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2023年全国初中毕业升学考试模拟试卷（七）
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这是一份2023年全国初中毕业升学考试模拟试卷（七），共28页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
2023年全国初中毕业升学考试模拟试卷
一、选择题（本题共10个小题，每小题4分，共40分）
1．（4分）已知5x=6y（y≠0），那么下列比例式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（4分）在下面的四个几何体中，它们各自的主视图与左视图可能不相同的是（ ）
A． B． C． D．
3．（4分）方程x2=3x的解为（ ）
A．x=3 B．x=0 C．x1=0，x2=﹣3 D．x1=0，x2=3
4．（4分）若将抛物线y=x2向右平移2个单位，再向上平移3个单位，则得到的抛物线解析式是（ ）
A．y=（x﹣2）2﹣3 B．y=（x﹣2）2+3 C．y=（x+2）2﹣3 D．y=（x+2）2+3
5．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，则下列结论不正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．（4分）如图，A、D是⊙O上的两个点，BC是直径，若∠D=32°，则∠OAC等于（ ）
A．64° B．58° C．68° D．55°
7．（4分）如图，以点O为位似中心，将△ABC放大得到△DEF．若AD=OA，则△ABC与△DEF的面积之比为（ ）
A．1：2 B．1：4 C．1：5 D．1：6
8．（4分）如图，已知反比例函数y=（x＞0），则k的取值范围是（ ）
A．1＜k＜2 B．2＜k＜3 C．2＜k＜4 D．2≤k≤4
9．（4分）如图，⊙O的半径为2，点O到直线l的距离为3，点P是直线l上的一个动点，PQ切⊙O于点Q，则PQ的最小值为（ ）
A． B． C．3 D．2
10．（4分）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC=6，BD=8，动点P从点B出发，沿着B﹣A﹣D在菱形ABCD的边上运动，运动到点D停止，点P′是点P关于BD的对称点，PP′交BD于点M，若BM=x，△OPP′的面积为y，则y与x之间的函数图象大致为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
11．（5分）计算：tan45°﹣2cos60°= ．
12．（5分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙O的半径为2，∠B=135°，则的长 ．
13．（5分）在△ABC中，D为AB边上一点，且∠BCD=∠A，已知BC=2，AB=3，则AD= ．
14．（5分）二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）中的x与y的部分对应值如表
x
﹣1
0
1
3
y
﹣1
3
5
3
下列结论：①ac＜0；②当x＞1时，y的值随x值的增大而减小．
③当x=2时，y=5；④3是方程ax2+（b﹣1）x+c=0的一个根；
其中正确的有 ．（填正确结论的序号）
三、（总分90分）
15．（8分）解方程：x（x﹣4）=1．
16．（8分）如图，在小正方形组成的网格中，△ABC和△DEF的顶点都在格点上，根据图形解答下列问题：
（1）将△ABC向左平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度，画出平移后的△A1B1C1；
（2）将△DEF绕D点逆时针旋转90°，画出旋转后的△DE1F1．
17．（8分）某条道路上通行车辆限速为60千米/时，在离道路50米的点P处建一个监测点，道路AB段为检测区（如图）．在△ABP中，已知∠PAB=30°，∠PBA=45°，那么车辆通过AB段的时间在多少秒以内时，可认定为超速（精确到0.1秒）？（参考数据：≈1.41，≈1.73，60千米/时=米/秒）
18．（8分）如图，我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”，已知点A、B、C、D分别是“果圆”与坐标轴的交点，AB为半圆的直径，抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3，求这个“果圆”被y轴截得线段CD的长 ．
19．（10分）某电视台在它的娱乐性节目中每期抽出两名场外幸运观众，有一期甲、乙两人被抽为场外幸运观众，他们获得了一次抽奖的机会，在如图所示的翻奖牌的正面4个数字中任选一个，选中后翻开，可以得到该数字反面的奖品，第一个人选中的数字第二个人不能再选择了．
（1）如果甲先抽奖，那么甲获得“手机”的概率是多少？
（2）小亮同学说：甲先抽奖，乙后抽奖，甲、乙两人获得“手机”的概率不同，且甲获得“手机”的概率更大些．你同意小亮同学的说法吗？为什么？请用列表或画树状图分析．
20．（10分）某养殖户每年的养殖成本包括固定成本和可变成本，其中固定成本每年均为4万元，可变成本逐年增长，已知该养殖户第1年的可变成本为2.6万元，设可变成本平均每年增长的百分率为x．
（1）用含x的代数式表示第3年的可变成本为 万元；
（2）如果该养殖户第3年的养殖成本为7.146万元，求可变成本平均每年增长的百分率x．
21．（12分）如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，点D为三角形内一点，且∠ACD=∠DAB=∠DBC．
（1）求∠CDB的度数；
（2）求证：△DCA∽△DAB；
（3）若CD的长为1，求AB的长．
22．（12分）2016年里约奥运会，中国跳水队赢得8个项目中的7块金牌，优秀成绩的取得离不开艰辛的训练．某跳水运动员在进行跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示的一条抛物线，已知跳板AB长为2米，跳板距水面CD的高BC为3米，训练时跳水曲线在离起跳点水平距离1米时达到距水面最大高度k米，现以CD为横轴，CB为纵轴建立直角坐标系．
（1）当k=4时，求这条抛物线的解析式；
（2）当k=4时，求运动员落水点与点C的距离；
（3）图中CE=米，CF=米，若跳水运动员在区域EF内（含点E，F）入水时才能达到训练要求，求k的取值范围．
23．（14分）[发现]如图∠ACB=∠ADB=90°，那么点D在经过A，B，C三点的圆上（如图①）
[思考]如图②，如果∠ACB=∠ADB=a（a≠90°）（点C，D在AB的同侧），那么点D还在经过A，B，C三点的⊙O上吗？
我们知道，如果点D不在经过A，B，C三点的圆上，那么点D要么在⊙O外，要么在⊙O内，以下该同学的想法说明了点D不在⊙O外．请结合图④证明点D也不在⊙O内．
【证】
[结论]综上可得结论，如果∠ACB=∠ADB=α（点C，D在AB的同侧），那么点D在经过A，B，C三点的圆上，即：A、B、C、D四点共圆．
[应用]利用上述结论解决问题：
如图⑤，已知△ABC中，∠C=90°，将△ACB绕点A顺时针旋转α度（α为锐角）得△ADE，连接BE、CD，延长CD交BE于点F；
