2022-2023学年湖北省襄阳市中考数学专项提升仿真模拟试题（3月4月）含解析

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2022-2023学年湖北省襄阳市中考数学专项提升仿真模拟试题
（3月）
一、选一选（共10小题，满分27分）
1. ﹣2的相反数是（　　）
A. 2 B. C. ﹣2 D. 以上都没有对
2. 下列最适合于抽样的是（ ）
A. 某校要对七年级学生的身高进行
B. 卖早餐的师傅想了解一锅茶鸡蛋的咸度
C. 班主任了解每位学生的家庭情况
D. 了解九年级一班全体学生立定跳远的成绩
3. 一个角的内部从顶点引出4条射线，则此时构成的角的个数有（　　）
A. 5个 B. 6个 C. 10个 D. 15个
4. 下列图形中既是对称图形又是轴对称图形的是
A. B. C. D.
5. 下列运算结果正确的是（　　）
A. a3+a4=a7 B. a4÷a3=a C. a3•a2=2a3 D. （a3）3=a6
6. 对于实数x，我们规定[x]表示没有大于x的整数，如[4]=4，[]=1，[﹣2.5]=﹣3.现对82进行如下操作：82 []=9 []=3 []=1，这样对82只需进行3次操作后变为1，类似地，对121只需进行多少次操作后变为1（　　）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
7. 如图，已知点A、B、C、D在⊙O上，圆心O在∠D内部，四边形ABCO为平行四边形，则∠DAO与∠DCO的度数和是（　　）

A. 60° B. 45° C. 35° D. 30°
8. 如图，在 中，，，分别以、为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点和，连接，交于点，连接，则的度数为（ ）．

A. B. C. D.
9. 如图所示，向一个半径为、容积为球形容器内注水，则能够反映容器内水的体积与容器内水深间的函数关系的图象可能是（ ）

A. B. C. D.
10. y=x2＋（1－a）x＋1是关于x的二次函数，当x的取值范围是1≤x≤3时，y在x＝1时取得值，则实数a的取值范围是（ ）
A. a=5 B. a≥5 C. a＝3 D. a≥3
二、填 空 题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11. 万州长江三桥位于万州主城区，于牌楼接到跨越长江，大桥连接长江两岸的过境公路交通和城区过江交通，具有公路桥梁和城市桥梁双重功能，桥梁主线总长2120米，把数据2120米用科学记数法表示为_____米．
12. 2008年的吉祥物是“贝贝”、“晶晶”、“欢欢”、“迎迎”、“妮妮”等五个福娃，现将三张分别印有“欢欢”、“迎迎”、“妮妮”这三个吉祥物图案的卡片（卡片形状、大小一样，质地相同）放入一个盒中，小明从盒中任取一张，取到“贝贝”这张卡片是_____（填“必然”或“没有可能”或“随机”）．
13. 若干个工人装卸一批货物，每个工人的装卸速度相同，如果这些工人同时工作，则需10小时装卸完毕；现改变装卸方式，开始一个人干，以后每隔t（整数）小时增加一个人干，每个参加装卸的人都一直干到装卸完毕，且参加的一个人装卸的时间是个人的，则按改变的方式装卸，自始至终共需时间_____小时．
14. 下图右边是一个三棱柱，它的正投影是下图中的_____（填序号）．

15. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，连接AC．若∠CAB=22.5°，CD=8cm，则⊙O的半径为______ cm．

16. 如图，△ABC中，∠BAC＝75°，BC＝7，△ABC面积为14，D为 BC边上一动点（没有与B，C重合），将△ABD和△ACD分别沿直线AB，AC翻折得到△ABE与△ACF，那么△AEF的面积最小值为_____．

三、解 答 题（共9小题，满分72分）
17. 先化简：; 再在没有等式组的整数解中选取一个合适的解作为a的取值，代入求值.
18. 某学校计划开设四门选修课：乐器、舞蹈、绘画、书法．为提前了解学生的选修情况，学校采取随机抽样的方法进行问卷（每个被的学生必须选择而且只能选择其中一门）．对结果进行了整理，绘制成如下两幅没有完整的统计图，请图中所给信息解答下列问题：

（1）本次学生共有　 　人，在扇形统计图中，m的值是　 　；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）在被的学生中，选修书法的有2名女同学，其余为男同学，现要从中随机抽取2名同学代表学校参加某社区组织的书法，请直接写出所抽取的2名同学恰好是1名男同学和1名女同学的概率．
19. 如图，在菱形ABCD中，分别延长AB、AD到E、F，使得BE＝DF，连结EC、FC．
求证：EC＝FC．

20. 如图，在中，，，.

（1）点从点开始沿边向以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动.如果点，分别从，同时出发，几秒，的面积等于？
（2）点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动.如果点，分别从，同时出发，线段能否将分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若没有能，请说明理由.
（3）若点沿线段方向从点出发以的速度向点移动，点沿射线方向从点出发以的速度移动，，同时出发，问几秒后，的面积为？
21. 如图，函数与反比例函数的图象交于两点，过点作轴，垂足为点，且．

（1）求函数与反比例函数的表达式；
（2）根据所给条件，请直接写出没有等式的解集；
（3）若是反比例函数图象上的两点，且，求实数的取值范围．
22. 如图，⊙O半径为1，AB是⊙O直径，C是⊙O上一点，连接AC，⊙O外的一点D 在直线AB上．
（1）若AC=，OB=BD．
①求证：CD是⊙O的切线．
②阴影部分的面积是　 　．（结果保留π）
（2）当点C在⊙O上运动时，若CD是⊙O的切线，探究∠CDO与∠OAC的数量关系．

23. 某商店准备进一批季节性小家电，每个进价为40元，经市场预测，定价为50元，可售出400个；定价每增加1元，量将减少10个．设每个定价增加x元．
（1）写出售出一个可获得的利润是多少元（用含x的代数式表示）？
（2）商店若准备获得利润6000元，并且使进货量较少，则每个定价为多少元？应进货多少个？
（3）商店若要获得利润，则每个应定价多少元？获得的利润是多少？
24. 阅读下列材料，完成任务：
自相似图形
定义：若某个图形可分割为若干个都与它相似的图形，则称这个图形是自相似图形．例如：正方形ABCD中，点E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA边的中点，连接EG，HF交于点O，易知分割成的四个四边形AEOH、EBFO、OFCG、HOGD均为正方形，且与原正方形相似，故正方形是自相似图形．
任务：

（1）如图1中正方形ABCD分割成的四个小正方形中，每个正方形与原正方形的相似比为________；
（2）如图2，已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，小明发现△ABC也是“自相似图形”，他的思路是：过点C作CD⊥AB于点D，则CD将△ABC分割成2个与它自己相似的小直角三角形．已知△ACD∽△ABC，则△ACD与△ABC的相似比为________；
（3）现有一个矩形ABCD是自相似图形，其中长AD=a，宽AB=b（a＞b）．
请从下列A、B两题中任选一条作答．
A：①如图3﹣1，若将矩形ABCD纵向分割成两个全等矩形，且与原矩形都相似，则a=________（用含b的式子表示）；
②如图3﹣2若将矩形ABCD纵向分割成n个全等矩形，且与原矩形都相似，则a=________（用含n，b的式子表示）；
B：①如图4﹣1，若将矩形ABCD先纵向分割出2个全等矩形，再将剩余的部分横向分割成3个全等矩形，且分割得到的矩形与原矩形都相似，则a=________（用含b的式子表示）；
②如图4﹣2，若将矩形ABCD先纵向分割出m个全等矩形，再将剩余的部分横向分割成n个全等矩形，且分割得到的矩形与原矩形都相似，则a=________（用含m，n，b的式子表示）．
25. 抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）点A（﹣1，0），B（，0），且与y轴相交于点C．
（1）求这条抛物线的表达式；
（2）求∠ACB的度数；
（3）设点D是所求抛物线象限上一点，且在对称轴的右侧，点E在线段AC上，且DE⊥AC，当△DCE与△AOC相似时，求点D的坐标．









