2022-2023学年重庆110中九年级（上）期中数学试卷

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2022-2023学年重庆110中九年级（上）期中数学试卷一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出A、B、C、D四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的框涂黑。1．（4分）方程x2﹣4＝0的根是（　　）A．x＝2 B．x1＝﹣2，x2＝2 C．x1＝0，x2＝2 D．x＝﹣22．（4分）一块三棱柱积木如图，则它的俯视图是（　　）A． B． C． D．3．（4分）某渔民为估计池塘里鱼的总数，先随机打捞20条鱼给它们分别作上标志，然后放回，待有标志的鱼完全混合于鱼群后，第二次打捞80条，发现其中2条鱼有标志从而估计该池塘有鱼（　　）A．1000条 B．800条 C．600条 D．400条4．（4分）已知a、b、c三条线段满足2，若b+d+f＝3，则a+c+e的值为（　　）A． B． C．3 D．65．（4分）随机抛掷一枚质地均匀的硬币两枚，两次都是正面朝上的概率是（　　）A． B． C． D．6．（4分）如图，在△ABC中，DE∥BC，且△ADE与△ABC的周长比为2：3，若△ADE的面积为8，则△ABC的面积为（　　）A．12 B． C． D．187．（4分）下列命题正确的是（　　）A．有三个角是直角的四边形是正方形 B．有一个角是直角的平行四边形是矩形 C．对角线相等的四边形是矩形 D．一组邻边相等的四边形是菱形8．（4分）如图，线段AB两个端点坐标分别为A（4，6），B（6，2），以原点O为位似中心，在第三象限内将线段AB缩小为原来的后，得到线段CD，则点C的坐标为（　　）A．（﹣2，﹣3） B．（﹣3，﹣2） C．（﹣3，﹣1） D．（﹣2，﹣1）9．（4分）某工厂7月份的利润是100万元，第3季度的利润是324万元，设8、9月份的平均增长率为x，求此平均增长率可列方程为（　　）A．1000（1+x）2＝324 B．100+100x+100（1+x）2＝324 C．100+100（1+x）+100（1+x）2＝324 D．100+100（1+x）2＝32410．（4分）如图，光源E在横杆AB的正上方，且到横杆AB的距离为0.5m，AB在灯光下的影子CD，AB∥CD．已知AB＝1m，CD＝3.6m，则横杆AB到CD的距离为（　　）A．1.3m B．1.5m C．1.8m D．2m11．（4分）关于x的一元二次方程（a+4）x2﹣4x﹣1＝0有两个实数根，且关于x的分式方程4有正整数解，则满足条件的所有整数a的和为（　　）A．18 B．14 C．13 D．1712．（4分）在原点为O的数轴上，从左到右依次排列的三个动点A，M，B，满足MA＝MB，将点A，M，B表示的数分别记为a，m，b．下列说法正确的个数有（　　）①当m＝2时，b＝4﹣a；②当m＝5时，若a为奇数，且5＜b≤8，则a＝3或5；③若b＝8，BM＝3OM，则m＝2；④当m＝3，b＝4时，将点B水平右移3个单位至点B1，再将点B1水平右移3个单位至点B2，以此类推，…，且满足MAn＝MBn，则数轴上与B2022对应的点A2022表示的数为﹣6064．A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上。13．（4分）已知a＝3b（a≠0，b≠0），则的值为 　 　．14．（4分）若m是方程x2﹣2x﹣1＝0的一个根，则3m2﹣6m+2021的值为 　 　．15．（4分）如图，菱形纸片ABCD，AB＝10，∠B＝60°，将该菱形纸片折叠，使点B恰好落在CD边的中点B'处，折痕与边BC、BA分别交于点M、N．则BM的长为 　 　．16．（4分）“手中有粮，心中不慌”．为优选品种，提高农作物产量，某农业科技小组对A，B，C三个小麦品种进行种植对比研究．去年A，B，C三个品种各种植了相同的面积，但产量不同．收获后A，B，C三个品种的售价之比为2：3：5，全部售出后，三个品种的总销售额是其中C品种销售额的4倍．今年，科技小组加大了小麦种植的科研力度，在A，B，C种植亩数不变的情况下，预计A，B，C三个品种平均亩产量将在去年的基础上分别增加，，，由于B品种深受市场的欢迎，预计每千克售价将在去年的基础上上涨，A，C两个品种的售价不变．若B，C两个品种今年全部售出后销售额之比是5：3．