（1）用含α的代数式表示∠ACD的度数；
（2）求证：点B、C、A、F四点共圆；
（3）求证：点F为BE的中点．
中考数学模拟试卷（3月份）
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共10个小题，每小题4分，共40分）
1．（4分）已知5x=6y（y≠0），那么下列比例式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】比例的基本性质：组成比例的四个数，叫做比例的项．两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项，根据两内项之积等于两外项之积可得答案．
【解答】解：A、=，则5y=6x，故此选项错误；
B、=，则5x=6y，故此选项正确；
C、=，则5y=6x，故此选项错误；
D、=，则xy=30，故此选项错误；
故选：B．
【点评】此题主要考查了比例的性质，关键是掌握两内项之积等于两外项之积．
2．（4分）在下面的四个几何体中，它们各自的主视图与左视图可能不相同的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】分别分析四个选项的三视图，然后得出结论．
【解答】解：A选项的主视图与左视图分别是正方形和长方形；
B选项的主视图与左视图都是正方形；
C选项的主视图与左视图都是矩形；
D选项的主视图与左视图都是圆．
故选A．
【点评】本题考查了学生的思考能力和对几何体三种视图的空间想象能力．
3．（4分）方程x2=3x的解为（ ）
A．x=3 B．x=0 C．x1=0，x2=﹣3 D．x1=0，x2=3
【分析】因式分解法求解可得．
【解答】解：∵x2﹣3x=0，
∴x（x﹣3）=0，
则x=0或x﹣3=0，
解得：x=0或x=3，
故选：D．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
4．（4分）若将抛物线y=x2向右平移2个单位，再向上平移3个单位，则得到的抛物线解析式是（ ）
A．y=（x﹣2）2﹣3 B．y=（x﹣2）2+3 C．y=（x+2）2﹣3 D．y=（x+2）2+3
【分析】根据向右平移横坐标加，向上平移纵坐标加求出平移后的抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式解析式写出即可．
【解答】解：∵抛物线y=x2向右平移2个单位，再向上平移3个单位，
∴平移后的抛物线顶点坐标为（2，3），
∴得到的抛物线解析式是y=（x﹣2）2+3．
故选B．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，平移的规律：左加右减，上加下减，利用顶点的变化求解更简便．
5．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，则下列结论不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据锐角三角函数的定义，即可解答．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，sinB=，
∵AD⊥BC，
∴sinB=，
sinB=sin∠DAC=，
综上，只有C不正确
故选：C．
【点评】本题考查了锐角三角函数，解决本题的关键是熟记锐角三角函数的定义．
6．（4分）（2017•澧县三模）如图，A、D是⊙O上的两个点，BC是直径，若∠D=32°，则∠OAC等于（ ）
A．64° B．58° C．68° D．55°
【分析】先根据圆周角定理求出∠B及∠BAC的度数，再由等腰三角形的性质求出∠OAB的度数，进而可得出结论．
【解答】解：∵BC是直径，∠D=32°，
∴∠B=∠D=32°，∠BAC=90°．
∵OA=OB，
∴∠BAO=∠B=32°，
∴∠OAC=∠BAC﹣∠BAO=90°﹣32°=58°．
故选B．
【点评】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．
7．（4分）如图，以点O为位似中心，将△ABC放大得到△DEF．若AD=OA，则△ABC与△DEF的面积之比为（ ）
A．1：2 B．1：4 C．1：5 D．1：6
【分析】利用位似图形的性质首先得出位似比，进而得出面积比．
【解答】解：∵以点O为位似中心，将△ABC放大得到△DEF，AD=OA，
∴OA：OD=1：2，
∴△ABC与△DEF的面积之比为：1：4．
故选：B．
【点评】此题主要考查了位似图形的性质，得出位似比是解题关键．
8．（4分）（2017•繁昌县模拟）如图，已知反比例函数y=（x＞0），则k的取值范围是（ ）
A．1＜k＜2 B．2＜k＜3 C．2＜k＜4 D．2≤k≤4
【分析】直接根据A、B两点的坐标即可得出结论．
【解答】解：∵A（2，2），B（2，1），
∴当双曲线经过点A时，k=2×2=4；
当双曲线经过点B时，k=2×1=2，
∴2＜k＜4．
故选C．
【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
9．（4分）如图，⊙O的半径为2，点O到直线l的距离为3，点P是直线l上的一个动点，PQ切⊙O于点Q，则PQ的最小值为（ ）
A． B． C．3 D．2
【分析】因为PQ为切线，所以△OPQ是Rt△．又OQ为定值，所以当OP最小时，PQ最小．根据垂线段最短，知OP=3时PQ最小．根据勾股定理得出结论即可．
【解答】解：∵PQ切⊙O于点Q，
∴∠OQP=90°，
∴PQ2=OP2﹣OQ2，
而OQ=2，
∴PQ2=OP2﹣4，即PQ=，
当OP最小时，PQ最小，
∵点O到直线l的距离为3，
∴OP的最小值为3，
∴PQ的最小值为=．
故选B．
【点评】此题综合考查了切线的性质及垂线段最短等知识点，如何确定PQ最小时点P的位置是解题的关键，难度中等偏上．
10．（4分）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC=6，BD=8，动点P从点B出发，沿着B﹣A﹣D在菱形ABCD的边上运动，运动到点D停止，点P′是点P关于BD的对称点，PP′交BD于点M，若BM=x，△OPP′的面积为y，则y与x之间的函数图象大致为（ ）
A． B． C． D．
【分析】由菱形的性质得出AB=BC=CD=DA，OA=AC=3，OB=BD=4，AC⊥BD，分两种情况：
①当BM≤4时，先证明△P′BP∽△CBA，得出比例式，求出PP′，得出△OPP′的面积y是关于x的二次函数，即可得出图象的情形；
②当BM≥4时，y与x之间的函数图象的形状与①中的相同；即可得出结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=DA，OA=AC=3，OB=BD=4，AC⊥BD，
①当BM≤4时，
∵点P′与点P关于BD对称，
∴P′P⊥BD，
∴P′P∥AC，
∴△P′BP∽△CBA，
∴，即，
∴PP′=x，
∵OM=4﹣x，
∴△OPP′的面积y=PP′•OM=×x（4﹣x）=﹣x2+3x；
∴y与x之间的函数图象是抛物线，开口向下，过（0，0）和（4，0）；
②当BM≥4时，y与x之间的函数图象的形状与①中的相同，过（4，0）和（8，0）；
综上所述：y与x之间的函数图象大致为．
故选：D．