2022-2023学年湖北省襄阳市中考数学专项提升仿真模拟试题
（3月）
一、选一选（共10小题，满分27分）
1. ﹣2的相反数是（　　）
A. 2 B. C. ﹣2 D. 以上都没有对
【正确答案】A

【详解】﹣2的相反数是2，
故选:A.
2. 下列最适合于抽样的是（ ）
A. 某校要对七年级学生的身高进行
B. 卖早餐的师傅想了解一锅茶鸡蛋的咸度
C. 班主任了解每位学生的家庭情况
D. 了解九年级一班全体学生立定跳远的成绩
【正确答案】B

【详解】解：A. 某校要对七年级学生的身高进行，范围小，适合普查，故A错误；
B. 卖早餐的师傅想了解一锅茶鸡蛋的咸度无法进行普查，适合抽样，故B正确；
C. 班主任了解每位学生的家庭情况，适合普查，故B错误；
D. 了解九年级一班全体学生立定跳远的成绩，适合普查，故D错误；
故选B.
一般来说，对于具有破坏性的、无法进行普查、普查的意义或没有大时，应选择抽样，对于度要求高的，事关重大的往往选用普查.
3. 一个角的内部从顶点引出4条射线，则此时构成的角的个数有（　　）
A. 5个 B. 6个 C. 10个 D. 15个
【正确答案】D

【分析】有公共顶点的射线：两条射线构成1个角；三条射线构成1+2=3个角；四条射线构成1+2+3=6个角；…n条射线构成1+2+3+…+（n-1）=n（n-1）个角．
【详解】解：根据题意可知，角的顶点处有6条射线，共有5+4+3+2+1=15个角．
故选D．
在数角的个数时要从一个边开始把它上的角数完后再换另一条射线，这样可使数的角没有重没有漏．
4. 下列图形中既是对称图形又是轴对称图形的是
A. B. C. D.
【正确答案】B

【分析】根据轴对称图形与对称图形的概念，轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合；对称图形是图形沿对称旋转180度后与原图重合.
【详解】A、是轴对称图形，没有是对称图形，没有符合题意；
B、是轴对称图形，也是对称图形，符合题意；
C、是轴对称图形，没有是对称图形，没有符合题意；
D、没有是轴对称图形，是对称图形，没有符合题意．
故选B．
5. 下列运算结果正确的是（　　）
A. a3+a4=a7 B. a4÷a3=a C. a3•a2=2a3 D. （a3）3=a6
【正确答案】B

【分析】分别根据同底数幂的乘法及除法法则、幂的乘方与积的乘方法则及合并同类项的法则对各选项进行逐一分析即可．
【详解】A. a3+a4≠a7 ,没有同类项，没有能合并，本选项错误；
B. a4÷a3=a4-3=a;，本选项正确；
C. a3•a2=a5;，本选项错误；
D.（a3）3=a9,本选项错误.

故选B
本题考查的是同底数幂的乘法及除法法则、幂的乘方与积的乘方法则及合并同类项的法则等知识，比较简单．
6. 对于实数x，我们规定[x]表示没有大于x的整数，如[4]=4，[]=1，[﹣2.5]=﹣3.现对82进行如下操作：82 []=9 []=3 []=1，这样对82只需进行3次操作后变为1，类似地，对121只需进行多少次操作后变为1（　　）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【正确答案】C

【详解】分析：[x]表示没有大于x的整数，依据题目中提供的操作进行计算即可．
详解：121
∴对121只需进行3次操作后变为1.
故选C．
点睛：本题是一道关于无理数的题目，需要定义的新运算和无理数的估算进行求解.
7. 如图，已知点A、B、C、D在⊙O上，圆心O在∠D内部，四边形ABCO为平行四边形，则∠DAO与∠DCO的度数和是（　　）

A. 60° B. 45° C. 35° D. 30°
【正确答案】A

【详解】试题解析：连接OD，

∵四边形ABCO为平行四边形,
∴∠B=∠AOC，
∵点A. B. C.D在⊙O上，

由圆周角定理得,

解得,
∵OA=OD，OD=OC，
∴∠DAO=∠ODA，∠ODC=∠DCO，

故选A.
点睛：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半.
8. 如图，在 中，，，分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点和，连接，交于点，连接，则的度数为（ ）．

A. B. C. D.
【正确答案】C

【详解】由本题作图方式可知，为垂直平分线，
所以点为的中点，为直角斜边上的中线，
所以，得等腰，．
9. 如图所示，向一个半径为、容积为的球形容器内注水，则能够反映容器内水的体积与容器内水深间的函数关系的图象可能是（ ）

A. B. C. D.
【正确答案】A

【详解】试题分析：观察可得，只有选项B符合实际，
故答案选A.
考点:函数图象.
10. y=x2＋（1－a）x＋1是关于x的二次函数，当x的取值范围是1≤x≤3时，y在x＝1时取得值，则实数a的取值范围是（ ）
A. a=5 B. a≥5 C. a＝3 D. a≥3
【正确答案】B

【详解】二次函数的对成轴为：x=，则有x=，因为a=1>0，函数开口向上，有最小值．
又因为在1≤x≤3时，函数y取得值，所以，故≥2，解得a≥5
故选：B
二、填 空 题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11. 万州长江三桥位于万州主城区，于牌楼接到跨越长江，大桥连接长江两岸的过境公路交通和城区过江交通，具有公路桥梁和城市桥梁双重功能，桥梁主线总长2120米，把数据2120米用科学记数法表示为_____米．
【正确答案】2.12×103

【详解】2120米=2.12×103米．
故答案为2.12×103．
点睛: 本题考查了正整数指数科学记数法,对于一个值较大的数，用科学记数法写成 的形式，其中，n是比原整数位数少1的数.
12. 2008年的吉祥物是“贝贝”、“晶晶”、“欢欢”、“迎迎”、“妮妮”等五个福娃，现将三张分别印有“欢欢”、“迎迎”、“妮妮”这三个吉祥物图案的卡片（卡片形状、大小一样，质地相同）放入一个盒中，小明从盒中任取一张，取到“贝贝”这张卡片是_____（填“必然”或“没有可能”或“随机”）．
【正确答案】没有可能

【详解】∵盒子中没有“贝贝”， ∴取到“贝贝”这张卡片是没有可能．
故答案为没有可能
点睛: 本题考查了的分类,一定会发生的是必然，一定没有会发生的是没有可能，没有一定发生的是随机,也叫没有确定.必然和没有可能统称为确定.
13. 若干个工人装卸一批货物，每个工人的装卸速度相同，如果这些工人同时工作，则需10小时装卸完毕；现改变装卸方式，开始一个人干，以后每隔t（整数）小时增加一个人干，每个参加装卸的人都一直干到装卸完毕，且参加的一个人装卸的时间是个人的，则按改变的方式装卸，自始至终共需时间_____小时．
【正确答案】16

