广东省江门市第二中学2022-2023学年高一数学上学期期中试题（Word版附解析）

2022-2023学年第一学期期中考试

高一年级数学试题

本试卷共4页，22小题，满分150分，测试用时120分钟.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合,那么（）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】确定结合的元素，根据元素和集合的关系判断各选项，即得答案.

【详解】由题意知集合，

故，故A正确，D错误，，故B错误，，故C错误，

故选：A

2. 已知：，：，，则是（）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即得.

【详解】由可得，或，，

所以由推不出，，由，，可以推出，

故是的必要不充分条件.

故选：B.

3. 不等式的解集为（）

A B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】化简不等式并求解即可．

【详解】将不等式变形为，解此不等式得或.

因此，不等式的解集为

故选：D

【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，考查学生计算能力，属于基础题．

4. 函数的定义域是

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

由题意解不等式组即可得出答案.

【详解】要使函数有意义需满足，解得，即得函数定义域为.

故选：C.

【点睛】本题考查了函数定义域的求解，掌握负数没有偶次方根和零不能作为分母是解题的关键，属于基础题.

5. 函数（）是（）

A. 奇函数，且在 上单调递增

B. 奇函数，且在上单调递减

C. 偶函数，且在上单调递增

D. 偶函数，且在上单调递减

【答案】A

【解析】

【分析】根据函数奇偶性的定义以及单调性定义去判断，即可得答案.

【详解】对于函数（），

满足定义域关于原点对称，且，

故为奇函数，

设，且，

则，

由题设可知，

故，即，即，

所以在上单调递增，

故选：A

6. 函数在区间上的最大值是5，最小值是1，则m的取值范围是

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】利用配方法可得,则,,根据二次函数的对称性即可判断的范围

【详解】由题,,

因为,,且对称轴为,

所以,

因为在区间上的最大值是5,最小值是1,

所以

故选：B

【点睛】本题考查已知二次函数最值求参数问题,属于基础题

7. 已知命题，若命题是假命题，则的取值范围为（）

A. 1≤a≤3 B. -1<a<3 C. -1≤a≤3 D. 0≤a≤2

【答案】C

【解析】

【分析】先写出命题的否定，然后结合一元二次不等式恒成立列不等式，从而求得的取值范围.

【详解】命题是假命题，

命题的否定是：，且为真命题，

所以，

解得.

故选：C

8. 将一根铁丝切割成三段,做成一个面积为、形状为直角三角形的工艺品框架,在下列4种长度的铁丝中，选用最合适（够用且浪费最少）的是（）（注：）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】设直角三角形的两条直角边为，由面积可得，故周长，利用均值不等式以及，即得解

【详解】由题意，设直角三角形的两条直角边为

则

此时三角形框架的周长

当且仅当时等号成立

由于，

故选：C

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.

9. 设全集为，如图所示的阴影部分用集合可表示为（）

A.  B.  C.  D.

【答案】BC

【解析】

【分析】根据集合与运算，依次讨论各选项即可得答案.

【详解】如图，可以将图中的位置分成四个区域，分别标记为四个区域

对于A选项，显然表示区域3，故不正确；

对于B选项，表示区域1和4与4的公共部分，故满足条件；

对于C选项，表示区域1,2,4与区域4的公共部分，故满足；

对于D选项，表示区域1和4与区域4的并集，故不正确；

故选：BC

10. 已知实数，满足，，则（）

A.  B.

C.  D.

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据不等式的性质判断．

【详解】因为，，

所以，则A正确.

因为，

所以，

所以，则B错误.

当时，；

当时，；

当时，.故，则C正确.

因为，

所以.

当时，；

当时，；

当时，.故，则D正确.

故选：ACD．

11. 下列叙述中正确的是（）

A. 若函数是奇函数，则

B. 若，则“”的充要条件是“”

C. 函数与为同一个函数

D. “，”是“”的充分条件

【答案】CD

【解析】

【分析】根据奇函数的性质、相同函数的判断，结合充分性、必要性的定义进行求解即可.

【详解】若函数显然是奇函数，但没有意义，因此项A不正确；

当时，由推不出，因此选项B不正确；

因为函数与的定义域均为，且，所以选项C正确；

由，能推出，当时，显然成立，但是，不成立，因此选项D正确，

故选：CD

12. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名了“高斯函数”．设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数．例如：，．已知则关于函数的叙述中正确的有（）

A. 是偶函数 B. 是奇函数

C. 的值域是 D. 是上的减函数

【答案】AC

【解析】

【分析】根据题意求出的解析式，利用函数的奇偶性的定义以及函数的表示方法一一判断求解.

【详解】的定义域为，

，所以函数为偶函数，

当即或，，

则，则，

当即，，

则，则，

所以，则的值域是，

且为偶函数，不是单调函数，

故选:AC.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 设，，若，则_________.

【答案】0

【解析】

【分析】根据集合相等求解实数的值，即可得的值.

【详解】解：因为，若，则，所以.

故答案为：0.

14. 请把命题“勾股定理”写成含有量词的命题：_____________.

【答案】对任意的直角三角形，两条直角边的平方和等于斜边的平方

【解析】

【分析】根据勾股定理的内容，结合任意性的定义进行求解即可.

【详解】在任意的直角三角形中，都有两条直角边的平方和等于斜边的平方，

故答案为：对任意的直角三角形，两条直角边的平方和等于斜边的平方

15. 若奇函数在单调递减，，则不等式的解集为___.