【点评】本题考查了动点问题的函数图象、菱形的性质、相似三角形的判定与性质、三角形面积的计算以及二次函数的运用；熟练掌握菱形的性质，根据题意得出二次函数解析式是解决问题的关键．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
11．（5分）计算：tan45°﹣2cos60°= 0 ．
【分析】把特殊角的三角函数值代入，再计算乘法，后计算加减法即可．
【解答】解：原式=1﹣2×，
=1﹣1，
=0．
故答案为：0．
【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，关键是掌握30°，45°，60°角的三角函数值．
12．（5分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙O的半径为2，∠B=135°，则的长 π ．
【分析】连接OA、OC，然后根据圆周角定理求得∠AOC的度数，最后根据弧长公式求解．
【解答】解：连接OA、OC，
∵∠B=135°，
∴∠D=180°﹣135°=45°，
∴∠AOC=90°，
则的长==π．
故答案为：π．
【点评】本题考查了弧长的计算以及圆周角定理，解答本题的关键是掌握弧长公式L=．
13．（5分）在△ABC中，D为AB边上一点，且∠BCD=∠A，已知BC=2，AB=3，则AD= ．
【分析】证明△DCB≌△CAB，得，可求出BD的长，进而可求出AD的长，由此即可解决问题即可．
【解答】解：∵∠BCD=∠A，∠B=∠B，
∴△DCB～△CAB，
∴，
∴=，
∴BD=，
∴AD=AB﹣BD=，
故答案为：．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法，利用相似三角形的性质求出BD的长，属于中考常考题型．
二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）中的x与y的部分对应值如表
x
﹣1
0
1
3
y
﹣1
3
5
3
下列结论：①ac＜0；②当x＞1时，y的值随x值的增大而减小．
③当x=2时，y=5；④3是方程ax2+（b﹣1）x+c=0的一个根；
其中正确的有 ①③④ ．（填正确结论的序号）
【分析】根据点的坐标利用待定系数法即可求出二次函数解析式，再根据二次函数的解析式逐一分析四条结论的正误即可得出结论．
【解答】解：将（﹣1，﹣1）、（0，3）、（1，5）代入y=ax2+bx+c，
，解得：，
∴二次函数的解析式为y=﹣x2+3x+3．
①ac=﹣1×3=﹣3＜0，
∴结论①符合题意；
②∵y=﹣x2+3x+3=﹣+，
∴当x＞时，y的值随x值的增大而减小，
∴结论②不符合题意；
③当x=2时，y=﹣22+3×2+3=5，
∴结论③符合题意；
④ax2+（b﹣1）x+c=﹣x2+2x+3=（x+1）（﹣x+3）=0，
∴x=3是方程ax2+（b﹣1）x+c=0的一个根，
∴结论④符合题意．
故答案为：①③④．
【点评】本题考查了待定系数法求出二次函数解析式、二次函数的性质以及因式分解法解一元二次方程，根据点的坐标利用待定系数法求出二次函数解析式是解题的关键．
三、（总分90分）
15．（8分）解方程：x（x﹣4）=1．
【分析】先把方程化为x2﹣4x=1，再利用配方法得到（ x﹣2）2=5，然后利用直接开平方法解方程．
【解答】解：x2﹣4x=1，
x2﹣4x+4=5，
（ x﹣2）2=5，
x﹣2=±，
所以x1=2+，x2=2﹣．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：将一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
16．（8分）如图，在小正方形组成的网格中，△ABC和△DEF的顶点都在格点上，根据图形解答下列问题：
（1）将△ABC向左平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度，画出平移后的△A1B1C1；
（2）将△DEF绕D点逆时针旋转90°，画出旋转后的△DE1F1．
【分析】（1）根据图形平移的性质画出平移后的△A1B1C1即可；
（2）根据图形旋转的性质画出旋转后的△DE1F1即可．
【解答】解（1）如图所示：△A1B1C1即为所求；
（2）如图所示：△DE1F1即为所求；
【点评】本题考查的是作图﹣旋转变换，熟知图形旋转不变性的性质是解答此题的关键．
17．（8分）（2017•繁昌县模拟）某条道路上通行车辆限速为60千米/时，在离道路50米的点P处建一个监测点，道路AB段为检测区（如图）．在△ABP中，已知∠PAB=30°，∠PBA=45°，那么车辆通过AB段的时间在多少秒以内时，可认定为超速（精确到0.1秒）？（参考数据：≈1.41，≈1.73，60千米/时=米/秒）
【分析】作PC⊥AB于点C，根据三角函数即可求得AC与BC的长，则AB即可求得，用AB的长除以速度即可求解．
【解答】解：作PC⊥AB于点C．
在直角△APC中，tan∠PAC=，
则AC==50≈86.5（米），
同理，BC==PC=50（米），
则AB=AC+BC≈136.5（米），
60千米/时=米/秒，
则136.5÷≈8.2（秒）．
故车辆通过AB段的时间在8.2秒内时，可认定为超速．
【点评】本题考查解直角三角形的应用，属于实际应用类题目，从复杂的实际问题中整理出直角三角形是解决此类问题的关键．
18．（8分）如图，我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”，已知点A、B、C、D分别是“果圆”与坐标轴的交点，AB为半圆的直径，抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3，求这个“果圆”被y轴截得线段CD的长 3+ ．
【分析】将x=0代入抛物线的解析式得y=﹣3，故此可得到DO的长，然后令y=0可求得点A和点B的坐标，故此可得到AB的长，由M为圆心可得到MC和OM的长，然后依据勾股定理可求得OC的长，最后依据CD=OC+OD求解即可．
【解答】解：连接AC，BC．
∵抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3，
∴点D的坐标为（0，﹣3），
∴OD的长为3．
设y=0，则0=x2﹣2x﹣3，解得：x=﹣1或3，
∴A（﹣1，0），B（3，0）．
∴AO=1，BO=3，AB=4，M（1，0）．
∴MC=2，OM=1．
在Rt△COB中，OC==．
∴CD=CO+OD=3+，即这个“果圆”被y轴截得的线段CD的长3+．
故答案为：3+．
【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了坐标轴上点的坐标特点，圆的概念和性质，勾股定理等知识点，求的点D的坐标以及OC的长是解题的关键．
19．（10分）某电视台在它的娱乐性节目中每期抽出两名场外幸运观众，有一期甲、乙两人被抽为场外幸运观众，他们获得了一次抽奖的机会，在如图所示的翻奖牌的正面4个数字中任选一个，选中后翻开，可以得到该数字反面的奖品，第一个人选中的数字第二个人不能再选择了．
（1）如果甲先抽奖，那么甲获得“手机”的概率是多少？
（2）小亮同学说：甲先抽奖，乙后抽奖，甲、乙两人获得“手机”的概率不同，且甲获得“手机”的概率更大些．你同意小亮同学的说法吗？为什么？请用列表或画树状图分析．
【分析】（1）一共有4种情况，手机有一种，除以总情况数即为所求概率；
