2022-2023学年北京市西城区中考数学专项突破仿真模拟卷（4月5月）含解析

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2022-2023学年北京市西城区中考数学专项突破仿真模拟卷
（4月）
一、选一选（本大题共12小题，每小题3分，共36分）每小题都给出标号为A、B、C、D的四个选项，其中只有一个是正确的．请考生用2B铅笔在答题卡上将选定的答案标号涂黑．
1. ﹣8的相反数是（　　）
A. 8 B. C. D. －8
2. 具有绿色低碳、方便快捷、经济环保等特点共享单车行业近几年蓬勃发展，我国2017年全年共享单车用户达6170万人. 将数据“6170万”用科学记数法表示为（ ）
A B. C. D.
3. 下列运算结果正确的是（　　）
A. 2a+3b=5ab B. （a﹣2）2=a2﹣4 C. a3•（﹣2a）2=4a5 D. （a2）3=a5
4. 若一个几何体的主视图、俯视图、左视图都是半径相等的圆，则这个几何体是（　　）
A. 球体 B. 圆锥 C. 圆柱 D. 正方体
5. 解分式方程+1=0，正确的结果是（ ）
A. x=0 B. x=1 C. x=2 D. 无解
6. 平面直角坐标系中，已知□ABCD三个顶点坐标分别是A（m，n），B ( 2，－l )，C（－m，－n），则点D的坐标是（ ）
A. （－2 ，l ) B. （－2，－l ) C. （－1，－2 ) D ．（－1，2 )
7. 在–1，1，2这三个数中任意抽取两个数，，则函数的图象没有第二象限的概率为（ ）
A B. C. D.
8. 能说明命题“如果是任意实数，那么”是假命题的一个反例可以是（ ）
A. B. C. D.
9. 如图，已知AB是⊙O的直径，⊙O的切线CD与AB的延长线交于点D，点C为切点，联接AC，若∠A＝26°，则∠D的度数是（ ）

A. 26° B. 38° C. 42° D. 64°
10. 如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，ED∥BC，若AB=4，AD=2，则△AED的周长是（ ）

A. 6 B. 7 C. 8 D. 10
11. 如图，在菱形ABCD中，点E是BC边的中点，动点M在CD边上运动，以EM为折痕将△CEM折叠得到△PEM，联接PA，若AB=4，∠BAD＝60°，则PA的最小值是（ ）

A. B. 2 C. D.
12. 如图，已知二次函数的图象与y轴的正半轴交于点A，其顶点B在轴的负半轴上，且OA=OB，对于下列结论：①≥0；②；③关于的方程无实数根；④的最小值为3.其中正确结论的个数为（ ）

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
二、填 空 题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13. 函数y＝中，自变量x的取值范围是______________
14. 因式分解：______________．
15. 如图，已知直线AB与CD相交于点O，OA平分∠COE，若∠DOE＝70°，则∠BOD＝_____．

16. 已知一组从小到大排列的数据:1，，，2，6，10的平均数与中位数都是5，则这组数据的众数是______________．
17. 如图，在扇形AOB中，∠AOB=90°，以点A为圆心，OA的长为半径作交于点C，若OA=2，则阴影部分的面积为_____．

18. （2016湖北省孝感市）如图示我国汉代数学家赵爽在注解《周脾算经》时给出的“赵爽弦图”，图中的四个直角三角形是全等的，如果大正方形ABCD的面积是小正方形EFGH面积的13倍，那么tan∠ADE的值为_________．

三、解 答 题（本大题共8小题，满分66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19. （1）计算：；
（2）解没有等式组：，并将解集在数轴上表示出来．
20. 根据要求尺规作图，并在图中标明相应字母 (保留作图痕迹，没有写作法）.
如图，已知△ABC中，AB=AC，BD是BA边的延长线．
（1）作∠DAC的平分线AM；
（2）作AC边的垂直平分线，与AM交于点E，与BC边交于点F；
（3）联接AF，则线段AE与AF的数量关系为 ．

21. 如图，已知直线与反比例函数的图象交于点A(2，）；将直线向下平移后与反比例函数的图象交于点B，且△AOB的面积为3.
（1）求的值；
（2）求平移后所得直线函数表达式．

22. 湖南广益实验中学为了解中学数学课堂中学生参与情况，并按“主动质疑、思考、专注听讲、讲解题目”四个顶目进行评价．检测小组随机抽查部分学校若干名学生，并将抽查学生的课堂参与情况绘制成如图所示的扇形统计图和条形统计图(均没有完整).请根据统计图中的信息解答下列问题：
(1)本次抽查的样本容量是__________；
(2)在扇形统计图中，“主动质疑”对应的圆心角为__________度；
(3)将条形统计图补充完整；
(4)如果湖南广益实验中学学生共有名，那么在课堂中能“思考“的学生约有多少人？

23. 小强在某超市同时购买A，B两种商品共三次，仅有次超市将A，B两种商品同时按折价格出售，其余两次均按标价出售. 小强三次购买A，B商品的数量和费用如下表所示：

A商品的数量(个）
B商品的数量(个）
购买总费用(元）
次购买
8
6
930
第二次购买
6
5
980
第三次购买
3
8
1040
（1）求 A，B商品的标价；
（2）求的值．
24. 如图，已知△ABC是⊙O的内接三角形，AB为⊙O的直径，OD⊥AB于点O，且∠ODC=2∠A．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若AB=6，，求CD的长．

25. 如图，抛物线与轴交于A，B两点(点B在点A的左侧），与y轴交于点C，顶点为D，其对称轴与轴交于点E，联接AD，OD．

（1）求顶点D的坐标（用含的式子表示）；
（2）若OD⊥AD，求该抛物线的函数表达式；
（3）在（2）的条件下，设动点P在对称轴左侧该抛物线上，PA与对称轴交于点M，若△AME与△OAD相似，求点P的坐标．
26. 已知：△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，AB=，将AC边所在直线向右平移，所得直线MN与BC边的延长线相交于点M，点D在AC边上，CD=CM，过点D的直线平分∠BDC，与BC交于点E，与直线MN交于点N，联接AM．
（1）若CM=，则AM= ；
（2）如图①，若点E是BM的中点，求证：MN=AM；
（3）如图②，若点N落在BA的延长线上，求AM的长．





























2022-2023学年北京市西城区中考数学专项突破仿真模拟卷
（4月）

一、选一选（本大题共12小题，每小题3分，共36分）每小题都给出标号为A、B、C、D的四个选项，其中只有一个是正确的．请考生用2B铅笔在答题卡上将选定的答案标号涂黑．
1. ﹣8的相反数是（　　）
A. 8 B. C. D. －8
【正确答案】A

【分析】根据相反数的概念：只有符号没有同的两个数互为相反数可得答案．
【详解】解：-8的相反数是8，
故选A．
此题主要考查了相反数，关键是掌握相反数的定义．
2. 具有绿色低碳、方便快捷、经济环保等特点的共享单车行业近几年蓬勃发展，我国2017年全年共享单车用户达6170万人. 将数据“6170万”用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C

【详解】分析：科学记数法是指：，且，n为原数的整数位数减一，n为原数的整数位数减一．
详解：6170万=61700000=6.17×，故选C．
点睛：本题主要考查的就是利用科学记数法表示较大的数，属于基础题型．解答这个问题的关键就是要明确科学记数法的表示方法．
3. 下列运算结果正确的是（　　）
A. 2a+3b=5ab B. （a﹣2）2=a2﹣4 C. a3•（﹣2a）2=4a5 D. （a2）3=a5
【正确答案】C

