八年级数学下册专题27 分式方程和不等式组结合求参数

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专题27 分式方程和不等式组结合求参数
【例题讲解】
关于的方程的解为正整数，且关于的不等式组有解且最多有个整数解，
数解，则满足条件的所有整数的值为_______．
解：分式方程去分母得：8﹣4x＝ax﹣x，解得：x＝，
由分式方程解为正整数，得到a＋3＝1，2，4，8，解得：a＝﹣2，﹣1，1，5，
又∵x≠2，∴a≠1，∴a＝﹣2，﹣1，5，
不等式组整理得：，解得：a≤x＜5，
由不等式组有解且最多有7个整数解，得到整数解为4，3，2，1，0，﹣1，﹣2，
∴﹣3＜a＜5，∴整数解为4，3，2，1，0，﹣1，﹣2，
则满足题意a的值为﹣2，﹣1， 故答案为：﹣2，﹣1．
【综合解答】
1．若关于的一元一次不等式组的解集为，且关于的分式方程有非正整数解，则符合条件的所有整数的和为（    ）
A． B． C．1 D．
2．若关于x的不等式组有解，且关于x的分式方程有非负整数解，则满足条件的所有整数m的和为（   ）
A．9 B．10 C．11 D．12
3．已知关于的分式方程的解为整数，且关于的不等式组有解且至多有2个整数解，则符合条件的整数有（    ）
A．2 B．3 C．4 D．5
4．若整数a使得关于x的不等式组解集为，使得关于y的分式方程＝+2的解为正数，则所有满足条件的整数a的和为（    ）
A．﹣21 B．﹣20 C．﹣17 D．﹣16
5．若关于x的分式方程的解为非负数，且关于y的不等式组有3个整数解，则所有满足条件的整数a的值之和为（    ）
A．19 B．22 C．30 D．33
6．若实数m使得关于x的一元一次不等式组有且只有4个整数解，且关于y的分式方程的解为整数，则符合条件的所有整数m的和为（    ）
A．-7 B．-10 C．-12 D．-15
7．若关于x的不等式组有解，且关于y的分式方程有正整数解，则满足条件的所有整数a的和为（    ）
A．2 B．5 C．6 D．9
8．关于x的分式方程解为非负数，关于x的不等式组至少有四个整数解，则满足条件的所有整数a的积为（    ）
A．3 B．2 C．6 D．0
9．若关于的一元一次不等式组的解集恰好有3个负整数解，且关于的分式方程有非负整数解，则符合条件的所有整数的和为（    ）
A．6 B．9 C． D．2
10．若整数a使得关于x的分式方程有正整数解，且使关于y的不等式组至少有4个整数解，那么符合条件的所有整数a的和为（    ）．
A．13 B．9 C．3 D．10
11．若关于x的不等式组有且仅有3个整数解，且关于y的分式方程＝﹣2的解是整数，则所有满足条件的整数m的值之和是（　　）
A．5 B．6 C．9 D．10
12．若关于的不等式组有且仅有3个整数解，且关于的分式方程的解是正数，则符合条件的所有整数的和为（    ）
A．6 B．8 C．9 D．10
13．若关于x的不等式组恰有3个整数解，且关于y的分式方程有非负整数解，则符合条件的所有整数a的和是（  ）
A．1 B．3 C．4 D．5
14．关于x的分式方程的解为正数，且使关于y的一元一次不等式组有解，则所有满足条件的整数a的值之和是（    ）
A． B． C． D．
15．若关于的不等式组有且只有五个整数解，且关于的分式方程的解为非负整数，则符合条件的所有整数的和为（  ）
A． B． C． D．
16．若实数a使关于x的不等式组有解且最多有5个整数解，且使关于y的方程＝1的解为整数，则符合条件的所有整数a的和是（    ）
A．﹣12 B．﹣14 C．﹣16 D．﹣21
17．若关于x的不等式组无解，且关于y的分式方程有非负整数解，则满足条件的所有整数a的和为（    ）
A．8 B．10 C．16 D．18
18．若整数a使关于x的分式方程有非负整数解，且使关于y的不等式组无解，则所有满足条件的a的和为（    ）
A．6 B．2 C． D．
19．若整数使得关于的方程的解为整数，且关于的不等式组有偶数解且至多有3个偶数解，则所有符合条件的整数的和为（    ）
A．– 12 B．– 9 C．12 D．15
20．若数使关于的分式方程有非负整数解，且使关于的不等式组至少有3个整数解，则符合条件的所有整数的和是（    ）
A． B． C．0 D．2
21．若实数a使得关于x的分式方程＝﹣2的解为负数，且使得关于y的不等式组，至少有3个整数解，则符合条件的所有整数a的和为（　　）
A．6 B．5 C．4 D．1
22．关于的不等式组有四个整数解，且关于的分式方程有整数解，那么所有满足条件的整数的和（    ）
A．18 B．12 C．17 D．30
23．已知关于的分式方程的解为正数，关于的不等式组无解，则所有满足条件的整数的和是(   )