（2）列举出所有情况，看所求的情况占总情况的多少即可．
【解答】解：（1）第一位抽奖的同学抽中手机的概率是；
（2）不同意．
从树状图中可以看出，所有可能出现的结果共12种，而且这些情况都是等可能的．
先抽取的人抽中手机的概率是；
后抽取的人抽中手机的概率是=．
所以，甲、乙两位同学抽中手机的机会是相等的．
【点评】考查了列表与树状图法求概率的知识，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．注意本题是不放回实验．
20．（10分）某养殖户每年的养殖成本包括固定成本和可变成本，其中固定成本每年均为4万元，可变成本逐年增长，已知该养殖户第1年的可变成本为2.6万元，设可变成本平均每年增长的百分率为x．
（1）用含x的代数式表示第3年的可变成本为 2.6（1+x）2 万元；
（2）如果该养殖户第3年的养殖成本为7.146万元，求可变成本平均每年增长的百分率x．
【分析】（1）根据增长率问题由第1年的可变成本为2.6万元就可以表示出第二年的可变成本为2.6（1+x），则第三年的可变成本为2.6（1+x）2，故得出答案；
（2）根据养殖成本=固定成本+可变成本建立方程求出其解即可
【解答】解：（1）由题意，得
第3年的可变成本为：2.6（1+x）2，
故答案为：2.6（1+x）2；
（2）由题意，得
4+2.6（1+x）2=7.146，
解得：x1=0.1，x2=﹣2.1（不合题意，舍去）．
答：可变成本平均每年增长的百分率为10%．
【点评】本题考查了增长率的问题关系的运用，列一元二次方程解实际问题的运用，一元二次方程的解法的运用，解答时根据增长率问题的数量关系建立方程是关键．
21．（12分）如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，点D为三角形内一点，且∠ACD=∠DAB=∠DBC．
（1）求∠CDB的度数；
（2）求证：△DCA∽△DAB；
（3）若CD的长为1，求AB的长．
【分析】（1）只要证明∠CDA=135°，∠ADB=135°即可解决问题．
（2）根据两角对应相等两三角形相似即可判定．
（3）由△DCA∽△DAB，推出===，又CD=1，推出AD=，DB=2．根据BC=，求出BC，再在Rt△ABC中，求出AB即可解决问题．
【解答】（1）解：∵△ABC为等腰直角三角形，
∴∠CAB=45°．
又∵∠ACD=∠DAB，
∴∠ACD+∠CAD=∠DAB+∠CAD=∠CAB=45°，
∴∠CDA=135°
同理可得∠ADB=135°
∴∠CDB=360°﹣∠CDA﹣∠ADB=360°﹣135°﹣135°=90°．
（2）证明：∵∠CDA=∠ADB，∠ACD=∠DAB，
∴△DCA∽△DAB
（3）解：∵△DCA∽△DAB，
∴===，
又∵CD=1，
∴AD=，DB=2．
又∵∠CDB=90°，
∴BC===，
在Rt△ABC中，∵AC=BC=，
∴AB==．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，本题的突破点是发现∠CDB=90°，属于中考常考题型．
22．（12分）2016年里约奥运会，中国跳水队赢得8个项目中的7块金牌，优秀成绩的取得离不开艰辛的训练．某跳水运动员在进行跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示的一条抛物线，已知跳板AB长为2米，跳板距水面CD的高BC为3米，训练时跳水曲线在离起跳点水平距离1米时达到距水面最大高度k米，现以CD为横轴，CB为纵轴建立直角坐标系．
（1）当k=4时，求这条抛物线的解析式；
（2）当k=4时，求运动员落水点与点C的距离；
（3）图中CE=米，CF=米，若跳水运动员在区域EF内（含点E，F）入水时才能达到训练要求，求k的取值范围．
【分析】（1）根据抛物线顶点坐标M（3，4），可设抛物线解析为：y=a（x﹣3）2+4，将点A（2，3）代入可得；
（2）在（1）中函数解析式中令y=0，求出x即可；
（3）若跳水运动员在区域EF内（含点E，F）入水达到训练要求，则在函数y=a（x﹣3）2+k中当x=米，y＞0，当x=米时y＜0，解不等式即可得．
【解答】解：（1）如图所示：
根据题意，可得抛物线顶点坐标M（3，4），A（2，3）
设抛物线解析为：y=a（x﹣3）2+4，
则3=a（2﹣3）2+4，
解得：a=﹣1，
故抛物线解析式为：y=﹣（x﹣3）2+4；
（2）由题意可得：当y=0，则0=﹣（x﹣3）2+4，
解得：x1=1，x2=5，
故抛物线与x轴交点为：（5，0），
当k=4时，求运动员落水点与点C的距离为5米；
（3）根据题意，抛物线解析式为：y=a（x﹣3）2+k，
将点A（2，3）代入可得：a+k=3，即a=3﹣k
若跳水运动员在区域EF内（含点E，F）入水，
则当x=时，y=a+k≥0，即（3﹣k）+k≥0，
解得：k≤，
当x=时，y=a+k≤0，即（3﹣k）+k≤0，
解得：k≥，
故≤k≤．
【点评】此题主要考查了二次函数的应用，根据题意利用顶点式求出二次函数解析式是解题基础，判断入水的位置对应的抛物线上点的坐标特点是解题关键．
23．（14分）（2017•繁昌县模拟）[发现]如图∠ACB=∠ADB=90°，那么点D在经过A，B，C三点的圆上（如图①）
[思考]如图②，如果∠ACB=∠ADB=a（a≠90°）（点C，D在AB的同侧），那么点D还在经过A，B，C三点的⊙O上吗？
我们知道，如果点D不在经过A，B，C三点的圆上，那么点D要么在⊙O外，要么在⊙O内，以下该同学的想法说明了点D不在⊙O外．请结合图④证明点D也不在⊙O内．
【证】
[结论]综上可得结论，如果∠ACB=∠ADB=α（点C，D在AB的同侧），那么点D在经过A，B，C三点的圆上，即：A、B、C、D四点共圆．
[应用]利用上述结论解决问题：
如图⑤，已知△ABC中，∠C=90°，将△ACB绕点A顺时针旋转α度（α为锐角）得△ADE，连接BE、CD，延长CD交BE于点F；
（1）用含α的代数式表示∠ACD的度数；
（2）求证：点B、C、A、F四点共圆；
（3）求证：点F为BE的中点．
【分析】【思考】【证】如图1，假设点D在⊙O内，延长AD交⊙O于点E，连接BE，则∠AEB=∠ACB，根据外角的性质得到∠ADB＞∠AEB，于是得到∠ADB＞∠ACB，于是得到结论；
【应用】（1）由题意可知，AC=AD，∠CAD=α，根据等腰三角形的性质即可得到∠ACD=90°﹣；
（2）根据等腰三角形的性质得到∠ABE=90°﹣α，同时代的∠ACD=∠ABE，即可得到结论；
（3）由B、C、A、F四点共圆，得到∠BFA+∠BCA=180°，推出AF⊥BE，根据等腰三角形的性质即可得到结论．
【解答】【思考】【证】如图1，假设点D在⊙O内，延长AD交⊙O于点E，连接BE，则∠AEB=∠ACB，
∵∠ADB是△BDE的外角，
∴∠ADB＞∠AEB，
∴∠ADB＞∠ACB，
因此，∠ADB＞∠ACB这与条件∠ACB=∠ADB矛盾，
∴点D也不在⊙O内，
∴点D即不在⊙O内，也不在⊙O外，点D在⊙O上；
【应用】（1）由题意可知，AC=AD，∠CAD=α，
∴∠ACD=90°﹣；
（2）∵AB=AE，∠BAE=α，∴∠ABE=90°﹣α，∴∠ACD=∠ABE，
∴B、C、A、F四点共圆；
（3）∵B、C、A、F四点共圆，
∴∠BFA+∠BCA=180°，
又∵∠ACB=90°，
∴∠BFA=90°，
∴AF⊥BE，
∵AB=AE，