【详解】分析：根据个人与一个人的工作时间的平均值就是所有工人的工作时间的平均值，即可列方程求得工作时间．然后设共有y人参加装卸工作，根据参加的一个人装卸的时间是个人的，即可列方程求解．
详解：设装卸工作需x小时完成，则人干了x小时，一个人干了x小时，两人共干活x+小时，平均每人干活 (x+)小时，由题意知，第二人与倒数第二人，第三人与倒数第三人，…，
平均每人干活的时间也是 (x+)小时，
根据题设，得 (x+)=10，
解得x=16（小时）；
设共有y人参加装卸工作，由于每隔t小时增加一人，因此一人比人少干（y-1）t小时，按题意，
得16-（y-1）t=16×，
即（y-1）t=12，
解此没有定方程得，，，，，.
即参加的人数y=2或3或4或5或7或13．
故答案为16．
点睛：本题是一元方程与二元方程的应用，正确理解题目中各个量之间的关系，正确列出相等关系是解题的关键．
14. 下图右边是一个三棱柱，它的正投影是下图中的_____（填序号）．

【正确答案】②

【详解】分析：根据正投影的性质：光线按图中所示照在物体上，其正投影应是矩形．
详解：根据投影的性质可得，该物体为三棱柱，则正投影应为矩形．故选②．
点睛：正投影是由一点放射的投射线所产生的投影称为投影，由相互平行的投射线所产生的投影称为平行投影.
15. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，连接AC．若∠CAB=22.5°，CD=8cm，则⊙O的半径为______ cm．

【正确答案】4

【详解】连接OC，如图所示：

∵AB是O的直径，弦CD⊥AB，
∴CE=DE=CD=3cm，
∵OA=OC，
∴∠A=∠OCA=22.5°，
∵∠COE为△AOC的外角，
∴∠COE=45°，
∴△COE为等腰直角三角形，
∴OC=CE=cm，
故答案为.
16. 如图，△ABC中，∠BAC＝75°，BC＝7，△ABC的面积为14，D为 BC边上一动点（没有与B，C重合），将△ABD和△ACD分别沿直线AB，AC翻折得到△ABE与△ACF，那么△AEF的面积最小值为_____．

【正确答案】4

【分析】如图，作E作EG⊥AF，交FA的延长线于G，利用折叠的性质得出AF＝AE＝AD，∠BAE＝∠BAD，∠DAC＝∠FAC，然后进一步得出EG＝AE＝AD，根据当AD⊥BC时，AD最短进一步求取最小值即可.
【详解】
如图，过E作EG⊥AF，交FA的延长线于G，
由折叠可得，AF＝AE＝AD，∠BAE＝∠BAD，∠DAC＝∠FAC，
又∵∠BAC＝75°，
∴∠EAF＝150°，
∴∠EAG＝30°，
∴EG＝AE＝AD，
当AD⊥BC时，AD最短，
∵BC＝7，△ABC的面积为14，
∴当AD⊥BC时，AD＝4＝AE＝AF，
∴△AEF的面积最小值为： AF×EG＝×4×2＝4，
故4．
本题主要考查了几何折叠的性质，熟练掌握相关概念是解题关键.
三、解 答 题（共9小题，满分72分）
17. 先化简：; 再在没有等式组的整数解中选取一个合适的解作为a的取值，代入求值.
【正确答案】1

【详解】试题分析：先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再求出没有等式的解集，在其解集范围内选取合适的a的值代入分式进行计算即可．
试题解析：解：原式=•﹣
=1﹣
=﹣
=﹣
解没有等式3﹣（a+1）＞0，得：a＜2，解没有等式2a+2≥0，得：a≥﹣1，则没有等式组解集为﹣1≤a＜2，其整数解有﹣1、0、1．∵a≠±1，∴a=0，则原式=1．
点睛：本题考查的是分式的化简求值及一元没有等式组的整数解，解答此类问题时要注意a的取值要保证分式有意义．
18. 某学校计划开设四门选修课：乐器、舞蹈、绘画、书法．为提前了解学生的选修情况，学校采取随机抽样的方法进行问卷（每个被的学生必须选择而且只能选择其中一门）．对结果进行了整理，绘制成如下两幅没有完整的统计图，请图中所给信息解答下列问题：

（1）本次的学生共有　 　人，在扇形统计图中，m的值是　 　；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）在被的学生中，选修书法的有2名女同学，其余为男同学，现要从中随机抽取2名同学代表学校参加某社区组织的书法，请直接写出所抽取的2名同学恰好是1名男同学和1名女同学的概率．
【正确答案】（1）50、30%．（2）补图见解析；（3）.

【详解】试题分析：（1）由舞蹈的人数除以占的百分比求出学生总数，确定出扇形统计图中m的值；
（2）求出绘画与书法的学生数，补全条形统计图即可；
（3）列表得出所有等可能的情况数，找出恰好为一男一女的情况数，即可求出所求概率．
试题解析：（1）20÷40%=50（人），15÷50=30%；
故答案为50；30%；
（2）50×20%=10（人），50×10%=5（人），如图所示：

（3）∵5﹣2=3（名），∴选修书法的5名同学中，有3名男同学，2名女同学，
所有等可能的情况有20种，其中抽取的2名同学恰好是1名男同学和1名女同学的情况有12种，则P（一男一女）==．
考点：列表法与树状图法；扇形统计图；条形统计图；应用题；数据的收集与整理．
19. 如图，在菱形ABCD中，分别延长AB、AD到E、F，使得BE＝DF，连结EC、FC．
求证：EC＝FC．

【正确答案】证明见解析

【详解】分析：要证EC=FC，只要证明三角形BCE和DCF全等即可，两三角形中已知的条件有BE=DF，CB=CD，那么只要证得两组对应边的夹角相等即可得出结论，根据四边形ABCD是菱形我们可得出∠ABC=∠ADC，因此∠EBC=∠FDC．这样就构成了三角形全等的条件．因此两个三角形就全等了．
本题解析：证明：∵ 四边形ABCD是菱形 ∴ BC＝DC ，∠ABC＝∠ADC ∴ 180°－∠ABC＝180°－∠ADC,∴ ∠EBC＝∠FDC ∴ △EBC≌△FDC ∴ EC＝FC
20. 如图，在中，，，.

