湖南省岳阳市2022-2023学年高一数学上学期期末质量监测试卷（Word版附解析）

岳阳市2023年高中教学质量监测试卷

高一数学

一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．

1. 已知集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【详解】解：由即，解得或，

所以或，

所以，又，所以.

故选：C

2. 命题“，”的否定是（    ）

A. ， B. ，

C. ， D. ，

【答案】D

【解析】

【详解】解：命题“，”为存在量词命题，

其否定为：，.

故选：D

3. 函数在下列区间中存在零点的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【详解】因为显然单调递增，

又，，

由零点存在定理可得的零点所在区间为.

故选：B

4. 已知，，，则，，的大小关系为（    ）

A.  B.  

C.  D.

【答案】A

【解析】

【详解】解：因为，，即，

，

所以.

故选：A

5. 要得到函数的图象，只需将函数的图象进行如下变换得到（    ）

A. 向右平移个单位 B. 向左平移个单位

C. 向右平移个单位 D. 向左平移个单位

【答案】B

【解析】

【详解】解：因为，

，

所以将向左平移个单位得到

故选：B

6. 已知，则的值为（    ）

A.  B.  C. 0 D.

【答案】B

【解析】

【详解】解：因为，所以，所以，

所以

.

故选：B

7. 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ）

A.  B.  

C.  D.

【答案】D

【解析】

【详解】因为函数为上的增函数，

所以，函数在上为增函数，可得，

函数在上为增函数，可得，且有，

所以，，解得.

故选：D.

8. 已知且恒成立，则实数的取值范围为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【详解】因为，则且、均为正数，

由基本不等式可得，当且仅当时，即当时，等号成立，

所以，的最小值为，所以，，即，解得.

故选：C.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题满分5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分．

9. 下列函数中满足：，当时，都有的有（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】AD

【解析】

【详解】解：因为，当时，都有，

所以在上单调递增，

对于A：，函数在上单调递增，符合题意；

对于B：，所以函数上单调递减，在上单调递增，故不符合题意；

对于C：，因为在定义域上单调递增，在定义域上单调递减，

所以在定义域上单调递减，故不符合题意；

对于D：，

当时，所以在上单调递增，符合题意.

故选：AD

10. 下列结论正确的是（    ）

A. 函数是以为最小正周期，且在区间上单调递减函数

B. 若是斜三角形的一个内角，则不等式的解集为

C. 函数的单调递减区间为

D. 函数的值域为

【答案】AC

【解析】

【详解】A选项，函数的图象是在的图象基础上，将轴下方的部分翻折到轴上方，因此周期减半，即的最小正周期为；当时，，显然单调减；故A正确；

B选项，因为是斜三角形的一个内角，所以或；由得，所以或；故B错；

C选项，由得，即函数的单调递减区间为，故C正确；

D选项，因为，所以，因此，所以，故D错.

故选：AC.

11. 下列结论中正确的是（    ）

A. 若一元二次不等式的解集是，则的值是

B. 若集合，，则集合的子集个数为4

C. 函数的最小值为

D. 函数与函数是同一函数

【答案】AB

【解析】

【详解】解：对于A：因为一元二次不等式的解集是，

所以和为方程的两根且，所以，解得，所以，故A正确；

对于B：，，

所以，即中含有个元素，则的子集有个，故B正确；

对于C：，当时，，故C错误；

对于D：，

令，解得，所以函数的定义域为，

函数的定义域为，虽然两函数的定义域相同，但是解析式不相同，故不是同一函数，即D错误；

故选：AB

12. 已知函数，则下列说法正确的是（    ）

A. ，为奇函数

B. ，为偶函数

C. ，的值为常数

D. ，有最小值

【答案】BCD

【解析】

【详解】解：因为，，

对于A：若为奇函数，则，即，

即，显然方程不恒成立，故不存在，使得为奇函数，故A错误；

对于B：若为偶函数，则，即，

即，当时方程恒成立，故当时，对，为偶函数，故B正确；

对于C：当，时为常数函数，故C正确；

对于D：的定义域为，，

所以，

当，即时变形为，

当时方程有解，

当、时方程在上恒成立，

当，即时，

方程在上有解，所以，

即，

因为，

当、时变形为，解得，

当或时，可以求得的两个值，

不妨设为和，则，

所以解得，

所以当时，，有最小值，故D正确；

故选：BCD

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 函数的定义域为____________．

【答案】

【解析】

【详解】由题意可得，，解得，

所以函数的定义域为.