∴BF=EF，
即点F为BE的中点．
【点评】本题考查的是点与圆的位置关系、圆周角定理以及反证法的应用，掌握反证法的一般步骤、同弧所对的圆周角相等是解题的关键．
2023年全国初中毕业升学考试模拟试卷
一、选择题（本题共10个小题，每小题4分，共40分）
1．（4分）已知5x=6y（y≠0），那么下列比例式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（4分）在下面的四个几何体中，它们各自的主视图与左视图可能不相同的是（ ）
A． B． C． D．
3．（4分）方程x2=3x的解为（ ）
A．x=3 B．x=0 C．x1=0，x2=﹣3 D．x1=0，x2=3
4．（4分）若将抛物线y=x2向右平移2个单位，再向上平移3个单位，则得到的抛物线解析式是（ ）
A．y=（x﹣2）2﹣3 B．y=（x﹣2）2+3 C．y=（x+2）2﹣3 D．y=（x+2）2+3
5．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，则下列结论不正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．（4分）如图，A、D是⊙O上的两个点，BC是直径，若∠D=32°，则∠OAC等于（ ）
A．64° B．58° C．68° D．55°
7．（4分）如图，以点O为位似中心，将△ABC放大得到△DEF．若AD=OA，则△ABC与△DEF的面积之比为（ ）
A．1：2 B．1：4 C．1：5 D．1：6
8．（4分）如图，已知反比例函数y=（x＞0），则k的取值范围是（ ）
A．1＜k＜2 B．2＜k＜3 C．2＜k＜4 D．2≤k≤4
9．（4分）如图，⊙O的半径为2，点O到直线l的距离为3，点P是直线l上的一个动点，PQ切⊙O于点Q，则PQ的最小值为（ ）
A． B． C．3 D．2
10．（4分）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC=6，BD=8，动点P从点B出发，沿着B﹣A﹣D在菱形ABCD的边上运动，运动到点D停止，点P′是点P关于BD的对称点，PP′交BD于点M，若BM=x，△OPP′的面积为y，则y与x之间的函数图象大致为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
11．（5分）计算：tan45°﹣2cos60°= ．
12．（5分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙O的半径为2，∠B=135°，则的长 ．
13．（5分）在△ABC中，D为AB边上一点，且∠BCD=∠A，已知BC=2，AB=3，则AD= ．
14．（5分）二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）中的x与y的部分对应值如表
x
﹣1
0
1
3
y
﹣1
3
5
3
下列结论：①ac＜0；②当x＞1时，y的值随x值的增大而减小．
③当x=2时，y=5；④3是方程ax2+（b﹣1）x+c=0的一个根；
其中正确的有 ．（填正确结论的序号）
三、（总分90分）
15．（8分）解方程：x（x﹣4）=1．
16．（8分）如图，在小正方形组成的网格中，△ABC和△DEF的顶点都在格点上，根据图形解答下列问题：
（1）将△ABC向左平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度，画出平移后的△A1B1C1；
（2）将△DEF绕D点逆时针旋转90°，画出旋转后的△DE1F1．
17．（8分）某条道路上通行车辆限速为60千米/时，在离道路50米的点P处建一个监测点，道路AB段为检测区（如图）．在△ABP中，已知∠PAB=30°，∠PBA=45°，那么车辆通过AB段的时间在多少秒以内时，可认定为超速（精确到0.1秒）？（参考数据：≈1.41，≈1.73，60千米/时=米/秒）
18．（8分）如图，我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”，已知点A、B、C、D分别是“果圆”与坐标轴的交点，AB为半圆的直径，抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3，求这个“果圆”被y轴截得线段CD的长 ．
19．（10分）某电视台在它的娱乐性节目中每期抽出两名场外幸运观众，有一期甲、乙两人被抽为场外幸运观众，他们获得了一次抽奖的机会，在如图所示的翻奖牌的正面4个数字中任选一个，选中后翻开，可以得到该数字反面的奖品，第一个人选中的数字第二个人不能再选择了．
（1）如果甲先抽奖，那么甲获得“手机”的概率是多少？
（2）小亮同学说：甲先抽奖，乙后抽奖，甲、乙两人获得“手机”的概率不同，且甲获得“手机”的概率更大些．你同意小亮同学的说法吗？为什么？请用列表或画树状图分析．
20．（10分）某养殖户每年的养殖成本包括固定成本和可变成本，其中固定成本每年均为4万元，可变成本逐年增长，已知该养殖户第1年的可变成本为2.6万元，设可变成本平均每年增长的百分率为x．
（1）用含x的代数式表示第3年的可变成本为 万元；
（2）如果该养殖户第3年的养殖成本为7.146万元，求可变成本平均每年增长的百分率x．
21．（12分）如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，点D为三角形内一点，且∠ACD=∠DAB=∠DBC．
（1）求∠CDB的度数；
（2）求证：△DCA∽△DAB；
（3）若CD的长为1，求AB的长．
22．（12分）2016年里约奥运会，中国跳水队赢得8个项目中的7块金牌，优秀成绩的取得离不开艰辛的训练．某跳水运动员在进行跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示的一条抛物线，已知跳板AB长为2米，跳板距水面CD的高BC为3米，训练时跳水曲线在离起跳点水平距离1米时达到距水面最大高度k米，现以CD为横轴，CB为纵轴建立直角坐标系．
（1）当k=4时，求这条抛物线的解析式；
（2）当k=4时，求运动员落水点与点C的距离；
（3）图中CE=米，CF=米，若跳水运动员在区域EF内（含点E，F）入水时才能达到训练要求，求k的取值范围．
23．（14分）[发现]如图∠ACB=∠ADB=90°，那么点D在经过A，B，C三点的圆上（如图①）
[思考]如图②，如果∠ACB=∠ADB=a（a≠90°）（点C，D在AB的同侧），那么点D还在经过A，B，C三点的⊙O上吗？
我们知道，如果点D不在经过A，B，C三点的圆上，那么点D要么在⊙O外，要么在⊙O内，以下该同学的想法说明了点D不在⊙O外．请结合图④证明点D也不在⊙O内．
【证】
[结论]综上可得结论，如果∠ACB=∠ADB=α（点C，D在AB的同侧），那么点D在经过A，B，C三点的圆上，即：A、B、C、D四点共圆．
[应用]利用上述结论解决问题：
如图⑤，已知△ABC中，∠C=90°，将△ACB绕点A顺时针旋转α度（α为锐角）得△ADE，连接BE、CD，延长CD交BE于点F；
（1）用含α的代数式表示∠ACD的度数；
（2）求证：点B、C、A、F四点共圆；
（3）求证：点F为BE的中点．
中考数学模拟试卷（3月份）
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共10个小题，每小题4分，共40分）