【分析】根据合并同类项法则，完全平方公式，幂的乘方和积的乘方，单项式乘以单项式分别求出每个式子的值，再判断即可．
【详解】解：A、2a和3b没有能合并，故本选项没有符合题意；
B、结果是a2-4a+4，故本选项没有符合题意；
C、结果是4a5，故本选项符合题意；
D、结果是a6，故本选项没有符合题意；
故选：C．
本题考查了合并同类项法则，幂的乘方和积的乘方，完全平方公式，单项式乘以单项式等知识点，能正确根据法则求出每个式子的值是解此题的关键．
4. 若一个几何体的主视图、俯视图、左视图都是半径相等的圆，则这个几何体是（　　）
A. 球体 B. 圆锥 C. 圆柱 D. 正方体
【正确答案】A

【分析】利用三视图都是圆，则可得出几何体的形状．
【详解】主视图、俯视图和左视图都是圆的几何体是球，
故选A．
本题考查了由三视图确定几何体的形状，熟悉常见几何体的三视图是解题的关键.
5. 解分式方程+1=0，正确的结果是（ ）
A. x=0 B. x=1 C. x=2 D. 无解
【正确答案】A

【分析】先去分母化为整式方程,再求解即可.
【详解】+1=0，
1+x-1=0，
x=0，
经检验：x=0是原方程的根，
故选A.
考点：解分式方程.
6. 平面直角坐标系中，已知□ABCD的三个顶点坐标分别是A（m，n），B ( 2，－l )，C（－m，－n），则点D的坐标是（ ）
A. （－2 ，l ) B. （－2，－l ) C. （－1，－2 ) D ．（－1，2 )
【正确答案】A

【详解】试题分析：∵平行四边形ABCD是对称图形，对称是对角线的交点，而A、C关于原点对称，故B、D也关于原点对称∴D（－2 ，l ）．故选A．
考点：平行四边形的性质；坐标与图形性质．

7. 在–1，1，2这三个数中任意抽取两个数，，则函数的图象没有第二象限的概率为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B

【详解】分析：
详解：根据题意可得共有6种情况：①k=－1，m=1；②k=1，m=－1；③k=－1，m=2；④k=2，m=－1；⑤k=1，m=2；⑥k=2，m=1；符合题意的有①和③，则P(没有第二象限)=，故选B．
点睛：本题主要考查的就是函数的图像与概率的计算法则，属于基础题型．解决这个问题的关键就是理解函数的图像．
8. 能说明命题“如果是任意实数，那么”是假命题的一个反例可以是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A

【详解】分析：当a＞0时，这是个真命题；当a≤0时，这是个假命题．是个假命题．
详解：当a=时，，则是个假命题，故选A．
点睛：本题主要考查的是二次根式的化简法则，属于基础题型．理解是解决这个问题的关键．
9. 如图，已知AB是⊙O的直径，⊙O的切线CD与AB的延长线交于点D，点C为切点，联接AC，若∠A＝26°，则∠D的度数是（ ）

A. 26° B. 38° C. 42° D. 64°
【正确答案】B

【详解】分析：连接OC，根据等腰三角形的性质得出∠COD的度数，根据切线的性质得出∠OCD的度数，根据三角形的内角和定理得出∠D的度数．
详解：连接OC，∵OA=OC，∠A=26°， ∴∠COD=26°×2=52°，
∵C为切点， ∴∠OCD=90°， ∴∠D=90°－52°=38°，故选B．
点睛：本题主要考查的是切线的性质，属于基础题型．解决这个问题的关键就是添加辅助线，将∠D放入直角三角形中．
10. 如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，ED∥BC，若AB=4，AD=2，则△AED的周长是（ ）

A. 6 B. 7 C. 8 D. 10
【正确答案】A

【分析】根据角平分线的性质以及平行线的性质得出△BDE为等腰三角形，然后将△ADE的周长转化为AB+AD得出答案．
【详解】∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC=∠ABD，
∵DE∥BC，
∴∠EDB=∠DBC，
∴∠EDB=∠EBD，
∴BE=DE，
∴=AE+DE+AD=AE+BE+AD=AB+AD=4+2=6，
故选A．
本题主要考查的是角平分线的性质以及平行线的性质，属于基础题型．解答这个问题的关键就是得出△BDE为等腰三角形．
11. 如图，在菱形ABCD中，点E是BC边的中点，动点M在CD边上运动，以EM为折痕将△CEM折叠得到△PEM，联接PA，若AB=4，∠BAD＝60°，则PA的最小值是（ ）

A. B. 2 C. D.
【正确答案】C

【详解】分析：当A、P、E三点共线的时候，AP的长度有最小值．
详解：连接AE，过A作BC的垂线交CB的延长线于M，易知∠ABM=60°，AB=4， ∴MB=2，AM=2，在Rt△AME中，，
∴AP的最小值为2，故选C．　
点睛：本题主要考查的是折叠的性质、两点之间线段最短的综合应用，难度在中等．解决这个问题的关键就是找出点P的位置．
12. 如图，已知二次函数的图象与y轴的正半轴交于点A，其顶点B在轴的负半轴上，且OA=OB，对于下列结论：①≥0；②；③关于的方程无实数根；④的最小值为3.其中正确结论的个数为（ ）

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【正确答案】D

【详解】分析： ①根据函数值恒为非负数得出答案；②根据OA=OB得出答案；③根据函数值为－3时得出答案；④根据x=－2时的函数值得出答案．
详解：①根据图像可得函数恒为非负数，则a－b+c≥0，故正确；②根据OA=OB可得：，则，则2ac－b=0，故正确；③当y=－3时与函数图像没有交点，则关于x的方程无实数根，故正确；④当x=－2时，4a－2b+c≥0，a+b+c≥3b－3a，a+b+c≥3(b－a)，故正确；则本题选D．
点睛：本题主要考查的是二次函数的图像与系数之间的关系，属于中等难度的题目．解决这个问题的关键就是要学会系数与图像的关系．
二、填 空 题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13. 函数y＝中，自变量x的取值范围是______________
【正确答案】x≥0且x≠1

【详解】试题分析：根据分式有意义的条件是分母没有为0；分析原函数式可得关系式x-1≠0，解可得答案．
试题解析：根据题意可得x-1≠0；
解得x≠1；
故答案为x≠1．
考点: 函数自变量的取值范围；分式有意义的条件．
14. 因式分解：______________．
【正确答案】2x（x-3）（x+3）

分析】首先提取公因式2x，然后再利用平方差公式进行因式分解．
详解】解：原式=2x()=2x(x+3)(x－3)．
故2x(x+3)(x－3)．
本题主要考查的因式分解，属于基础题型．因式分解的方法有：提取公因式、公式法以及十字相乘法等等，如果有公因式，每一个都要先提取公因式．
15. 如图，已知直线AB与CD相交于点O，OA平分∠COE，若∠DOE＝70°，则∠BOD＝_____．

【正确答案】55°

【详解】分析：首先根据平角的性质得出∠COE的度数，根据角平分线的性质得出∠AOC的度数，根据对顶角的性质得出答案．
详解：∵∠COE+∠DOE=180°，∠DOE=70°， ∴∠COE=110°，
∵OA平分∠COE， ∴∠AOC=110°÷2=55°， ∴∠BOD=∠AOC=55°．
点睛：本题主要考查的是角平分线的性质以及对顶角的性质，属于基础题型．在计算角度问题的时候，我们一定要找出很多的隐含条件，如：对顶角，邻补角等等．
16. 已知一组从小到大排列的数据:1，，，2，6，10的平均数与中位数都是5，则这组数据的众数是______________．
【正确答案】6

【分析】根据平均数和中位数列出方程组，从而得出关于x和y的二元方程组，从而得出答案．
【详解】解：根据题意可得：，
解得：，
∴这组数据为：1、3、4、6、6、10
∴这组数据的众数为6．
故6
本题主要考查的就是平均数、中位数与众数的定义，属于基础题型．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以这组数据的个数；中位数是指将数据按大小顺序排列，形成一个数列，居于数列中间位置的那个数据；众数是指在一组数据中，出现次数至多的数据．
17. 如图，在扇形AOB中，∠AOB=90°，以点A为圆心，OA的长为半径作交于点C，若OA=2，则阴影部分的面积为_____．

【正确答案】

【详解】连结OC、AC，

根据题意可得△OAC为等边三角形，可得扇形AOC和扇形OAC的面积相等，
因OA=2,可求得△AOC的面积为，
所以阴影部分面积为：扇形BOC的面积-（扇形OAC的面积-△AOC的面积）=.
本题考查了扇形的面积，熟练掌握面积公式是解题的关键.

