八年级数学下册专题09 正方形中的最值

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专题09 正方形中的最值
【例题讲解】
P为正方形对角线上一动点，若，则的最小值为_______

【详解】如解图，将绕点A顺时针旋转得到，∵，
∴是等边三角形，∴，，∴，
∴当E､F､P､C共线时，最小，作交的延长线于M，的延长线交的延长线于N，则四边形是矩形，在中，
∵，∴，∵，
∴，∴．∴的最小值为．





【综合演练】
1．如图，正方形ABCD的边长为4，点M在DC上，且DM=1，N是AC上一动点，则DN+MN的最小值为（    ）

A．4 B． C． D．5
2．如图，为正方形内一动点，，为的中点，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．
3．如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E、F分别是边BC、CD上的动点，且BE＝CF，连接BF、DE，则BF＋DE的最小值为（）

A． B． C． D．
4．如图，正方形的对角线，相交于点，点是上任意一点，于点，于点，若，则的长的最小值为（    ）

A．2 B．1 C． D．
5．如图，已知正方形ABCD的边长为8，点E是正方形内部一点，连接BE，CE，且∠ABE＝∠BCE，点P是AB边上一动点，连接  PD，PE，则PD+PE长度的最小值为（    ）

A． B．
C． D．
6．如图，正方形与矩形在直线的同侧，边，在直线上，且，，．保持正方形不动，将矩形沿直线左右移动，连接，，则的最小值为______．

7．如图，正方形ABCD中，AB＝4，点E为对角线AC上的动点，以DE为边作正方形DEFG，点H是CD上一点，且DH＝CD．
（1）连接CG，则∠DCG＝____________．
（2）连接GH，GH的最小值为____________．

8．如图，是边长为2的正方形的对角线，为边上一动点，，为，的中点．当的值最小时，的值为______．

9．如图，点P为线段AB上的一个动点，AB＝6，以PA、PB为边向同侧作正方形APDC、正方形PBEF，两正方形的对角线的交点分别记为O1、O2，连接O1O2，则O1O2的最小值为_____．

10．如图，MN是正方形ABCD的一条对称轴，点P是直线MN上的一个动点，当PC+PD最小时，∠PCD＝_____°．

11．如图，正方形中，，动点从点出发向点运动，同时动点从点出发向点运动，点、运动的速度相同，当它们到达各自终点时停止运动，运动过程中线段、相交于点，是线段上任意一点，则的最小值为___．

12．在正方形中，，点E、F分别为上一点，且，连接，则的最小值是________________．

13．如图，正方形ABCD的边长是8，点E、F分别是边AB、BC上的点，且，若点P是对角线AC上一个动点，则的最小值是______．

14．如图，在正方形中，，与交于点O，N是的中点，点M在边上，且，P为对角线上一点，则的最大值为_____________．

15．如图，正方形ABCD边长为4，P是正方形内一动点，且，则的最小值是______．

16．如图，正方形ABCD中，，点E为对角线AC上的动点，以DE为边作正方形DEFG，点H是CD上一点，且，连接GH，则GH的最小值为______．

17．如图，正方形ABCD，边长为7，点E在边BC上，，点F是AB边上一动点，连接EF，以EF为边向右作等边，连接CG，线段CG的最小值是___________．

18．如图，AC是边长为2的正方形ABCD的对角线，P为BC边上一动点，E，F为AB，AC的中点．当PE+PF的值最小时，CP的值为________．

19．如图，已知正方形的边长为，点是边上一动点，连接，将绕点顺时针旋转到连接，则的最小值是_____．

20．如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是_____．

21．如图，在正方形ABCD中，AB=4，AC与BD相交于点O，M是AO的中点，P，Q为对角线BD上的两点，若PQ=，则PM+CQ的最小值为 ___．

22．如图，正方形ABCD的边长为4，∠DAC的平分线交DC于点E．若点P、Q分别是AD和AE上的动点，则DQ＋PQ的最小值是________．

答案与解析
【例题讲解】
P为正方形对角线上一动点，若，则的最小值为_______

【详解】如解图，将绕点A顺时针旋转得到，∵，
∴是等边三角形，∴，，∴，
∴当E､F､P､C共线时，最小，作交的延长线于M，的延长线交的延长线于N，则四边形是矩形，在中，
∵，∴，∵，
∴，∴．∴的最小值为．