故答案为：

14. 用一根长度为2023米的铁丝围成一个扇形，则当扇形面积最大时，圆心角的弧度数为____________．

【答案】2

【解析】

【详解】设该扇形所在圆的半径为，扇形圆心角为，

由题意可得，，则

所以扇形面积为，

当且仅当，即时，等号成立，

所以当扇形面积最大时，圆心角的弧度数为2.

故答案为：2

15. 已知函数的最大值为，最小值为，则的值为____________．

【答案】4

【解析】

【详解】解：因为，

令，

则，，

所以为奇函数，

因此，因此，

故答案为：

16. 请写出一个函数，使它同时满足下列条件：（1）的最小正周期是4；（2）的最大值为2．____________．

【答案】（答案不唯一）

【解析】

【详解】∵的最小正周期是4，∴；

∴的最大值为2，∴，

故可取,

故答案为：(答案不唯一)

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. （1）已知实数满足，求的值．

（2）若，求证：．

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【解析】

【详解】（1）解：，，，

又，，所以；

（2）证明：设，则且，，，

，，，

，.

18. 已知，，，求的值．

【答案】或

【解析】

【详解】解：，，，

又，，

当时，；

当时，

.

19. 已知命题：“，不等式成立”是真命题．

（1）求实数取值的集合；

（2）设不等式的解集为，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．

【答案】（1）   

（2）或

【解析】

【小问1详解】

令，命题：“，不等式成立”是真命题，则，解得或，

即

【小问2详解】

因为不等式的解集为，且是的必要不充分条件，则是的真子集；

①当，即时，解集，或，此时；

②当，即时，解集，满足题设条件；

③当，即时，解集

或，此时或

综上①②③可得或

20. 已知函数（其中）的最小正周期为．

（1）求，的单调递增区间；

（2）若时，函数有两个零点、，求实数的取值范围．

【答案】（1）和   

（2）

【解析】

【小问1详解】

解：函数的最小正周期为且，

，，

由，解得，

的单调递增区间为和.

【小问2详解】

解：当时，，

令，解得，令，解得，

所以在上单调递增，在上单调递减，

函数在上有两个零点，

即与在上有两个交点，

，

.

21. 党的二十大报告指出：我们要推进美丽中国建设，坚持山水林田湖草沙一体化保护和系统治理，统筹产业结构调整、污染治理、生态保护、应对气候变化，协同推进降碳、减污、扩绿、增长，推进生态优先、节约集约、绿色低碳发展．某乡政府也越来越重视生态系统的重建和维护．若乡财政下拨一项专款400百万元，分别用于植绿护绿和处理污染两个生态维护项目，植绿护绿项目五年内带来的生态收益可表示为投放资金（单位：百万元）的函数（单位：百万元）：；处理污染项目五年内带来的生态收益可表示为投放资金（单位：百万元）的函数（单位：百万元）：．

（1）设分配给植绿护绿项目的资金为（百万元），则两个生态项目五年内带来的收益总和为（百万元），写出关于的函数解析式；

（2）生态维护项目的投资开始利润薄弱，只有持之以恒，才能功在当代，利在千秋．试求出的最大值，并求出此时对两个生态项目的投资分别为多少？

【答案】（1），   

（2）的最大值为145（百万元），分别投资给植绿护绿项目、污染处理项目的资金为60（百万元），340（百万元）．

【解析】

【小问1详解】

解：由题意可得处理污染项目投放资金百万元，

则，

，．

【小问2详解】

解：由（1）可得，

，

当且仅当，即时等号成立，此时．

所以的最大值为（百万元），分别投资给植绿护绿项目、污染处理项目的资金为（百万元），（百万元）．

22. 若函数对定义域内的每一个值，在其定义域内都存在唯一的，使成立，则称函数具有性质．

（1）判断函数是否具有性质，并说明理由；

（2）若函数的定义域为且且具有性质，求的值；

（3）已知，函数的定义域为且具有性质，若存在实数，使得对任意的，不等式都成立，求实数的取值范围．

【答案】（1）具有性质，理由见解析   

（2）15    （3）

【解析】

【小问1详解】

解：对于函数的定义域内任意的，取，则，

结合的图象可知对内任意的，是唯一存在的，

所以函数具有性质.

【小问2详解】

解：因为，且，所以在上是增函数，

又函数具有性质，所以，即，

因为，所以且，

又，所以，解得，所以．

【小问3详解】

解：因为，所以，且在定义域上单调递增，

又因为，在上单调递增，

所以在上单调递增，

又因为具有性质，

从而，即，所以，

解得或（舍去），

因为存在实数，使得对任意的，不等式都成立，

所以，

因为在上单调递增，所以

即对任意的恒成立．

所以或，

解得或，

综上可得实数的取值范围是．