2023高三数学二轮热点题型专项突破专题24 圆锥曲线基本量问题（新高考全国通用）

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 专题24 圆锥曲线基本量问题
高考定位
圆锥曲线的基本量（a,b,c,p）是近年高考的一个热点,有关基本量的试题,究其原因,一是贯彻高考命题“以能力立意”的指导思想,基本量问题既体现了基础型，而且综合性较强,灵活多变,能较好反映考生对知识的熟练掌握和灵活运用的能力,能有效地反映考生对数学思想和方法的掌握程度;二是圆锥曲线是高中数学的重要内容,具有数学的实用性和美学价值,也是以后进一步学习的基础.
专题解析
（1）基本的值的求法 （求曲线方程、求离心率、求轴长、求渐近线、解焦点三角形）
（2）基本量的范围与最值求解
方法总结
（1）基本量的值的求法：找a,b,c,p的方程（组）
（2）基本量的范围与最值求法：创建不等式、函数、数形结合
专项突破
类型一、基本量的值
例1-1．（2021·江苏高三开学考试）从某个角度观察篮球(如图1)，可以得到一个对称的平面图形，如图2所示，篮球的外轮形为圆O，将篮球表面的粘合线看成坐标轴和双曲线，若坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分，AB＝BC＝CD，则该双曲线的离心率为（ ）

A． B． C． D．



练.（2021•运城模拟）已知双曲线的左，右焦点分别为，，以原点为圆心，为半径的圆与双曲线在第一象限交于点，若，则双曲线的离心率为　　
A． B． C． D．





练.（2021·安徽蚌埠·高三开学考试（理））已知椭圆的右顶点为A，坐标原点为，若椭圆上存在一点P使得△OAP是等腰直角三角形，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．




练.【2015高考新课标2，理11】已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，∆ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为（ ）
A． B． C． D．






例1-2.（2021•滁州期末）如图，设椭圆的右顶点为，右焦点为，为椭圆在第二象限上的点，直线交椭圆于点，若直线平分线段于，则椭圆的离心率是　　

A． B． C． D．






例1-3（广东省高州市第一中学2021届高三下学期3月T8）．已知椭圆＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线交椭圆C于A，B两点，若=0，且｜BF2|，|AB|，|AF2|成等差数列，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．







练.（2021•浙江期中）如图，，，是椭圆上的三个点，经过原点，经过右焦点，若且，则该椭圆的离心率为　　

A． B． C． D．





练.（2021•湖南校级模拟）如图所示，，，是双曲线上的三个点，经过坐标原点，经过双曲线的右焦点，若，且，则该双曲线的离心率是　　

A． B． C． D．3





例1-4.（广东省东莞高级中学2021届高三下学期3月模拟T15）．椭圆的左、右焦点分别为焦距为，若直线与椭圆的一个交点满足则该椭圆的离心率等于 .





练．（2021•榆林四模）已知直线与双曲线的一条渐近线交于点，双曲线的左、右焦点分别为、且，则双曲线的离心率为　　
A． B． 或3 C． D． 或4




练． 如图，，是双曲线的左、右两个焦点，若直线与双曲线交于、两点，且四边形为矩形，则双曲线的离心率为（ ）

A． B． C． D．
例1-5 .（广东省部分重点中学2021届高三下学期2月联考T16）．双曲线：的左､右焦点分别为，，点是上一点，使得，，依次构成一个公差为2的等差数列，则双曲线的实轴长为___________，若，则双曲线的离心率为___________.





练．（2021•常德期末）已知椭圆的左顶点为，右焦点为，以点为圆心，长为半径的圆与椭圆相交于点，，则椭圆的离心率为　　
A． B． C． D．





例1-6（广东省2021届高三下学期六校第三次联考T16）．已知双曲线的两焦点分别为，过右焦点的直线与双曲线交于两点，若且为等腰三角形，则双曲线的离心率为______.







练. 已知椭圆＋＝1(a>b>0)的两个焦点分别是F1，F2，过F1的直线交椭圆于P，Q两点，若PF2＝F1F2且2PF1＝3QF1，则椭圆的离心率为(　　)
A. B. C. D.




