2022-2023学年江苏省常州市第一中学高一上学期期中数学试题（解析版）

2022-2023学年江苏省常州市第一中学高一上学期期中数学试题

一、单选题

1．已知，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】由充分条件、必要条件的定义判断即可得解.

【详解】由题意，若，则，故充分性成立；

若，则或，推不出，故必要性不成立；

所以“”是“”的充分不必要条件.

故选：A.

2．函数的定义域（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】解不等式组得出定义域.

【详解】，解得

即函数的定义域

故选：C

3．已知集合和集合，若，则中的运算“⊕”是（    ）

A．加法 B．除法 C．乘法 D．减法

【答案】C

【分析】用特殊值，根据四则运算检验．

【详解】若，则，，，因此排除ABD．

故选：C．

4．已知函数，满足对任意，都有成立，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】依题意对任意的，都有成立，所以函数在上为减函数，列出不等式组，求解即可.

【详解】因为对任意的，都有成立，所以函数在上为减函数，

，所以，解得，

所以的取值范围是.

故选：C

5．若函数，则函数的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】先利用配凑法求出的解析式，则可求出的解析式，从而可求出函数的最小值

【详解】因为，

所以.

从而，

当时，取得最小值，且最小值为.

故选：D

6．Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：，其中K为最大确诊病例数．当I()=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则约为（    ）（ln19≈3）

A．60 B．63 C．66 D．69

【答案】C

【分析】将代入函数结合求得即可得解.

【详解】，所以，则，

所以，，解得.

故选：C.

【点睛】本题考查对数的运算，考查指数与对数的互化，考查计算能力，属于中等题.

7．已知，，则（    ）

A． B．1 C．2 D．4

【答案】B

【分析】利用换底公式，对数运算性质用以6为底的对数表示，可得答案.

【详解】由换底公式，，则.

因，则

则.

故选：B

8．已知偶函数的定义域为，当时，，则的解集为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】采用分离常数法和偶函数的性质可确定的单调性，结合可构造不等式求得结果.

【详解】，在上单调递减，又为偶函数，

，，，解得：或，

的解集为.

故选：D.

二、多选题

9．已知集合，，且，则实数的取值可以是（    ）

A． B．0 C．1 D．2

【答案】ABC

【分析】首先求出集合，依题意可得，分、、三种情况讨论，分别求出参数的值.

【详解】解：，集合表示方程的解集，

因为，所以，

当时方程无解，此时，符合题意，

当，即，当，即，解得，

综上可得或.

故选：ABC

10．下列说法正确的有（    ）

A．命题“，”的否定为“，”

B．对于命题：“，”则为“，”

C．“”是“”的必要不充分条件

D．“”是“对恒成立”的充分不必要条件

【答案】ACD

【分析】根据含有一个量词的命题的否定的规则判断A、B，根据充分条件、必要条件的定义判断C、D.

【详解】解：对于A：命题“，”的否定为“，”，故A正确；

对于B：命题：“，”则为“，”，故B错误；

对于C：由推不出，当时，故充分性不成立，

由，则，所以，故必要性成立，

所以“”是“”的必要不充分条件，故C正确；

对于D：当时，当且仅当，即时取等号，

因为，所以，因为对恒成立，所以，

因为，所以“”是“对恒成立”的充分不必要条件，故D正确；

故选：ACD

11．对于给定实数，关于的一元二次不等式的解集可能是（    ）

A． B． C． D．

【答案】AB

【分析】讨论参数，得到一元二次不等式的解集，进而判断选项的正误.

【详解】由，分类讨论如下：

当时，；

当时，；

当时，或；

当时，；

当时，或.

故选：AB.

