人相遇．
设乙的速度为xkm/h，4.5×6+2.5x=36，解得x=3.6，故答案为：3.6．
【名师点睛】本题为一次函数实际应用问题，考查一次函数图象在实际背景下所代表的意义．解答这类问题时，也可以通过构造方程解决问题．
9．【答案】y=–x或y=–4x
【解析】当点A绕坐标原点O逆时针旋转90°后，再向左平移1个单位长度得到点A′，
则A′（–3，4），
设过点A′的正比例函数的解析式为：y=kx，
则4=–3k，解得k=–，
则过点A′的正比例函数的解析式为：y=–x，
同理可得：点A绕坐标原点O顺时针旋转90°后，再向左平移1个单位长度得到点A′，此时A′（1，–4），
设过点A′的正比例函数的解析式为：y=k′x，
则–4=k′，
则过点A′的正比例函数的解析式为：y=–4x.

故答案为：y=–x或y=–4x.
【名师点睛】此题主要考查了旋转的性质、平移的性质、待定系数法求出正比例函数解析式，正确得出对应点坐标是解题关键．
10．【答案】
【解析】把x=0代入y=−x+4得出y=4，
∴B(0，4)；∴OB=4；
∵C是OB的中点，∴OC=2，
∵四边形OEDC是菱形，∴DE=OC=2；DE∥OC，
把y=0代入y=−x+4得出x=，
∴A(，0)；∴OA=，
设D(x，)，∴E(x，–x+2)，
延长DE交OA于点F，
∴EF=–x+2，OF=x，
在Rt△OEF中利用勾股定理得：，
解得x1=0(舍），x2=；∴EF=1，
∴S△AOE=·OA·EF=2.
故答案为：.
【名师点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征：一次函数y=kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（–，0）；与y轴的交点坐标是（0，b）．直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y=kx+b．也考查了菱形的性质.
11．【解析】（1）由题意得：甲的骑行速度为：=240（米/分），
240×（11–1）÷2=1200（米），
则点M的坐标为（6，1200），
故答案为：240，（6，1200）；
（2）设MN的解析式为：y=kx+b（k≠0），
∵y=kx+b（k≠0）的图象过点M（6，1200）、N（11，0），
∴，解得，
∴直线MN的解析式为：y=–240x+2640；
即甲返回时距A地的路程y与时间x之间的函数关系式：y=–240x+2640；
（3）设甲返回A地之前，经过x分两人距C地的路程相等，
乙的速度：1200÷20=60（米/分），

如图1所示：∵AB=1200，AC=1020，
∴BC=1200–1020=180，
分5种情况：
①当03，
此种情况不符合题意；
②当3 ∴1020–240x=60x–180，解得x=4，

【名师点睛】本题考查了待定系数法一次函数的解析式的运用，一次函数与二元一次方程组的关系的运用，行程问题的数量关系的运用，注意由图像得出有用的信息及分类讨论思想在解题时的应用．
12．【解析】（1）根据题意得购进丙种图书（20–x–y）套，则有500x+400y+250（20–x–y）=7700，所以解析式为：y=–x+18；
（2）根据题意得：–x+18≥1，解得x≤10，
又∵x≥1，∴1≤x≤10，
因为x，y，（20–x–y）为整数，∴x=3，6，9，
即有三种购买方案：①甲、乙、丙三种图书分别为3套，13套，4套，
②甲、乙、丙三种图书分别为6套，8套，6套，
③甲、乙、丙三种图书分别为9套，3套，8套，
（3）若按方案一：则有13a–4a=20，解得a=（不是正整数，不符合题意），
若按方案二：则有8a–6a=20，解得a=10（符合题意），学=科网
若按方案三：则有3a–8a=20，解得a=–4（不是正整数，不符合题意），
所以购买方案是：甲种图书6套，乙种图书8套，丙种图书6套，a=10．
【名师点睛】本题主要考查一次函数与不等式等知识的综合，注意运算的准确性及灵活根据题意进行方案选择.