例1-7．（2021•广州一模）已知为坐标原点，设双曲线的左，右焦点分别为，，点是双曲线上位于第一象限内的点．过点作的平分线的垂线，垂足为，若，则双曲线的离心率为　　
A． B． C． D．2





练．（2021•新疆模拟）已知，是双曲线的两个焦点，过的直线与圆切于点，且与双曲线右支交于点，是线段的中点，若，则双曲线的方程为　　
A． B．
C． D．





类型八、利用平行与垂直建立斜率的方程
例8-1【云南民族大学附属中学2020届高三第一次高考仿真模拟数学（理）】设，分别为椭圆：的左右焦点，点，分别为椭圆的右顶点和下顶点，且点关于直线的对称点为.若，则椭圆的离心率为（ ）

A． B．
C． D．



练.【江西省景德镇一中2021届高三8月月考数学（理）】已知分别为椭圆的左右焦点，为该椭圆的右顶点，过作垂直于轴的直线与椭圆交于两点（在轴上方），若，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．




类型二、基本量的范围最值计算
例2-1. (2020·湛江二模)已知点F为双曲线E：－＝1(a>0，b>0)的右焦点，若在双曲线E的右支上存在点P，使得PF中点到原点的距离等于点P到点F的距离，则双曲线E的离心率的取值范围是(　　)
A. (1,3) B. (1,3] C. (1，] D. [，3]





练.(2020·九江二模)已知点P在离心率为的椭圆E：＋＝1上，F是椭圆的一个焦点，M是以PF为直径的圆C1上的动点，N是半径为2的圆C2上的动点，圆C1与圆C2相离且圆心距C1C2＝，若MN的最小值为1，则椭圆E的焦距的取值范围是(　　)
A. [1,3] B. [2,4]
C. [2,6] D. [3,6]






练.(2020·浙江期末)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率e的取值范围为，直线y＝－x＋1交椭圆于点M，N，O为坐标原点且OM⊥ON，则椭圆长轴长的取值范围是(　　)
A. [，] B. [，]
C. [，] D. [，]






例2-2.（2020新课标Ⅱ卷 理T8）设为坐标原点，直线与双曲线的两条渐近线分别交于两点，若的面积为8，则的焦距的最小值为（ ）
A. 4 B. 8 C. 16 D. 32







练.(广东省东莞高级中学2021届高三下学期3月模拟T22)．已知双曲线的左、右焦点分别是，P 是双曲线右支上一点，，垂足为点 H，，.
（1）当时，求双曲线的渐近线方程；
（2）求双曲线的离心率e 的取值范围.




练. 【四川省遂宁市射洪县射洪中学校2019-2020学年高三下学期第一次学月考】设为椭圆上一点，点关于原点的对称点为，为椭圆的右焦点，且.若，则该椭圆离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．



练．（2021•双流区校级期中）已知椭圆的右焦点为，满足，若点为椭圆上一点，记的最大值为，记最小值为，则的取值范围为　　
A． B． C． D．






练．【2017课标II，文5】若，则双曲线的离心率的取值范围是
A. B. C. D.





例2-3．（2021•浙江期末）如图，已知椭圆的左，右焦点分别为，，焦距为，是椭圆上一点（不在坐标轴上），是的平分线与轴的交点，若，则椭圆离心率的范围是　，　．





练. 是经过双曲线 焦点且与实轴垂直的直线, 是双曲线的两个顶点, 若在上存在一点,使,则双曲线离心率的最大值为（ ）
A． B． C． D．





练．【江苏省盐城市滨海县八滩中学2020届高三下学期高考模拟考试（二）】平面直角坐标系中，已知椭圆的左焦点为F，右准线与x轴的交点为A，若在椭圆C上存在一点P，使得，则椭圆C的离心率的取值范围为_______________．









类型三、有曲线上动点参与的基本量的值的计算
例3-1. 在平面直角坐标系xOy中，已知点A，F分别为椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右顶点和右焦点，过坐标原点O的直线交椭圆C于P，Q两点，线段AP的中点为M，若Q，F，M三点共线，则椭圆C的离心率为(　　)
A. B. C. D. 或






练. 已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过点且斜率为的直线与双曲线在第二象限的交点为，若，则双曲线的渐近线方程是（ ）
A． B． C． D．




练．已知直线l分别切抛物线（）和圆于点A，B（A，B不重合），点F为抛物线的焦点，当取得最小值时，___________.





