洛阳市第一高级中学2023届高三数学（理）上学期11月考试试卷（Word版附解析）

洛阳一高2022年高三11月调研考试理科数学

第一部分（选择题  共60分）

一、选择题：

1. 已知集合，则=

A.  B.  

C.  D.

【答案】C

2. 复数（为虚数单位）的共轭复数是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

3. 若，，成等差数列，则的值等于

A. 1 B. 0或 C.  D.

【答案】D

4. 已知关于的不等式的解集为,则的最大值是（　　）

A.  B.  

C.  D. －

【答案】D

5. 的值是

A.  B.  C.  D.

【答案】D

6. 是恒成立的

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】A

7. 在锐角△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C对边，R是△ABC的外接圆半径，且，则B＝（　　）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

8. 已知平面向量，若对任意的正实数的最小值为，则此时（　　）

A. 1 B. 2 C.  D.

【答案】D

9. 由抛物线y＝－x2＋4x－3及其在点M（0，－3）和点N（3，0）处的两条切线所围成的图形的面积为（　　）

A.  B.  C.  D. 2

【答案】A

10. 已知函数，存在x0>0，使得f（x0）≤0有解，则实数a的取值范围是（　　）

A. （2，＋∞） B. （－∞，－3）

C. （－∞，1] D. [3，＋∞）

【答案】C

11. 已知函数的部分图像如图所示，且在上恰有一个最大值和一个最小值，则的取值范围是（    ）

A.  B.  

C.  D.

【答案】B

12. 已知函数若关于的方程恰有两个互异的实数解，则的取值范围为

A.  B.  

C.  D.

【答案】D

第二部分（非选择题  共90分）

二、填空题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 已知sin＝，则cos＝________．

【答案】

【解析】

【详解】sin,

故答案为：

14. 若函数的定义域为，则的值为________.

【答案】

【解析】

【详解】函数f(x)的定义域为不等式a的解集，

因为不等式a的解集是{x|1≤x≤2}，

所以有：解得∴a＋b=.

故答案为：.

15. 设函数，则满足的实数取值范围是__________.

【答案】

【解析】

【详解】由题意，函数，

令，因为，则，

当时，可得，

令，其中，作出两个函数的图象，如图所示：

所以时，方程无解；

当时，成立，由，

当时，可得，解得；

当时，可得，解得.

综上可得，实数取值范围是

故答案为：.

16. 定义在R上的函数满足，且在上是增函数，给出下列几个命题：

①是周期函数；       

②的图象关于直线x＝1对称；

③在上是减函数； 

④．

其中正确命题的序号是________（请把正确命题的序号全部写出来）．

【答案】①②③④

【解析】

【详解】依题意，，，取得：，

，取，则有，即函数是R上的奇函数，

由得：，因此函数以4为周期的周期函数，①正确；

，因此的图象关于直线x＝1对称，②正确；

因在上是增函数，则在上是增函数，于是得在上是减函数，③正确；

由得：，④正确.

故答案为：①②③④

三、解答题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

17. 已知各项均不为0的等差数列的前n项和为，若，且成等比数列．

（1）求数列的通项公式与；

（2）设，数列的前n项和为，求证：.

【答案】（1）   

（2）证明见解析

【解析】

（2）求得，利用裂项相消法可求，由不等式的性质可得原不等式成立．

【小问1详解】

设等差数列的公差为d,则．
由成等比数列知，
即．
所以或，因，

于是，结合

解得，
则；

小问2详解】

因，
所以的前n项的和为

．
所以原不等式成立．

18. 已知数列满足，且成等差数列.

（Ⅰ）求的值和的通项公式；

（Ⅱ）设，求数列的前项和.

【答案】（Ⅰ） ; （Ⅱ）.

【解析】

【详解】（Ⅰ） 由已知，有，即，

所以，又因为，故，由，得，

当时，，

当时，，

所以的通项公式为

（Ⅱ） 由（Ⅰ）得，设数列的前项和为，则

，

两式相减得

，

整理得

所以数列的前项和为.

考点：等差数列定义、等比数列及前项和公式、错位相减法求和.

19. 已知函数f(x)＝·cos(x＋θ)为奇函数，且＝0，其中a∈R，θ∈(0，π).

（1）求a，θ的值；

（2）若α∈，＋coscos2α＝0，求cosα－sinα的值.

【答案】（1）θ＝，a＝－1；（2）cosα－sinα＝－或cosα－sinα＝－.

【解析】

【详解】（1）因为f(x)＝cos(x＋θ)是奇函数，

所以，即cos(x＋θ)＝－cos对恒成立，

化简、整理得，2cosxcosθ＝0对恒成立，则有cosθ＝0，

由θ∈(0，π)，得θ＝，

所以f(x)＝－sinx·.

由＝0，得－(a＋1)＝0，即a＝－1.

综上所述：θ＝，a＝－1.

（2）由（1）知f(x)＝－sin2x，

因为＋coscos2α＝0，

所以，

所以，

因为cos2α＝sin＝sin＝2sincos，

所以sin＝cos2sin.

所以sin＝0或cos2＝,

又α∈，

由sin＝0⇒α＝，

所以cosα－sinα＝cos－sin＝－；

由cos2＝， <α＋<，

得cos＝－⇒ (cosα－sinα)＝－⇒cosα－sinα＝－.

综上，cosα－sinα＝－或cosα－sinα＝－

20. 已知，函数.

（1）讨论函数的单调性；

（2）若是的极值点，且曲线在两点，处切线平行，在轴上的截距分别为，求的取值范围．

【答案】（1）答案见解析   

（2）

【解析】

【小问1详解】

，
①当时，在上恒成立，∴在上单调递减；
②当时，时，时，，
即在上单调递减，在上单调递增；

综上所述：当时，在上单调递减；

当时，在上单调递减，在上单调递增；

【小问2详解】

∵是的极值点，
∴由（1）可知，
设在处的切线方程为，
在处的切线方程为
∴若这两条切线互相平行，则，
∴

∵，且，
∴，
∴，
∴
令中，得，
同理，．

∵，
∴
设
∴
∴在区间上单调递减，
又，

即的取值范围是

21. 已知函数.

（1）求函数的极小值；

（2）求证：当时，.

【答案】（1）见解析（2）见解析

【解析】

【详解】（1）

当时，即时，，函数在上单调递增，无极小值；

当时，即时，，函数在上单调递减；

，函数在上单调递增；

，

综上所述，当时，无极小值；当时，

（2）令

当时，要证：，即证,即证，

要证，即证.

①当时，

令，，所以在单调递增，

故，即.

，

令，，

当，在单调递减；，在单调递增，故，即.当且仅当时取等号

又，

由、可知

所以当时，

②当时，即证.令，，在上单调递减，在上单调递增，，故

③当时，当时，，由②知，而，

故；

当时，，由②知，故；

所以，当时，.

综上①②③可知，当时，.

22. 已知在数列{an}中，，且对任意n∈N*恒成立．

（1）求证：（n∈N*）；

（2）求证：（n∈N*）．

【答案】（1）证明见解析   

（2）证明见解析

【解析】

【小问1详解】

，且对任意n∈N*恒成立．

，则数列{an}为正项数列.

当时，成立，

假设当时成立，即

当时，

则当时，命题成立，

综上所述：（n∈N*）

【小问2详解】

要证，由（1）

只需证

当时，，

则，

假设当时成立，即，

则当时，

设，

则

在上单调递增，

则

，

即，

则当时，命题成立，

综上所述：（n∈N*）．