A． B． C． D．
24．若关于的不等式组有解，且关于的分式方程的解为非负数，则满足条件的整数的值的和为（  ）
A． B． C． D．
25．若实数a使关于x的不等式组有且只有4个整数解，且使关于x的方程＝﹣2的解为正数，则符合条件的所有整数a的和为（　　）
A．7 B．10 C．12 D．1
26．若整数m是不等式组的解，且使关于x的分式方程的解为正数，则所有满足条件的整数m的和是(　　)
A．-2 B．0 C．2 D．4
27．如果关于的不等式组的解集为，且关于的分式方程有非负整数解，则符合条件的的值的和是（    ）
A． B． C． D．
28．若整数a使关于x的分式方程＝2有整数解，且使关于x的不等式组至少有4个整数解，则满足条件的所有整数a的和是（　　）
A．﹣14 B．﹣17 C．﹣20 D．﹣23

29．若关于x的一元一次不等式组恰有3个整数解，且使关于的分式方程有正整数解，则所有满足条件的整数的值之和是_______．
答案与解析
【例题讲解】
关于的方程的解为正整数，且关于的不等式组有解且最多有个整数解，
数解，则满足条件的所有整数的值为_______．
解：分式方程去分母得：8﹣4x＝ax﹣x，解得：x＝，
由分式方程解为正整数，得到a＋3＝1，2，4，8，解得：a＝﹣2，﹣1，1，5，
又∵x≠2，∴a≠1，∴a＝﹣2，﹣1，5，
不等式组整理得：，解得：a≤x＜5，
由不等式组有解且最多有7个整数解，得到整数解为4，3，2，1，0，﹣1，﹣2，
∴﹣3＜a＜5，∴整数解为4，3，2，1，0，﹣1，﹣2，
则满足题意a的值为﹣2，﹣1， 故答案为：﹣2，﹣1．
【综合解答】
1．若关于的一元一次不等式组的解集为，且关于的分式方程有非正整数解，则符合条件的所有整数的和为（    ）
A． B． C．1 D．
【答案】A
【分析】先计算不等式的解集，再解分式方程，联合确定a的值，最后求和．
【详解】因为中第一个不等式的解集为，第二个不等式的解集为，且不等式组的解集为，
所以，
解得；
因为，
解得，
因为关于的分式方程有非正整数解，且方程有增根，
所以且，
解得且，
所以且，
因为非正整数解，
所以a的值为，
所以，
故选A．
【点睛】本题考查了不等式组的解集，分式方程的特殊解，增根，熟练掌握解不等式组，解分式方程是解题的关键．
2．若关于x的不等式组有解，且关于x的分式方程有非负整数解，则满足条件的所有整数m的和为（   ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】A
【分析】先根据不等式组有解集求出m的取值范围，再根据分式方程有非负整数解求出符合条件的m值，再求和即可．
【详解】解不等式组，得．
因为该不等式组有解，所以，
即．
由分式方程有非负整数解，
得，且.
当时，；
当时，（不符合题意）；
当时，（不符合题意）；
当时，；
当时，（不符合题意）；
当时，（不符合题意）；
当时，（不符合题意）；
当，时，不符合题意；
当时，；
当时不符合题意．
故符合题意的m的值有7，4，－2，
所以．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组的解集，解含字母系数的分式方程，注意：当分式方程产生增根时不符合题意．
3．已知关于的分式方程的解为整数，且关于的不等式组有解且至多有2个整数解，则符合条件的整数有（    ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】先解分式方程，再根据分式方程的解为整数求出的范围，然后解不等式组，最后根据不等式组至多有2个整数解确定的值即可解答．
【详解】解：，
，
∴，
∴，
∵分式方程的解为整数，
∴为整数，且，
∴，
∵，
解不等式①，得，
解不等式②，得，
∴该不等式的解集为
又∵该不等式组有解且至多有2个整数解，
∴，
∴，
综上所述，符合条件的整数的值为，
共计4个．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了分式方程的解以及一元一次不等式的整数解，熟练掌握相关知识是解题关键．
4．若整数a使得关于x的不等式组解集为，使得关于y的分式方程＝+2的解为正数，则所有满足条件的整数a的和为（    ）
A．﹣21 B．﹣20 C．﹣17 D．﹣16
【答案】D
【分析】首先解不等式组并根据不等式组的解集，确定a的取值范围，再根据分式方程的解是正数确定a的取值范围，注意排除增根的情况，最后两个a的取值范围合并，就可以算出所有整数a的和．
【详解】解：解不等式，得，
解不等式，得，
∵该不等式组的解集为，
∴，解得，
∵关于y的分式方程＝+2的解为正数，
∴，
∴且，解得且，