则今年A，B两个品种的产量之比是 　 　．三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.17．（8分）解方程：（1）x2﹣6x+2＝0；（2）（2x+3）2＝4（2x+3）．18．（8分）如图，E是正方形ABCD边BC上一点，且BF＝3FC，E是DC的中点．（1）求证：△ADE∽△EFC；（2）猜想AE与EF的位置关系，并说明理由．四、解答题：（本大题7个小题，每题10分，共70分）解答每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.19．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，AC是对角线．（1）用基本尺规作图完成以下作图：取BC边的点E，使得∠EAC＝∠DAC，并延长AE与DC的延长线相交于点F，再连接BF；（2）若AD＝AF，猜想四边形ABFC的形状，并说明理由．20．（10分）小明和小亮玩一个游戏：三张大小、质地都相同的卡片上分别标有数字5、6、7，现将标有数字的一面朝下．小明从中任意抽取一张，记下数字后放回洗匀，然后小亮从中任意抽取一张，计算小明和小亮抽得的两个数字之和．如果和为奇数，则小明胜；和为偶数，则小亮胜．（1）请你用画树状图或列表的方法，求出这两数和为12的概率；（2）你认为这个游戏对双方公平吗？说说你的理由．21．（10分）如图，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F．过点C作CG⊥AF于点G，连接DG、BG、CG．（1）求证：BG＝DG；（2）连接BD，求∠BDG的度数．22．（10分）某商场经销一种成本为每千克40元的水产品，经市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售单价每涨价1元，月销售量就减少10千克．针对这种水产品的销售情况，请解答以下问题．（1）当销售单价定为每千克55元，计算月销售量和月销售利润；（2）商场计划在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？23．（10分）《海岛算经》是中国历史上最杰出的数学家刘徽留给后世最宝贵的数学遗产，《海岛算经》的第一个问题的大意是：要测量海岛上一座山峰A的高度AH，立两根高3丈的标杆BC和DE，两杆之间的距离BD＝1000步，D，B，H成一线：从B处退行123步到F，人的眼睛贴着地面观察A点，A、C，F三点成一线；从D处退127步到G，从G观察A点，A，E，G三点共线，试计算山峰的高度AH及HB的长（这里1步＝6尺，1丈＝10尺），结果用尺表示．根据问题描述画图形如图所示，请利用相似三角形求出线段AH和BH的长．（结果用尺表示）24．（10分）阅读下列材料：韦达定理：若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根分别为x1，x2，则x1+x2，x1•x2阅读下面应用韦达定理的过程：若一元二次方程﹣2x2+3x+4＝0的两根分别为x1，x2．求（x1+1）（x2+1）的值．解：该一元二次方程的判别式Δ＝b2﹣4ac＝32﹣4×（﹣2）×4＝41＞0由韦达定理可得：x1+x2，x1•x22（x1+1）（x2+1）＝x1x2+（x1+x2）+1＝﹣21．解答下列问题：（1）设方程3x2﹣5x﹣1＝0的两根分别为x1，x2．不解方程，利用韦达定理求代数式（3x1+1）（﹣3x2﹣1）的值．（2）若关于x的一元二次方程x2﹣2（k+1）x+k2+2＝0的两实数根分别为α，β，且（2α+1）（2β+1）＝21，利用韦达定理求k的值．25．（10分）矩形ABCD中，∠ACB＝30°，△BEF中，∠BEF＝90°，∠BFE＝30°，BFAC，连接FD，点G是FD中点，将△BEF绕点B顺时针旋转α（0°＜α＜360°）．（1）如图1，若点B恰好在线段DF延长线上，AB＝4，连接EG，求EG的长度；（2）如图2，若点E恰好落在线段FD上，连接AG，证明：2（GD﹣GA）DC；（3）如图3，若点E恰好落在线段AB延长线上，点M是线段AD上一点，3AM＝DM，N是平面内一点，满足∠MND＝∠FDC，已知AB＝4，当△DMN是等腰三角形时，直接写出线段MN的长度．