2022-2023学年湖南省永州市中考数学专项提升仿真模拟试题（一模二模）含解析

这是一份2022-2023学年湖南省永州市中考数学专项提升仿真模拟试题（一模二模）含解析

2022-2023学年湖南省永州市中考数学专项提升仿真模拟试题
（一模）
第I卷（选一选）

评卷人
得分



一、单 选 题
1．下列各组数中，互为相反数的是（　　）
A．+1与|﹣1| B．+（+2）与﹣（﹣2）
C．+（﹣3）与﹣|+3| D．﹣|﹣4|与﹣（﹣4）
2．我国将于2022年2月4日在北京，张家口等地召开，并在此之前进行了会标征集，以下是部分参选作品，其文字上方的图案是对称图形的是（       ）

A．①② B．①③ C．② D．②④
3．截至2022年1月11日，新冠疫情形势依然严峻，全球累计确诊31344.6898万人，将其用科学记数法表示为，则等于（       ）
A．8 B．9 C．10 D．11
4．为了解某小区“全民健身”的开展情况，随机对居住在该小区的40名居民一周的体育锻炼时间进行了统计，结果如下表：
锻炼时间（时）
3
4
5
6
7
人数（人）
6
13
14
5
2

这40名居民一周体育锻炼时间的众数和中位数是(       )A．14,5 B．14,6 C．5,5 D．5,6
5．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．一元没有等式组的解集中，整数解的个数是（ ）.
A．2 B．3 C．4 D．5
7．如图，在中，，，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，则下列说法中正确的个数是（       ）
①是的平分线；②；③点在的垂直平分线上；④ ．

A．1 B．2 C．3 D．4
8．在我国古代数学著作《九章算术》中记载：“今有人共买物，人出八，盈三；人出七，没有足四．问人数、物价各几何？”其大意是：“现有一些人共同买一个物品，每人出8钱，还盈余3钱；每人出7钱，还差4钱，问人数、物品价格各是多少？”设共有x人，物品的价格为y钱，根据题意，可列方程组为（       ）
A． B． C． D．
9．如图，在太极八卦图中，每一卦由三根线组成（线形为“”或“”），如正向的卦为“”，从图中任选一卦，这一卦中恰有2根“”和1根“”的概率是（       ）

A． B． C． D．
10．基本没有等式的性质：一般地，对于，，我们有，当且仅当时等号成立．例如：若，则，当且仅当时取等号，的最小值等于．根据上述性质和运算过程，若，则的最小值是（   ）
A． B． C． D．
第II卷（非选一选）

评卷人
得分



二、填 空 题
11．在﹣2、﹣、、、π中，无理数有 _____个．
12．如果式子有意义，那么的取值范围是 __．
13．已知点，，，，，在反比例函数（k是常数）的图象上，若，则 ，，的大小关系是__________．
14．已知一组数据：92，94，98，91，95的中位数为a，方差为b，则________．
15．如图，AB是圆锥的母线，BC为底面直径，已知cm，圆锥的侧面积为cm2，则OA的长为________cm．

16．如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为和，是轴上的一个动点，且，，三点没有在同一条直线上，当的周长最小时，的长度为_________．

17．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC=36°，AD、CE是△ABC的两条角平分线，BD=5，P是AD上的一个动点，则线段BP＋EP最小值的是____________．

18．观察下列一组数：﹣， ，﹣，，﹣，…，它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第n个数是_____．
评卷人
得分



三、解 答 题
19．先化简，再求值：，其中，．
20．已知关于的一元二次方程有，两个实数根．
(1)求的取值范围；
(2)若，求及的值；
(3)是否存在实数，满足？若存在，求出实数的值？若没有存在，请说明理由．
21．为了解学生寒假阅读情况，开学初学校进行了问卷，并对部分学生假期的阅读总时间作了随机抽样分析．设被抽样的每位同学寒假阅读的总时间为（小时），阅读总时间分为四个类别：，，，，将分类结果制成如下两幅统计图．根据以上信息，回答下列问题：


(1)本次抽样的样本容量为___________，请补全条形统计图；
(2)求扇形统计图中a的值；
(3)若该校有1800名学生，估计寒假阅读的总时间超过12小时但没有超过36小时的学生有多少名？
22．据，超速行驶是引发交通事故的主要原因之一，所以规定以下情境中的速度没有得超过50km/h．如图，在一条笔直公路l的旁边A处有一探测仪，AD⊥l于D，AD=32m，次探测到一辆轿车从B点匀速向D点行驶，测得∠ABD=28°，2秒后到达C点，测得∠ACD=45°．（sin28°≈，cos28°≈，tan28°≈）

（1）求CD，BD的长度．
（2）通过计算，判断此轿车是否超速．
23．某商场家电专柜购进一批甲，乙两种电器，甲种电器共用了10 350元，乙种电器共用了9 600元，甲种电器的件数是乙种电器的1.5倍，甲种电器每件的进价比乙种电器每件的进价少90元．
（1）甲、乙两种电器各购进多少件？
（2）商场购进两种电器后，按进价提高40%后标价，很快全部售完，求售完这批电器商场共获利多少元？
24．在菱形中，，为平面内任意一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到，连接，．

(1)如图①，当点在菱形内部时，判断与的数量关系，并写出证明；
(2)如图②，当点、、在同一条直线上时，若，，求的长．
25．（1）若是直角三角形，AB＝13，BC＝12，AC＝5．将绕点A顺时针方向旋转90°得到1；则线段BC在旋转过程中所扫过部分的周长是　 　；扫过的面积是　 　（保留π）．
（2）若是锐角三角形（）．请在图中用无刻度的直尺和圆规作图：作直线l，使l上的各点到B、C两点的距离相等；设直线l与AB、BC分别交于点M、N，作一个圆，使得圆心O在线段MN上，且与边AB、BC相切；（没有写作法，保留作图痕迹）
（3）在（2）的条件下，若BM＝，BC＝2，则⊙O的半径为　 　．
26．如图1，已知，抛物线、、三点，点P是抛物线上一点．

(1)求抛物线的解析式；
(2)当点P位于第四象限时，连接AC，BC，PC，若，求直线PC的解析式；
(3)如图2，当点P位于第二象限时，过P点作直线AP，BP分别交y轴于E，F两点，请问的值是否为定值？若是，请求出此定值；若没有是，请说明理由．