12．已知关于x的不等式a≤x2－3x＋4≤b，下列结论正确的是（    ）

A．当a＜b＜1时，不等式a≤x2－3x＋4≤b的解集为∅

B．当a＝1，b＝4时，不等式a≤x2－3x＋4≤b的解集为{x|0≤x≤4}

C．当a＝2时，不等式a≤x2－3x＋4≤b的解集可以为{x|c≤x≤d}的形式

D．不等式a≤x2－3x＋4≤b的解集恰好为{x|a≤x≤b}，那么b＝

【答案】AB

【分析】A.由x2－3x＋4≤b得3x2－12x＋16－4b≤0，根据b＜1，利用判别式判断；B. 令a＝1，b＝4，利用一元二次不等式的解法判断；C.在同一平面直角坐标系中作出函数y＝x2－3x＋4＝(x－2)2＋1的图象及直线y＝a和y＝b判断；D．根据a≤x2－3x＋4≤b的解集为{x|a≤x≤b}，则a≤ymin，x＝a，x＝b时函数值都是b．然后分别由b2－3b＋4＝b，a2－3a＋4＝b求解判断．

【详解】由x2－3x＋4≤b得3x2－12x＋16－4b≤0，又b＜1，所以Δ＝48(b－1)＜0．所以不等式a≤x2－3x＋4≤b的解集为∅，故A正确；

当a＝1时，不等式a≤x2－3x＋4为x2－4x＋4≥0，解集为R，当b＝4时，不等式x2－3x＋4≤b为x2－4x≤0，解集为{x|0≤x≤4}，故B正确；

在同一平面直角坐标系中作出函数y＝x2－3x＋4＝(x－2)2＋1的图象及直线y＝a和y＝b，如图所示．

由图知，当a＝2时，不等式a≤x2－3x＋4≤b的解集为{x|xA≤x≤xC}∪{x|xD≤x≤xB}的形式，故C错误；

由a≤x2－3x＋4≤b的解集为{x|a≤x≤b}，知a≤ymin，即a≤1，因此当x＝a，x＝b时函数值都是b．由当x＝b时函数值是b，得b2－3b＋4＝b，解得b＝或b＝4．当b＝时，由a2－3a＋4＝b＝，解得a＝或a＝，不满足a≤1，不符合题意，故D错误．

故选：AB

【点睛】本题主要考查一元二次不等式与二次函数，二次方程的关系及应用，属于中档题.

三、填空题

13．函数的定义域为,则的取值范围为______.

【答案】.

【分析】函数的定义域为实数集即的解集为R，即无解，令判别式小于0即可.

【详解】由函数的定义域为，

得无解，

，

解得：.

故答案为：.

【点睛】本题考查等价转化的能力、考查二次方程解的个数取决于判别式，解题时要认真审题，理清条件和要求解的量之间的关系，同时考查了学生分析问题和解决问题的能力，考查了学生化简计算的能力，是基础题.

14．已知，函数若，则___________.

【答案】2

【分析】由题意结合函数的解析式得到关于的方程，解方程可得的值.

【详解】，故，

故答案为：2.

15．若命题“，”为真命题，则实数可取的最小整数值是______.

【答案】-1

【分析】转化为在上有解，即，配方后得到，从而求出，实数可取的最小整数值.

【详解】命题“，”为真命题，

则在上有解，

只需

，故当时，取得最小值，

，

所以，故实数可取的最小整数值为-1.

故答案为：-1

16．已知，均为正数，且，则的最小值为__________．

【答案】7

【详解】∵a，b均为正数，且ab﹣a﹣2b=0，∴=1．

则=+b2﹣1．

+b==+2≥2+2=4，当且仅当a=4，b=2时取等号．

∴（+b2）（1+1）≥≥16，当且仅当a=4，b=2时取等号．

∴+b2≥8，

∴=+b2﹣1≥7．故选B.

点睛：本题考查“乘1法”、基本不等式的性质、柯西不等式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

四、解答题

17．计算.（1）

（2）

【答案】（1）；（2）5．

【分析】（1）根据幂的运算法则计算；

（2）根据对数的定义计算．

【详解】（1）原式＝；

（2）原式＝．

18．已知集合，，全集.

(1)当时，求；

(2)若，求实数的取值范围.

【答案】(1)；

(2)或.

【分析】（1）先求得，然后求得

（2）对分成和两种情况进行分类讨论，由此求得的取值范围.

【详解】（1）当时，集合，或,

所以.

（2）由题意，，

则①时，，∴；

②，则且，解得，

综上所述，或.

19．已知函数（，为实数），若，且函数的值域为，是定义在上的奇函数，当时，有.