18. （2016湖北省孝感市）如图示我国汉代数学家赵爽在注解《周脾算经》时给出的“赵爽弦图”，图中的四个直角三角形是全等的，如果大正方形ABCD的面积是小正方形EFGH面积的13倍，那么tan∠ADE的值为_________．

【正确答案】

【分析】小正方形EFGH面积是a2，则大正方形ABCD的面积是13a2，则小正方形EFGH边长是a，则大正方形ABCD的面积是，设AE=DH=CG=BF=x，利用勾股定理求出x，利用三角函数即可解答．
【详解】解：设小正方形EFGH面积是a2，则大正方形ABCD的面积是13a2，
∴小正方形EFGH边长是a，则大正方形ABCD的面积是，
∵图中的四个直角三角形是全等的，
∴AF=DE=CH=BG，AE=DH=CG=BF，
∴设AE=DH=CG=BF=x，
在Rt△AED中，根据勾股定理AD2=AE2+DE2，
即13a2=x2+（x+a）2
解得：x1=2a，x2=﹣3a（舍去），
∴AE=2a，DE=3a，
∴tan∠ADE=．
故答案为．
本题考查正方形性质，三角形全等的性质，勾股定理，解一元二次方程，锐角三角函数定义，掌握正方形性质，三角形全等的性质，勾股定理，一元二次方程的解法，锐角三角函数定义是解题关键．
三、解 答 题（本大题共8小题，满分66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19. （1）计算：；
（2）解没有等式组：，并将解集在数轴上表示出来．
【正确答案】（1）-8（2）x≤-2

【详解】分析：(1)、根据零次幂、负指数次幂、角的三角函数以及值的计算法则将各式进行展开，从而得出答案；(2)、首先分别求出每一个没有等式的解集，从而得出没有等式组的解，然后在数轴上表示出来．
详解：（1）原式=1-8-3×+-1 =-8
（2）解没有等式①得：x＜1， 解没有等式②得：x≤-2， ∴ 没有等式组的解集是x≤-2.
在数轴上表示
点睛：本题主要考查的就是实数的计算以及没有等式组的解法，属于基础题型．解集这个问题的关键就是要明白各种计算法则．
20. 根据要求尺规作图，并在图中标明相应字母 (保留作图痕迹，没有写作法）.
如图，已知△ABC中，AB=AC，BD是BA边的延长线．
（1）作∠DAC的平分线AM；
（2）作AC边的垂直平分线，与AM交于点E，与BC边交于点F；
（3）联接AF，则线段AE与AF的数量关系为 ．

【正确答案】答案见解析

【分析】(1)直接利用角平分线的作法得出答案；
(2)直接利用线段垂直平分线的作法得出答案；
(3)根据线段中垂线的性质得出答案．
【详解】(1) 如图所示：
(2)如图所示：

(3)AE=AF．
此题主要考查了复杂作图以及全等三角形的判定与性质等知识，属于基础题型．正确掌握基本作图方法是解题关键．
21. 如图，已知直线与反比例函数的图象交于点A(2，）；将直线向下平移后与反比例函数的图象交于点B，且△AOB的面积为3.
（1）求的值；
（2）求平移后所得直线的函数表达式．

【正确答案】（1）6（2）y=x=3

【详解】分析：(1)、根据直线解析式得出点A的坐标，然后根据点A的坐标得出反比例函数的解析式；(2)、设平移后的直线与y轴交于点C，联接AC，过点A作AH⊥y轴于H，根据三角形的面积得出OC的长度，然后将点C的坐标代入函数解析式得出答案．
详解：（1）∵点A(2，m)在直线上，∴，则A（2，3）；
又点A（2，3）在反比例函数的图象上， ∴ ，则k＝6；
（2）设平移后的直线与y轴交于点C，联接AC，过点A作AH⊥y轴于H，则AH＝2，
∵BC∥OA，∴， ∴，则OC＝3，
∵点C在y轴的负半轴上，∴C（0，－3）， 设直线BC的函数表达式为，
∴将C（0，－3）代入得：b＝-3，　 ∴平移后所得直线的函数表达式为.

点睛：本题主要考查的就是函数与反比例函数的图像与性质，难度中等．解答这个问题的时候我们要知道待定系数法求函数解析式以及平行的函数之间的关系．
22. 湖南广益实验中学为了解中学数学课堂中学生参与情况，并按“主动质疑、思考、专注听讲、讲解题目”四个顶目进行评价．检测小组随机抽查部分学校若干名学生，并将抽查学生的课堂参与情况绘制成如图所示的扇形统计图和条形统计图(均没有完整).请根据统计图中的信息解答下列问题：
(1)本次抽查的样本容量是__________；
(2)在扇形统计图中，“主动质疑”对应的圆心角为__________度；
(3)将条形统计图补充完整；
(4)如果湖南广益实验中学学生共有名，那么在课堂中能“思考“的学生约有多少人？

【正确答案】（1）560；（2）；（3）图略，见详解；（4）1800

【分析】（1）样本总数=专注听讲÷．

（2）主动质疑圆心角度数与圆周角的比值=主动质疑人数与样本总量之间的比值，则主动质疑人数÷样本总数×．
（3）在（1）中，把样本人数算出来后，分别减去主动质疑、思考、专注听讲的就是剩下讲解题目的人数，在根据人数画出条形图即可．
（4）先把本次抽抽查思考的人占得百分数算出来，再用新样本6000乘这个百分数即可．
【详解】（1）解：样本总数=224÷=560（人）．
（2）解：主动质疑人数所占圆心角度数为=84÷560×=．
（3）解：如下图所示,讲解题目人数=560-84-168-224=84（人）．

（4）解：思考人数占样本总数的百分比为=168÷560=．
全校思考的学生人数=6000×=1800（人）．
本题考查了数据分布图中的饼状图和条形图．注意等量关系：各个量与样本总量的比值和饼状图的圆心角与圆周角的比值是相等的．
23. 小强在某超市同时购买A，B两种商品共三次，仅有次超市将A，B两种商品同时按折价格出售，其余两次均按标价出售. 小强三次购买A，B商品的数量和费用如下表所示：

A商品的数量(个）
B商品的数量(个）
购买总费用(元）
次购买
8
6
930
第二次购买
6
5
980
第三次购买
3
8
1040
（1）求 A，B商品的标价；
（2）求的值．
【正确答案】（1）A、B商品标价分别是80元、100元（2）7.5