答案：
1．D

【分析】
根据相反数的性质判断即可；
【详解】
，故A没有符合题意；
，，故B没有符合题意；
，，故C没有符合题意；
，，故D正确；
故选D．

本题主要考查了相反数的判断，准确分析判断是解题的关键．
2．C

【详解】
A错误，①没有是对称图形，②是对称图形
B错误，①③都没有是对称图形
C正确，②是对称图形
D错误，②是对称图形，④没有是对称图形
故选C

本题考查了对称图形的概念：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做对称图形，对称图形是要寻找对称，熟练掌握对称图形的概念是解题的关键．
3．A

【分析】
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的值与小数点移动的位数相同．当原数值≥10时，n是正整数，当原数值＜1时，n是负整数．
【详解】
解：31344.6898万；
故选：A

此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．C

【分析】
众数是一组数据中出现次数至多的数据，中位数是将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据或者最中间两个数据的平均数叫这组数据的中位数．本组数据中，把数据按照从大到小的顺序排列，最中间的两个数的平均数即为中位数．
【详解】
由统计表可知：体育锻炼时间至多的是5小时，故众数是5小时；
统计表中是按从小到大的顺序排列的，最中间两个人的锻炼时间都是5小时，故中位数是5小时．
故选C．

本题考查了确定一组数据的众数和中位数的能力．将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数．如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求；如果是偶数，则找中间两位数的平均数．
5．D

【分析】
根据幂的乘方、角的三角函数、算术平方根、负指数幂的法则分别对每一项进行判断即可．
【详解】
A、，故本选项错误；
B、，故本选项错误；
C、，故本选项错误；
D、，故本选项正确．
故选：D．

此题考查了幂的乘方、角的三角函数、算术平方根、负指数幂，熟练掌握运算性质是解题的关键，是一道基础题．
6．D

【分析】
先求出每个没有等式的解集，再利用解集即可知道原没有等式的整数解的个数．
【详解】
解：
解没有等式①，得：，
解没有等式②，得：，
所以原没有等式的解集为．
所以原没有等式的整数解有-2、-1、0、1、2共5个，
故选：D．

本题考查求没有等式组的解法，与一元没有等式组的整数解．首先求出没有等式组的解集是解答本题的关键．
7．D

【分析】
由角平分线的作法可判断①，由直角三角形的两锐角互余求出∠ADC，即可判断②，由等角对等边，垂直平分线的性质即可判断③，由底边的数量关系及三角形面积的性质即可判断④．
【详解】
解：由作法得平分，
∴①正确；
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴②正确；
∵，
∴△ABD是等腰三角形，
∴，
∴点在的垂直平分线上，
∴③正确；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴④正确．
综上所述，说法中正确的个数是4，
故选：D

本题考查的是作图﹣基本作图、直角三角形的性质、等角对等边、垂直平分线的性质等知识，熟知角平分线的作法是解答此题的关键．
8．B

【分析】
根据“每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元”，即可得出关于x，y的二元方程组，此题得解．
【详解】
解：依题意，得．
故选：B．

本题考查了由实际问题抽象出二元方程组，找准等量关系，正确列出二元方程组是解题的关键．
9．B

【分析】
以八卦中任取一卦，利用列举法求出这一卦的三根线中恰有1根“”和2根“”包含的基本有3个，由此能求出从八卦中任取一卦，这一卦的三根线中恰有1根“”和2根“”的概率．
【详解】
解：从八卦中任取一卦，共有8种等可能结果，从图中任选一卦，这一卦中恰有1根“”和2根“”的有3种结果，
∴从图中任选一卦，这一卦中恰有1根“”和2根“”的概率为；
故选：B．

本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合A或B的结果数目m，然后利用概率公式求A或B的概率．
10．B

【分析】
将变形为，利用即可求解．
【详解】
解：
所以的最小值是，
故B．

本题考查没有等式的性质，认真分析题目中所给结论和例子的特点，将进行变形后套用公式是解题关键．
11．3

【分析】
根据无理数的定义解答即可．
【详解】
解：-2是整数，没有是无理数，﹣是无理数；是分数属于有理数；是无理数，π是无理数；则无理数数有3个．
故答案为3．

本题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π、2π等；开方开没有尽的数；以及像0.1010010001..等有这样规律的数都属于无理数．
12．

【分析】
根据≥0，得1-x≥0，﹥0，得2+x﹥0，计算即可得答案．
【详解】
解：∵≥0，﹥0，
∴，
解得：，
故．

本题考查了分式的有意义，解题的关键是掌握≥0且分式的分母没有等于0．
13．

【分析】
根据反比例函数的性质得到反比例函数图象分布在第二、四象限，所以为负数，最小，然后利用在每一象限，随的增大而增大得到与的大小．
【详解】
解：，
反比例函数图象分布在第二、四象限，在每一象限，随的增大而增大，
，
．
故．

本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
14．100

【分析】
首先求出该组数据的中位数和方差，进而求出答案．
【详解】
解：数据：92，94，98，91，95从小到大排列为91，92，94，95，98，处于中间位置的数是94，
则该组数据的中位数是94，即，
该组数据的平均数为，
其方差为
，所以
∴．
故100．

本题考查了中位数和方差，关于方差：一般地设个数据，，，的平均数为，则方差．
15．4

【分析】
根据扇形的面积公式求出AB，再根据勾股定理即可求出答案．
【详解】
BC为底面直径，已知cm
圆锥的底面周长 ，半径为
圆锥的侧面展开图扇形的弧长为




在 中，由勾股定理得
故4．

本题考查了圆锥的计算，理解圆锥的展开面是扇形、圆锥的母线长是扇形的半径及扇形的面积公式，是解题的关键．
16．3

【分析】
作点A关于y轴的对称点A′，则点A′的坐标为（-1，4），连接A′B交y轴于点C，此时△ABC的周长最小，由点A′，B的坐标，利用待定系数法可求出直线A′B的函数解析式，再利用函数图像上点的坐标特征可求出点C的坐标，进而可得出OC的长．
【详解】
解：如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时的周长最小．