(1)求的解析式；

(2)若是上的单调函数，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由，可得．再由的值域为，得到，由此求得、的值，即可求得的表达式，再根据奇函数的性质求出的解析式；

（2）由（1）可得的解析式，再分别求出函数在各段的对称轴，根据函数的单调性及二次函数的性质计算可得．

【详解】（1）解：因为，所以．

又因为函数的值域为，所以，

可得，

解得，，

所以，

又是定义在上的奇函数，所以，所以，

当时，

设，则，所以，即，

所以.

（2）解：由（1）可得，

当时，对称轴为，

当时，对称轴为，

要使函数是上的单调函数，显然只能单调递增，

所以，解得，即.

20．已知函数是偶函数.

(1)求的值；

(2)判断并证明在单调性；

(3)已知为上的单调增函数，解不等式.

【答案】(1)；

(2)函数在单调递增，证明见详解；

(3).

【分析】（1）根据偶函数定义代入，运算即得解；

（2）利用函数单调性的定义判断证明即可；

（3），即，结合函数单调性即得解.

【详解】（1）由题意，函数定义域为，关于原点对称，

且，即恒成立，故.

（2）由（1）可得，函数在单调递增，证明如下：

，不妨设，

故，

由，可得，即，

故函数在单调递增.

（3）由题意，

由于为偶函数，故，即，

又，故，又为上的单调增函数，

故，解得，故不等式的解集为.

21．已知函数（）．

（1）若不等式的解集为，求的取值范围；

（2）当时，解不等式；

（3）若不等式的解集为，若，求的取值范围．

【答案】（1）；（2）；（3）.

【分析】（1）分别讨论和两种情况求解，进而得到答案；

（2）分，和三种情况分别讨论，进而解出不等式；

（3）将问题转化为对任意的，不等式恒成立，进而通过分离参数得到答案.

【详解】（1）①时，，不合题意，舍去；

     ②时，

.

综上：.

（2）即，所以，

①时，解集为：；

②时，，

因为，所以解集为：；

③时，，

因为，所以解集为：.

（3）因为不等式的解集为，且，

即对任意的，不等式恒成立，

即恒成立，因为，

所以，设，

所以，

当且仅当时取“=”.

所以的最大值为：，

所以.

22．已知函数.

(1)若，求不等式的解集；

(2)当函数恰有两个零点时，求的值；

(3)若对于一切，不等式恒成立，求的取值范围.

【答案】(1)

(2)或

(3)

【分析】（1）根据绝对值的定义，分类去掉绝对值，分情况建立不等式，结合基本不等式以及二次不等式，可得答案；

（2）根据零点的性质，问题等价于函数求交点，分、、三种情况，进行讨论，利用函数的单调性，研究其最小值，建立方程，可得答案；

（3）由（2）分为与两种情况，利用单调性求其最小值，可得答案.

【详解】（1）由，则，

当时，，可得，由，当且仅当时等号成立，显然不等式恒成立；

当时，，可得，则，解得；

综上，可得.

（2）由题意，等价于函数与直线恰有两个交点，

①当时，，

在上，令，整理可得，，且当时，，故函数与直线在必存在一个交点；

当时，易知函数在上单调递减，则，令，解得，

在时，，当且仅当时等号成立，

，则在上恒成立，

令解得，则在上，当时，函数与直线有唯一交点；

当时，，此时函数与直线在上有两个交点，不符合题意.

②当时，同上函数与直线在必存在一个交点，

由（1）可知在上，，当且仅当时，等号成立，不符合题意.

③当时，，

在上，当且仅当时等号成立，此时函数与直线无交点；

当时，任意取，令，，由，可知，，则，，，则，

故函数在单调递减，，

易知此时函数与直线在上存在唯一一个交点，不符合题意；

当时，在上，，当且仅当时等号成立，

令，解得，此时函数与直线在上恰有两个交点，符合题意；

综上，或.

（3）由（2）易知，当时，在上，，符合题意；

当时，任意取，令，，

由，可知，则，即，故，

可得在单调递增，即，

由（2）可知，此时在上，，故在上，令，解得，

综上，.