1．（4分）已知5x=6y（y≠0），那么下列比例式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】比例的基本性质：组成比例的四个数，叫做比例的项．两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项，根据两内项之积等于两外项之积可得答案．
【解答】解：A、=，则5y=6x，故此选项错误；
B、=，则5x=6y，故此选项正确；
C、=，则5y=6x，故此选项错误；
D、=，则xy=30，故此选项错误；
故选：B．
【点评】此题主要考查了比例的性质，关键是掌握两内项之积等于两外项之积．
2．（4分）在下面的四个几何体中，它们各自的主视图与左视图可能不相同的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】分别分析四个选项的三视图，然后得出结论．
【解答】解：A选项的主视图与左视图分别是正方形和长方形；
B选项的主视图与左视图都是正方形；
C选项的主视图与左视图都是矩形；
D选项的主视图与左视图都是圆．
故选A．
【点评】本题考查了学生的思考能力和对几何体三种视图的空间想象能力．
3．（4分）方程x2=3x的解为（ ）
A．x=3 B．x=0 C．x1=0，x2=﹣3 D．x1=0，x2=3
【分析】因式分解法求解可得．
【解答】解：∵x2﹣3x=0，
∴x（x﹣3）=0，
则x=0或x﹣3=0，
解得：x=0或x=3，
故选：D．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
4．（4分）若将抛物线y=x2向右平移2个单位，再向上平移3个单位，则得到的抛物线解析式是（ ）
A．y=（x﹣2）2﹣3 B．y=（x﹣2）2+3 C．y=（x+2）2﹣3 D．y=（x+2）2+3
【分析】根据向右平移横坐标加，向上平移纵坐标加求出平移后的抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式解析式写出即可．
【解答】解：∵抛物线y=x2向右平移2个单位，再向上平移3个单位，
∴平移后的抛物线顶点坐标为（2，3），
∴得到的抛物线解析式是y=（x﹣2）2+3．
故选B．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，平移的规律：左加右减，上加下减，利用顶点的变化求解更简便．
5．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，则下列结论不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据锐角三角函数的定义，即可解答．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，sinB=，
∵AD⊥BC，
∴sinB=，
sinB=sin∠DAC=，
综上，只有C不正确
故选：C．
【点评】本题考查了锐角三角函数，解决本题的关键是熟记锐角三角函数的定义．
6．（4分）（2017•澧县三模）如图，A、D是⊙O上的两个点，BC是直径，若∠D=32°，则∠OAC等于（ ）
A．64° B．58° C．68° D．55°
【分析】先根据圆周角定理求出∠B及∠BAC的度数，再由等腰三角形的性质求出∠OAB的度数，进而可得出结论．
【解答】解：∵BC是直径，∠D=32°，
∴∠B=∠D=32°，∠BAC=90°．
∵OA=OB，
∴∠BAO=∠B=32°，
∴∠OAC=∠BAC﹣∠BAO=90°﹣32°=58°．
故选B．
【点评】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．
7．（4分）如图，以点O为位似中心，将△ABC放大得到△DEF．若AD=OA，则△ABC与△DEF的面积之比为（ ）
A．1：2 B．1：4 C．1：5 D．1：6
【分析】利用位似图形的性质首先得出位似比，进而得出面积比．
【解答】解：∵以点O为位似中心，将△ABC放大得到△DEF，AD=OA，
∴OA：OD=1：2，
∴△ABC与△DEF的面积之比为：1：4．
故选：B．
【点评】此题主要考查了位似图形的性质，得出位似比是解题关键．
8．（4分）（2017•繁昌县模拟）如图，已知反比例函数y=（x＞0），则k的取值范围是（ ）
A．1＜k＜2 B．2＜k＜3 C．2＜k＜4 D．2≤k≤4
【分析】直接根据A、B两点的坐标即可得出结论．
【解答】解：∵A（2，2），B（2，1），
∴当双曲线经过点A时，k=2×2=4；
当双曲线经过点B时，k=2×1=2，
∴2＜k＜4．
故选C．
【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
9．（4分）如图，⊙O的半径为2，点O到直线l的距离为3，点P是直线l上的一个动点，PQ切⊙O于点Q，则PQ的最小值为（ ）
A． B． C．3 D．2
【分析】因为PQ为切线，所以△OPQ是Rt△．又OQ为定值，所以当OP最小时，PQ最小．根据垂线段最短，知OP=3时PQ最小．根据勾股定理得出结论即可．
【解答】解：∵PQ切⊙O于点Q，
∴∠OQP=90°，
∴PQ2=OP2﹣OQ2，
而OQ=2，
∴PQ2=OP2﹣4，即PQ=，
当OP最小时，PQ最小，
∵点O到直线l的距离为3，
∴OP的最小值为3，
∴PQ的最小值为=．
故选B．
【点评】此题综合考查了切线的性质及垂线段最短等知识点，如何确定PQ最小时点P的位置是解题的关键，难度中等偏上．
10．（4分）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC=6，BD=8，动点P从点B出发，沿着B﹣A﹣D在菱形ABCD的边上运动，运动到点D停止，点P′是点P关于BD的对称点，PP′交BD于点M，若BM=x，△OPP′的面积为y，则y与x之间的函数图象大致为（ ）
A． B． C． D．
【分析】由菱形的性质得出AB=BC=CD=DA，OA=AC=3，OB=BD=4，AC⊥BD，分两种情况：
①当BM≤4时，先证明△P′BP∽△CBA，得出比例式，求出PP′，得出△OPP′的面积y是关于x的二次函数，即可得出图象的情形；
②当BM≥4时，y与x之间的函数图象的形状与①中的相同；即可得出结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=DA，OA=AC=3，OB=BD=4，AC⊥BD，
①当BM≤4时，
∵点P′与点P关于BD对称，
∴P′P⊥BD，
∴P′P∥AC，
∴△P′BP∽△CBA，
∴，即，
∴PP′=x，
∵OM=4﹣x，
∴△OPP′的面积y=PP′•OM=×x（4﹣x）=﹣x2+3x；
∴y与x之间的函数图象是抛物线，开口向下，过（0，0）和（4，0）；
②当BM≥4时，y与x之间的函数图象的形状与①中的相同，过（4，0）和（8，0）；
综上所述：y与x之间的函数图象大致为．
故选：D．
【点评】本题考查了动点问题的函数图象、菱形的性质、相似三角形的判定与性质、三角形面积的计算以及二次函数的运用；熟练掌握菱形的性质，根据题意得出二次函数解析式是解决问题的关键．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
11．（5分）计算：tan45°﹣2cos60°= 0 ．