【综合演练】
1．如图，正方形ABCD的边长为4，点M在DC上，且DM=1，N是AC上一动点，则DN+MN的最小值为（    ）

A．4 B． C． D．5
【答案】D
【分析】由正方形的对称性可知点B与D关于直线AC对称，连接BM交AC于N′，N′即为所求在Rt△BCM中利用勾股定理即可求出BM的长即可．
【详解】∵四边形ABCD是正方形，
∴点B与D关于直线AC对称，
∴DN=BN，
连接BD，BM交AC于N′，连接DN′，

∴当B、N、M共线时，DN+MN有最小值，则BM的长即为DN+MN的最小值，
∴AC是线段BD的垂直平分线，
又∵CD=4，DM=1
∴CM=CD-DM=4-1=3，
在Rt△BCM中，BM=
故DN+MN的最小值是5．
故选：D．
【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题及正方形的性质，先作出D关于直线AC的对称点，由轴对称及正方形的性质判断出D的对称点是点B是解答此题的关键．
2．如图，为正方形内一动点，，为的中点，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】取的中点，连接MN，根据三角形中位线的性质可求出MN的长度，然后根据三角形三边关系即可求出CM的最小值．
【详解】解：因为，为的中点，
取的中点，连接MN，CN，

易得，
所以.
在点的运动过程中，的值不变，
因为，
当，，三点在同一条直线上时，最小，
此时．
故选：D
【点睛】此题考查了三角形中位线的性质和三角形三边的关系，解题的关键是由题意作出辅助线．
3．如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E、F分别是边BC、CD上的动点，且BE＝CF，连接BF、DE，则BF＋DE的最小值为（）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】连接AE，利用△ABE≌△BCF转化线段BF得到BF＋DE＝AE＋DE，则通过作A点关于BC对称点H，连接DH交BC于E点，利用勾股定理求出DH长即可．
【详解】解：解：连接AE，如图1，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABE＝∠BCF＝90°．
又BE＝CF，
∴△ABE≌△BCF（SAS）．
∴AE＝BF．

所以BF＋DE最小值等于AE＋DE最小值．
作点A关于BC的对称点H点，如图2，
连接BH，则A、B、H三点共线，
连接DH，DH与BC的交点即为所求的E点．
根据对称性可知AE＝HE，
所以AE＋DE＝DH．
在Rt△ADH中，DH2＝AH2＋AD2＝82＋42＝80
∴DH＝4
∴BF＋DE最小值为4
故选：    D．

【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、最短距离问题，一般求两条线段最短距离问题，都转化为一条线段．
4．如图，正方形的对角线，相交于点，点是上任意一点，于点，于点，若，则的长的最小值为（    ）

A．2 B．1 C． D．
【答案】B
【分析】如图，连接OP、EF，根据已知条件和正方形的性质可以得到当EF最小就是OP最小，然后利用垂线段最短即可求解．
【详解】解：如图，连接OP、EF，
∵正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点P是BC上任意一点，PE⊥BD于点E，PF⊥AC于点F，
∴四边形OEPF为矩形，
∴EF=OP，
∴EF最小时OP最小，
当OP⊥BC于P的时候OP最小，
而当OP⊥BC时，P为BC的中点，
∴OP=BC，
∵AC=，
则BC=2，
∴OP=1，
∴EF的长的最小值为1．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，同时也利用了垂线段最短解决问题．
5．如图，已知正方形ABCD的边长为8，点E是正方形内部一点，连接BE，CE，且∠ABE＝∠BCE，点P是AB边上一动点，连接  PD，PE，则PD+PE长度的最小值为（    ）

A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据正方形的性质得到∠ABC=90°，推出∠BEC=90°，得到点E在以BC为直径的半圆上移动，设BC的中点为O，作正方形ABCD关于直线AB对称的正方形AFGB，则点D的对应点是F，连接FO交AB于P，交⊙O于E，则线段EF的长即为PD+PE的长度最小值，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°，
∴∠ABE+∠CBE=90°，
∵∠ABE=∠BCE，
∴∠BCE+∠CBE=90°，
∴∠BEC=90°，
∴点E在以BC为直径的半圆上移动，
如图，设BC的中点为O，作正方形ABCD关于直线AB对称的正方形AFGB，则点D的对应点是F，
连接FO交AB于P，交半圆O于E，则线段EF的长即为PD+PE的长度最小值，OE=4，