∴a的取值范围为且，
∴符合条件的整数a有：-6、-5、-3、-2、-1、0、1，
所有整数a相加的和为：．
故选：D．
【点睛】本题考查含参的一元一次不等式组和含参的分式方程的解，注意含参的不等式的解法和增根的情况是解决本题的关键．
5．若关于x的分式方程的解为非负数，且关于y的不等式组有3个整数解，则所有满足条件的整数a的值之和为（    ）
A．19 B．22 C．30 D．33
【答案】B
【分析】先通过分式方程求出a的一个取值范围，再通过不等式组的解集求出a的另一个取值范围，两个范围结合起来就得到a的整数解．
【详解】解：解分式方程可得：，且
∵解为非负数，
∴得：，即且，
解不等式组，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为：，
∵有3个整数解，
∴，3，4，即
利用不等式性质，将其两边先同时减1，再乘以3，可得，
综上所述：a的整数值可以取10、12，
∴其和为22，
故选：B
【点睛】本题考查含参数的分式方程和含参数的不等式组，掌握由解集倒推参数范围是解本题关键．
6．若实数m使得关于x的一元一次不等式组有且只有4个整数解，且关于y的分式方程的解为整数，则符合条件的所有整数m的和为（    ）
A．-7 B．-10 C．-12 D．-15
【答案】B
【分析】解不等式组求出解集，根据不等式组只有4个整数解得出m的取值范围，解分式方程得，由方程的解为整数且分式有意义得出只可以取奇数且，综合以上要求，找出符合条件的值相加即可．
【详解】解：解不等式，得，
解不等式，得，
∴不等式组的解集为：，
∵不等式组有且只有4个整数解，
∴，
∴，
将分式方程变形整理得，，
∵，
，
，
∴分式方程的解为：，
∵分式方程的解为整数，
∴只可以取奇数，
由，可得，或，
∴符合条件的所有整数m的和为，
故选B．
【点睛】本题考查解一元一次不等式组、分式方程的解，有一定难度，要注意分式方程的解要满足分母不分0的情况．
7．若关于x的不等式组有解，且关于y的分式方程有正整数解，则满足条件的所有整数a的和为（    ）
A．2 B．5 C．6 D．9
【答案】C
【分析】先解一元一次不等式组，求出a的范围，再解分式方程，根据分式方程有整数解确定a的值，然后进行计算即可解答．
【详解】
解不等式①得：x≤2，
解不等式②得：，
∵不等式组有解，
∴，
∴，
解分式方程得：
解得：
∵分式方程有正整数解，且
∴、3
∴满足条件的所有整数a为2、4
∴满足条件的所有整数a的和为2+4=6
故选：C
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解，分式方程的解，熟练掌握解一元一次不等式组，解分式方程是解题的关键．需要随时考虑分式的分母不为0，易错点是．
8．关于x的分式方程解为非负数，关于x的不等式组至少有四个整数解，则满足条件的所有整数a的积为（    ）
A．3 B．2 C．6 D．0
【答案】B
【分析】由分式方程的解可得且，，再由不等式组的解集可得，则可求满足条件的的整数有1，2，即可求解．
【详解】解：解分式方程得，
，且，
且，，
解不等式组得，
不等式至少有四个整数解，
，
解得，
满足条件的的整数有1，2，
满足条件的所有整数的积为2，
故选：B．
【点睛】本题考查含参分式方程的解、含参一元一次不等式组的解，熟练掌握一元一次不等式组的解法，分式方程的解法，注意增根的情况是解题的关键．
9．若关于的一元一次不等式组的解集恰好有3个负整数解，且关于的分式方程有非负整数解，则符合条件的所有整数的和为（    ）
A．6 B．9 C． D．2
【答案】A
【分析】解一元一次不等式组求得解集，根据题意可求得a的取值范围，解分式方程得方程的解，根据分式方程的解为非负整数即可确定所有的a值，从而可求得其和．
【详解】
解不等式①得：；解不等式②得：
由题意知不等式组的解集为：
∵恰好有三个负整数解
∴
解得：
解分式方程得：
∵分式方程有非负整数解
∴a+1是4的非负整数倍
∵
∴
∴a+1=0或4或8
即或3或7，
即

综上：或7，
则
故选：A
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组、解分式方程等知识，是方程与不等式的综合，根据不等式组有3个非负整数解，从而得出关于a的不等式是本题的难点与关键．
10．若整数a使得关于x的分式方程有正整数解，且使关于y的不等式组至少有4个整数解，那么符合条件的所有整数a的和为（    ）．
A．13 B．9 C．3 D．10
【答案】B
【分析】解不等式组和分式方程得出关于y的范围及x的值，根据不等式组有解和分式方程的解为正整数解得出a的范围，继而可得整数a的个数．
【详解】解：解不等式组
由①得：y0，
解得：m