2022-2023学年重庆110中九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出A、B、C、D四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的框涂黑。1．（4分）方程x2﹣4＝0的根是（　　）A．x＝2 B．x1＝﹣2，x2＝2 C．x1＝0，x2＝2 D．x＝﹣2【分析】利用直接开平方法求解即可．【解答】解：∵x2﹣4＝0，∴x2＝4，∴x1＝2，x2＝﹣2，故选：B．【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．2．（4分）一块三棱柱积木如图，则它的俯视图是（　　）A． B． C． D．【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．【解答】解：从上面看，是一行两个相邻的矩形，故选：C．【点评】本题考查了三视图的知识，关键是掌握俯视图是从物体的上面看得到的视图．3．（4分）某渔民为估计池塘里鱼的总数，先随机打捞20条鱼给它们分别作上标志，然后放回，待有标志的鱼完全混合于鱼群后，第二次打捞80条，发现其中2条鱼有标志从而估计该池塘有鱼（　　）A．1000条 B．800条 C．600条 D．400条【分析】设该鱼塘有鱼x条，根据题意得，解之可得答案．【解答】解：设该鱼塘有鱼x条，根据题意得，解得：x＝800，经检验x＝800是原分式方程的解，即估计该鱼塘有鱼800条，故选：B．【点评】本题考查的是通过样本去估计总体，只需将样本“成比例地放大”为总体即可．4．（4分）已知a、b、c三条线段满足2，若b+d+f＝3，则a+c+e的值为（　　）A． B． C．3 D．6【分析】先利用等比性质得到2，然后把b+d+f＝3代入后利用内项之积等于外项之积可求出a+c+e的值．【解答】解：∵2，∴2，∵b+d+f＝3，∴a+c+e＝2×3＝6．故选：D．【点评】本题考查了比例的性质：灵活运用比例的性质（内项之积等于外项之积、合比性质、分比性质、合分比性质、等比性质）进行计算．5．（4分）随机抛掷一枚质地均匀的硬币两枚，两次都是正面朝上的概率是（　　）A． B． C． D．【分析】列举出所有情况，看正面都朝上的情况数占总情况数的多少即可．【解答】解：共4种情况，正面都朝上的情况数有1种，所以概率是 ．故选B．【点评】本题考查了概率的求法；用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．得到所求的情况数是解决本题的关键．6．（4分）如图，在△ABC中，DE∥BC，且△ADE与△ABC的周长比为2：3，若△ADE的面积为8，则△ABC的面积为（　　）A．12 B． C． D．18【分析】由相似三角形的性质可求解．【解答】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴，（）2，∴，∴S△ABC＝18，故选：D．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．7．（4分）下列命题正确的是（　　）A．有三个角是直角的四边形是正方形 B．有一个角是直角的平行四边形是矩形 C．对角线相等的四边形是矩形 D．一组邻边相等的四边形是菱形【分析】利用矩形、菱形及正方形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项．【解答】解：A、有三个角是直角的四边形是矩形，故原命题错误，不符合题意；B、有一个角是直角的平行四边形是矩形，正确，符合题意；C、对角线相等的平行四边形是矩形，故原命题错误，不符合题意；D、一组邻边相等的平行四边形是菱形，故原命题错误，不符合题意．故选：B．【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解矩形、菱形及正方形的判定方法，难度不大．8．（4分）如图，线段AB两个端点坐标分别为A（4，6），B（6，2），以原点O为位似中心，在第三象限内将线段AB缩小为原来的后，得到线段CD，则点C的坐标为（　　）A．（﹣2，﹣3） B．（﹣3，﹣2） C．（﹣3，﹣1） D．（﹣2，﹣1）【分析】利用位似图形的性质结合两图形的位似比进而得出C点坐标．【解答】解：∵线段AB的两个端点坐标分别为A（4，6），B（6，2），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，∴端点C的横坐标和纵坐标都变为A点的一半的相反数，∴端点C的坐标为：（﹣2，﹣3）．