【答案】

【解析】

【分析】由不等式转化为，再结合结合函数奇偶性和单调性解不等式即可求出答案.

【详解】函数在单调递减，因为函数时奇函数，

所以在上单调递减，

因为，所以，

不等式，则，

所以，则.

故答案为：.

16. 已知函数，若，且，设，则的最小值为___________.

【答案】##

【解析】

【分析】用表示出，结合二次函数的性质求得的取值范围.

【详解】，

在上单调增，在上单调增，

，令，解得，

由得，，且

所以，

结合二次函数的性质可知，当时，取得最小值为.

所以的最小值是.

故答案为：.

四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 已知集合，全集，

求：（1）；

（2）.

【答案】（1）；（2）=

【解析】

【详解】试题分析：（1）化简集合A,B后，根据交集的定义即可求出；（2）根据补集及交集的定义运算.

试题解析：

（1）

（2）

=

点睛：集合是高考中必考的知识点，一般考查集合的表示、集合的运算比较多．对于集合的表示，特别是描述法的理解，一定要注意集合中元素是什么，然后看清其满足的性质，将其化简；考查集合的运算，多考查交并补运算，注意利用数轴来运算，要特别注意端点的取值是否在集合中，避免出错．

18. 已知函数的图象如图所示，其中轴的左侧为一条线段，右侧为某抛物线的一段．

（1）写出函数的定义域和值域；

（2）求的值．

【答案】（1）定义域为，值域为

（2）

【解析】

【分析】（1）由函数的图象可得出函数的定义域和值域；

（2）求出函数的解析式，代值计算可得的值.

【小问1详解】

解：由图可知，函数的定义域为，值域为.

【小问2详解】

解：当时，设，则，解得，

当时，可设，则，解得，

所以，，

则，因此，.

19. 某地区上年度电价为0.8元，年用电量为，本年度计划将电价下降到0.55元至0.75元之间，而用户期望的电价为0.4元．经测算，下调电价后新增用电量和实际电价与用户的期望电价的差成反比（比例系数为k）．该地区的电力成本价为0.3元．

（1）写出本年度电价下调后电力部门的收益y（单位：元）关于实际电价x（单位：元）的函数解析式．（收益=实际电量×（实际电价-成本价））

（2）设，当电价最低定为多少时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%？

【答案】（1）．

（2）0.6元．

【解析】

【分析】（1）根据用电量、下调电价后新增用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比，得到本年度实际用电量，再乘以即可；

（2）根据上年度电力部门实际收益，（1）知本年度电力部门预收益，然后由求解即可.

【小问1详解】

设下调后的电价为x元，依题意知用电量增至，

电力部门收益为；

【小问2详解】

依题意有，

整理得，

解此不等式组得．

答：当电价最低定为0.6元仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%．

20. 已知命题，命题.

（1）若为真命题，求的取值范围；

（2）若“为真命题”是“为真命题”的必要不充分条件，求的取值范围.

【答案】（1）或

（2）.

【解析】

【分析】（1）由题意可得方程有解，然后分和两种情况讨论即可；

（2）先由命题为真，求得，设命题为真时的取值集合为A，命题为真时的取值集合为B，再由题意可得B是A的真子集，从而可求出的取值范围.

【小问1详解】

当，显然不存在使方程1=0成立；

当时，一元二次方程的判别式，

所以，解得或.

小问2详解】

若命题为真，则，

因为，所以，即，当且仅当时，等号成立.

设命题为真时的取值集合为A，命题为真时的取值集合为B，

因为命题为真是命题为真的必要不充分条件，所以B是A的真子集，

所以，故.

21. 已知函数是定义在上的奇函数，且

（1）求的值

（2）用定义法证明在上的单调性，并求出在上的最大值和最小值．

【答案】（1）

（2）证明见解析；

【解析】

【分析】（1）由求解；

（2）利用单调性定义求解.

【小问1详解】

解：由，

可得，

此时，符合题意；

【小问2详解】

设，

，

，

由，

，

故，

所以在上单调递减，

此时

22. （1）已知克糖水中含有克糖，再添加克糖（假设全部溶解），糖水变甜了.请将这一事实表示为一个不等式，并证明这个不等式成立．

（2）东东和华华拿着钱去超市买糖，超市里面提供两种糖：种糖每千克元，种糖每千克元（两种糖价格不相等）.东东买了相同质量的两种糖，华华买了相同价钱的两种糖.请问两人买到糖的平均价格分别是多少？谁买的糖的平均价格比较高？请证明你的结论.（物品的平均价格物品的总价钱物品的总质量）

【答案】（1）不等式为，证明见解析；（2）答案见解析.

【解析】

【分析】（1）根据糖在糖水中所占的比例的变化可得出不等式，再利用作差法可证得结论成立；

（2）求出两人买到的糖的平均价格，利用作差法可得出结论.

【详解】解：（1）克糖水中含有克糖，则糖在糖水中所占的比例为，

再添加克糖（假设全部溶解），则糖在糖水中所占的比例，

糖水变甜了，说明加糖后，糖在糖水中所占的比例变大了，即有，证明如下：

，则；

（2）对于东东而言，他买到的糖的平均价格为（元/千克），

对于华华而言，设华华买两种糖的费用均为元，则他买到的糖的总质量为千克，

故华华买到的糖的平均价格为（元/千克），

，即东东买到的糖的平均价格较高.