2022-2023学年四川省内江市第六中学高二上学期第一次月考（理）数学试题（解析版）

2022-2023学年四川省内江市第六中学高二上学期第一次月考（理）数学试题

一、单选题

1．直线关于点对称的直线方程为（    ）

A．4x＋3y－4＝0 B．4x＋3y－12＝0

C．4x－3y－4＝0 D．4x－3y－12＝0

【答案】B

【分析】首先设对称直线上任意一点，得到关于对称点为，再代入直线即可得到答案。

【详解】设直线关于点对称的直线上任意一点，

则关于对称点为，

又因为在上，

所以，即。

故选：B

2．若直线在轴上的截距为，则实数是（    ）

A． B． C． D．或

【答案】D

【分析】分析可知，直线过点，将点的坐标代入直线方程，结合检验法可得的值.

【详解】由题意可知，直线过点，

所以，，即，解得或.

当时，直线的方程为，合乎题意；

当时，直线的方程为，合乎题意.

综上所述，或.

故选：D.

3．已知直线的倾斜角满足条件sin＋cos＝，则的斜率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】将两边平方，并求出，进一步求出，然后求出得到.

【详解】由题意， ，由，

则，所以.

于是，

联立.

故选：C.

4．已知一个程序框图如图，则输出的n的值等于（    ）

A．5 B．6 C．7 D．8

【答案】A

【分析】根据程序框图依次求解即可.

【详解】第一次执行，T＝2，n＝2，，不满足；

第二次执行，n＝3，，不满足；

第三次执行，n＝4，，不满足；

第四次执行，n＝5，满足，跳出循环，n＝5.

故选：A.

5．已知直线与互相平行，则它们之间的距离是（    ）

A．4 B． C． D．

【答案】D

【分析】取直线上的定点，再计算到的距离即可.

【详解】取直线上的定点，则到的距离即到的距离为.

故选：D

6．设圆的圆心为C， 直线l过点， 且与圆C交于A，B两点， 若， 则 直线l的方程为（  ）

A． B．或

C． D．或

【答案】D

【分析】由直线与圆相交的弦长与点到直线的距离公式列式求解，

【详解】圆的方程为，得圆心，半径，，则圆心到直线距离为1，

当直线l的斜率不存在时，方程为，此时圆心到直线距离，满足题意，

当直线l的斜率存在时，设方程为，由题意得，解得，

此时方程为，

综上，直线l的方程为或，

故选：D

7．在平面直角坐标系中，以点为圆心，且与直线相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程是（　　）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】先求得动直线过定点，再由已知得到圆心到顶点的距离为最大半径，由圆心，半径可确定满足条件的圆的标准方程.

【详解】解：直线，变形可得，

所以该动直线过定点，

则以点为圆心且与直线相切的所有圆中，圆心到定点的距离为最大半径，

所以半径的最大值为，

则半径最大的圆的标准方程为定点．

故选：A

8．圆与圆的公共弦长为（    ）

A．6 B． C．4 D．

【答案】A

【分析】根据圆与圆的方程相减得公共弦的方程，再根据垂径定理求解即可.

【详解】圆与圆的方程相减得，即．又到直线的距离为1，所以公共弦长为．

故选：A

9．已知直线：与圆：，则上各点到距离的最小值为（　　）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先判断直线与圆的位置关系，再结合图形求距离最小值.

【详解】易知圆心，半径，

圆心到直线l：的距离d，

所以圆与直线相离，如图所示：

所以圆C上各点到l距离的最小值为，

故选：C．

10．已知点，．若直线与线段相交，则实数的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】直线l过定点P（1，1），且与线段AB相交，利用数形结合法，求出PA、PB的斜率，

从而得出l的斜率的取值范围,即得解

【详解】设直线过定点，则直线可写成，

令解得直线必过定点．

，．直线与线段相交，

由图象知，或，解得或，

则实数的取值范围是．

故选：A

【点睛】本题考查了直线方程的应用，过定点的直线与线段相交的问题，考查了学生综合分析、数形结合的能力，属于中档题．

11．求过两圆和的交点，且圆心在直线上的圆的方程（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】先计算出两圆的交点所在直线，进而求出线段的垂直平分线，与联立求出圆心坐标，再求出半径，写出圆的标准方程，从而求出圆的一般方程.