∵∠G=90°，FG=BG=AB=8，
∴OG=12，
（勾股定理），
∴，
∴PD+PE的长度最小值为，
故选D．
【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，正方形的性质，勾股定理的综合运用．凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
第II卷（非选择题）
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二、填空题
6．如图，正方形与矩形在直线的同侧，边，在直线上，且，，．保持正方形不动，将矩形沿直线左右移动，连接，，则的最小值为______．

【答案】
【分析】作点关于的对称点，连接，以，为邻边作平行四边形，则，当，，三点共线时，的最小值为的长，过点作于，依据勾股定理即可得到中，，即可得出的最小值为．
【详解】解：如图所示，作点关于的对称点，连接，以，为邻边作平行四边形，

则，，
，
当，，三点共线时，的最小值为的长，
过点作于，
由题可得，，
中，，
的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了正方形、矩形的性质以及最短距离问题，解决问题的关键是构造平行四边形；凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
7．如图，正方形ABCD中，AB＝4，点E为对角线AC上的动点，以DE为边作正方形DEFG，点H是CD上一点，且DH＝CD．
（1）连接CG，则∠DCG＝____________．
（2）连接GH，GH的最小值为____________．

【答案】     45°    
【分析】（1）利用正方形的性质证明△ADE≌△CDG，即可求解；
（2）由∠DCG＝45°，得到点G的运动轨迹是射线CG，根据垂线段最短，即可解答．
【详解】解：（1）解：∵四边形ABCD是正方形，四边形DECG是正方形，
∴DA＝DC，DE＝DG，∠ADC＝∠EDG＝90°，∠DAC＝45°，
∴∠ADE＝∠CDG，
∴△ADE≌△CDG（SAS），
∴∠DCC＝∠DAE＝45°，
故答案为：45°；
（2）∵∠DCG＝45°，
∴点G的运动轨迹是射线CG，
根据垂线段最短可知，当GH⊥CG时，GH的值最小，
∵DH＝ CD，
∵
∴CH＝CD﹣DH＝ CD＝ ，
∴GH最小值＝CH•sin45°＝ ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，点到直线垂线段最短，证得三角形全等和得到点G的运动轨迹是射线CG，是解题的关键．
8．如图，是边长为2的正方形的对角线，为边上一动点，，为，的中点．当的值最小时，的值为______．

【答案】
【分析】延长，作关于的对称点，连接，交于点，此时 值最小，再利用三角形的中位线性质即可求解．
【详解】解：延长，作关于的对称点，
连接，交于点，此时 值最小.

正方形边长为，
，.
，为，的中点，
，.
为中点，
为的中位线，
.
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了两点间线段最短（将军饮马）的应用以及三角形中位线定理得运用，作出对称点进行求解是解题的关键．
9．如图，点P为线段AB上的一个动点，AB＝6，以PA、PB为边向同侧作正方形APDC、正方形PBEF，两正方形的对角线的交点分别记为O1、O2，连接O1O2，则O1O2的最小值为_____．

【答案】3
【分析】作O1M⊥AP于M，O2N⊥PB于N，O1Q⊥O2N于Q，如图，利用正方形的性质得△AO1P和△PO2B都是等腰直角三角形，则AM＝PM，PN＝BN，所以MN＝AB＝3，再证明四边形O1MNO2为矩形得到O1Q＝MN＝3，然后根据垂线段最短得到O1O2的最小值．
【详解】解：作O1M⊥AP于M，O2N⊥PB于N，O1Q⊥O2N于Q，如图，