∵点的坐标为，
∴点的坐标为．
设直线的函数解析式为，
将点，代入，
得，解得，
∴直线的函数解析式为．
当时，，
∴点的坐标为，
∴．
故3．

本题考查了函数图像上点的坐标特征、待定系数法求函数解析式以及轴对称-最短路线问题，利用两点之间线段最短，确定当△ABC的周长最小时点C的坐标．
17．10

【分析】
连结CP，利用等腰三角形顶角平分线所在直线为对称轴得 BP=CP，BD=CD=5，当点C、P、E在一直线是BP＋EP最小值，最小值为BP＋EP= EC，由∠BAC=36°，AB=AC，求出∠ABC=∠ACB=72°，又CE是△ABC的角平分线有∠BCE=36°，求出∠BEC=72º，得CE=BC =10即可．
【详解】
连结CP，点P在AD上运动，
∵AB=AC，AD平分∠BAC，
∴AD所在直线为对称轴，
∴BP=CP，BD=CD=5，
当点C、P、E在一直线是BP＋EP最小值,
∴BP＋EP=PC+EP=EC，
∵∠BAC=36°，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=，
∵CE是△ABC的角平分线，
∴∠BCE=，
∴∠BEC=180º-∠EBC-∠BCE =180º-72º-36º=72º，
∴∠BEC=∠EBC，
∴CE=BC=BD+CD=10．
故10．


本题考查等腰三角形的判定和性质，角平分线性质，轴对称性质，掌握等腰三角形的判定和性质，角平分线性质，线段和最短问题经常利用轴对称性质作出对称线段，三点在一线时最短作出图形是解题关键．
18．

【分析】
根据观察，第奇数个数是负数，第偶数个数是正数，从而确定符号规律，再分别观察分子、分母得到分子、分母的规律，从而得到结果．
【详解】
第1个数：，
第2个数：，
第3个数：，
第4个数：，
第5个数：，
由以上可知，第n个数为 ．
故．

本题考查了数字规律型，从分子、分母和符号三方面寻找规律是解题的关键．
19．；．

【分析】
先计算乘法，再合并，然后把，代入，即可求解．
【详解】
解：原式

当，时，
原式．

本题主要考查了整式的化简求值，零指数幂，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
20．(1)
(2)；
(3)存在；或

【分析】
（1）根据方程有两个实数根，得到根的判别式大于等于0，求出m的范围即可；
（2）利用根与系数的关系求出两根之和，把x1的值代入计算求出x2，进而求出m的值即可；
（3）利用根与系数的关系表示出两根之和与两根之积，代入已知等式计算，判断即可．
(1)
解：∵关于的一元二次方程有，两个实数根，
∴，
解得；
(2)
解：∵，，，
∴，
∴，
解得；
(3)
解：存在，理由如下：∵，，，
∴，
∴，
整理得，
∵，
∴，
解得，．

此题考查了根与系数的关系，以及根的判别式，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系及根的判别式意义是解本题的关键．
21．(1)，画图见解析；
(2)；
(3)名．

【分析】
（1）根据类的人数除以所占的百分比即可求得样本的容量，进而求得C类的人数，补全统计图；
（2）根据B类的人数除以样本的容量即可求得求得a的值，
（3）根据题意求得B、C两类人数所占的百分比乘以1800，即可求解．
(1)
本次抽样的样本容量为，
故60．
类的人数为（人），
补全统计图如图：


(2)
，
．
(3)
估计寒假阅读的总时间超过12小时但没有超过36小时的学生有：（名）．

本题考查了条形统计图与扇形统计图，样本估计总体，求样本的容量，从统计图中获取信息是解题的关键．
22．（1）BD=60m，CD=32m；（2）该轿车已超速．

【分析】
（1）先在Rt△ABD中解直角三角形可得BD，然后再说明△ACD为等腰直角三角形,得到CD=AD；
（2）先求出BD的长，再运动时间为2秒，即可求出速度，将速度单位化成km/h进行比较即可
【详解】
解：（1）∵在Rt△ABD中，∠ABD=28°，AD=32m
∴tan∠ABD== tan28°=,即,解得BD=60m
∵在Rt△ACD中, ∠ACD=45°
∴CD=AD=32m
∴BD=60m，CD=32m；
（2）∵BC=BD-CD=28m
∴轿车的速度为28m÷2s=14m/s=50.4km/h
∵50.4km/h＞50km/h
∴该轿车已超速．

本题考查了解直角三角形和等腰直角三角形的性质，掌握运用三角函数解直角三角形成为解答本题的关键．
23．（1）甲购进45件，乙购进30件；（2）7980元

【详解】
试题分析：设乙种电器购进件，则甲种电器购进件,根据甲种电器每件的进价比乙种电器每件的进价少90元，列方程求解即可.
试题解析：（1）设乙种电器购进件，则甲种电器购进件,
依题意得，
解得：x=30，
经检验x=30是原方程的解，   
答：甲种电器购进45件，乙种电器购进30件．
（2）售完这批电器商场共获利（10350+9600）×40%=7980元.
答：售完这批电器商场共获利7980元.
24．(1)，证明见解析
(2)

【分析】
(1)证明△ADG≌△CDE（SAS），即可得到结论；
（2）过点作于，先证明∠ADB＝∠BDC＝，在中，∠GDH＝∠ADB＝30°，求得GH，DH，AH的长，利用勾股定理求得AG，由（1）得到CE的长．
(1)
解：，理由如下：
由题意可得，，
∵，
∴∠ADC＝∠GDE，
∴∠ADC－∠ADE＝∠GDE－∠ADE，
∴，
∵四边形是菱形，
∴AD＝CD，
在△ADG和△CDE中，

∴△ADG≌△CDE（SAS），
∴．
(2)
解：如图，过点作于，
∵四边形是菱形，
∴ADBC，BC＝DC，
∴∠ADB＝∠CBD，∠CBD＝∠BDC，
∴∠ADB＝∠BDC＝，
∴∠GDH＝∠ADB＝30°，
在中，，
∴，，
∴，
在中，由勾股定理得，
，
由（1）知，．


本题考查了菱形的性质，图形的旋转，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，综合性较强，作出适当的辅助线是解决问题的关键．
25．（1），；（2）见解析；（3）

【分析】
（1）根据旋转的性质得，，，再利用弧长公式计算出弧的长度，弧的长度，所以线段BC在旋转过程中所扫过部分的周长＝CB+弧的长+ +弧的长＝；由于，则，然后利用扇形面积公式和线段BC在旋转过程中所扫过部分的面积＝扇形扇形进行计算即可.
（2）根据题意作出图形即可；
（3）过点O作于E.设OE＝ON＝r，由勾股定理求出MN的长，由三角形的面积公式可得出答案.
【详解】
解：（1）如图1，

∵绕A顺时针方向旋转90°后得到，
∴，，，
∴弧的长度＝π，弧的长度＝＝π，
∴线段BC在旋转过程中所扫过部分的周长＝CB+弧的长+ +弧的长
＝12+π+12+π＝24+9π；
∵，
∴＝，
∵扫过的面积扇形扇形，
∴线段BC在旋转过程中所扫过部分的面积
＝扇形扇形＝﹣＝36π；
故24+9π，36π．
（2）如图2，分别以B、C两点作为圆心，以为半径画圆弧分别交于P、Q两点，连接两点即是直线l；以B为圆心，任意长度为为半径画弧交于AB、BC与H、K两点，分别以H、K作为圆心，为半径画弧交于点S，连接BS与l交于O点，以O点为圆心，O到AB和BC的距离为半径画圆，⊙O即为所求．