【详解】分析：(1)、设A、B商品的标价分别是x元、y元，根据第二和第三次购买列出方程组，从而得出答案；(3)、根据购买的数量及总价列出方程，从而得出答案．
详解：（1）设A、B商品的标价分别是x元、y元，
根据题意，得：， 解方程组，得：x=80，y=100，
答：A、B商品的标价分别是80元、100元.
(2) 根据题意，得：(80×8+100×6)×=930， ∴ m=7.5 .
点睛：本题主要考查的就是一元方程的应用以及二元方程组的应用，属于基础题型．对于应用题的问题，根据题意找出等量关系是解题的关键．
24. 如图，已知△ABC是⊙O的内接三角形，AB为⊙O的直径，OD⊥AB于点O，且∠ODC=2∠A．
（1）求证：CD是⊙O切线；
（2）若AB=6，，求CD的长．

【正确答案】（1）证明见解析（2）4

【详解】分析：(1)、连接OC，根据等腰三角形的性质得出∠BOC=2∠A，∠ODC=2∠A得出∠ODC=∠BOC，根据OD⊥AB得出∠ODC+∠COD=90°，即∠OCD=90°，从而得出答案；(2)、过点C作CH⊥AB于点H，根据圆周角的性质以及Rt△ABC的勾股定理得出BC的值，根据Rt△BCH的勾股定理得出BH、CH和OH的长度，然后根据△DOC和△OCH相似得出答案．
详解：(1)证明：如图，连接OC，
∵△ABC是⊙O的内接三角形，∴OA=OC，∴∠A=∠ACO， ∴∠BOC=2∠A.
又∵∠ODC=2∠A，∴∠ODC=∠BOC， ∵OD⊥AB，即∠BOC+∠COD=90°，∴∠ODC+∠COD=90°,
∴∠OCD=90°, 即CD⊥OC，又OC是⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线.
(2)如图，过点C作CH⊥AB于点H， ∵AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，∴∠ACB=90°,
又∠CBH＝∠ABC，∴∠BCH＝∠A， 在Rt△ABC中，，
∴，则，，
又在Rt△BCH中，，∴，
则，∴，， ∵OB＝OC＝3，∴，
又∵Rt△DOC∽Rt△OCH， ∴则 .

点睛：本题主要考查的是切线的判定，圆的基本性质以及三角形相似的应用，综合性比较强，难度在中等．解决这个问题就需要有很强的图形分析能力，将所求的线段转化到已知的三角形中，然后通过相似得出关系．
25. 如图，抛物线与轴交于A，B两点(点B在点A的左侧），与y轴交于点C，顶点为D，其对称轴与轴交于点E，联接AD，OD．

（1）求顶点D的坐标（用含的式子表示）；
（2）若OD⊥AD，求该抛物线的函数表达式；
（3）在（2）的条件下，设动点P在对称轴左侧该抛物线上，PA与对称轴交于点M，若△AME与△OAD相似，求点P的坐标．
【正确答案】（1）(4-4m)（2）（3）（0，）或（1，）

【详解】分析：(1)、将已知的二次函数进行配方，从而得出顶点坐标；(2)、将二次函数转化为交点式，从而得出点A和点B的坐标，根据勾股定理以及OD⊥AD得出等量关系，求出m的值；(3)、过点P作PH⊥x轴于点H，则△APH∽△AME，首先设出点P的坐标，根据△APH∽△AME∽△AOD和△APH∽△AME∽△OAD时分别得出答案．
详解：（1）∵， ∴顶点D的坐标为(4,-4ｍ).
（2）∵
∴点A（6，0），点B(2,0)，则OA＝6， ∵抛物线的对称轴为x＝4，∴点E（4，0），
则OE＝4，AE＝2， 又DE＝4ｍ，
∴由勾股定理得：， ，
又OD⊥AD，∴， 则，解得：，
∵m＞0，∴抛物线的函数表达式.
（3）如图，过点P作PH⊥x轴于点H，则△APH∽△AME，
在Rt△OAD中，， 设点P的坐标为，
当△APH∽△AME∽△AOD时，∵，
∴，即，
解得：x＝0，x＝6（舍去），∴点P的坐标为；
②△APH∽△AME∽△OAD时，∵， ∴，即，
解得：x＝1，x＝6（舍去），∴点P的坐标为；
综上所述，点P的坐标为或.

点睛：本题主要考查的是二次函数的性质以及三角形相似的分类讨论，综合性非常强，需要同学们要有非常强的分析能力．在解答这个问题的时候，对于二次函数的表达式要非常清楚，对于三角形的相似，一定要学会分类讨论．
26. 已知：△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，AB=，将AC边所在直线向右平移，所得直线MN与BC边的延长线相交于点M，点D在AC边上，CD=CM，过点D的直线平分∠BDC，与BC交于点E，与直线MN交于点N，联接AM．
（1）若CM=，则AM= ；
（2）如图①，若点E是BM的中点，求证：MN=AM；
（3）如图②，若点N落在BA的延长线上，求AM的长．

【正确答案】（1）（2）证明见解析（3）

【详解】分析：(1)、根据Rt△ACM的勾股定理得出AM的长度；(2)、①过点B作BF⊥BC与NE的延长线交于点F，首先证明△BEF≌△MEN，然后再证明Rt△BDC≌Rt△AMC，从而得出BD=AM，根据角平分线的性质以及平行线的性质得出∠BDF=∠F，从而得出答案；②过点D作DH⊥MN于点H，首先证明四边形CDHM是正方形，然后证明Rt△BDC≌Rt△AMC≌Rt△NDH，根据全等得出∠1＝∠2＝∠5＝30°，根据Rt△BDC的三角函数得出答案．
详解：（1）；
（2）证明：如图①，过点B作BF⊥BC与NE的延长线交于点F，
∵∠ACB=90°，MN∥AC，∴∠FBE=∠NME=90°， 又BE＝ME，∠BEF=∠MEN，
∴△BEF≌△MEN，∴BF＝MN， ∵CD＝CM，BC＝AC， ∴Rt△BDC≌Rt△AMC，∴BD＝AM，
∵NF平分∠BDC，∴∠BDF=∠FDC, 又由BF∥AC，得：∠F=∠FDC，
∴∠BDF=∠F，∴BD＝BF，∴MN=AM.
(3)如图②，过点D作DH⊥MN于点H，
∵MN∥AC，∠ACB=90°，CD＝CM，∴四边形CDHM是正方形，
又点N在BA的延长线上，∴△BNM∽△BAC， ∵AC＝BC，∴NM＝BN，
又MH＝CM＝DH，∴NH＝BC， ∴Rt△BDC≌Rt△AMC≌Rt△NDH， ∴BD＝AM＝ND，∠5＝∠6，
又∠1＝∠2，∠2＝∠6，∴∠1＝∠2＝∠5， ∵∠1+∠2+∠5＝90°，
∴∠1＝∠2＝∠5＝30°， 在Rt△ABC中，AC＝BC，AB=，∴AC＝BC＝4，
在Rt△BDC中， ∴AM＝ .