【详解】与相减得：，

将代入得：，

即，

设两圆和的交点为，

则，，则，

不妨设，

所以线段的中点坐标为，

因为直线的斜率为1，所以线段的垂直平分线的斜率为-1，

所以线段的垂直平分线为，

与联立得：，

故圆心坐标为，半径，

所以圆的方程为，

整理得：

故选：D

12．已知点，，点关于直线的对称点为点，在中，，则面积的最大值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先根据对称的性质求出点的坐标，设，再由可求出点的轨迹方程，由图可知中边上的高为圆的半径时，面积最大，从而可求得结果.

【详解】设的坐标为，则则的坐标为，

设，，

．

．

故选：B

二、填空题

13．已知直线l的方程为，若l的斜率为a，在y轴上的截距为b，则______．

【答案】2

【分析】将直线化为斜截式，可求出a，b，即可求出结果

【详解】直线l的方程为，即，∴，，∴.

故答案为：2

14．过点的圆的切线方程为___________.

【答案】或.

【分析】根据切线斜率存在和不存在分类讨论，斜率存在时设直线方程，由圆心到切线距离等于半径求解．

【详解】已知圆圆心坐标为，半径为，易知直线是圆的切线，

当切线斜率存在时，设切线方程为，即，

由，解得，切线方程为，即．

故答案为或．

15．若过点的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线的距离为__．

【答案】

【解析】由已知设圆方程为，代入，能求出圆的方程，再代入点到直线的距离公式即可．

【详解】由题意可得所求的圆在第一象限，设圆心为，则半径为，．

即圆的方程为，再把点代入，得或1，

∴圆的方程为或，对应圆心为或；

由点线距离公式，圆心到直线的距离或；

故答案为：．

【点睛】本题主要考查用待定系数法求圆的标准方程的方法，求出圆心坐标和半径的值，是解题的关键，属于基础题．

16．若直线与曲线有两个交点，则实数的取值范围是______.

【答案】

【分析】先求出直线所过定点，再将曲线转化为，可知其为半圆，结合图像，即可求出的取值范围.

【详解】由题意得，直线的方程可化为，所以直线恒过定点，

又曲线可化为，其表示以为圆心，半径为2的圆的上半部分，如图.

当与该曲线相切时，点到直线的距离，解得，

设，则，

由图可得，若要使直线与曲线有两个交点，须得，即.

故答案为：.

三、解答题

17．已知直线l：x+2y-2=0．试求：

（1）点P（-2，-1）关于直线l的对称点坐标；

（2）直线l关于点（1，1）对称的直线方程．

【答案】（1）；（2）.

【详解】试题分析: (1)设出点关于直线的对称点坐标,根据两点间线段的中点在直线上与两点所在直线与直线互相垂直,由中点坐标公式和两直线垂直斜率乘积为可得关于对称点坐标的方程组,解得点的坐标;(2)设出直线上任一点的坐标,利用此点关于的对称点与直线的方程,可得所求的直线方程.

试题解析：（1） 设点关于直线的对称点为，

则线段的中点在对称轴上,且.

∴即的坐标为.

(2)设直线关于点的对称直线为,则直线上任一点关于点的对称点一定在直线上,反之也成立.由

将的坐标代入直线的方程得.

∴直线的方程为.

点睛:点关于直线的对称点,一般利用的中点在直线上且的连线与直线垂直建立方程组 ;直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决,直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决.

18．已知实数满足方程.

(1)求 的最大值和最小值；

(2)求的最大值和最小值．

【答案】(1)；

(2)，

【分析】（1）根据斜率的定义及圆的几何性质求解；

（2）由两点间的距离及圆的几何性质求解即可.