故选：A．【点评】此题主要考查了位似图形的性质，利用两图形的位似比得出对应点横纵坐标关系是解题关键．9．（4分）某工厂7月份的利润是100万元，第3季度的利润是324万元，设8、9月份的平均增长率为x，求此平均增长率可列方程为（　　）A．1000（1+x）2＝324 B．100+100x+100（1+x）2＝324 C．100+100（1+x）+100（1+x）2＝324 D．100+100（1+x）2＝324【分析】主要考查增长率问题，一般用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），如果设利润平均每月的增长率为x，根据“第一季度的利润是100万元”，可得出方程．【解答】解：设利润平均每月的增长率为x，又知：第一季度的总利润是324万元，其中7月份的利润是100万元，所以，可列方程为：100+100（1+x）+100（1+x）2＝324；故选：C．【点评】本题考查求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2＝b（当增长时中间的“±”号选“+”，当降低时中间的“±”号选“﹣”）．10．（4分）如图，光源E在横杆AB的正上方，且到横杆AB的距离为0.5m，AB在灯光下的影子CD，AB∥CD．已知AB＝1m，CD＝3.6m，则横杆AB到CD的距离为（　　）A．1.3m B．1.5m C．1.8m D．2m【分析】直接利用相似三角形的判定与性质得出两三角形的相似比，再利用对应高的比也等于相似比进而得出答案．【解答】解：∵AB∥CD，∴△EAB∽△ECD，∵AB＝1m，CD＝3.6m，∴，∵点E到AB的距离是0.5m，设AB离地面的距离为：xm，∴点E到CD的距离为（x+0.5）m，∴，解得：x＝1.3，故选：A．【点评】此题主要考查了相似三角形的应用，正确利用相似三角形的性质分析是解题关键．11．（4分）关于x的一元二次方程（a+4）x2﹣4x﹣1＝0有两个实数根，且关于x的分式方程4有正整数解，则满足条件的所有整数a的和为（　　）A．18 B．14 C．13 D．17【分析】利用二次项系数非零及根的判别式Δ≥0，即可得出关于a的一元一次不等式组，解之即可得出a的取值范围，解分式方程可得出分式方程的解为x，由分式方程有正整数解及a的取值范围，可得出a的值，结合x＝3为分式方程的增根，可取得a的所有值，再将其相加即可得出结论．【解答】解：∵关于x的一元二次方程（a+4）x2﹣4x﹣1＝0有两个实数根，∴，∴a≥﹣8且a≠﹣4．解分式方程4得x，∵关于x的分式方程4有正整数解，a≥﹣8且a≠﹣4，∴a可以为1，6，11．又∵x﹣3≠0，即0，∴a≠1，∴a的值为6，11，∴满足条件的所有整数a的和为6+11＝17．故选：D．【点评】本题考查了根的判别式、一元二次方程的定义以及分式方程的解，根据给定条件，求出a的值是解题的关键．12．（4分）在原点为O的数轴上，从左到右依次排列的三个动点A，M，B，满足MA＝MB，将点A，M，B表示的数分别记为a，m，b．下列说法正确的个数有（　　）①当m＝2时，b＝4﹣a；②当m＝5时，若a为奇数，且5＜b≤8，则a＝3或5；③若b＝8，BM＝3OM，则m＝2；④当m＝3，b＝4时，将点B水平右移3个单位至点B1，再将点B1水平右移3个单位至点B2，以此类推，…，且满足MAn＝MBn，则数轴上与B2022对应的点A2022表示的数为﹣6064．A．1 B．2 C．3 D．4【分析】MA＝m﹣a，MB＝b﹣m，由MA＝MB可得m﹣a＝b﹣m，再对每个说法逐一分析即可．【解答】解：根据题意可得，MA＝m﹣a，MB＝b﹣m，∵MA＝MB，∴m﹣a＝b﹣m，即2m＝a+b，当m＝2时，2m＝a+b，2×2＝a+b，b＝4﹣a，故结论①符合题意；当m＝5时，2m＝a+b，2×5＝a+b，a＝10﹣b，∵5＜b≤8，∴2≤a＜5，∵a为奇数，∴a＝3，故结论②不符合题意；b＝8，OM＝m或﹣m，OM＝m时，BM＝3OM，b﹣m＝3m，即8﹣m＝3m，解得：m＝2，当OM＝﹣m时，BM＝3OM，b﹣m＝﹣3m，即8﹣m＝﹣3m，解得：m＝﹣4，∴m＝2或m＝﹣4，故结论③不符合题意；要满足MAn＝MBn，则A向左移的单位和B所移的单位长度相等，∵m＝3，b＝4，MA＝MB，∴A点数为2，A点向左移动3个单位长度，A1的数为2﹣3×1，A2的数为2﹣3×2，A3的数为2﹣3×3，……，An的数为2﹣3n，当n＝2022时，2﹣3n＝2﹣3×2022＝2﹣6066＝﹣6064，故结论④符合题意；综上所述，说法正确的个数为2．