点睛：本题主要考查的是直角三角形的勾股定理以及三角形全等的判定与应用，综合性非常强．解答几何问题的时候，添加辅助线是一个非常重要的环节，同时也是非常难的一个环节，需要同学们没有断的去观察，去摸索．
























2022-2023学年北京市西城区中考数学专项突破仿真模拟卷
（5月）
　
一、选一选（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1. ﹣8的相反数是（　　）
A. 8 B. C. D. －8
2. 具有绿色低碳、方便快捷、经济环保等特点的共享单车行业近几年蓬勃发展，我国2017年全年共享单车用户达6170万人．将数据“6170万”用科学记数法表示为（　　）
A. 6.17×103 B. 6.17×105 C. 6.17×107 D. 6.17×109
3. 下列运算结果正确的是（　　）
A. 2a+3b=5ab B. （a﹣2）2=a2﹣4 C. a3•（﹣2a）2=4a5 D. （a2）3=a5
4. 若一个几何体主视图、俯视图、左视图都是半径相等的圆，则这个几何体是（　　）
A. 球体 B. 圆锥 C. 圆柱 D. 正方体
5. 解分式方程+1=0，正确的结果是（ ）
A. x=0 B. x=1 C. x=2 D. 无解
6. 平面直角坐标系中，已知□ABCD的三个顶点坐标分别是A（m，n），B ( 2，－l )，C（－m，－n），则点D的坐标是（ ）
A. （－2 ，l ) B. （－2，－l ) C. （－1，－2 ) D ．（－1，2 )
7. 在–1，1，2这三个数中任意抽取两个数，，则函数的图象没有第二象限的概率为（ ）
A. B. C. D.
8. 能说明命题“如果a是任意实数，那么＞﹣a”是假命题的一个反例可以是（　　）
A. a=﹣ B. a= C. a=1 D. a=
9. 如图，已知AB是⊙O的直径，⊙O的切线CD与AB的延长线交于点D，点C为切点，联接AC，若∠A＝26°，则∠D的度数是（ ）

A. 26° B. 38° C. 42° D. 64°
10. 如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，ED∥BC，若AB=4，AD=2，则△AED周长是（ ）

A. 6 B. 7 C. 8 D. 10
11. 如图，在菱形ABCD中，点E是BC边的中点，动点M在CD边上运动，以EM为折痕将△CEM折叠得到△PEM，联接PA，若AB＝4，∠BAD＝60°，则PA的最小值是( )

A B. 2 C. 2﹣2 D. 4
12. 如图，已知二次函数的图象与y轴的正半轴交于点A，其顶点B在轴的负半轴上，且OA=OB，对于下列结论：①≥0；②；③关于的方程无实数根；④的最小值为3.其中正确结论的个数为（ ）

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
二、填 空 题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13. 函数y＝中，自变量x的取值范围是______________
14. 因式分解：2m3﹣18m=_____．
15. 如图，已知直线AB与CD相交于点O，OA平分∠COE，若∠DOE＝70°，则∠BOD＝_____．

16. 已知一组从小到大排列的数据:1，，，2，6，10的平均数与中位数都是5，则这组数据的众数是______________．
17. 如图，在扇形AOB中，∠AOB=90°，以点A为圆心，OA的长为半径作交于点C，若OA=2，则阴影部分的面积为_____．

18. （2016湖北省孝感市）如图示我国汉代数学家赵爽在注解《周脾算经》时给出的“赵爽弦图”，图中的四个直角三角形是全等的，如果大正方形ABCD的面积是小正方形EFGH面积的13倍，那么tan∠ADE的值为_________．

三、解 答 题（本大题共8小题，满分61分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19. （1）计算：（﹣2018）0+（﹣）﹣3﹣3tan30°+|1﹣|；
（2）解没有等式组：并将解集在数轴上表示出来．
20. 根据要求尺规作图，并在图中标明相应字母 (保留作图痕迹，没有写作法）.
如图，已知△ABC中，AB=AC，BD是BA边的延长线．
（1）作∠DAC的平分线AM；
（2）作AC边的垂直平分线，与AM交于点E，与BC边交于点F；
（3）联接AF，则线段AE与AF的数量关系为 ．

21. 如图，已知直线y=x与反比例函数y=（x＞0）的图象交于点A（2，m）；将直线y=x向下平移后与反比例函数y=（x＞0）的图象交于点B，且△AOB的面积为3．
（1）求k的值；
（2）求平移后所得直线的函数表达式．

22. 湖南广益实验中学为了解中学数学课堂中学生参与情况，并按“主动质疑、思考、专注听讲、讲解题目”四个顶目进行评价．检测小组随机抽查部分学校若干名学生，并将抽查学生的课堂参与情况绘制成如图所示的扇形统计图和条形统计图(均没有完整).请根据统计图中的信息解答下列问题：
(1)本次抽查的样本容量是__________；
(2)在扇形统计图中，“主动质疑”对应的圆心角为__________度；
(3)将条形统计图补充完整；
(4)如果湖南广益实验中学学生共有名，那么在课堂中能“思考“的学生约有多少人？

23. 小强在某超市同时购买A，B两种商品共三次，仅有次超市将A，B两种商品同时按折价格出售，其余两次均按标价出售. 小强三次购买A，B商品的数量和费用如下表所示：

A商品的数量(个）
B商品的数量(个）
购买总费用(元）
次购买
8
6
930
第二次购买
6
5
980
第三次购买
3
8
1040
（1）求 A，B商品标价；
（2）求的值．
24. 如图，已知△ABC是⊙O的内接三角形，AB为⊙O的直径，OD⊥AB于点O，且∠ODC=2∠A．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若AB=6，tan∠A=，求CD的长．

25. 如图，抛物线y=mx2﹣8mx+12m（m＞0）与x轴交于A，B两点（点B在点A的左侧），与y轴交于点C，顶点为D，其对称轴与x轴交于点E，联接AD，OD．
（1）求顶点D坐标（用含m的式子表示）；
（2）若OD⊥AD，求该抛物线的函数表达式；
（3）在（2）的条件下，设动点P在对称轴左侧该抛物线上，PA与对称轴交于点M，若△AME与△OAD相似，求点P的坐标．

26. 已知：△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，AB=，将AC边所在直线向右平移，所得直线MN与BC边的延长线相交于点M，点D在AC边上，CD=CM，过点D的直线平分∠BDC，与BC交于点E，与直线MN交于点N，联接AM．
（1）若CM=，则AM= ；
（2）如图①，若点E是BM的中点，求证：MN=AM；
（3）如图②，若点N落在BA的延长线上，求AM的长．






























2022-2023学年北京市西城区中考数学专项突破仿真模拟卷
（5月）
　
一、选一选（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1. ﹣8的相反数是（　　）
A. 8 B. C. D. －8
【正确答案】A

【分析】根据相反数的概念：只有符号没有同的两个数互为相反数可得答案．
【详解】解：-8的相反数是8，
故选A．
此题主要考查了相反数，关键是掌握相反数的定义．
2. 具有绿色低碳、方便快捷、经济环保等特点的共享单车行业近几年蓬勃发展，我国2017年全年共享单车用户达6170万人．将数据“6170万”用科学记数法表示为（　　）
A. 6.17×103 B. 6.17×105 C. 6.17×107 D. 6.17×109
【正确答案】C

【详解】分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的值与小数点移动的位数相同．当原数值大于10时，n是正数；当原数的值小于1时，n是负数．
详解：6170万=6.17×107．
故选C．
点睛：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3. 下列运算结果正确的是（　　）
A. 2a+3b=5ab B. （a﹣2）2=a2﹣4 C. a3•（﹣2a）2=4a5 D. （a2）3=a5
【正确答案】C

【分析】根据合并同类项法则，完全平方公式，幂的乘方和积的乘方，单项式乘以单项式分别求出每个式子的值，再判断即可．
【详解】解：A、2a和3b没有能合并，故本选项没有符合题意；
B、结果是a2-4a+4，故本选项没有符合题意；
C、结果是4a5，故本选项符合题意；
D、结果是a6，故本选项没有符合题意；
故选：C．
本题考查了合并同类项法则，幂的乘方和积的乘方，完全平方公式，单项式乘以单项式等知识点，能正确根据法则求出每个式子的值是解此题的关键．
4. 若一个几何体的主视图、俯视图、左视图都是半径相等的圆，则这个几何体是（　　）
A. 球体 B. 圆锥 C. 圆柱 D. 正方体
【正确答案】A