（3）如图3，过点O作于E.设OE＝ON＝r，
∵BM＝，BC＝2，MN垂直平分线段BC，
∴BN＝CN＝1，
∴MN＝＝＝，
∵，
∴×1×＝×1×r+××r，
解得，r＝.
故．

本题考查了弧长公式，勾股定理，圆规作中垂线、角平分线，扇形面积公式以及旋转的性质；熟练掌握弧长和扇形面积的计算公式是关键．
26．(1)
(2)
(3)是，

【分析】
（1）将A（1，0）、B（3，0）、C（0，3）代入y=ax2+bx+c，即可求解；
（2）过点B作MB⊥CB交于点M，过点M作MN⊥x轴交于点N，由题意可得tan∠BCM==，求出BM=，再由∠M=45°，求出点M（2，1），求直线CM的解析式即为所求；
（3）设P（t，-t2+2t+3），分别由待定系数法求出直线AP的解析式，直线BP的解析式，就能求出CE和CF的长，即可求解．
(1)
解：设，
把、、代入解析式，则
∴
解得，
∴．
(2)
解：过点B作MB⊥CB交于点M，过点M作MN⊥x轴交于点N，

∵A（-1，0）、C（0，3），B（3，0），
∴OA=1，OC=3，BC=，
∴tan∠ACO=，
∵∠PCB=∠ACO，
∴tan∠BCM==，
∴BM=，
∵OB=OC，
∴∠CBO=45°，
∴∠M=45°，
∴MN==1，
∴M（2，1），
设直线CM的解析式为y=kx+b，
∴，
∴，
∴直线PC的解析式为y=2x+3；
(3)
解：的值是为定值．理由如下：
设P（t，t2+2t+3），
设直线AP的解析式为y=k1x+b1，
∴，
∴，
∴y=（3t）x+（3t），
∴E（0，3t），
∴CE=t，
设直线BP的解析式为y=k2x+b2，
∴，
∴，
∴y=（t1）x+3t+3，
∴F（0，3t+3），
∴OF=3t，
∴，
∴的值是为定值．

本题是二次函数的综合题，锐角三角函数，熟练掌握二次函数的图象及性质，用待定系数法求函数解析式的方法是解题的关键．





2022-2023学年湖南省永州市中考数学专项提升仿真模拟试题
（二模）
一、选一选（每小题3分，共24分）
1. 生物学家发现了一种，其长度约为，将数据0. 00000032用科学记数法表示正确的是( )
A. B. C. D.
2. 下列计算正确的是(　　)
A. 2a+3b＝5ab B. ＝±6
C. a6÷a2＝a4 D. (2ab2)3＝6a3b5
3. 如图中几何体的正视图是（　　）

A. B. C. D.
4. 没有等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A. B. C. D.
5. 若关于x方程x2+x﹣m=0有两个没有相等的实数根，则m的值可以是（　　）
A. 0 B. ﹣1 C. ﹣2 D. ﹣3
6. 对于一组统计数据3，3，6，5，3．下列说法错误是（　　）
A. 众数是3 B. 平均数是4 C. 方差是1.6 D. 中位数是6
7. 如图，⊙O半径为3，四边形ABCD内接于⊙O，连接OB、OD，若∠BOD=∠BCD，则的长为（　　）

A. π B. C. 2π D. 3π
8. 定义：若点P（a，b）在函数y=的图象上，将以a为二次项系数，b为项系数构造的二次函数y=ax2+bx称为函数y=的一个“派生函数”．例如：点（2， ）在函数y=的图象上，则函数y=2x2+称为函数y=的一个“派生函数”．现给出以下两个命题：
（1）存在函数y=的一个“派生函数”，其图象的对称轴在y轴的右侧
（2）函数y=的所有“派生函数”的图象都同一点，下列判断正确的是（　　）
A. 命题（1）与命题（2）都是真命题
B. 命题（1）与命题（2）都是假命题
C. 命题（1）是假命题，命题（2）是真命题
D. 命题（1）是真命题，命题（2）是假命题
二、填 空 题（每小题4分，共32分）
9. ﹣5的倒数是_____；的相反数是_____．
10. 分解因式：=____.
11. 若二次根式有意义，则x的取值范围是___．
12. 方程3x(x-1)=2(x-1)的根是____________
13. 如图，a//b，点B在直线b上，且AB⊥BC，∠1=35°，那么∠2=______．

14. 如图，在等边三角形ABC中，AB=6，D是BC上一点，且BC=3BD，绕点A旋转后得到，则CE的长度为___．

15. 如图，小明在一块平地上测山高，先在B处测得山顶A的仰角为30°，然后向山脚直行100米到达C处，再测得山顶A的仰角为45°，那么山高AD为_____米（结果保留整数，测角仪忽略没有计，≈1.414，≈1.732）

16. 如图，在边长为2的正方形ABCD中，P是BC边上一动点（点P没有与B、C重合），将△ABP沿直线AP翻折，点B落在点E处；在CD上有一点M，使得将△CMP沿直线MP翻折后，点C落在直线PE上的点F处，直线PE交CD于点N，连接MA、NA，则以下结论：①△CMP∽△BPA；②四边形AMCB的面积值为2.5；③△ADN≌△AEN；④线段AM的最小值为2.5；⑤当P为BC中点时，AE为线段NP的中垂线．正确的有_____（只填序号）

三、解 答 题（17、18题各6分，19、20、21、22题各8分，23、24题各10分，共64分）
17. 计算：|1﹣|+2cos45°﹣+（）﹣1．
18. 先化简，再求值： ．
19. 我校为了创建“书香校园”，购买了一批图书，其中科普类图书平均每本的 价格比文学类图书平均每本的价格多4元，已知学校用16000元购买的科普类图书的本数与用12000元购买的文学类图书的本数相等．求学校购买的科普类图书和文学类图书平均每本的价格各是多少元？
20. 在星期一的第八节课，我校体育老师随机抽取了九年级的总分学生进行体育中考的模拟测试，并对成绩进行统计分析，绘制了频数分布表和统计图，按得分划分成A、B、C、D、E、F六个等级，并绘制成如下两幅没有完整的统计图表．