故选：B．【点评】本题考查了数轴以及图像的变化，综合性较强，难度较大．二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上。13．（4分）已知a＝3b（a≠0，b≠0），则的值为 　　．【分析】把a＝3b代入式子中进行计算，即可解答．【解答】解：∵a＝3b，∴，故答案为：．【点评】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．14．（4分）若m是方程x2﹣2x﹣1＝0的一个根，则3m2﹣6m+2021的值为 　2024　．【分析】根据题意可得：把x＝m代入x2﹣2x﹣1＝0中得：m2﹣2m﹣1＝0，从而可得m2﹣2m＝1，然后代入式子中进行计算即可解答．【解答】解：由题意得：把x＝m代入x2﹣2x﹣1＝0中得：m2﹣2m﹣1＝0，∴m2﹣2m＝1，∴3m2﹣6m＝3，∴3m2﹣6m+2021＝3+2021＝2024，故答案为：2024．【点评】本题考查了一元二次方程的解，熟练掌握求代数式值中的整体思想是解题的关键．15．（4分）如图，菱形纸片ABCD，AB＝10，∠B＝60°，将该菱形纸片折叠，使点B恰好落在CD边的中点B'处，折痕与边BC、BA分别交于点M、N．则BM的长为 　7　．【分析】过点B′作B′E⊥BC，与BC的延长线交于点E，解直角三角形B′CE得B′E，CE，设BM＝x，用x表示ME，MB′，再用勾股定理列出x的方程进行解答．【解答】解：过点B′作B′E⊥BC，与BC的延长线交于点E，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD＝4，AB∥CD，∵B′是CD的中点，∴B′C＝5，∵∠B＝60°，∴∠B′CE＝∠B＝60°，∴CE，B′E＝B′C•sin60°，设BM＝x，则ME＝BC+CE﹣BM＝10xx，由折叠性质知，B′M＝BM＝x，∵B′M2﹣ME2＝B′E2，∴x2﹣（x）2＝（）2，解得，x＝7，故答案为：7．【点评】本题主要考查了菱形的性质，折叠性质，解直角三角形，勾股定理，方程思想，关键是作辅助线构造直角三角形．16．（4分）“手中有粮，心中不慌”．为优选品种，提高农作物产量，某农业科技小组对A，B，C三个小麦品种进行种植对比研究．去年A，B，C三个品种各种植了相同的面积，但产量不同．收获后A，B，C三个品种的售价之比为2：3：5，全部售出后，三个品种的总销售额是其中C品种销售额的4倍．今年，科技小组加大了小麦种植的科研力度，在A，B，C种植亩数不变的情况下，预计A，B，C三个品种平均亩产量将在去年的基础上分别增加，，，由于B品种深受市场的欢迎，预计每千克售价将在去年的基础上上涨，A，C两个品种的售价不变．若B，C两个品种今年全部售出后销售额之比是5：3．则今年A，B两个品种的产量之比是 　12：5　．【分析】用未知数表示出A，B，C三个小麦去年的产量和售价，再根据题意表示出今年的产量和售价，列方程．因为都和C有关系，可以用C的未知数表示另外两种，从而可求出．【解答】解：设A，B，C三个小麦去年的产量分别为x、y、z，去年的售价为2a、3a、5a，则今年A，B，C三个小麦的产量为x，y，z，售价为2a、4a、5a．∴，∴y＝2z，∴zy，∵三个品种的总销售额是其中C品种销售额的4倍，∴2ax+3ay+5az＝4×5az，∴2x+3y＝10z，∴xzy．∴今年A，B两个品种的产量之比是（x）：（y）＝12：5．故答案为：12：5．【点评】此题考查的是三元一次方程的应用，涉及到多个未知数，掌握代入消元法是解题的关键．三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.17．（8分）解方程：（1）x2﹣6x+2＝0；（2）（2x+3）2＝4（2x+3）．【分析】（1）利用配方法得到（x﹣3）2＝7，然后利用直接开平方法解方程；（2）先移项，再利用因式分解法把方程转化为2x+3＝0或2x+3﹣4＝0，然后解一次方程即可．【解答】解：（1）x2﹣6x+2＝0，x2﹣6x＝﹣2，x2﹣6x+9＝7，（x﹣3）2＝7，x﹣3＝±，所以x1＝3，x2＝3；（2）（2x+3）2＝4（2x+3），（2x+3）2﹣4（2x+3）＝0，（2x+3）（2x+3﹣4）＝0，2x+3＝0或2x+3﹣4＝0，所以x1，x2．