【分析】利用三视图都是圆，则可得出几何体的形状．
【详解】主视图、俯视图和左视图都是圆的几何体是球，
故选A．
本题考查了由三视图确定几何体的形状，熟悉常见几何体的三视图是解题的关键.
5. 解分式方程+1=0，正确的结果是（ ）
A. x=0 B. x=1 C. x=2 D. 无解
【正确答案】A

【分析】先去分母化为整式方程,再求解即可.
【详解】+1=0，
1+x-1=0，
x=0，
经检验：x=0是原方程的根，
故选A.
考点：解分式方程.
6. 平面直角坐标系中，已知□ABCD的三个顶点坐标分别是A（m，n），B ( 2，－l )，C（－m，－n），则点D的坐标是（ ）
A. （－2 ，l ) B. （－2，－l ) C. （－1，－2 ) D ．（－1，2 )
【正确答案】A

【详解】试题分析：∵平行四边形ABCD是对称图形，对称是对角线的交点，而A、C关于原点对称，故B、D也关于原点对称∴D（－2 ，l ）．故选A．
考点：平行四边形的性质；坐标与图形性质．

7. 在–1，1，2这三个数中任意抽取两个数，，则函数的图象没有第二象限的概率为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B

【详解】分析：
详解：根据题意可得共有6种情况：①k=－1，m=1；②k=1，m=－1；③k=－1，m=2；④k=2，m=－1；⑤k=1，m=2；⑥k=2，m=1；符合题意的有①和③，则P(没有第二象限)=，故选B．
点睛：本题主要考查的就是函数的图像与概率的计算法则，属于基础题型．解决这个问题的关键就是理解函数的图像．
8. 能说明命题“如果a是任意实数，那么＞﹣a”是假命题的一个反例可以是（　　）
A a=﹣ B. a= C. a=1 D. a=
【正确答案】A

【详解】详解：a=-时，满足a是任意实数，但没有满足＞-a，
所以a=-3可作为说明命题“如果a是任意实数，那么＞-a”是假命题的一个反例．
故选A．
点睛：本题考查了命题与定理：命题写成“如果…，那么…”形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论．命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
9. 如图，已知AB是⊙O的直径，⊙O的切线CD与AB的延长线交于点D，点C为切点，联接AC，若∠A＝26°，则∠D的度数是（ ）

A. 26° B. 38° C. 42° D. 64°
【正确答案】B

【详解】分析：连接OC，根据等腰三角形的性质得出∠COD的度数，根据切线的性质得出∠OCD的度数，根据三角形的内角和定理得出∠D的度数．
详解：连接OC，∵OA=OC，∠A=26°， ∴∠COD=26°×2=52°，
∵C为切点， ∴∠OCD=90°， ∴∠D=90°－52°=38°，故选B．
点睛：本题主要考查的是切线的性质，属于基础题型．解决这个问题的关键就是添加辅助线，将∠D放入直角三角形中．
10. 如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，ED∥BC，若AB=4，AD=2，则△AED的周长是（ ）

A. 6 B. 7 C. 8 D. 10
【正确答案】A

【分析】根据角平分线的性质以及平行线的性质得出△BDE为等腰三角形，然后将△ADE的周长转化为AB+AD得出答案．
【详解】∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC=∠ABD，
∵DE∥BC，
∴∠EDB=∠DBC，
∴∠EDB=∠EBD，
∴BE=DE，
∴=AE+DE+AD=AE+BE+AD=AB+AD=4+2=6，
故选A．
本题主要考查的是角平分线的性质以及平行线的性质，属于基础题型．解答这个问题的关键就是得出△BDE为等腰三角形．
11. 如图，在菱形ABCD中，点E是BC边的中点，动点M在CD边上运动，以EM为折痕将△CEM折叠得到△PEM，联接PA，若AB＝4，∠BAD＝60°，则PA的最小值是( )

A. B. 2 C. 2﹣2 D. 4
【正确答案】C

【分析】当A，P，E在同一直线上时，AP最短，过点E作EF⊥AB于点F，依据BE=BC=2，∠EBF=60°，即可得到AE的长度，进而得出AP的最小值．
【详解】解：如图，EP=CE=BC=2，故点P在以E为圆心，EP为半径的半圆上，

∵AP+EP≥AE，
∴当A，P，E在同一直线上时，AP最短，
如图，过点E作EF⊥AB于点F，
∵在边长为4的菱形ABCD中，∠BAD=60°，E为BC的中点，
∴BE=BC=2，∠EBF=60°，
∴∠BEF=30°，BF=BE=1，
∴EF==，AF=5，
∴AE==2，
∴AP的最小值=AE-PE=2-2，
故选：C．
本题主要考查了菱形的性质以及折叠问题，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小没有变，位置变化，对应边和对应角相等．解决问题的关键是得到点P在以E为圆心，EP为半径的半圆上．
12. 如图，已知二次函数的图象与y轴的正半轴交于点A，其顶点B在轴的负半轴上，且OA=OB，对于下列结论：①≥0；②；③关于的方程无实数根；④的最小值为3.其中正确结论的个数为（ ）

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【正确答案】D

【详解】分析： ①根据函数值恒为非负数得出答案；②根据OA=OB得出答案；③根据函数值为－3时得出答案；④根据x=－2时的函数值得出答案．
详解：①根据图像可得函数恒为非负数，则a－b+c≥0，故正确；②根据OA=OB可得：，则，则2ac－b=0，故正确；③当y=－3时与函数图像没有交点，则关于x的方程无实数根，故正确；④当x=－2时，4a－2b+c≥0，a+b+c≥3b－3a，a+b+c≥3(b－a)，故正确；则本题选D．
点睛：本题主要考查的是二次函数的图像与系数之间的关系，属于中等难度的题目．解决这个问题的关键就是要学会系数与图像的关系．
二、填 空 题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13. 函数y＝中，自变量x的取值范围是______________
【正确答案】x≥0且x≠1

【详解】试题分析：根据分式有意义的条件是分母没有为0；分析原函数式可得关系式x-1≠0，解可得答案．
试题解析：根据题意可得x-1≠0；
解得x≠1；
故答案为x≠1．
考点: 函数自变量的取值范围；分式有意义的条件．
14. 因式分解：2m3﹣18m=_____．
【正确答案】2m（m+3）（m﹣3）

【详解】分析：首先提公因式2m，再利用平方差进行分解即可．
详解：原式=2m（m2-9）=2m（m+3）（m-3）．
故答案为2m（m+3）（m-3）．
点睛：此题主要考查了提公因式法与公式法分解因式，一般先提取公因式，再考虑运用公式法分解．
15. 如图，已知直线AB与CD相交于点O，OA平分∠COE，若∠DOE＝70°，则∠BOD＝_____．

【正确答案】55°

【详解】分析：首先根据平角的性质得出∠COE的度数，根据角平分线的性质得出∠AOC的度数，根据对顶角的性质得出答案．
详解：∵∠COE+∠DOE=180°，∠DOE=70°， ∴∠COE=110°，
∵OA平分∠COE， ∴∠AOC=110°÷2=55°， ∴∠BOD=∠AOC=55°．
点睛：本题主要考查的是角平分线的性质以及对顶角的性质，属于基础题型．在计算角度问题的时候，我们一定要找出很多的隐含条件，如：对顶角，邻补角等等．
16. 已知一组从小到大排列的数据:1，，，2，6，10的平均数与中位数都是5，则这组数据的众数是______________．
【正确答案】6

【分析】根据平均数和中位数列出方程组，从而得出关于x和y的二元方程组，从而得出答案．
【详解】解：根据题意可得：，
解得：，
∴这组数据为：1、3、4、6、6、10
∴这组数据的众数为6．
故6
本题主要考查的就是平均数、中位数与众数的定义，属于基础题型．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以这组数据的个数；中位数是指将数据按大小顺序排列，形成一个数列，居于数列中间位置的那个数据；众数是指在一组数据中，出现次数至多的数据．
17. 如图，在扇形AOB中，∠AOB=90°，以点A为圆心，OA的长为半径作交于点C，若OA=2，则阴影部分的面积为_____．

【正确答案】

详解】连结OC、AC，

根据题意可得△OAC为等边三角形，可得扇形AOC和扇形OAC的面积相等，
因OA=2,可求得△AOC的面积为，
所以阴影部分面积为：扇形BOC的面积-（扇形OAC的面积-△AOC的面积）=.
本题考查了扇形的面积，熟练掌握面积公式是解题的关键.