【详解】（1）原方程表示以点为圆心，以为半径的圆，

表示圆上点与点连线的斜率，如图，

当直线与圆相切时，斜率取得最大值和最小值，

设，即，

则圆心到直线的距离为，解得，

即的最大值为，最小值为.

（2）表示圆上的点与原点间距离的平方，由平面几何知识知，

它在原点与圆心所连直线与圆的两个交点处取得最大值和最小值，

又圆心到原点的距离，

故

19．圆的圆心为，且过点．

(1)求圆的标准方程；

(2)直线：与圆交两点，且，求．

【答案】(1)

(2)或

【分析】（1）根据两点间的距离公式求得半径，再求标准方程即可；

（2）由题知圆心到直线的距离为，再结合点到直线的距离公式求解即可.

【详解】（1）解：因为圆的圆心为，且过点,

所以半径，

所以，圆的标准方程为

（2）解：设圆心到直线的距离为，因为

所以，解得

所以，由圆心到直线距离公式可得．

解得或．

20．已知圆与圆．

(1)求证：圆与圆相交；

(2)求两圆公共弦所在直线的方程；

(3)求经过两圆交点，且圆心在直线上的圆的方程．

【答案】(1)证明见解析

(2)

(3)

【分析】（1）将两圆方程化成标准式，即可得到圆心坐标与半径，再求出圆心距，即可证明；

（2）将两圆方程作差，即可求出公共弦方程；

（3）首先求出两圆的交点坐标，设圆心为，根据得到方程，即可求出，从而求出圆心坐标与半径，从而得到圆的方程.

【详解】（1）证明：圆：化为标准方程为，

，

圆的圆心坐标为，半径为，

，

，两圆相交；

（2）解：由圆与圆，

将两圆方程相减，可得，

即两圆公共弦所在直线的方程为；

（3）解：由，解得，

则交点为，，

圆心在直线上，设圆心为，

则，即，解得，

故圆心，半径，

所求圆的方程为．

21．已知曲线：．

（1）当取何值时，方程表示圆？

（2）求证：不论为何值，曲线必过两定点．

（3）当曲线表示圆时，求圆面积最小时的值．

【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）．

【分析】（1）当时，可知方程表示直线；当时，化简整理已知方程，可知满足圆的方程；

（2）将已知方程整理为，从而可得方程组，解方程组求得两定点坐标，结论可证得；

（3）根据（2）的结论，可知以为直径的圆面积最小，从而得到圆的方程，与已知方程对应相等可构造方程组，解方程组求得结果．

【详解】解：（1）当时，方程为表示一条直线．

当时，，

整理得，

由于，

所以时方程表示圆．

（2）证明：方程变形为．

由于取任何值，上式都成立，则有．

解得或

所以曲线必过定点，，

即无论为何值，曲线必过两定点.

（3）由（2）知曲线过定点A，，在这些圆中，以为直径的圆的面积最小（其余不以为直径的圆的直径大于的长，圆的面积也大），

从而以为直径的圆的方程为，

所以，解得．

22．已知一个动点在圆上移动，它与定点所连线段的中点为.

(1)求点的轨迹方程；

(2)过定点的直线与点的轨迹交于不同的两点，且满足，求直线的方程．

【答案】(1)

(2)或.

【分析】（1）设出动点坐标，利用中点坐标公式表示动点，代入圆方程，整理可得答案；

（2）将直线分斜率存在与不存在两种情况，联立直线与圆方程，写出韦达定理，代入条件中的等式，解得答案.

【详解】（1）设，动点，由中点的坐标公式解得，，

由得，∴点M的轨迹方程是.

（2）当直线的斜率不存在时，直线，与圆交于，，此时解得，不合题意．

当直线的斜率存在时，设直线，则由，消去，得，

由已知可得，，，，整理可得，，解得或，经检验.

综上：直线为或.