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了配方法．18．（8分）如图，E是正方形ABCD边BC上一点，且BF＝3FC，E是DC的中点．（1）求证：△ADE∽△EFC；（2）猜想AE与EF的位置关系，并说明理由．【分析】（1）先根据正方形的性质得∠D＝∠C，再证明CF：DE＝CE：DA，便可得相似三角形；（2）由相似三角形的性质得∠AED＝∠CFE，再由互余性质得∠AED+∠CEF＝90°，便可得出AE与EF的位置关系．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠D＝∠C＝90°，AD＝CD＝BC，∵BF＝3FC，E是DC的中点，∴FCBC，DE＝CE，∴，∴△ADE∽△ECF，（2）解：AE⊥EF．理由如下：∵△ADE∽△ECF，∴∠AED＝∠EFC，∵∠EFC+∠CEF＝90°，∴∠AED+∠CEF＝90°，∴∠AEF＝90°，∴AE⊥EF．【点评】本题考查了正方形的性质，相似三角形的性质与判定，垂直的定义，关键是掌握正方形的性质与相似三角形的判定与性质．四、解答题：（本大题7个小题，每题10分，共70分）解答每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.19．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，AC是对角线．（1）用基本尺规作图完成以下作图：取BC边的点E，使得∠EAC＝∠DAC，并延长AE与DC的延长线相交于点F，再连接BF；（2）若AD＝AF，猜想四边形ABFC的形状，并说明理由．【分析】（1）作∠EAC＝∠DAC，即可完成作图；（2）根据对角线相等且互相平分即可得四边形ABFC是矩形．【解答】解：（1）如图所示，∠EAC即为所求；（2）四边形ABFC是矩形，理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，∴∠DAC＝∠ACE，∵∠EAC＝∠DAC，∴∠EAC＝∠ACE，∴AE＝EC，∵AD＝BC，AD＝AF，∴AF＝BC，∵AD＝AF，∠EAC＝∠DAC，∴DC＝CF，∴AB＝CF，∴四边形ABFC是矩形．【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了全等三角形的判定与性质、平行四边形的性质．20．（10分）小明和小亮玩一个游戏：三张大小、质地都相同的卡片上分别标有数字5、6、7，现将标有数字的一面朝下．小明从中任意抽取一张，记下数字后放回洗匀，然后小亮从中任意抽取一张，计算小明和小亮抽得的两个数字之和．如果和为奇数，则小明胜；和为偶数，则小亮胜．（1）请你用画树状图或列表的方法，求出这两数和为12的概率；（2）你认为这个游戏对双方公平吗？说说你的理由．【分析】（1）首先根据题意列表，然后根据表求得所有等可能的结果与两数和为12的情况，再利用概率公式求解即可；（2）分别求出和为奇数、和为偶数的概率，即可得出游戏的公平性．【解答】解：（1）列表如下：由表可知，共有9种等可能的情况数，其中这两数和为12的有3种，则这两数和为12的概率是；（2）这个游戏规则对双方不公平．理由：共有9种等可能的情况数，其中和为奇数的有4种，和为偶数的有5种，则P（和为奇数），P（和为偶数），而，所以这个游戏规则对双方是不公平的．【点评】此题考查了列表法求概率．注意树状图与列表法可以不重不漏的表示出所有等可能的情况．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．21．（10分）如图，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F．过点C作CG⊥AF于点G，连接DG、BG、CG．（1）求证：BG＝DG；（2）连接BD，求∠BDG的度数．【分析】（1）由BF平分∠BAD，得∠DAF＝∠BAF＝45°，则∠F＝∠DAF＝45°，可证明DF＝DA＝BC，由CG⊥AF于点G，得∠GCF＝∠F＝45°，则∠BCG＝∠F＝45°，CG＝FG，即可证明△BCG≌△DFG，得BG＝DG；（2）由∠CBG＝∠FDG，推导出∠GBD+∠BDG＝∠CBD+∠CDB＝90°，则∠GBD＝∠BDG＝45°．