18. （2016湖北省孝感市）如图示我国汉代数学家赵爽在注解《周脾算经》时给出的“赵爽弦图”，图中的四个直角三角形是全等的，如果大正方形ABCD的面积是小正方形EFGH面积的13倍，那么tan∠ADE的值为_________．

【正确答案】

【分析】小正方形EFGH面积是a2，则大正方形ABCD的面积是13a2，则小正方形EFGH边长是a，则大正方形ABCD的面积是，设AE=DH=CG=BF=x，利用勾股定理求出x，利用三角函数即可解答．
【详解】解：设小正方形EFGH面积是a2，则大正方形ABCD的面积是13a2，
∴小正方形EFGH边长是a，则大正方形ABCD的面积是，
∵图中的四个直角三角形是全等的，
∴AF=DE=CH=BG，AE=DH=CG=BF，
∴设AE=DH=CG=BF=x，
在Rt△AED中，根据勾股定理AD2=AE2+DE2，
即13a2=x2+（x+a）2
解得：x1=2a，x2=﹣3a（舍去），
∴AE=2a，DE=3a，
∴tan∠ADE=．
故答案为．
本题考查正方形性质，三角形全等的性质，勾股定理，解一元二次方程，锐角三角函数定义，掌握正方形性质，三角形全等的性质，勾股定理，一元二次方程的解法，锐角三角函数定义是解题关键．
三、解 答 题（本大题共8小题，满分61分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19. （1）计算：（﹣2018）0+（﹣）﹣3﹣3tan30°+|1﹣|；
（2）解没有等式组：并将解集在数轴上表示出来．
【正确答案】（1）﹣8；（2）x≤﹣2，数轴上表示见解析

【详解】分析：（1）直接利用零指数幂、负指数幂的性质以及角的三角函数值和值的性质分别化简得出答案；
（2）先解没有等式组中的每一个没有等式，再把没有等式的解集表示在数轴上即可．
详解：（1）原式=1﹣8﹣3×+﹣1 =﹣8；
（2）
解没有等式①得：x＜1；
没有等式②得：x≤﹣2；
所以没有等式组的解集是x≤﹣2，
数轴上表示为
．
点睛：本题考查的是解一元没有等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；小小找没有到”的原则是解答此题的关键．
20. 根据要求尺规作图，并在图中标明相应字母 (保留作图痕迹，没有写作法）.
如图，已知△ABC中，AB=AC，BD是BA边的延长线．
（1）作∠DAC的平分线AM；
（2）作AC边的垂直平分线，与AM交于点E，与BC边交于点F；
（3）联接AF，则线段AE与AF的数量关系为 ．

【正确答案】答案见解析

【分析】(1)直接利用角平分线的作法得出答案；
(2)直接利用线段垂直平分线的作法得出答案；
(3)根据线段中垂线的性质得出答案．
【详解】(1) 如图所示：
(2)如图所示：

(3)AE=AF．
此题主要考查了复杂作图以及全等三角形的判定与性质等知识，属于基础题型．正确掌握基本作图方法是解题关键．
21. 如图，已知直线y=x与反比例函数y=（x＞0）的图象交于点A（2，m）；将直线y=x向下平移后与反比例函数y=（x＞0）的图象交于点B，且△AOB的面积为3．
（1）求k的值；
（2）求平移后所得直线函数表达式．

【正确答案】（1）k=6；（2）平移后所得直线的函数表达式为y=x﹣3．

【详解】分析：（1）先根据函数解析式求点A的坐标，再利用待定系数法求k的值；
（2）作辅助线AH，得AH=2，根据同底等高的两个三角形面积相等得：S△AOB=S△AOC=3，可得OC=3，写出C（0，-3），根据平行可设直线BC的函数表达式为y=x+b，代入点C的坐标可得解析式．
详解：（1）∵点A（2，m）在直线y=x上，
∴m==3，则A（2，3）；
又点A（2，3）在反比例函数y=（x＞0）的图象上，
∴3=，则k=6；
（2）设平移后的直线与y轴交于点C，连接AC，过点A作AH⊥y轴于H，

则AH=2，
∵BC∥OA，
∴S△AOB=S△AOC=3，
∴•OC•AH=•OC•2=3，
则OC=3，
∵点C在y轴的负半轴上，
∴C（0，﹣3），
设直线BC的函数表达式为y=x+b，
∴将C（0，﹣3）代入得：b=﹣3，
∴平移后所得直线的函数表达式为y=x﹣3．
点睛：本题考查了反比例函数和函数的交点问题，熟练掌握利用待定系数法求函数的解析式，注意点的坐标特征．
22. 湖南广益实验中学为了解中学数学课堂中学生参与情况，并按“主动质疑、思考、专注听讲、讲解题目”四个顶目进行评价．检测小组随机抽查部分学校若干名学生，并将抽查学生课堂参与情况绘制成如图所示的扇形统计图和条形统计图(均没有完整).请根据统计图中的信息解答下列问题：
(1)本次抽查的样本容量是__________；
(2)在扇形统计图中，“主动质疑”对应的圆心角为__________度；
(3)将条形统计图补充完整；
(4)如果湖南广益实验中学学生共有名，那么在课堂中能“思考“的学生约有多少人？

【正确答案】（1）560；（2）；（3）图略，见详解；（4）1800

【分析】（1）样本总数=专注听讲÷．

（2）主动质疑圆心角度数与圆周角的比值=主动质疑人数与样本总量之间的比值，则主动质疑人数÷样本总数×．
（3）在（1）中，把样本人数算出来后，分别减去主动质疑、思考、专注听讲的就是剩下讲解题目的人数，在根据人数画出条形图即可．
（4）先把本次抽抽查思考的人占得百分数算出来，再用新样本6000乘这个百分数即可．
【详解】（1）解：样本总数=224÷=560（人）．
（2）解：主动质疑人数所占圆心角度数为=84÷560×=．
（3）解：如下图所示,讲解题目人数=560-84-168-224=84（人）．

（4）解：思考人数占样本总数的百分比为=168÷560=．
全校思考的学生人数=6000×=1800（人）．
本题考查了数据分布图中的饼状图和条形图．注意等量关系：各个量与样本总量的比值和饼状图的圆心角与圆周角的比值是相等的．
23. 小强在某超市同时购买A，B两种商品共三次，仅有次超市将A，B两种商品同时按折价格出售，其余两次均按标价出售. 小强三次购买A，B商品的数量和费用如下表所示：

A商品的数量(个）
B商品的数量(个）
购买总费用(元）
次购买
8
6
930
第二次购买
6
5
980
第三次购买
3
8
1040
（1）求 A，B商品的标价；
（2）求的值．
【正确答案】（1）A、B商品的标价分别是80元、100元（2）7.5

【详解】分析：(1)、设A、B商品的标价分别是x元、y元，根据第二和第三次购买列出方程组，从而得出答案；(3)、根据购买的数量及总价列出方程，从而得出答案．
详解：（1）设A、B商品的标价分别是x元、y元，
根据题意，得：， 解方程组，得：x=80，y=100，
答：A、B商品的标价分别是80元、100元.
(2) 根据题意，得：(80×8+100×6)×=930， ∴ m=7.5 .
点睛：本题主要考查的就是一元方程的应用以及二元方程组的应用，属于基础题型．对于应用题的问题，根据题意找出等量关系是解题的关键．
24. 如图，已知△ABC是⊙O的内接三角形，AB为⊙O的直径，OD⊥AB于点O，且∠ODC=2∠A．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若AB=6，tan∠A=，求CD的长．

【正确答案】（1）见解析；（2）4.