∵四边形APDC和四边形PBEF都为正方形，
,
∴△AO1P和△PO2B都是等腰直角三角形，
∵O1M⊥AP，O2N⊥PB，
∴AM＝PM，PN＝BN，
∴MN＝PM+PN＝AB＝3，
∵O1M⊥AP，O2N⊥PB，O1Q⊥O2N，
,
∴四边形O1MNO2为矩形，
∴O1Q＝MN＝3，
∵O1O2≥O1Q，
∴O1O2的最小值为3．
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查正方形的性质，等腰三角形的性质，垂线段最短，掌握正方形的性质，等腰三角形的性质，垂线段最短是解题的关键．
10．如图，MN是正方形ABCD的一条对称轴，点P是直线MN上的一个动点，当PC+PD最小时，∠PCD＝_____°．

【答案】45
【详解】解：∵当PC+PD最小时，作出D点关于MN的对称点，正好是A点，连接AC，AC为正方形对角线，根据正方形的性质得出∠PCD=45°．

11．如图，正方形中，，动点从点出发向点运动，同时动点从点出发向点运动，点、运动的速度相同，当它们到达各自终点时停止运动，运动过程中线段、相交于点，是线段上任意一点，则的最小值为___．

【答案】
【分析】首先作出点D关于的对称点，当点E与点D重合，点F与点C重合时，最短，然后由正方形的性质和轴对称图形的性质可知：，，最后由勾股定理即可求得的长，从而可求得的最小值．
【详解】解：如图作点D关于的对称点，连接，

由轴对称的性质可知：，
∴，
过点P作垂直，垂足为G，
由题意得，
∵四边形为正方形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故可知P的轨迹为以为直径的四分之一圆弧上，当点E与点D重合，点F与点C重合时，
此时，最短．
∵四边形为正方形，
∴，．
∴．
在中，由勾股定理得：．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查的是最短路径问题，由轴对称图形的性质和正方形的性质确定出点P的位置是解题的关键．
12．在正方形中，，点E、F分别为上一点，且，连接，则的最小值是________________．

【答案】
【分析】首先利用正方形的性质可以证明和，然后利用全等三角形的性质得到的最小值就是的最小值，最后利用轴对称即可求解．
【详解】解：如图，连接，
正方形中，，
，，
在和中，
，
和，
，
，
的最小值就是的最小值，
如图，作关于的对称点，连接交于，则即可满足最小，
，
，，
．
的最小值是．
故答案：．

【点睛】本题主要考查了轴对称的性质，最短路径问题，同时也利用了正方形的性质，有一定的综合性．
13．如图，正方形ABCD的边长是8，点E、F分别是边AB、BC上的点，且，若点P是对角线AC上一个动点，则的最小值是______．

【答案】10
【分析】过E作AC的垂线交AD于点E′，连接E′F交AC于点P，过F作AD的垂线交AD于点G，则E′F即为所求，根据正方形的性质可知△AEE′是等腰三角形，AE′=1，GD=CF=1，由AD=10即可求出GE′的长，再由勾股定理即可求出E′F的长．
【详解】解：过E作AC的垂线交AD于点E′，连接E′F交AC于点P，过F作AD的垂线交AD于点G，

∵四边形ABCD是正方形，
∴AC是正方形ABCD的一条对称轴，
∴点E、E′关于AC对称，
∴PE=PE′，
∴PE +PF的最小值是E′F的长，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAC=∠BAC=45°，
∵EE′⊥AC，
∴△AEE′是等腰三角形，
∴AE=AE′=3，
∵GF⊥AD，
∴GD=CF=1，
∴GE′=8-GD-AE′=8-1-1=6，
在Rt△GFE′中，GE′=6，GF=8，
∴E′F==10．
故答案为：10．
【点睛】本题考查的是最短路线问题及正方形的性质，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．
14．如图，在正方形中，，与交于点O，N是的中点，点M在边上，且，P为对角线上一点，则的最大值为_____________．

【答案】1
【分析】作N关于BD的对称点E，连接PE，ME，过点M作MQ⊥AC，垂足为Q，可判定当点P，E，M三点共线时，PM-PE的值最大，为ME 的长，求出CE，CQ，得到EQ，利用垂直平分线的性质得到EM=CM=1即可．
【详解】解：如图：作N关于BD的对称点E，连接PE，ME，过点M作MQ⊥AC，垂足为Q，