　等级
　得分x（分）
　频数（人）
　A
　95＜x≤100
　4
　B
　90＜x≤95
　m
　C
　85＜x≤90
　n
　D
　80＜x≤85
　24
　E
　75＜x≤80
　8
　F
　70＜x≤75
　4
请你根据图表中的信息完成下列问题：
（1）本次抽样的样本容量是　 　．其中m＝　 　，n＝　 ．
（2）扇形统计图中，求E等级对应扇形圆心角α的度数；
（3）我校九年级共有700名学生，估计体育测试成绩在A、B两个等级的人数共有多少人？
（4）我校决定从本次抽取的A等级学生（记为甲、乙、丙、丁）中，随机选择2名成为学校代表参加全市体能竞赛，请你用列表法或画树状图的方法，求恰好抽到甲和乙的概率．
21. 如图，函数y=kx+b的图象与反比例函数y=（x＞0）的图象交于A（2，﹣1）、B（，n）两点．直线y=2与y轴交于点C．
1）求函数与反比例函数的解析式；
2）求△ABC的面积；
3）直接写出没有等式kx+b＞在如图所示范围内的解集．

22. 如图，AC是⊙O直径，OB是⊙O的半径，PA切⊙O于点A，PB与AC的延长线交于点M，∠COB=∠APB．

（1）求证：PB是⊙O的切线；
（2）当OB=3，PA=6时，求MB，MC的长．
23. 已知正方形ABCD，P为射线AB上的一点，以BP为边作正方形BPEF，使点F在线段CB的延长线上，连接EA、EC
(1)如图1，若点P在线段AB的延长线上，求证：EA=EC；
(2)若点P在线段AB上．
①如图2，连接AC，当P为AB的中点时，判断△ACE的形状，并说明理由；
②如图3，设AB=a，BP=b，当EP平分∠AEC时，求a：b及∠AEC的度数．

24. 如图，在平面直角坐标系xoy中，直线y=x+3交x轴于A点，交y轴于B点，过A、B两点的抛物线y=-x2+bx+c交x轴于另一点C，点D是抛物线的顶点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）点P是直线AB上方的抛物线上一点，（没有与点A、B重合），过点P作x轴的垂线交x轴于点H，交直线AB于点F，作PG⊥AB于点G．求出△PFG的周长值；
（3）在抛物线y=-x2+bx+c上是否存在除点D以外的点M，使得△ABM与△ABD的面积相等？若存在，请求出此时点M的坐标；若没有存在，请说明理由．
























2022-2023学年湖南省永州市中考数学专项提升仿真模拟试题
（二模）
一、选一选（每小题3分，共24分）
1. 生物学家发现了一种，其长度约为，将数据0. 00000032用科学记数法表示正确的是( )
A. B. C. D.
【正确答案】B

【分析】值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法没有同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起个没有为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】0.00000032=3.2×10-7．
故选B．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起个没有为零的数字前面的0的个数所决定．
2. 下列计算正确的是(　　)
A. 2a+3b＝5ab B. ＝±6
C. a6÷a2＝a4 D. (2ab2)3＝6a3b5
【正确答案】C

【详解】分析：直接利用同底数幂的除法运算法则以及合并同类项法则、积的乘方运算法则分别化简得出答案．
详解：A、2a+3b，无法计算，故此选项错误；
B、=6，故此选项错误；
C、a6÷a2=a4，正确；
D、（2ab2）3=8a3b6，故此选项错误.
故选C．
点睛：此题主要考查了同底数幂的除法运算以及合并同类项法则、积的乘方运算，正确掌握运算法则是解题关键．
3. 如图中几何体的正视图是（　　）

A. B. C. D.
【正确答案】C

【分析】根据主视图的画法进行判断．
【详解】解：此几何体的主视图由四个正方形组成，下面一层三个正方形，且左边有两层．
故选C．
本题考查了简单组合体的三视图：画简单组合体的三视图要循序渐进，通过仔细观察和想象，再画它的三视图．画物体的三视图的口诀为：主、俯：长对正；主、左：高平齐；俯、左：宽相等．
4. 没有等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A. B. C. D.
【正确答案】B

【详解】试题分析：先求出没有等式组中每一个没有等式的解集，再求出它们的公共部分，然后把没有等式的解集表示在数轴上即可．
由x＞﹣1，得x＞﹣1，
由2x≤4，得x≤2，
∴没有等式组的解集是﹣1＜x≤2，
故选B．
考点：在数轴上表示没有等式的解集；解一元没有等式组
5. 若关于x的方程x2+x﹣m=0有两个没有相等的实数根，则m的值可以是（　　）
A. 0 B. ﹣1 C. ﹣2 D. ﹣3
【正确答案】A

【详解】分析：首先根据题意求得判别式△=1+4m＞0，然后根据△＞0⇔方程有两个没有相等的实数根；求得答案．
详解：∵a=1，b=1，c=-m，
∴△=b2-4ac=12-4×1×（-m）=1+4m，
∵关于x的方程x2+x-m=0有两个没有相等的实数根，
∴1+4m＞0，
解得：m＞-，
则m的值可以是：0.
故选A．
点睛：本题考查了根的判别式，牢记“当△＞0时，方程有两个没有相等的实数根”是解题的关键．
6. 对于一组统计数据3，3，6，5，3．下列说法错误的是（　　）
A. 众数是3 B. 平均数是4 C. 方差是1.6 D. 中位数是6
【正确答案】D

【分析】根据中位数、众数、方差等的概念计算即可得解.
【详解】A、这组数据中3都出现了3次，出现的次数至多，所以这组数据的众数为3，此选项正确；
B、由平均数公式求得这组数据的平均数为4，故此选项正确；
C、S2= [（3﹣4）2+（3﹣4）2+（6﹣4）2+（5﹣4）2+（3﹣4）2]=1.6，故此选项正确；
D、将这组数据按从大到校的顺序排列，第3个数是3，故中位数为3，故此选项错误；
故选D．
考点：1.众数；2.平均数；3.方差；4.中位数.
7. 如图，⊙O的半径为3，四边形ABCD内接于⊙O，连接OB、OD，若∠BOD=∠BCD，则的长为（　　）