【详解】分析：（1）连接OC，求出∠ODC=∠B，求出∠OCD=90°，根据切线的判定得出即可；
（2）过点C作CH⊥AB于点H，解直角三角形求出BC，解直角三角形求出CH和BH，证Rt△DOC∽Rt△OCH，得出比例式，即可求出答案．
（1）证明：连接OC，

∵OA=OC，
∴∠A=∠ACO，
∴∠BOC=2∠A，
又∵∠ODC=2∠A，
∴∠ODC=∠BOC，
∵OD⊥AB，即∠BOC+∠COD=90°，
∴∠ODC+∠COD=90°，
∴∠OCD=90°，
即CD⊥OC，
又∵OC是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线；
（2）如图，过点C作CH⊥AB于点H，

∵AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，
∴∠ACB=90°，
又∵∠CBH=∠ABC，
∴∠BCH=∠A，
在Rt△ABC中，AB=6，tan∠A=，
设BC=x，则AC=3x，由勾股定理得：x2+（3x）2=62，
解得：x2=，
即BC2=，
又在Rt△BCH中，tan∠BCH=，
BH2+CH2=BC2，
即BH2+（3BH）2=，
解得：BH=CH=，
∵OB=OC=3，
∴OH=，
又∵Rt△DOC∽Rt△OCH，
∴，
则CD==3×÷=4．
25. 如图，抛物线y=mx2﹣8mx+12m（m＞0）与x轴交于A，B两点（点B在点A的左侧），与y轴交于点C，顶点为D，其对称轴与x轴交于点E，联接AD，OD．
（1）求顶点D的坐标（用含m的式子表示）；
（2）若OD⊥AD，求该抛物线的函数表达式；
（3）在（2）的条件下，设动点P在对称轴左侧该抛物线上，PA与对称轴交于点M，若△AME与△OAD相似，求点P的坐标．

【正确答案】（1）顶点D的坐标为（4，﹣4m）；（2）y=x2﹣4x+6；（3）点P的坐标（0，6）或（1，）．

【详解】分析：（1）把抛物线解析式配成顶点式得到D点坐标；
（2）先解方程mx2-8mx+12m=0得到A（6，0），B（2，0），再证明△DEO∽△AED，利用相似比得到4m：2=4：4m，然后求出m即可得到抛物线解析式；
（3）由（2）得D（4，-2），利用相似的传递性得到△AME与△EAD相似，由于∠ADO=∠AEM=90°，根据相似三角形的判定，当时，△AEM∽△DEA，即，解得EM=，当，则EM=DE=2，则EM=DE=2，分别确定对应M点的坐标，求出相应直线AM的解析式，然后把直线AM的解析式与抛物线解析式组成方程组，再解方程组可得到对应P点坐标．
详解：（1）∵y=m（x﹣4）2﹣4m，
∴顶点D的坐标为（4，﹣4m）；
（2）当y=0时，mx2﹣8mx+12m=0，解得x1=2，x2=6，
∴A（6，0），B（2，0），
∴OA=6，
∵抛物线的对称轴为x=4，
∴点E（4，0），
则OE=4，AE=2，DE=4m，
∵OD⊥AD，
∴∠ADO=90°，即∠ODE+∠ADE=90°，
而∠ODE+∠DOE=90°，
∴∠DOE=∠ADE，
∴△DEO∽△AED，
∴DE：AE=OE：DE，即4m：2=4：4m，解得m1=，m2=﹣（舍去），
∴抛物线解析式为y=x2﹣4x+6；
（3）由（2）得D（4，﹣2），
∵△ADO与△AED相似，△AME与△OAD相似
∴△AME与△EAD相似，
∵∠ADO=∠AEM=90°，
∴当时，△AEM∽△DEA，即，解得EM=，
∴M（4，）
易得直线AM的解析式为y=﹣x+3，
解方程组得或，
∴此时P点坐标为（1，），
当，则EM=DE=2，
∴M（4，2），
易得直线AM的解析式为y=﹣x+6，
解方程组得或，
∴此时P点坐标为（0，6），
综上所述，点P的坐标（0，6）或（1，）．
点睛：本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和相似三角形的判定与性质；会利用待定系数法求函数解析式，把求抛物线与直线的交点坐标转化为解方程组的问题；理解坐标与图形性质；会运用分类讨论的思想解决思想问题．
26. 已知：△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，AB=，将AC边所在直线向右平移，所得直线MN与BC边的延长线相交于点M，点D在AC边上，CD=CM，过点D的直线平分∠BDC，与BC交于点E，与直线MN交于点N，联接AM．
（1）若CM=，则AM= ；
（2）如图①，若点E是BM的中点，求证：MN=AM；
（3）如图②，若点N落在BA的延长线上，求AM的长．

【正确答案】（1）（2）证明见解析（3）

【详解】分析：(1)、根据Rt△ACM的勾股定理得出AM的长度；(2)、①过点B作BF⊥BC与NE的延长线交于点F，首先证明△BEF≌△MEN，然后再证明Rt△BDC≌Rt△AMC，从而得出BD=AM，根据角平分线的性质以及平行线的性质得出∠BDF=∠F，从而得出答案；②过点D作DH⊥MN于点H，首先证明四边形CDHM是正方形，然后证明Rt△BDC≌Rt△AMC≌Rt△NDH，根据全等得出∠1＝∠2＝∠5＝30°，根据Rt△BDC的三角函数得出答案．
详解：（1）；
（2）证明：如图①，过点B作BF⊥BC与NE的延长线交于点F，
∵∠ACB=90°，MN∥AC，∴∠FBE=∠NME=90°， 又BE＝ME，∠BEF=∠MEN，
∴△BEF≌△MEN，∴BF＝MN， ∵CD＝CM，BC＝AC， ∴Rt△BDC≌Rt△AMC，∴BD＝AM，
∵NF平分∠BDC，∴∠BDF=∠FDC, 又由BF∥AC，得：∠F=∠FDC，
∴∠BDF=∠F，∴BD＝BF，∴MN=AM.
(3)如图②，过点D作DH⊥MN于点H，
∵MN∥AC，∠ACB=90°，CD＝CM，∴四边形CDHM是正方形，
又点N在BA的延长线上，∴△BNM∽△BAC， ∵AC＝BC，∴NM＝BN，
又MH＝CM＝DH，∴NH＝BC， ∴Rt△BDC≌Rt△AMC≌Rt△NDH， ∴BD＝AM＝ND，∠5＝∠6，
又∠1＝∠2，∠2＝∠6，∴∠1＝∠2＝∠5， ∵∠1+∠2+∠5＝90°，
∴∠1＝∠2＝∠5＝30°， 在Rt△ABC中，AC＝BC，AB=，∴AC＝BC＝4，
在Rt△BDC中， ∴AM＝ .

点睛：本题主要考查的是直角三角形的勾股定理以及三角形全等的判定与应用，综合性非常强．解答几何问题的时候，添加辅助线是一个非常重要的环节，同时也是非常难的一个环节，需要同学们没有断的去观察，去摸索．