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴BC＝DA，BC∥DA，∠BAD＝∠ADC＝∠BCD＝90°，∴∠BCF＝∠BCD＝90°，∵BF平分∠BAD，∴∠DAF＝∠BAF＝45°，∴∠F＝∠DAF＝45°，∴DF＝DA，∴BC＝DF，∵CG⊥AF于点G，∴∠CGF＝90°，∴∠GCF＝∠F＝45°，∴∠BCG＝∠F＝45°，CG＝FG，在△BCG和△DFG中，，∴△BCG≌△DFG（SAS），∴BG＝DG．（2）解：∵△BCG≌△DFG，∴∠CBG＝∠FDG，∴∠GBD+∠BDG＝∠CBD+∠CBG+∠BDG＝∠CBD+∠FDG+∠BDG＝∠CBD+∠CDB＝90°，∵∠GBD＝∠BDG，∴∠BDG＝45°，∴∠BDG的度数是45．【点评】此题重点考查矩形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的两个锐角互余等知识，证明△BCG≌△DFG是解题的关键．22．（10分）某商场经销一种成本为每千克40元的水产品，经市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售单价每涨价1元，月销售量就减少10千克．针对这种水产品的销售情况，请解答以下问题．（1）当销售单价定为每千克55元，计算月销售量和月销售利润；（2）商场计划在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？【分析】（1）销售单价每涨价1元，月销售量就减少10千克．那么涨价5元，月销售量就减少50千克．根据月销售利润＝每件利润×数量即可求出题目的结果；（2）等量关系为：销售利润＝每件利润×数量，设单价应定为x元，根据这个等式即可列出方程，解方程即可．【解答】解：（1）月销售量为500﹣5×10＝450千克，月利润为（55﹣40）×450＝6750元．（2）设单价应定为x元，得（x﹣40）[500﹣10（x﹣50）]＝8000，解得：x1＝60，x2＝80．当x＝60时，月销售成本为16000元，不合题意舍去．∴x＝80．答：销售单价应定为80元/千克．【点评】此题考查的是一元二次方程的应用，首先读懂题意，找到合适的等量关系，然后设出未知数正确列出方程是解决本题的关键．23．（10分）《海岛算经》是中国历史上最杰出的数学家刘徽留给后世最宝贵的数学遗产，《海岛算经》的第一个问题的大意是：要测量海岛上一座山峰A的高度AH，立两根高3丈的标杆BC和DE，两杆之间的距离BD＝1000步，D，B，H成一线：从B处退行123步到F，人的眼睛贴着地面观察A点，A、C，F三点成一线；从D处退127步到G，从G观察A点，A，E，G三点共线，试计算山峰的高度AH及HB的长（这里1步＝6尺，1丈＝10尺），结果用尺表示．根据问题描述画图形如图所示，请利用相似三角形求出线段AH和BH的长．（结果用尺表示）【分析】根据题意得出△FCB∽△FAH，△EDG∽△AHG，进而利用相似三角形的性质求出即可．【解答】解：由题意，AH⊥HG，CB⊥HG，∴∠AHF＝90°，∠CBF＝90°，∴∠AHF＝∠CBF，∵∠AFB＝∠CFB，∴△CBF∽△AHF，∴，同理可得，∵BF＝123，BD＝1000，DG＝127，∴HF＝HB+123，HG＝HB+1000+127＝HB+1127，BC＝DE＝3丈＝35，∴，，解得HB＝30750步＝184500尺，HA＝1255步＝7530尺，答：AH为7530尺，HB为184500尺．【点评】此题主要考查了相似三角形的应用，得出△FCB∽△FAH，△EDG∽△AHG是解题关键．24．（10分）阅读下列材料：韦达定理：若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根分别为x1，x2，则x1+x2，x1•x2阅读下面应用韦达定理的过程：若一元二次方程﹣2x2+3x+4＝0的两根分别为x1，x2．求（x1+1）（x2+1）的值．解：该一元二次方程的判别式Δ＝b2﹣4ac＝32﹣4×（﹣2）×4＝41＞0由韦达定理可得：x1+x2，x1•x22（x1+1）（x2+1）＝x1x2+（x1+x2）+1＝﹣21．解答下列问题：（1）设方程3x2﹣5x﹣1＝0的两根分别为x1，x2．不解方程，利用韦达定理求代数式（3x1+1）（﹣3x2﹣1）的值．（2）若关于x的一元二次方程x2﹣2（k+1）x+k2+2＝0的两实数根分别为α，β，且（2α+1）（2β+1）＝21，利用韦达定理求k的值．