A. π B. C. 2π D. 3π
【正确答案】C

【分析】由圆内接四边形的性质和圆周角定理求出∠A=60°，得出∠BOD=120°，再由弧长公式即可得出答案．
【详解】∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠BCD＋∠A＝180°，
∵∠BOD＝2∠A，∠BOD＝∠BCD，
∴2∠A＋∠A＝180°，
解得：∠A＝60°，
∴∠BOD＝120°，
∴弧BD的长＝＝2π；
故选C．
本题考查了弧长公式、圆内接四边形性质、圆周角定理；熟练掌握圆内接四边形的性质和圆周角定理，求出∠BOD＝120°是解决问题的关键．
8. 定义：若点P（a，b）在函数y=的图象上，将以a为二次项系数，b为项系数构造的二次函数y=ax2+bx称为函数y=的一个“派生函数”．例如：点（2， ）在函数y=的图象上，则函数y=2x2+称为函数y=的一个“派生函数”．现给出以下两个命题：
（1）存在函数y=的一个“派生函数”，其图象的对称轴在y轴的右侧
（2）函数y=的所有“派生函数”的图象都同一点，下列判断正确的是（　　）
A. 命题（1）与命题（2）都是真命题
B. 命题（1）与命题（2）都是假命题
C. 命题（1）是假命题，命题（2）是真命题
D. 命题（1）是真命题，命题（2）是假命题
【正确答案】C

【详解】试题分析：（1）根据二次函数y=ax2+bx的性质a、b同号对称轴在y轴左侧，a、b异号对称轴在y轴右侧即可判断．（2）根据“派生函数”y=ax2+bx，x=0时，y=0，原点，没有能得出结论．
（1）∵P（a，b）在y=上， ∴a和b同号，所以对称轴在y轴左侧，
∴存在函数y=的一个“派生函数”，其图象的对称轴在y轴的右侧是假命题．
（2）∵函数y=的所有“派生函数”为y=ax2+bx， ∴x=0时，y=0，
∴所有“派生函数”为y=ax2+bx原点，
∴函数y=的所有“派生函数”，的图象都进过同一点，是真命题．
考点：（1）命题与定理；（2）新定义型
二、填 空 题（每小题4分，共32分）
9. ﹣5的倒数是_____；的相反数是_____．
【正确答案】 ①. - ②.

【分析】根据倒数和相反数的定义进行解答即可．
【详解】解：-5的倒数是-；的相反数是．
故答案为-；．
本题主要考查倒数和相反数，倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数；只有符号没有同的两个数互为相反数．
10. 分解因式：=____.
【正确答案】

【详解】试题分析：要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式．因此，
先提取公因式后继续应用平方差公式分解即可：．
11. 若二次根式有意义，则x的取值范围是___．
【正确答案】

【详解】解：根据题意，使二次根式有意义，即x﹣2≥0，解得x≥2．
故x≥2．
本题主要考查使二次根式有意义的条件．

12. 方程3x(x-1)=2(x-1)的根是____________
【正确答案】x1=1，x2=.

【详解】试题解析：3x(x-1)=2(x-1)
3x(x-1)-2 (x-1) =0
（3x-2）(x-1)=0
3x-2=0，x-1=0
解得：x1=1，x2=.
考点:解一元二次方程---因式分解法.
13. 如图，a//b，点B在直线b上，且AB⊥BC，∠1=35°，那么∠2=______．

【正确答案】55°

【分析】先根据∠1=35°，由垂直的定义，得到∠3的度数，再由a∥b即可求出∠2的度数．
【详解】∵AB⊥BC，∴∠3=90°﹣∠1=55°．
∵a∥b，∴∠2=∠3=55°．
故答案为55°．

本题考查的是平行线的性质、垂线的性质，熟练掌握垂线的性质和平行线的性质是解决问题的关键．
14. 如图，在等边三角形ABC中，AB=6，D是BC上一点，且BC=3BD，绕点A旋转后得到，则CE的长度为___．

【正确答案】2

【分析】由等边三角形性质得出BC＝AB＝6，求出BD，由旋转的性质得出△ACE≌△ABD，得出CE＝BD，即可得出结果．
【详解】解：∵△ABC是等边三角形，
∴BC＝AB＝6，
∵BC＝3BD，
∴BDBC＝2，
由旋转的性质得：△ACE≌△ABD，
∴CE＝BD＝2．
故2．
本题考查了旋转的性质、等边三角形的性质、全等三角形的性质；熟练掌握旋转的性质和等边三角形的性质是解决问题的关键．
15. 如图，小明在一块平地上测山高，先在B处测得山顶A的仰角为30°，然后向山脚直行100米到达C处，再测得山顶A的仰角为45°，那么山高AD为_____米（结果保留整数，测角仪忽略没有计，≈1.414，≈1.732）

【正确答案】137

【分析】根据仰角的定义得到∠ABD=30°，∠ACD=45°，设AD=xm，先在Rt△ACD中，利用∠ACD的正切可得CD=AD=xm，则BD=BC+CD=（x+100）m，然后在Rt△ABD中，利用∠ABD的正切得到x=（x+100）m，解得x=50），再进行近似计算即可．
【详解】解：如图，∠ABD=30°，∠ACD=45°，BC=100m，
设AD=xm，
在Rt△ACD中，∵tan∠ACD=，
∴CD=AD=x，
∴BD=BC+CD=x+100，
在Rt△ABD中，∵tan∠ABD=，
∴，
∴x=≈137，即山高AD为137米．
故答案为137．
考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．

16. 如图，在边长为2的正方形ABCD中，P是BC边上一动点（点P没有与B、C重合），将△ABP沿直线AP翻折，点B落在点E处；在CD上有一点M，使得将△CMP沿直线MP翻折后，点C落在直线PE上的点F处，直线PE交CD于点N，连接MA、NA，则以下结论：①△CMP∽△BPA；②四边形AMCB的面积值为2.5；③△ADN≌△AEN；④线段AM的最小值为2.5；⑤当P为BC中点时，AE为线段NP的中垂线．正确的有_____（只填序号）

【正确答案】①②③④

【详解】分析：①正确．只要证明∠CPM=∠PAB，∠C=∠B=90°，即可；
②正确，设PB=x，构建二次函数，利用二次函数性质解决问题即可；
③正确．根据HL即可证明；
④正确，作MG⊥AB于G，因为AM=，所以AG最小时AM最小，构建二次函数，求得AG的最小值为，AM的最小值为．
⑤错误，设ND=NE=y，在Rt△PCN中，利用勾股定理求出y即可解决问题．
详解：①由翻折可知，∠APE=∠APB，∠MPC=∠MPN，
∴∠APE+∠MPF=∠CPN+∠BPE=90°，
∴∠CPM+∠APB=90°，∵∠APB+∠PAB=90°，
∴∠CPM=∠PAB，∵∠C=∠B=90°，
∴△CMP∽△BPA．故①正确；
②设PB=x，则CP=2-x，
∵△CMP∽△BPA，
∴，，
∴CM=x（2-x），
∴S四边形AMCB= [2+x（2-x）]×2=-x2+x+2=-（x-1）2+2.5，
∴x=1时，四边形AMCB面积值为2.5，故②正确；
③在Rt△ADN和Rt△AEN中，
，
∴△ADN≌△AEN．故③正确；
④作MG⊥AB于G，