【分析】把特殊角的三角函数值代入，再计算乘法，后计算加减法即可．
【解答】解：原式=1﹣2×，
=1﹣1，
=0．
故答案为：0．
【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，关键是掌握30°，45°，60°角的三角函数值．
12．（5分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙O的半径为2，∠B=135°，则的长 π ．
【分析】连接OA、OC，然后根据圆周角定理求得∠AOC的度数，最后根据弧长公式求解．
【解答】解：连接OA、OC，
∵∠B=135°，
∴∠D=180°﹣135°=45°，
∴∠AOC=90°，
则的长==π．
故答案为：π．
【点评】本题考查了弧长的计算以及圆周角定理，解答本题的关键是掌握弧长公式L=．
13．（5分）在△ABC中，D为AB边上一点，且∠BCD=∠A，已知BC=2，AB=3，则AD= ．
【分析】证明△DCB≌△CAB，得，可求出BD的长，进而可求出AD的长，由此即可解决问题即可．
【解答】解：∵∠BCD=∠A，∠B=∠B，
∴△DCB～△CAB，
∴，
∴=，
∴BD=，
∴AD=AB﹣BD=，
故答案为：．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法，利用相似三角形的性质求出BD的长，属于中考常考题型．
二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）中的x与y的部分对应值如表
x
﹣1
0
1
3
y
﹣1
3
5
3
下列结论：①ac＜0；②当x＞1时，y的值随x值的增大而减小．
③当x=2时，y=5；④3是方程ax2+（b﹣1）x+c=0的一个根；
其中正确的有 ①③④ ．（填正确结论的序号）
【分析】根据点的坐标利用待定系数法即可求出二次函数解析式，再根据二次函数的解析式逐一分析四条结论的正误即可得出结论．
【解答】解：将（﹣1，﹣1）、（0，3）、（1，5）代入y=ax2+bx+c，
，解得：，
∴二次函数的解析式为y=﹣x2+3x+3．
①ac=﹣1×3=﹣3＜0，
∴结论①符合题意；
②∵y=﹣x2+3x+3=﹣+，
∴当x＞时，y的值随x值的增大而减小，
∴结论②不符合题意；
③当x=2时，y=﹣22+3×2+3=5，
∴结论③符合题意；
④ax2+（b﹣1）x+c=﹣x2+2x+3=（x+1）（﹣x+3）=0，
∴x=3是方程ax2+（b﹣1）x+c=0的一个根，
∴结论④符合题意．
故答案为：①③④．
【点评】本题考查了待定系数法求出二次函数解析式、二次函数的性质以及因式分解法解一元二次方程，根据点的坐标利用待定系数法求出二次函数解析式是解题的关键．
三、（总分90分）
15．（8分）解方程：x（x﹣4）=1．
【分析】先把方程化为x2﹣4x=1，再利用配方法得到（ x﹣2）2=5，然后利用直接开平方法解方程．
【解答】解：x2﹣4x=1，
x2﹣4x+4=5，
（ x﹣2）2=5，
x﹣2=±，
所以x1=2+，x2=2﹣．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：将一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
16．（8分）如图，在小正方形组成的网格中，△ABC和△DEF的顶点都在格点上，根据图形解答下列问题：
（1）将△ABC向左平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度，画出平移后的△A1B1C1；
（2）将△DEF绕D点逆时针旋转90°，画出旋转后的△DE1F1．
【分析】（1）根据图形平移的性质画出平移后的△A1B1C1即可；
（2）根据图形旋转的性质画出旋转后的△DE1F1即可．
【解答】解（1）如图所示：△A1B1C1即为所求；
（2）如图所示：△DE1F1即为所求；
【点评】本题考查的是作图﹣旋转变换，熟知图形旋转不变性的性质是解答此题的关键．
17．（8分）（2017•繁昌县模拟）某条道路上通行车辆限速为60千米/时，在离道路50米的点P处建一个监测点，道路AB段为检测区（如图）．在△ABP中，已知∠PAB=30°，∠PBA=45°，那么车辆通过AB段的时间在多少秒以内时，可认定为超速（精确到0.1秒）？（参考数据：≈1.41，≈1.73，60千米/时=米/秒）
【分析】作PC⊥AB于点C，根据三角函数即可求得AC与BC的长，则AB即可求得，用AB的长除以速度即可求解．
【解答】解：作PC⊥AB于点C．
在直角△APC中，tan∠PAC=，
则AC==50≈86.5（米），
同理，BC==PC=50（米），
则AB=AC+BC≈136.5（米），
60千米/时=米/秒，
则136.5÷≈8.2（秒）．
故车辆通过AB段的时间在8.2秒内时，可认定为超速．
【点评】本题考查解直角三角形的应用，属于实际应用类题目，从复杂的实际问题中整理出直角三角形是解决此类问题的关键．
18．（8分）如图，我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”，已知点A、B、C、D分别是“果圆”与坐标轴的交点，AB为半圆的直径，抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3，求这个“果圆”被y轴截得线段CD的长 3+ ．
【分析】将x=0代入抛物线的解析式得y=﹣3，故此可得到DO的长，然后令y=0可求得点A和点B的坐标，故此可得到AB的长，由M为圆心可得到MC和OM的长，然后依据勾股定理可求得OC的长，最后依据CD=OC+OD求解即可．
【解答】解：连接AC，BC．
∵抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3，
∴点D的坐标为（0，﹣3），
∴OD的长为3．
设y=0，则0=x2﹣2x﹣3，解得：x=﹣1或3，
∴A（﹣1，0），B（3，0）．
∴AO=1，BO=3，AB=4，M（1，0）．
∴MC=2，OM=1．
在Rt△COB中，OC==．
∴CD=CO+OD=3+，即这个“果圆”被y轴截得的线段CD的长3+．
故答案为：3+．
【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了坐标轴上点的坐标特点，圆的概念和性质，勾股定理等知识点，求的点D的坐标以及OC的长是解题的关键．
19．（10分）某电视台在它的娱乐性节目中每期抽出两名场外幸运观众，有一期甲、乙两人被抽为场外幸运观众，他们获得了一次抽奖的机会，在如图所示的翻奖牌的正面4个数字中任选一个，选中后翻开，可以得到该数字反面的奖品，第一个人选中的数字第二个人不能再选择了．
（1）如果甲先抽奖，那么甲获得“手机”的概率是多少？
（2）小亮同学说：甲先抽奖，乙后抽奖，甲、乙两人获得“手机”的概率不同，且甲获得“手机”的概率更大些．你同意小亮同学的说法吗？为什么？请用列表或画树状图分析．
【分析】（1）一共有4种情况，手机有一种，除以总情况数即为所求概率；
（2）列举出所有情况，看所求的情况占总情况的多少即可．
【解答】解：（1）第一位抽奖的同学抽中手机的概率是；
（2）不同意．
从树状图中可以看出，所有可能出现的结果共12种，而且这些情况都是等可能的．
先抽取的人抽中手机的概率是；