∴PN=PE，
则PM-PN=PM-PE，
∴当点P，E，M三点共线时，PM-PE的值最大，为ME 的长，
在正方形ABCD中，AB=4，
∴AC=，
∵N是AO的中点，点N和E关于BD成轴对称，
∴点E是OC中点，
∴CE=AC=，
∵BC=4，BM=3，
∴CM=1=BC，
∵∠BCQ=45°，
∴△MCQ为等腰直角三角形，
∴CQ==，
∴EQ=，
∴CM=EM=1，
即PM-PN的最大值为1，
故答案为：1．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质以及最短路线问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
15．如图，正方形ABCD边长为4，P是正方形内一动点，且，则的最小值是______．

【答案】
【分析】过点P作，由可得，得PE=1，PF=3，过点P作MN//AB交AD于点M，交BC于点N，可得出四边形PFCN是矩形，得CN=PF=3，延长CB到K，使NK=CN=3，连接DK，根据两点之间线段最短故可知的最小值为DK的长，根据勾股定理可求解
【详解】解：如图，过点P作，交AB于点E，交CD于点F，

∵四边形是正方形，
∴，，，，
∴
∵，，
∴，
∴
∵
∴，
∴，，
过点P作MN//AB交AD于点M，交BC于点N，则，
∴∠
∴四边形是矩形，
∴四边形是矩形，
∴，
∵∠，
延长CB到K，使NK=CN=3，则有：
连接DK，当在一条直线上时，，当不在一条直线上时，，
故当共线时，
又N是CK的中点，，
∴PN是CK的垂直平分线，
∴CP=PK，
所以的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查正方形的性质，矩形的判断与性质，勾股定理以及线段的垂直平分线的判断与性质等知识，掌握正方形的性质，正确做出辅助线是解题的关键．
16．如图，正方形ABCD中，，点E为对角线AC上的动点，以DE为边作正方形DEFG，点H是CD上一点，且，连接GH，则GH的最小值为______．

【答案】
【分析】连接．证明，推出，推出点的运动轨迹是射线，根据垂线段最短可知，当时，的值最小．
【详解】解：连接．
四边形是正方形，四边形是正方形，
，，，，
，
，
，
点的运动轨迹是射线，
根据垂线段最短可知，当时，的值最小，
，
，
此时
，
即的最小值为．
故答案为：．

【点睛】此题考查正方形的性质，全等三角形三角形的判定与性质，垂线段最短，解决本题的关键得到，证明出点的运动轨迹是射线．
17．如图，正方形ABCD，边长为7，点E在边BC上，，点F是AB边上一动点，连接EF，以EF为边向右作等边，连接CG，线段CG的最小值是___________．

【答案】
【分析】把△EBF绕点E顺时针旋转60°得到△EHG，如图，延长HG交CD于M，过C点作CQ⊥HM，过E点作EP⊥CQ，根据旋转的性质得∠BEH＝60°，EB＝EH＝2，∠EHG＝∠EBF＝90°，易得四边形HEPQ为矩形，则PQ＝EH＝2，∠HEP＝90°，接着计算出CP，从而得到CQ的长，然后利用垂线段最短得到CG的最小值．
【详解】解：∵△EFG为等边三角形，
∴EF＝EG，
把△EBF绕点E顺时针旋转60°得到△EHG，
如图，延长HG交CD于M，过C点作CQ⊥HM，过E点作EP⊥CQ，
∴∠BEH＝60°，EB＝EH＝2，∠EHG＝∠EBF＝90°，
即G点在过H点且垂直于EH的线段HM上，易得四边形HEPQ为矩形，
∴PQ＝EH＝2，∠HEP＝90°，
∵∠CEP＝90°−∠BEH＝30°，
∴CP＝CE＝＝，
∴CQ＝CP＋PQ＝＋2＝．
∴CG的最小值为．
故答案为．

【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等，也考查了等边三角形的判定与性质，比较综合．
18．如图，AC是边长为2的正方形ABCD的对角线，P为BC边上一动点，E，F为AB，AC的中点．当PE+PF的值最小时，CP的值为________．

【答案】
【分析】作点E关于BC的对称点Q，连接FQ，交BC于点P，此时PE+PF最小，再利用中位线的性质求解即可．
【详解】如图，作点E关于BC的对称点Q，连接FQ，交BC于点P，此时PE+PF最小，