∵AM=，
∴AG最小时AM最小，
∵AG=AB-BG=AB-CM=2-x（2-x）=（x-1）2+，
∴x=1时，AG最小值=，
∴AM的最小值=，故④正确．
⑤当PB=PC=PE=1时，
由折叠知，ND=NE，
设ND=NE=y，
在Rt△PCN中，（y+1）2=（2-y）2+12解得y=
∴NE=，
∴NE≠EP，故⑤错误，
点睛：此题是四边形综合题主要考查了正方形的性质、相似三角形的判定和性质、全等三角形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题，学会添加常用辅助线，属于中考压轴题．
三、解 答 题（17、18题各6分，19、20、21、22题各8分，23、24题各10分，共64分）
17. 计算：|1﹣|+2cos45°﹣+（）﹣1．
【正确答案】1

【详解】分析：根据值的意义、角的三角函数值、二次根式的化简和负指数幂的运算，分别求得每项的值，再进行计算即可．
详解：|1﹣|+2cos45°﹣+（）﹣1
=-1+2×-2+2
=-1+-2+2
=1．
点睛：本题主要考查实数的运算及角的三角函数值，注意值和负指数幂的运算法则是解题的关键．
18. 先化简，再求值： ．
【正确答案】

【分析】先把括号内的式子进行通分，然后把把除法运算转化为乘法运算，约分化为最简分式后代入求值即可．
【详解】解：，

＝
＝
当时，
原式.
19. 我校为了创建“书香校园”，购买了一批图书，其中科普类图书平均每本的 价格比文学类图书平均每本的价格多4元，已知学校用16000元购买的科普类图书的本数与用12000元购买的文学类图书的本数相等．求学校购买的科普类图书和文学类图书平均每本的价格各是多少元？
【正确答案】文学类图书平均每本的价格为12元，科普类图书平均每本的价格为16元．

【详解】分析：首先设科普类图书平均每本的价格为x元，则科普类图书平均每本的价格为（x+4）元，根据题意可得等量关系：用16000元购进的科普类图书的本数=用12000元购买的文学类图书的本数，根据等量关系列出方程，再解即可．
详解：设文学类图书平均每本的价格为x元，则科普类图书平均每本的价格为（x+4）元．
根据题意，得
解得x=12．
经检验，x=12是原方程的解，且符合题意，
则科普类图书平均每本的价格为12+4=16（元），
答：文学类图书平均每本的价格为12元，科普类图书平均每本的价格为16元．
点睛：此题主要考查了分式方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程，注意分式方程没有要忘记检验．
20. 在星期一的第八节课，我校体育老师随机抽取了九年级的总分学生进行体育中考的模拟测试，并对成绩进行统计分析，绘制了频数分布表和统计图，按得分划分成A、B、C、D、E、F六个等级，并绘制成如下两幅没有完整的统计图表．

　等级
　得分x（分）
　频数（人）
　A
　95＜x≤100
　4
　B
　90＜x≤95
　m
　C
　85＜x≤90
　n
　D
　80＜x≤85
　24
　E
　75＜x≤80
　8
　F
　70＜x≤75
　4
请你根据图表中的信息完成下列问题：
（1）本次抽样的样本容量是　 　．其中m＝　 　，n＝　 ．
（2）扇形统计图中，求E等级对应扇形的圆心角α的度数；
（3）我校九年级共有700名学生，估计体育测试成绩在A、B两个等级的人数共有多少人？
（4）我校决定从本次抽取的A等级学生（记为甲、乙、丙、丁）中，随机选择2名成为学校代表参加全市体能竞赛，请你用列表法或画树状图的方法，求恰好抽到甲和乙的概率．
【正确答案】（1）80，12，28；（2）36°；（3）140人；（4）

【分析】（1）用D组的频数除以它所占的百分比得到样本容量；用样本容量乘以B组所占的百分比得到m的值，然后用样本容量分别减去其它各组的频数即可得到n的值；
（2）用E组所占的百分比乘以360°得到α的值；
（3）利用样本估计整体，用700乘以A、B两组的频率和可估计体育测试成绩在A、B两个等级的人数；
（4）画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出恰好抽到甲和乙的结果数，然后根据概率公式求解．
详解】（1）24÷30%=80，
所以样本容量为80；
m=80×15%=12，n=80﹣12﹣4﹣24﹣8﹣4=28；
故答案80，12，28；
（2）E等级对应扇形的圆心角α的度数=×360°=36°；
（3）700×=140，
所以估计体育测试成绩在A、B两个等级的人数共有140人；
（4）画树状图如下：

共12种等可能的结果数，其中恰好抽到甲和乙的结果数为2，
所以恰好抽到甲和乙的概率=．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合A或B的结果数目m，然后利用概率公式求A或B的概率．也考查了统计图．
21. 如图，函数y=kx+b的图象与反比例函数y=（x＞0）的图象交于A（2，﹣1）、B（，n）两点．直线y=2与y轴交于点C．
1）求函数与反比例函数的解析式；
2）求△ABC的面积；
3）直接写出没有等式kx+b＞在如图所示范围内的解集．

【正确答案】（1）y=﹣；y=2x﹣5；（2）；（3）x＜或x＞2

【详解】分析：1）把A坐标代入反比例解析式求出m的值，确定出反比例解析式，再将B坐标代入求出n的值，确定出B坐标，将A与B坐标代入函数解析式求出k与b的值，即可确定出函数解析式；
2）利用两点间的距离公式求出AB的长，利用点到直线的距离公式求出点C到直线AB的距离，即可确定出三角形ABC面积．
3）根据函数图象，找到直线在双曲线上方部分对应的x的取值范围即可得．
详解：1）把A（2，﹣1）代入反比例解析式得：﹣1=，即m=﹣2，
∴反比例解析式为y=﹣，
把B（，n）代入反比例解析式得：n=﹣4，即B（﹣4），
把A与B坐标代入y=kx+b中得：，
解得：k=2，b=﹣5，
则函数解析式为y=2x﹣5；
2）如图，