（1）点从点开始沿边向以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动.如果点，分别从，同时出发，几秒，的面积等于？
（2）点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动.如果点，分别从，同时出发，线段能否将分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若没有能，请说明理由.
（3）若点沿线段方向从点出发以的速度向点移动，点沿射线方向从点出发以的速度移动，，同时出发，问几秒后，的面积为？
【正确答案】（1）2秒或4秒 （2）答案见解析 （3）秒或5秒

【分析】（1）根据直角三角形的面积公式和路程=速度×时间进行求解即可；
（2）设秒，线段能否将分成面积相等的两部分，根据面积之间的等量关系和判别式即可求解；
（3）分两种情况：①当点在线段上，点在线段上时；
②当点在线段上，点在线段的延长线上时，进行讨论即可求解.
【详解】解：（1）设秒，的面积等于，依题意有
，
解得，，
经检验，，均符合题意.
答：2秒或4秒，的面积等于.
（2）设秒，线段将分成面积相等的两部分，依题意有
，
化简可得.
∵.∴此方程无实数根.
∴线段没有能将分成面积相等的两部分.
（3）当点在线段上，点在线段上时，
设秒，的面积为.
依题意有，
解得（舍去），，
∴；
当点在线段上，点在线段的延长线上时，
设秒，的面积为.
依题意有，，
解得.
经检验，符合题意.
综上所述，秒或5秒，的面积为.
本题考查了一元二次方程的应用，此题难度较大，属于动点型题目，注意数形思想、分类讨论思想与方程思想的应用.
21. 如图，函数与反比例函数的图象交于两点，过点作轴，垂足为点，且．

（1）求函数与反比例函数的表达式；
（2）根据所给条件，请直接写出没有等式的解集；
（3）若是反比例函数图象上的两点，且，求实数的取值范围．
【正确答案】（1），；（2）或；（3）或

【分析】（1）把的坐标代入函数的解析式，得到，再根据以为底的三角形ABC的面积为5求得m和n的值，继而求得函数与反比例函数的表达式；
（2）根据的横坐标，图象即可得出答案；
（3）分为两种情况：当点P在第三象限和在象限上时，根据坐标和图象即可得出答案.
【详解】解：

（1）∵点在函数的图象上，
∴，
∴，
∵，
而，且，
∴，
解得：或（舍去），则，
由，得，
∴函数的表达式为；
又将代入，得，
∴反比例函数的表达式为；
（2）没有等式的解集为或；
（3）∵点在反比例函数图象上，且点在第三象限内，
∴当点在象限内时，总有，此时，；
当点在第三象限内时，要使，，
∴满足的的取值范围是或．
本题考查了函数与反比例函数的交点问题，用待定系数法求出函数与反比例函数的解析式，函数与反比例函数的图象和性质，三角形的面积等知识点，熟练运用数形的思想、运用性质进行计算是解题的关键，
22. 如图，⊙O半径为1，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，连接AC，⊙O外的一点D 在直线AB上．
（1）若AC=，OB=BD．
①求证：CD是⊙O的切线．
②阴影部分的面积是　 　．（结果保留π）
（2）当点C在⊙O上运动时，若CD是⊙O的切线，探究∠CDO与∠OAC的数量关系．

【正确答案】（1）①见解析；② ；（2）2∠OAC﹣∠ODC=90°或∠ODC+2∠OAC=90°

【详解】分析：①连接BC，OC，用勾股定理求出证明为等边三角形，得到进而求出得到即可说明CD是切线．
②过C作于E，根据S阴=S扇形OAC﹣S△AOC，计算即可.
分和两种情况进行讨论.
详解：（1）①证明：连接BC，OC，

∵AB是直径，
∴
在中：
∴
∴为等边三角形，
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∴CD是切线．
②过C作于E，
∵
∴
∴S阴=S扇形OAC﹣S△AOC，


故答案为:
（2）①当时，
∵CD是⊙O的切线，
∴

∵
∴

即

②当时，
同①
∴
∵
∴
∵
∴
∴
综上：或

点睛：本题考查圆综合知识，证明直线是圆的切线是，扇形面积公式的计算，学生应该注意公式的记忆.
23. 某商店准备进一批季节性小家电，每个进价为40元，经市场预测，定价为50元，可售出400个；定价每增加1元，量将减少10个．设每个定价增加x元．
（1）写出售出一个可获得的利润是多少元（用含x的代数式表示）？
（2）商店若准备获得利润6000元，并且使进货量较少，则每个定价为多少元？应进货多少个？
（3）商店若要获得利润，则每个应定价多少元？获得的利润是多少？
【正确答案】（1）50+x﹣40=x+10（元）；（2）要使进货量较少,则每个定价为70元,应进货200个；（3）每个定价为65元时得利润,可获得的利润是6250元．

【分析】（1）根据利润=价-进价列关系式,
（2）总利润=每个的利润×量,量为400-10x,列方程求解,根据题意取舍,
（3）利用函数的性质求最值.
【详解】由题意得:（1）50+x-40=x+10（元）,
（2）设每个定价增加x元,
列出方程为:（x+10）（400-10x）=6000,解得:x1=10,x2=20,要使进货量较少,则每个定价为70元,应进货200个,
（3）设每个定价增加x元,获得利润为y元,
y=（x+10）（400-10x）=-10x2+300x+4000=-10（x-15）2+6250,当x=15时,y有值为6250,所以每个定价为65元时得利润,可获得的利润是6250元.
24. 阅读下列材料，完成任务：
自相似图形
定义：若某个图形可分割为若干个都与它相似的图形，则称这个图形是自相似图形．例如：正方形ABCD中，点E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA边的中点，连接EG，HF交于点O，易知分割成的四个四边形AEOH、EBFO、OFCG、HOGD均为正方形，且与原正方形相似，故正方形是自相似图形．
任务：

（1）如图1中正方形ABCD分割成的四个小正方形中，每个正方形与原正方形的相似比为________；
（2）如图2，已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，小明发现△ABC也是“自相似图形”，他的思路是：过点C作CD⊥AB于点D，则CD将△ABC分割成2个与它自己相似的小直角三角形．已知△ACD∽△ABC，则△ACD与△ABC的相似比为________；
（3）现有一个矩形ABCD是自相似图形，其中长AD=a，宽AB=b（a＞b）．
请从下列A、B两题中任选一条作答．
A：①如图3﹣1，若将矩形ABCD纵向分割成两个全等矩形，且与原矩形都相似，则a=________（用含b的式子表示）；
②如图3﹣2若将矩形ABCD纵向分割成n个全等矩形，且与原矩形都相似，则a=________（用含n，b的式子表示）；
B：①如图4﹣1，若将矩形ABCD先纵向分割出2个全等矩形，再将剩余的部分横向分割成3个全等矩形，且分割得到的矩形与原矩形都相似，则a=________（用含b的式子表示）；
②如图4﹣2，若将矩形ABCD先纵向分割出m个全等矩形，再将剩余的部分横向分割成n个全等矩形，且分割得到的矩形与原矩形都相似，则a=________（用含m，n，b的式子表示）．
【正确答案】（1）；（2）；（3）A、①；② ；B、①或；②或．