∵E，F为AB，AC的中点，BC=2，
∴，，
∵B为EQ中点，，
∴BP为的中位线，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了最短路线问题-将军饮马模型，中位线的性质，熟练掌握将军饮马模型的作法是解题的关键．
19．如图，已知正方形的边长为，点是边上一动点，连接，将绕点顺时针旋转到连接，则的最小值是_____．

【答案】
【分析】如图所示，根据题意构造出△AED和△GFE全等，分析出点F的轨迹，然后根据D、F、C三点共线时求出最小值即可．
【详解】解：连接BF，过点F作FG⊥AB交AB延长线于点G，

∵将ED绕点E顺时针旋转90°到EF，
∴EF⊥DE，且EF＝DE，
∵，，
∴∠EDA＝∠FEG，
∴在△AED和△GFE中，

∴△AED≌△GFE（AAS），
∴FG＝AE，，
又∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴BF是∠CBC′的角平分线，
即F点在∠CBC′的角平分线上运动，
过点C作BF的对称点，则
∴C点在AB的延长线上，是等腰直角三角形，
∴当D、F、C三点共线时，DF+CF＝最小，
∴在中，AD＝4，，
∴，
∴DF+CF的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，轴对称求最短路径，能够将线段的和通过轴对称转化为共线线段是解题的关键．
20．如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是_____．

【答案】
【分析】分别作的中点连接，点在上运动，当时，有最小值，证明即可求得的最小值．
【详解】分别作的中点连接
P为DF中点
当点与点重合时，点与点重合，
当点与点重合时，点与点重合，
点在上运动
当时，有最小值

四边形是矩形,AB＝4，AD＝2


为的中点，为的中点
,
E为AB的中点







是等边三角形











在与中

（AAS）

故答案为
【点睛】本题考查了矩形的性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质，等边三角形的性质，正确的作出图形并证明是解题的关键．
21．如图，在正方形ABCD中，AB=4，AC与BD相交于点O，M是AO的中点，P，Q为对角线BD上的两点，若PQ=，则PM+CQ的最小值为 ___．

【答案】
【分析】如图，取AD的中点T，连接MT，CT交BD于点Q，此时MP+CQ的值最小，证明四边形PQTM是平行四边形，得到PM=TQ，可推出PM+CQ=CT，利用勾股定理求出CT即可．
【详解】解：如图，取AD的中点T，连接MT，CT交BD于点Q，此时MP+CQ的值最小．

∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD=4，
∴AC=BD=，
∴OD=OB=OA=OC=，
∵AM=OM，AT=DT，
∴MT=OD=，
∴MT=PQ=，
∵MT∥PQ，
∴四边形PQTM是平行四边形，
∴PM=TQ，
∴PM+CQ=TQ+CQ=CT，
∵∠CMT=90°，MT=，CM=，
∴CT=，
故答案为：．
【点睛】本题考查正方形的性质，勾股定理，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行四边形解决问题，属于中考常考题型．
22．如图，正方形ABCD的边长为4，∠DAC的平分线交DC于点E．若点P、Q分别是AD和AE上的动点，则DQ＋PQ的最小值是________．

【答案】2
【分析】过点D作AE的垂线交AE于点F，交AC于D′，再过D′作D′P′⊥AD，由角平分线的性质可得出D′是D关于AE的对称点，进而可知D′P′ 即为DQ+PQ的最小值．
【详解】解：如图，过点D作AE的垂线交AE于点F，交AC于点D′，再过点D′作D′P'⊥AD于点P'，
∵DD′⊥AE，
∴∠AFD＝∠AFD′，
∵AF＝AF，∠DAE＝∠CAE，
∴△ADF≌△AD′F，
∴AD′＝AD＝4，
∵点D′与点D关于AE对称，
∴QD＝QD′，
∴DQ＋PQ＝QD′＋PQ＝PD′，
∴D′P'的长即为DQ＋PQ的最小值，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAD′＝45°，
∴AP'＝P'D′，
∴在Rt△AP'D′中，P'D′2＋AP'2＝AD′2，即2D'P'2＝16，
∴P'D′＝2，即DQ＋PQ的最小值为2．

故答案为：2.
【点睛】本题考查的是轴对称——最短路线问题，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．