∵A（2，﹣1），B（，﹣4），直线AB解析式为y=2x﹣5，
∵C（0，2），直线BC解析式为y=﹣12x+2，
将y=﹣1代入BC的解析式得x=，则AD=2﹣=
∵xC﹣xB=2﹣（﹣4）=6，
∴S△ABC=×AD×（yC﹣yB）=××6=．
3）由图可知，当x＜或x＞2时，kx+b＞．
点睛：此题考查了反比例函数与函数的交点问题，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
22. 如图，AC是⊙O的直径，OB是⊙O的半径，PA切⊙O于点A，PB与AC的延长线交于点M，∠COB=∠APB．

（1）求证：PB是⊙O的切线；
（2）当OB=3，PA=6时，求MB，MC的长．
【正确答案】（1）证明见试题解析；（2）MB=4，MC=2．

【详解】试题分析：（1）由切线的性质，得到∠MAP=90°，由直角三角形的性质，得到∠P+M=90°，由余角的性质，得到∠M+∠MOB=90°，可得∠MOB=90°，根据切线的判定，可得答案；
（2）根据△OBM∽△APM，可得，根据解方程组，可得答案．
试题解析：（1）∵PA切⊙O于点A，∴∠MAP=90°，∴∠P+M=90°．∵∠COB=∠APB，∴∠M+∠MOB=90°，∴∠MOB=90°，即OB⊥PB，∵PB直径的外端点，∴PB是⊙O的切线；
（2）∵∠COB=∠APB，∠OBM=∠PAM，∴△OBM∽△APM，∴，∴ ①， ②，解得MB=4，MC=2，∴当OB=3，PA=6时，MB=4，MC=2．
考点：切线的判定与性质．
23. 已知正方形ABCD，P为射线AB上的一点，以BP为边作正方形BPEF，使点F在线段CB的延长线上，连接EA、EC
(1)如图1，若点P在线段AB的延长线上，求证：EA=EC；
(2)若点P在线段AB上．
①如图2，连接AC，当P为AB中点时，判断△ACE的形状，并说明理由；
②如图3，设AB=a，BP=b，当EP平分∠AEC时，求a：b及∠AEC的度数．

【正确答案】（1）详见解析；（2）△ACE为直角三角形，理由见解析；（3）∠AEC=45°．

【详解】试题分析：（1）根据正方形的性质和全等三角形的判定定理易证△APE≌△CFE，由全等三角形的性质即可得结论；（2）①根据正方形的性质、等腰直角三角形的性质即可判定△ACE为直角三角形；②根据PE∥CF，得到，代入a、b的值计算求出a：b，根据角平分线的判定定理得到∠HCG=∠BCG，证明∠AEC=∠ACB，即可求出∠AEC的度数．
试题解析：（1）证明：∵四边形ABCD为正方形
∴AB=AC
∵四边形BPEF为正方形
∴∠P=∠F=90°，PE=EF=FB=BP
∵AP=AB+BP,CF=BC+BF
∴CF=AP
在△APE和△CFE中：EP="EF," ∠P="∠F=90°," AP= CF
∴△APE≌△CFE
∴EA=EC
（2）①∵P为AB的中点，
∴PA=PB，又PB=PE，
∴PA=PE，
∴∠PAE=45°，又∠DAC=45°，
∴∠CAE=90°，即△ACE是直角三角形；
②∵EP平分∠AEC，EP⊥AG，
∴AP=PG=a﹣b，BG=a﹣（2a﹣2b）=2b﹣a
∵PE∥CF，
∴，即，
解得，a=b；
作GH⊥AC于H，
∵∠CAB=45°，
∴HG=AG=×（2b﹣2b）=（2﹣）b，又BG=2b﹣a=（2﹣）b，
∴GH=GB，GH⊥AC，GB⊥BC，
∴∠HCG=∠BCG，
∵PE∥CF，
∴∠PEG=∠BCG，
∴∠AEC=∠ACB=45°．
∴a：b=：1；∴∠AEC=45°．

考点：四边形综合题．
24. 如图，在平面直角坐标系xoy中，直线y=x+3交x轴于A点，交y轴于B点，过A、B两点的抛物线y=-x2+bx+c交x轴于另一点C，点D是抛物线的顶点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）点P是直线AB上方的抛物线上一点，（没有与点A、B重合），过点P作x轴的垂线交x轴于点H，交直线AB于点F，作PG⊥AB于点G．求出△PFG的周长值；
（3）在抛物线y=-x2+bx+c上是否存在除点D以外的点M，使得△ABM与△ABD的面积相等？若存在，请求出此时点M的坐标；若没有存在，请说明理由．

【正确答案】（1）y=-x2-2x+3；；（2）△PFG周长的值为：； （3）M1（-2，3），M2，M3．

【分析】（1）将已知点的坐标代入二次函数的解析式利用待定系数法确定二次函数的解析式即可；
（2）首先根据△PFG是等腰直角三角形，设P（m，-m2-2m+3）得到F（m，m+3），进而得到PF=-m2-2m+3-m-3=-m2-3m，从而得到△PFG周长为：-m2-3m+（-m2-3m），配方后即可确定其值；
（3）当DM1∥AB，M3M2∥AB，且与AB距离相等时，根据同底等高可以确定△ABM与△ABD的面积相等，分别求得直线DM1解析式为：y=x+5和直线M3M2解析式为：y=x+1，联立之后求得交点坐标即可．
【详解】（1）∵直线AB：y=x+3与坐标轴交于A（-3，0）、B（0，3），
代入抛物线解析式y=-x2+bx+c中
，
∴
∴抛物线解析式为：y=-x2-2x+3；
（2）∵由题意可知△PFG是等腰直角三角形，
设P（m，-m2-2m+3），
∴F（m，m+3），
∴PF=-m2-2m+3-m-3=-m2-3m，
△PFG周长为：-m2-3m+（-m2-3m），
=-（+1）（m+）2+，
∴△PFG周长的值为：．
（3）点M有三个位置，如图所示的M1、M2、M3，都能使△ABM的面积等于△ABD的面积．
此时DM1∥AB，M3M2∥AB，且与AB距离相等，
∵D（-1，4），
∴E（-1，2）、则N（-1，0）
∵y=x+3中，k=1，
∴直线DM1解析式为：y=x+5，
直线M3M2解析式为：y=x+1，
∴x+5=-x2-2x+3或x+1=-x2-2x+3，
∴x1=-1，x2=-2，x3=，x4=，
∴M1（-2，3），M2，M3．
本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有运用待定系数法求二次函数、函数的解析式，二次函数的性质，三角形的面积，综合性较强，难度适中．