【详解】试题分析：（1）根据相似比的定义求解即可；（2）由勾股定理求得AB=5，根据相似比等于可求得答案；（3）A.①由矩形ABEF∽矩形FECD，列出比例式整理可得；②由每个小矩形都是全等的，可得其边长为b和a，列出比例式整理即可；B.①分当FM是矩形DFMN的长时和当DF是矩形DFMN的长时两种情况，根据相似多边形的性质列比例式求解；②由题意可知纵向2块矩形全等，横向3块矩形也全等，所以DN=b，然后分当FM是矩形DFMN的长时和当DF是矩形DFMN的长时两种情况，根据相似多边形的性质列比例式求解.
解：（1）∵点H是AD的中点，
∴AH=AD，
∵正方形AEOH∽正方形ABCD，
∴相似比为： ==；
故答案为；
（2）在Rt△ABC中，AC=4，BC=3，根据勾股定理得，AB=5，
∴△ACD与△ABC相似的相似比为： =，
故答案为；
（3）A、①∵矩形ABEF∽矩形FECD，
∴AF：AB=AB：AD，
即a：b=b：a，
∴a=b；
故答案为
②每个小矩形都是全等的，则其边长为b和a，
则b： a=a：b，
∴a=b；
故答案为
B、①如图2，
由①②可知纵向2块矩形全等，横向3块矩形也全等，
∴DN=b，
Ⅰ、当FM是矩形DFMN的长时，
∵矩形FMND∽矩形ABCD，
∴FD：DN=AD：AB，
即FD： b=a：b，
解得FD=a，
∴AF=a﹣a=a，
∴AG===a，
∵矩形GABH∽矩形ABCD，
∴AG：AB=AB：AD
即a：b=b：a
得：a=b；
Ⅱ、当DF是矩形DFMN的长时，
∵矩形DFMN∽矩形ABCD，
∴FD：DN=AB：AD
即FD： b=b：a
解得FD=，
∴AF=a﹣=，
∴AG==，
∵矩形GABH∽矩形ABCD，
∴AG：AB=AB：AD
即：b=b：a，
得：a=b；
故答案为或；
②如图3，
由①②可知纵向m块矩形全等，横向n块矩形也全等，
∴DN=b，
Ⅰ、当FM是矩形DFMN的长时，
∵矩形FMND∽矩形ABCD，
∴FD：DN=AD：AB，
即FD： b=a：b，
解得FD=a，
∴AF=a﹣a，
∴AG===a，
∵矩形GABH∽矩形ABCD，
∴AG：AB=AB：AD
即a：b=b：a
得：a=b；
Ⅱ、当DF是矩形DFMN的长时，
∵矩形DFMN∽矩形ABCD，
∴FD：DN=AB：AD
即FD： b=b：a
解得FD=，
∴AF=a﹣，
∴AG==，
∵矩形GABH∽矩形ABCD，
∴AG：AB=AB：AD
即：b=b：a，
得：a=b；
故答案为 b或b．


点睛：本题考查了信息迁移，矩形的性质，相似多边形的性质及分类讨论的数学思想，读懂题意，熟练掌握相似比多边形的性质，正确运用分类讨论思想是解答本题的关键.
25. 抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）点A（﹣1，0），B（，0），且与y轴相交于点C．
（1）求这条抛物线的表达式；
（2）求∠ACB的度数；
（3）设点D是所求抛物线象限上一点，且在对称轴的右侧，点E在线段AC上，且DE⊥AC，当△DCE与△AOC相似时，求点D的坐标．

【正确答案】（1）y=﹣2x2+x+3；（2）∠ACB=45°；（3）D．

【详解】试题分析：把点的坐标代入即可求得抛物线的解析式.
作BH⊥AC于点H，求出的长度，即可求出∠ACB的度数.
延长CD交x轴于点G，△DCE∽△AOC，只可能∠=∠DCE.求出直线的方程，和抛物线的方程联立即可求得点的坐标.
试题解析：（1）由题意，得
解得．
∴这条抛物线的表达式为．
（2）作BH⊥AC于点H，
∵A点坐标（－1，0），C点坐标是（0，3），B点坐标是（，0），
∴AC=，AB=，OC=3，BC=．
∵，即∠BAD=，
∴．
Rt△ BCH中，，BC=，∠BHC=90º，
∴．
又∵∠ACB是锐角，∴．
（3）延长CD交x轴于点G，
∵Rt△ AOC中，AO=1，AC=，
∴．
∵△DCE∽△AOC，∴只可能∠=∠DCE．
∴AG = CG．
∴．
∴AG=5．∴G点坐标是（4，0）．
∵点C坐标是（0，3），∴．
∴ 解得，（舍）.
∴点D坐标是























2022-2023学年湖北省襄阳市中考数学专项提升仿真模拟试题
（4月）
满分120分，考试时限120分钟．
一、选一选：（本题有10个小题，每小题3分，共30分）
1. 如果80 m表示向东走80 m，则－60 m表示（ ）．
A. 向东走60 m B. 向西走60 m C. 向南走60 m D. 向北走60 m
2. 已知一个正棱柱的俯视图和左视图如图，则其主视图为

A. B. C. D.
3. 如图，AB∥CD，∠A=70°，OC=OE，则∠C的度数为（ ）

A. 25° B. 35°
C. 45° D. 55°
4. 下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（　　）
A. x2+4y2 B. ﹣x2+4y2 C. x2﹣2y+1 D. ﹣x2﹣4y2
5. 在中学生田径运动会上，参加男子跳高的15名运动员的成绩如下表：
成绩/m
150
1.55
1.60
1.65
1.70
1.75
1.80
人数/人
1
2
2
2
3
4
1
则这些运动员成绩众数和中位数分别是（ ）
A. 2和1.65 B. 2和1.70 C. 1.75和1.65 D. 1.75和1.70
6. 满足下列条件的四边形没有是正方形的是（ ）
A. 对角线相互垂直的矩形 B. 对角线相等的菱形
C. 对角线相互垂直且相等的四边形 D. 对角线垂直且相等的平行四边形
7. 小明和小强两人加工同一种零件，每小时小明比小强多加工5个零件，小明加工120个这种零件与小强加工100个这种零件所用时间相等．设小明每小时加工这种零件x个，则下面列出的方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
8. 圆锥母线长为10，其侧面展开图是圆心角为216°的扇形，则圆锥的底面圆的半径为（ ）
A. 6 B. 3 C. 6π D. 3π
9. 如图，用长度相等的小棍摆正方形，图（1）有一个正方形，图（2）中有1大4小共5个正方形……，照此方法摆下去，第6个图中共有大小正方形的个数是（ ）

A. 21 B. 55 C. 91 D. 140
10. 如图，在矩形ABCD中， M是AD的中点，点E是线段AB上一动点，连接EM并延长交CD的延长线于点F，过M作MG⊥EF交BC于G，下列结论：①AE=DF；②；③当AD=2AB时，△EGF是等腰直角三角形；④当△EGF为等边三角形时，；其中正确答案的个数是（ ）

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
二、填 空 题：（本题有6个小题，每小题3分，共18分）
11. 根据国家统计局数据，2017年中国GDP总量为82.71万亿元，把82.71万亿用科学记数法表示为_________．
12. 如图，BC为⊙O弦，OA⊥BC交⊙O于点A，∠AOB=70°，则∠ADC=_________．

13. 四边形ABCD是菱形，对角线AC=8cm，BD=6cm，DH⊥AB于H，求DH的长．

14. 若没有等式组只有两个整数解，则的取值范围是_________．
15. 对于实数p，q，我们用符号min{p，q}表示p，q两数中较小的数，如min{1，2}＝1，min{﹣2，﹣3}＝﹣3，若min{（x+1）2，x2}＝1，则x＝______．
16. 如图，A，B是双曲线上的两点，过A点作AC⊥x轴，交OB于D点，垂足为C．若OD=2BD，△ADO的面积为1，则k的值为_________．

三、解 答 题：（本题有9个小题，共72分）
17. 计算.
18. 化简.
19. 某校数学课外小组在学习了锐角三角函数后，组织了利用自制的测角仪测量古塔高度的．具体方法如下：在古塔前的平地上选择一点E，某同学站在E点用测角仪测得古塔顶的仰角为30°，从E向着古塔前进12米后到达点F，又测得古塔顶的仰角为45°，并绘制了如图的示意图（图中线段AE=BF=1.6米，表示测角的学生眼睛到地面的高度）．请你帮着计算古塔CD的高度（结果保留整数，参考数据：）.