后抽取的人抽中手机的概率是=．
所以，甲、乙两位同学抽中手机的机会是相等的．
【点评】考查了列表与树状图法求概率的知识，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．注意本题是不放回实验．
20．（10分）某养殖户每年的养殖成本包括固定成本和可变成本，其中固定成本每年均为4万元，可变成本逐年增长，已知该养殖户第1年的可变成本为2.6万元，设可变成本平均每年增长的百分率为x．
（1）用含x的代数式表示第3年的可变成本为 2.6（1+x）2 万元；
（2）如果该养殖户第3年的养殖成本为7.146万元，求可变成本平均每年增长的百分率x．
【分析】（1）根据增长率问题由第1年的可变成本为2.6万元就可以表示出第二年的可变成本为2.6（1+x），则第三年的可变成本为2.6（1+x）2，故得出答案；
（2）根据养殖成本=固定成本+可变成本建立方程求出其解即可
【解答】解：（1）由题意，得
第3年的可变成本为：2.6（1+x）2，
故答案为：2.6（1+x）2；
（2）由题意，得
4+2.6（1+x）2=7.146，
解得：x1=0.1，x2=﹣2.1（不合题意，舍去）．
答：可变成本平均每年增长的百分率为10%．
【点评】本题考查了增长率的问题关系的运用，列一元二次方程解实际问题的运用，一元二次方程的解法的运用，解答时根据增长率问题的数量关系建立方程是关键．
21．（12分）如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，点D为三角形内一点，且∠ACD=∠DAB=∠DBC．
（1）求∠CDB的度数；
（2）求证：△DCA∽△DAB；
（3）若CD的长为1，求AB的长．
【分析】（1）只要证明∠CDA=135°，∠ADB=135°即可解决问题．
（2）根据两角对应相等两三角形相似即可判定．
（3）由△DCA∽△DAB，推出===，又CD=1，推出AD=，DB=2．根据BC=，求出BC，再在Rt△ABC中，求出AB即可解决问题．
【解答】（1）解：∵△ABC为等腰直角三角形，
∴∠CAB=45°．
又∵∠ACD=∠DAB，
∴∠ACD+∠CAD=∠DAB+∠CAD=∠CAB=45°，
∴∠CDA=135°
同理可得∠ADB=135°
∴∠CDB=360°﹣∠CDA﹣∠ADB=360°﹣135°﹣135°=90°．
（2）证明：∵∠CDA=∠ADB，∠ACD=∠DAB，
∴△DCA∽△DAB
（3）解：∵△DCA∽△DAB，
∴===，
又∵CD=1，
∴AD=，DB=2．
又∵∠CDB=90°，
∴BC===，
在Rt△ABC中，∵AC=BC=，
∴AB==．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，本题的突破点是发现∠CDB=90°，属于中考常考题型．
22．（12分）2016年里约奥运会，中国跳水队赢得8个项目中的7块金牌，优秀成绩的取得离不开艰辛的训练．某跳水运动员在进行跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示的一条抛物线，已知跳板AB长为2米，跳板距水面CD的高BC为3米，训练时跳水曲线在离起跳点水平距离1米时达到距水面最大高度k米，现以CD为横轴，CB为纵轴建立直角坐标系．
（1）当k=4时，求这条抛物线的解析式；
（2）当k=4时，求运动员落水点与点C的距离；
（3）图中CE=米，CF=米，若跳水运动员在区域EF内（含点E，F）入水时才能达到训练要求，求k的取值范围．
【分析】（1）根据抛物线顶点坐标M（3，4），可设抛物线解析为：y=a（x﹣3）2+4，将点A（2，3）代入可得；
（2）在（1）中函数解析式中令y=0，求出x即可；
（3）若跳水运动员在区域EF内（含点E，F）入水达到训练要求，则在函数y=a（x﹣3）2+k中当x=米，y＞0，当x=米时y＜0，解不等式即可得．
【解答】解：（1）如图所示：
根据题意，可得抛物线顶点坐标M（3，4），A（2，3）
设抛物线解析为：y=a（x﹣3）2+4，
则3=a（2﹣3）2+4，
解得：a=﹣1，
故抛物线解析式为：y=﹣（x﹣3）2+4；
（2）由题意可得：当y=0，则0=﹣（x﹣3）2+4，
解得：x1=1，x2=5，
故抛物线与x轴交点为：（5，0），
当k=4时，求运动员落水点与点C的距离为5米；
（3）根据题意，抛物线解析式为：y=a（x﹣3）2+k，
将点A（2，3）代入可得：a+k=3，即a=3﹣k
若跳水运动员在区域EF内（含点E，F）入水，
则当x=时，y=a+k≥0，即（3﹣k）+k≥0，
解得：k≤，
当x=时，y=a+k≤0，即（3﹣k）+k≤0，
解得：k≥，
故≤k≤．
【点评】此题主要考查了二次函数的应用，根据题意利用顶点式求出二次函数解析式是解题基础，判断入水的位置对应的抛物线上点的坐标特点是解题关键．
23．（14分）（2017•繁昌县模拟）[发现]如图∠ACB=∠ADB=90°，那么点D在经过A，B，C三点的圆上（如图①）
[思考]如图②，如果∠ACB=∠ADB=a（a≠90°）（点C，D在AB的同侧），那么点D还在经过A，B，C三点的⊙O上吗？
我们知道，如果点D不在经过A，B，C三点的圆上，那么点D要么在⊙O外，要么在⊙O内，以下该同学的想法说明了点D不在⊙O外．请结合图④证明点D也不在⊙O内．
【证】
[结论]综上可得结论，如果∠ACB=∠ADB=α（点C，D在AB的同侧），那么点D在经过A，B，C三点的圆上，即：A、B、C、D四点共圆．
[应用]利用上述结论解决问题：
如图⑤，已知△ABC中，∠C=90°，将△ACB绕点A顺时针旋转α度（α为锐角）得△ADE，连接BE、CD，延长CD交BE于点F；
（1）用含α的代数式表示∠ACD的度数；
（2）求证：点B、C、A、F四点共圆；
（3）求证：点F为BE的中点．
【分析】【思考】【证】如图1，假设点D在⊙O内，延长AD交⊙O于点E，连接BE，则∠AEB=∠ACB，根据外角的性质得到∠ADB＞∠AEB，于是得到∠ADB＞∠ACB，于是得到结论；
【应用】（1）由题意可知，AC=AD，∠CAD=α，根据等腰三角形的性质即可得到∠ACD=90°﹣；
（2）根据等腰三角形的性质得到∠ABE=90°﹣α，同时代的∠ACD=∠ABE，即可得到结论；
（3）由B、C、A、F四点共圆，得到∠BFA+∠BCA=180°，推出AF⊥BE，根据等腰三角形的性质即可得到结论．
【解答】【思考】【证】如图1，假设点D在⊙O内，延长AD交⊙O于点E，连接BE，则∠AEB=∠ACB，
∵∠ADB是△BDE的外角，
∴∠ADB＞∠AEB，
∴∠ADB＞∠ACB，
因此，∠ADB＞∠ACB这与条件∠ACB=∠ADB矛盾，
∴点D也不在⊙O内，
∴点D即不在⊙O内，也不在⊙O外，点D在⊙O上；
【应用】（1）由题意可知，AC=AD，∠CAD=α，
∴∠ACD=90°﹣；
（2）∵AB=AE，∠BAE=α，∴∠ABE=90°﹣α，∴∠ACD=∠ABE，
∴B、C、A、F四点共圆；
（3）∵B、C、A、F四点共圆，
∴∠BFA+∠BCA=180°，
又∵∠ACB=90°，
∴∠BFA=90°，
∴AF⊥BE，
∵AB=AE，
∴BF=EF，
即点F为BE的中点．
【点评】本题考查的是点与圆的位置关系、圆周角定理以及反证法的应用，掌握反证法的一般步骤、同弧所对的圆周角相等是解题的关键．
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