练．两个长轴在轴上、中心在坐标原点且离心率相同的椭圆．若，分别为外层椭圆的左顶点和上顶点，分别向内层椭圆作切线，，切点分别为，，且两切线斜率之积等于，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．




练．已知斜率为的直线经过抛物线的焦点，并与抛物线交于，两点，且，则的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4




练．过双曲线的右焦点作倾斜角为的直线交双曲线右支于，两点，若，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．










练．在平面直角坐标系xOy中，已知点A，F分别为椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右顶点和右焦点，过坐标原点O的直线交椭圆C于P，Q两点，线段AP的中点为M，若Q，F，M三点共线，则椭圆C的离心率为(　　)
A. B.
C. D. 或








练．（2021春•昌江区校级期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，，是双曲线右支上一点，，直线交轴于点，且，则双曲线的离心率为 　　．





练.(2020·全国Ⅱ卷)已知椭圆C1：＋＝1(a>b>0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2的顶点重合.过F且与x轴垂直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且|CD|＝|AB|.
(1)求C1的离心率；
(2)设M是C1与C2的公共点.若|MF|＝5，求C1与C2的标准方程.









类型四、有曲线上动点参与的基本量范围最值的计算

例4-1. (2021·江苏模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)．设D(b,0)，过点D的直线l与椭圆C交于E，F两点，且E，F均在y轴的右侧，＝2，求椭圆离心率的取值范围．
　








练.（2021•河南）椭圆上存在第一象限的点，，使得过点且与椭圆在此点的切线垂直的直线经过点为椭圆半焦距），则椭圆离心率的取值范围是　　．






练.（广东省惠来县第一中学2021届高三下学期15）．已知椭圆的内接的顶点为短轴的一个端点，右焦点，线段中点为，且，则椭圆离心率的取值范围是___________.






练.(2020·浙江期末)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率e的取值范围为，直线y＝－x＋1交椭圆于点M，N，O为坐标原点且OM⊥ON，则椭圆长轴长的取值范围是(　　)
A. [，] B. [，]
C. [，] D. [，]





练.广东省惠来县第一中学2021届高三下学期15．已知椭圆的内接的顶点为短轴的一个端点，右焦点，线段中点为，且，则椭圆离心率的取值范围是___________.





练．（多选题）【江苏省徐州市2020-2021学年高三上学期12月模拟测试】椭圆，，分别为左、右焦点，，分别为左、右顶点，P为椭圆上的动点，且恒成立，则椭圆C的离心率可能为（ ）
A． B． C． D．




例3-2．（2021•浙江模拟）已知点为双曲线的右焦点，直线，与双曲线交于，两点，若，则该双曲线的离心率的取值范围是　　
A．， B． C．， D．，





类型五、焦点三角形
例5-1．(2021·全国甲卷)已知F1，F2为椭圆C：＋＝1的两个焦点，P，Q为椭圆C上关于坐标原点对称的两点，且|PQ|＝|F1F2|，则四边形PF1QF2的面积为________.





练（2021•天心区）已知双曲线的左，右焦点分别为、，过点作倾斜角为的直线交双曲线的右支于，两点，其中点在第一象限，若，且双曲线的离心率为2．则　　
A． B． C． D．





练．（2021•河南模拟）已知双曲线的左右焦点分别为，，过点的直线与双曲线的左支相交于点，与双曲线的右支相交于点，为坐标原点．若，且，则双曲线的离心率为　　
A． B． C．2 D．





练.已知有相同两焦点F1、F2的椭圆＋y2＝1(m>1)和双曲线－y2＝1(n>0)，P是它们的一个交点，则△F1PF2的形状是(　　)
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．随m、n变化而变化




练.已知M(x0,y0)是双曲线C:上的一点, F1,F2是C上的两个焦点,若△F1MF2是钝角三角形 ,则y0的取值范围是( )
A. B. C. D.






练.椭圆＋＝1与双曲线y2－＝1有公共点P，则P与双曲线两焦点连线构成三角形的周长为(　 　)





练.设动点P到两定点F1(-1,0)和F2(1,0)的距离分别为d1和d2,∠F1PF2=2θ,且存在常数λ(0<λ<1),使得d1d2sin2θ=λ.
(Ⅰ)证明:动点P的轨迹C为双曲线,并求出C的方程;
(Ⅱ)过点F2的直线与双曲线C的右支交于A、B两点,问:是否存在λ,使△F1AB是以B为直角顶点的等腰直角三角形？若存在,求出λ的值;若不存在,请说明理由.





练.（2021春•浙江）设椭圆的两个焦点是，，过点的直线与椭圆交于点，，若，且，则椭圆的离心率为　　
A． B． C． D．



练.(2021·新高考Ⅰ卷)已知F1，F2是椭圆C：＋＝1的两个焦点，点M在C上，则|MF1|·|MF2|的最大值为(　　)
A.13 B.12
C.9 D.6