20. 某校为了地服务学生，了解学生对学校管理的意见和建议，该校团委发起了“我给学校提意见”的，某班团支部对该班全体团员在一个月内所提意见的条数的情况进行了统计，并制成了如下两幅没有完整的统计图：

（1）该班的团员有 名，在扇形统计图中“2条”所对应的圆心角的度数为 ；
（2）求该班团员在这一个月内所提意见的平均条数是多少？并将该条形统计图补充完整；
（3）统计显示提3条意见的同学中有两位女同学，提4条意见的同学中也有两位女同学．现要从提了3条意见和提了4条意见的同学中分别选出一位参加该校团委组织的总结会，请你用列表或画树状图的方法，求出所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的概率．
21. 已知关于x的方程x2﹣（2k+1）x+k2﹣2＝0有两个实数根x1，x2．
（1）求实数k的取值范围；
（2）若方程的两个实数根x1，x2满足，求k的值．
22. 某果农苹果园有苹果树60棵，由于提高了管理水平，可以通过补种一些苹果树的方法来提高总产量．但如果多种树，那么树之间的距离和每棵树所受的光照就会减少，单棵树的产量也随之降低．已知在一定范围内，该果园每棵果树产果y（千克）与补种果树x（棵）之间的函数关系如图所示．若超过这个范围，则会严重影响果树的产量.
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）在这个范围内，当增种果树多少棵时，果园的总产量w（千克）？产量是多少？
（3）若该果农的苹果以3元/千克的价格售出，没有计其他成本，按（2）的方式可以多收入多少钱？

23. 如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，D是的中点，BD交AC于点E，过点D作DF∥AC交BA的延长线于点F.
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）若AF=2，FD=4，求tan∠BEC值.

24. △ACB和△ECD均为等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°.
（1）如图1，点E在BC上，则线段AE和BD有怎样的关系？请直接写出结论（没有需证明）；
（2）若将△DCE绕点C旋转一定的角度得图2，则（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由；
（3）当△DCE旋转到使∠ADC=90°时，若AC=5，CD=3，求BE的长.

25. 如图，抛物线的顶点为，对称轴为直线，且点，与轴交于点.

（1）求抛物线的解析式；
（2）判断的形状，并说明理由；
（3）点的直线交抛物线于点，交轴于点，若，试求出点的坐标.


















2022-2023学年湖北省襄阳市中考数学专项提升仿真模拟试题
（4月）
满分120分，考试时限120分钟．
一、选一选：（本题有10个小题，每小题3分，共30分）
1. 如果80 m表示向东走80 m，则－60 m表示（ ）．
A. 向东走60 m B. 向西走60 m C. 向南走60 m D. 向北走60 m
【正确答案】B

【详解】试题分析：由题意可知：把向东走记为正数，则向西走记为负数，所以-60m表示向西走60m．故选B．
考点：用正负数表示具有相反意义的量．
2. 已知一个正棱柱的俯视图和左视图如图，则其主视图为

A. B. C. D.
【正确答案】D

【详解】根据此正棱柱的俯视图和左视图得到该几何体是正五棱柱，其主视图应该是矩形，而且有看到两条棱，背面的棱用虚线表示．故选D．
3. 如图，AB∥CD，∠A=70°，OC=OE，则∠C的度数为（ ）

A. 25° B. 35°
C. 45° D. 55°
【正确答案】B

【详解】解：∵AB∥CD，
∴∠A=∠DOE，
∵∠A=70°，
∴∠DOE=70°，∵OC=OE, ∴∠C=∠E，∵∠DOE=∠C+∠E，∴∠C=
故选B．
4. 下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（　　）
A. x2+4y2 B. ﹣x2+4y2 C. x2﹣2y+1 D. ﹣x2﹣4y2
【正确答案】B

【分析】能用平方差公式分解因式的式子必须是两平方项的差．
【详解】解：．两项的符号相同，没有能用平方差公式分解因式；
．是与的平方的差，能用平方差公式分解因式；
．是三项没有能用平方差公式分解因式；
．两项的符号相同，没有能用平方差公式分解因式．
故选：B．
本题考查了平方差公式分解因式，熟记平方差公式结构是解题的关键．
5. 在中学生田径运动会上，参加男子跳高的15名运动员的成绩如下表：
成绩/m
1.50
1.55
1.60
1.65
1.70
1.75
1.80
人数/人
1
2
2
2
3
4
1
则这些运动员成绩的众数和中位数分别是（ ）
A. 2和1.65 B. 2和1.70 C. 1.75和1.65 D. 1.75和1.70
【正确答案】D

【详解】共15名学生,中位数落在第8名学生处,第8名学生的跳高成绩为1.70,故中位数为1.70; 跳高成绩为的人数至多,故跳高成绩的众数为1.75;
所以D选项是正确的.
点睛：找中位数要把数据按从小到大的顺序排列,位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数;众数是一组数据中出现次数至多的数据,注意众数可以没有止一个
6. 满足下列条件的四边形没有是正方形的是（ ）
A. 对角线相互垂直的矩形 B. 对角线相等的菱形
C. 对角线相互垂直且相等的四边形 D. 对角线垂直且相等的平行四边形
【正确答案】C

【详解】解：A.对角线相互垂直的矩形是正方形，故本项正确；
B. 对角线相等的菱形是正方形，故本项正确；
C.对角线互相垂直、平分、且相等的四边形才是正方形，故本项错误；
D. 对角线垂直且相等的平行四边形是正方形，故本项正确.
故选C.
7. 小明和小强两人加工同一种零件，每小时小明比小强多加工5个零件，小明加工120个这种零件与小强加工100个这种零件所用时间相等．设小明每小时加工这种零件x个，则下面列出的方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】B

【详解】由题意得：小强每小时加工零件（x-5）个，因为小明加工个这种零件与小强加工个这种零件所用时间相等，所以可列方程．
故本题正确答案为B．
8. 圆锥母线长为10，其侧面展开图是圆心角为216°的扇形，则圆锥的底面圆的半径为（ ）
A. 6 B. 3 C. 6π D. 3π
【正确答案】A

【详解】解:设圆锥底面半径为rcm,
那么圆锥底面圆周长为2πrcm,
所以侧面展开图的弧长为2πrcm, ,
解得：r=6,故选A.
点睛：本题主要考查圆锥侧面展开图的知识和圆锥侧面面积的计算;正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键,理解圆锥的母线长是扇形的半径,圆锥的底面圆周长是扇形的弧长.
9. 如图，用长度相等的小棍摆正方形，图（1）有一个正方形，图（2）中有1大4小共5个正方形……，照此方法摆下去，第6个图中共有大小正方形的个数是（ ）

A. 21 B. 55 C. 91 D. 140
【正确答案】C

【详解】个图象有1个正方形，
第二个有5=12+22个，
第三个图形有14=12+22+32个，
…
第六个图形有1+4+9+16+25+36=91个正方形．
故选C.
10. 如图，在矩形ABCD中， M是AD的中点，点E是线段AB上一动点，连接EM并延长交CD的延长线于点F，过M作MG⊥EF交BC于G，下列结论：①AE=DF；②；③当AD=2AB时，△EGF是等腰直角三角形；④当△EGF为等边三角形时，；其中正确答案的个数是（ ）

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【正确答案】C

【详解】∵M是AD的中点, ∴AM=DM,又∠AME=∠FMD, ∠EAM=∠FDM=90°∴△AEM≌△DFM, ∴AE=AF,故①正确；过点G作GH⊥AD于H，由△AEM∽△HMG, ∴,∵HG=AB, ∴ 故②正确；过点G作GH⊥AD于H,证明△AEM∽△HMG,可以得出 ,故②错误；过点G作GH⊥AD于H,由△AEM≌△HMG,可得ME=MG,再由△AEM≌△DFM可得ME=MF, ∵MG⊥EF, ∴GE=GF, ∴∠EGF=2∠EGM=90°, ∴△EGF是等腰直角三角形,故③正确; ,故④错误.故选C.
二、填 空 题：（本题有6个小题，每小题3分，共18分）
11. 根据国家统计局数据，2017年中国GDP总量为82.71万亿元，把82.71万亿用科学记数法表示为_________．
【正确答案】；

【详解】用科学记数法表示为：82.71万亿=82710000000000=.
点睛：科学记数法的表示形式为的形式,其中,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的值与小数点移动的位数相同.当原数值>1时,n是正数;当原数的值<1时,n是负数.
12. 如图，BC为⊙O的弦，OA⊥BC交⊙O于点A，∠AOB=70°，则∠ADC=_________．

【正确答案】35°；

【详解】∵A、B、C、D是⊙O上的四点，OA⊥BC，
∴弧AC=弧AB （垂径定理），
∴∠ADC= （等弧所对的圆周角是圆心角的一半）；
又∠AOB=70°，
∴∠ADC=35°．
故答案为35°．
13. 四边形ABCD是菱形，对角线AC=8cm，BD=6cm，DH⊥AB于H，求DH的长．

【正确答案】

【分析】先根据菱形对角线互相垂直平分求得OA、OB的值，根据勾股定理求得AB的值，由菱形面积公式的两种求法列式可以求得高DH的长．
【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，AC＝8cm，BD＝6cm，
∴AC⊥BD，OA＝ AC＝4cm，OB＝ BD＝3cm，
∴Rt△AOB中，AB＝＝＝5，
∵DH⊥AB，
∵菱形ABCD的面积S＝ AC•BD＝AB•DH，
×6×8＝5DH，
∴DH＝．
本题考查了菱形的性质，熟练掌握菱形以下几个性质：①菱形的对角线互相垂直平分，②菱形面积＝两条对角线积的一半，③菱形面积＝底边×高；本题利用了面积法求菱形的高线的长．
14. 若没有等式组只有两个整数解，则的取值范围是_________．
【正确答案】；

【详解】解x≤3x+2得：x≥-1，
由x 故没有等式组的解集为：−1≤x ∵关于x的没有等式组恰好只有两个整数解，
∴两个整数为：-1，0，
∴0 故答案为0 15. 对于实数p，q，我们用符号min{p，q}表示p，q两数中较小的数，如min{1，2}＝1，min{﹣2，﹣3}＝﹣3，若min{（x+1）2，x2}＝1，则x＝______．
【正确答案】-1或2

【分析】首先理解题意，进而可得min{（x-1）2，x2}=1时再分情况讨论，当x=0.5时，x>0.5时和x<0.5时，进而可得答案．
【详解】∵min{(x−1)2,x2}=1，
当x=0.5时,x2=(x−1)2，没有可能得出，最小值为1，
∴当x>0.5时,(x−1)2 则(x−1)2=1，
x−1=±1，
x−1=1，x−1=−1，
解得：x1=2,x2=0(没有合题意,舍去)，
当x<0.5时,(x−1)2>x2，
则x2=1，
解得：x1=1(没有合题意,舍去),x2=−1，
故答案为2或−1.
本题考查了函数的最值及其几何意义，解题的关键是熟练的掌握函数的最值及其几何意义.
16. 如图，A，B是双曲线上的两点，过A点作AC⊥x轴，交OB于D点，垂足为C．若OD=2BD，△ADO的面积为1，则k的值为_________．

【正确答案】.

【详解】如图过点B作BE⊥x轴于点E，因为OD=2BD，△OBE是直角三角形，CD⊥OE,所以OC=2CE，所以CD=BE ，设A(2x,)，则B(3x,)，CD=，AD=，又因为△ADO的面积为1，所以，即 ，解得k=．

三、解 答 题：（本题有9个小题，共72分）
17. 计算.
【正确答案】-

【详解】分析：分别进行值的化简、角的三角函数值、零指数幂等运算，然后合并．
本题解析：
解：原式=
18. 化简.
【正确答案】-

【详解】解：原式=
=
=
=；

19. 某校数学课外小组在学习了锐角三角函数后，组织了利用自制的测角仪测量古塔高度的．具体方法如下：在古塔前的平地上选择一点E，某同学站在E点用测角仪测得古塔顶的仰角为30°，从E向着古塔前进12米后到达点F，又测得古塔顶的仰角为45°，并绘制了如图的示意图（图中线段AE=BF=1.6米，表示测角的学生眼睛到地面的高度）．请你帮着计算古塔CD的高度（结果保留整数，参考数据：）.

【正确答案】18米

【详解】分析：在Rt△ACM中，根据三角函数即可求得AM，然后在Rt△BAE中，根据三角函数即可求得古塔的高．
本题解析：
解：如图，AB交CD于M，设CM=x

在△AMC中，∵ ∠AMC=90°，∠CAM=30°，
∴AM=
在△BMC中，∵ ∠AMC=90°，∠CBM=45°，
∴BM=
∵AB=12，∴ 解得：
∵DM=AE=1.6，∴CD=
答：古塔CD的高为18米
点睛：本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解答此类问题的关键是找出符合条件的直角三角形，利用锐角三角函数的定义进行解答．
20. 某校为了地服务学生，了解学生对学校管理的意见和建议，该校团委发起了“我给学校提意见”的，某班团支部对该班全体团员在一个月内所提意见的条数的情况进行了统计，并制成了如下两幅没有完整的统计图：

（1）该班的团员有 名，在扇形统计图中“2条”所对应的圆心角的度数为 ；
（2）求该班团员在这一个月内所提意见的平均条数是多少？并将该条形统计图补充完整；
（3）统计显示提3条意见的同学中有两位女同学，提4条意见的同学中也有两位女同学．现要从提了3条意见和提了4条意见的同学中分别选出一位参加该校团委组织的总结会，请你用列表或画树状图的方法，求出所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的概率．
【正确答案】（1）12；60°（2）3条；（3）

【详解】分析：(1)总人数=3÷它所占全体团员的百分比;发4条的人数=总人数-其余人数;(2) 根据扇形图求出该班团员总人数，再根据条形图得出第4组的人数，利用加权平均数求出求法，该班团员在这一个月内所发箴言的平均条数，即可得出结果．(3)列举出所有情况,看恰好是一位男同学和一位女同学占总情况的多少即可.
本题解析：
（1）12；60°
（2）所提意见的平均条数为（条）
（3）条形图或树状图略.
21. 已知关于x的方程x2﹣（2k+1）x+k2﹣2＝0有两个实数根x1，x2．
（1）求实数k的取值范围；
（2）若方程的两个实数根x1，x2满足，求k的值．
【正确答案】（1）；（2）

【分析】(1)根据判别式的意义可得△=,解没有等式即可求出实数k的取值范围;(2)利用根与系数的关系将两根之和和两根之积代入代数式求k的值即可.
本题解析：
【详解】解：（1）由题意得：△≥0
∴
∴
（2）由题意得：
由得：
∴
∴ 或
∵ ∴
点睛：本题考查了一元二次方程的根的判别式当△>0,方程有两个没有相等的实数根;当△=0,方程有两个相等的实数根;当△<0,方程没有实数根.也考查了根与系数的关系.
22. 某果农的苹果园有苹果树60棵，由于提高了管理水平，可以通过补种一些苹果树的方法来提高总产量．但如果多种树，那么树之间的距离和每棵树所受的光照就会减少，单棵树的产量也随之降低．已知在一定范围内，该果园每棵果树产果y（千克）与补种果树x（棵）之间的函数关系如图所示．若超过这个范围，则会严重影响果树的产量.
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）在这个范围内，当增种果树多少棵时，果园的总产量w（千克）？产量是多少？
（3）若该果农的苹果以3元/千克的价格售出，没有计其他成本，按（2）的方式可以多收入多少钱？

【正确答案】（1） ；（2）当增种果树40棵时，果园的总产量w（千克）为6000千克
（3）3600元

【详解】分析：（1）函数的表达式为y=kx+b，把点（20，70），（0，80）代入解方程组即可．
（2）构建二次函数，利用二次函数性质解决问题．（3）由x=0得出w=48000,然后利用3×(6000-4800)可得出结果.
本题解析：
（1）由题意，设，由题得：
解得： ∴
（2）
即
∵且，∴当x=40时w的值为6000
答：当增种果树40棵时，果园的总产量w（千克）为6000千克
（3）当时，，
答：该果农可以多收入3600元
点睛：本题考查了二次函数应用、一元二次方程等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法，学会构建二次函数解决实际问题中的最值问题，属于中考常考题型.
23. 如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，D是的中点，BD交AC于点E，过点D作DF∥AC交BA的延长线于点F.
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）若AF=2，FD=4，求tan∠BEC的值.

【正确答案】（1）证明见解析；(2)tan∠BEC=2

【详解】分析：（1）欲证明DF是⊙O的切线，只要证明OD⊥DF ，OD⊥AC
即可．（2）连接AD,在△ODF中利用勾股定理可求出⊙O的半径，由△ABE∽△FBD可得AE=3，再由△BDA∽△ADE可得，而∠BEC=∠AED从而即可得出结果．
本题解析：
（1）证明：连接OD
∵D是的中点 ∴OD⊥AC
∵DF∥AC ∴OD⊥DF
∵OD为⊙O的半径 ∴直线AB是⊙O的切线
(2)连接AD，设⊙O的半径为r，则OD=OA=r，OF=2+r
∵∠ODF=90°, ∴，解得：r=3，∴AB=6，BF=8
∵DF∥AC，∴△ABE∽△FBD, ∴,即，∴AE=3
∵D是的中点，∴∠B=∠DAE ，
∵∠BDA=∠ADE，∴△BDA∽△ADE, ∴ ,
AB是⊙O的直径， ∴∠ADB=90°, ∴tan∠AED=
∵∠BEC=∠AED，∴tan∠BEC=2
24. △ACB和△ECD均为等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°.
（1）如图1，点E在BC上，则线段AE和BD有怎样关系？请直接写出结论（没有需证明）；
（2）若将△DCE绕点C旋转一定的角度得图2，则（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由；
（3）当△DCE旋转到使∠ADC=90°时，若AC=5，CD=3，求BE的长.

【正确答案】(1)AE=BD，AE⊥BD ；（2）见解析；（3）

【详解】分析：（1）延长AE交BD于F,由△AEC≌△BDC,可得AE=BD,再利用同角的余角相等，可得出AE⊥BD ；（2）没有发生变化，只要证明△AEC≌△BDC，推出AE=BD，∠EAC=∠DBC,由∠EAC+∠AFC =90°，∠AFC=∠BFG,可得∠BGF=90°，从而得证；（3）过B作BM⊥EC于M，则∠M=90°，在RT△ACD中利用勾股定理可得AD=4,再利用△BCM≌△ACD，得出CM=CD=3, BM=AD=4，在△BME中利用勾股定理即可求出结果.
本题解析：
(1)AE=BD，AE⊥BD ；
(2)(1)中的结论仍然成立，理由如下：
∵△ACB和△ECD均为等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°
∴AC=BC, ∠ACE=∠BCD，EC=DC
∴△ACE≌△BCD(SAS), ∴AE=BD, ∠EAC=∠DBC
∵∠EAC+∠AFC =90°，∠AFC=∠BFG
∴∠DBC+∠BFG=90°, ∴∠BGF=90°,
∴AE⊥BD

(3) 过B作BM⊥EC于M，则∠M=90°

∵∠ADC=90°，AC=5，CD=3，∴AD=
∵∠ACB=∠ECD=90°, ∴∠CBE+∠ACD=180°
∵∠CBE+∠BCM=180°, ∴∠BCM=∠ACD
∵∠M=∠ADC=90°, AC=BC
∴△BCM≌△ACD(AAS), ∴CM=CD=3, BM=AD=4
∵CE=CD=3，∴EM=6，
∴BE=
25. 如图，抛物线的顶点为，对称轴为直线，且点，与轴交于点.

（1）求抛物线解析式；
（2）判断的形状，并说明理由；
（3）点的直线交抛物线于点，交轴于点，若，试求出点的坐标.
【正确答案】（1）；（2）△ABC是直角三角形，理由见解析；（3）点P的坐标为、、或

【详解】分析：（1）利用待定系数法，联立方程组即可解得；（2）利用解析式，可得B（0,2），C（1,3），再由A（3，-1），求出AB,AC,BC ，利用勾股定理的逆定理即可得出结果；（3）分两种情况讨论：当点Q在线段AP上时，当点Q在PA延长线上时，可得点P的坐标.
本题解析：
(1)由题意得：， 解得：
∴抛物线的解析式为
（2）由得：当时，y=2.，∴，由得，
∵A(3,－1)，∴,∴
∴∠ABC=90°，∴△ABC是直角三角形.
（3）①如图，当点Q在线段AP上时，过点P作PE⊥x轴于点E，AD⊥x轴于点D

∵,∴PA=2AQ，∴PQ=AQ
∵PE∥AD，∴△PQE∽△AQD,
∴,∴PE=AD=1
由得：
∴P或
②如图，当点Q在PA延长线上时，过点P作PE⊥x轴于点E，AD⊥x轴于点D

∵,∴PA=2AQ，∴PQ=3AQ
∵PE∥AD，∴△PQE∽△AQD,
∴,∴PE=3AD=3
由得：，∴P或.
综上可知：点P的坐标为、、或
点睛：本题考查了待定系数法求解析式，勾股定理的逆定理，三角形相似的判定与性质，能正确的作出辅助线是解答本题的关键.