【分析】（1）由根与系数的关系可得x1+x2，x1x2，从而可求解；（2）由根与系数的关系可得α+β＝2（k+1），αβ＝k2+2，从而可求解．【解答】解：（1）∵方程3x2﹣5x﹣1＝0的两根分别为x1，x2，∴x1+x2，x1x2，∴（3x1+1）（﹣3x2﹣1）＝﹣9x1x2﹣3（x1+x2）＝﹣9×（）﹣3＝3﹣5＝﹣2；（2）∵一元二次方程x2﹣2（k+1）x+k2+2＝0的两实数根分别为α，β，∴Δ＝[﹣2（k+1）]2﹣4（k2+2）≥0，解得：k，∴α+β＝2（k+1），αβ＝k2+2，∵（2α+1）（2β+1）＝21，∴4αβ+2（α+β）＝21，∴4×（k2+2）+2×2（k+1）＝21，解得：（舍去），．【点评】本题综合考查了根的判别式和根与系数的关系，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根，（2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根，（3）Δ＜0⇔方程没有实数根．25．（10分）矩形ABCD中，∠ACB＝30°，△BEF中，∠BEF＝90°，∠BFE＝30°，BFAC，连接FD，点G是FD中点，将△BEF绕点B顺时针旋转α（0°＜α＜360°）．（1）如图1，若点B恰好在线段DF延长线上，AB＝4，连接EG，求EG的长度；（2）如图2，若点E恰好落在线段FD上，连接AG，证明：2（GD﹣GA）DC；（3）如图3，若点E恰好落在线段AB延长线上，点M是线段AD上一点，3AM＝DM，N是平面内一点，满足∠MND＝∠FDC，已知AB＝4，当△DMN是等腰三角形时，直接写出线段MN的长度．【分析】（1）作EH⊥BG于H，解直角三角形EFH和直角三角形EGH，从而求得结果；（2）连接BD，交AC于O，连接OG，AE，证明△AOG≌△ABE，进而得出等边三角形AGE，进一步得出结论；（3）连接BD，证明△ABD≌△FBD，得出∠DFE＝∠DAB＝90°，从而∠C＝∠DFB＝90°，故点C、D、B、F共圆，从而得出∠MND＝∠FDC＝30°，当DN＝MN时，作DM的垂直平分线，交DF于O，以O为圆心，OD为半径作⊙O，OG交⊙O于N′，连接MN′，DN′，解直角三角形DGN′，当MN＝DM时，可求得MN，进一步得出结果．【解答】（1）解：如图1，作EH⊥BD于H，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，BD＝AC＝8，∵∠ACB＝30°，∴AC＝2AB＝8，∵BF，∴BF，∴点F是BD的中点，∴DF＝BF＝4，∵G是DF的中点，∴FG，在Rt△EFB中，∠EFB＝30°，BF＝4，∴EF＝4•cos30°＝2，在Rt△EFH中，∠EFB＝30°，∴EH，FHEF＝3，在Rt△EGH中，GH＝FG+FH＝2+3＝5，EH，∴EG2；（2）证明：如图2，连接BD，交AC于O，连接OG，AE，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝∠DAB＝90°，AC＝BD，OA，∴OA＝OB，∵∠CAB＝90°﹣∠ACB＝90°﹣30°＝60°，∴∠ABD＝60°，OA＝AB，∵∠DAB＝∠DEB＝180°﹣∠BEF＝90°，∴点D、A、E、B共圆，∴∠AEG＝∠ABD＝60°，∵点G是DF的中点，点O是BD的中点，∴OGBF，OG∥BF，∴∠DOG＝∠DBF，∵∠AOD＝120°，∠ABD+∠FBE＝60°+60°＝120°，∴∠DOG﹣∠AOD＝∠DBF﹣∠ABD﹣∠EBF，∴∠AOG＝∠ABE，∵BE，∴OG＝BE，∴△AOG≌△ABE（SAS），∴∠OAG＝∠BAE，∴∠OAG+∠GAB＝∠BAE+∠GAB，∴∠GAE＝∠OAB＝60°，∴△AGE是等边三角形，∴AG＝EG，∴DG﹣AG＝FG﹣EG＝EF，设BF＝AB＝CD＝a，则EF，∴EFCD，∴DG﹣AG，∴2（DG﹣AG）；（3）解：如图3，连接BD，∵∠FBE＝60°，∴∠ABF＝180°﹣∠BFE＝120°，∵∠ABD＝60°，∴∠DBF＝∠ABF﹣∠ABD＝120°﹣60°＝60°，∴∠ABD＝∠DFE，∵AB＝BF，BD＝BD，∴△ABD≌△FBD（SAS），∴∠DFE＝∠DAB＝90°，∴∠C＝∠DFB＝90°，∴点C、D、B、F共圆，∴∠FDC＝∠CBF，∵EF∥BC，∴∠CBF＝∠BFE＝30°，∴∠MND＝∠FDC＝30°，作DM的垂直平分线，交DF于O，以O为圆心，OD为半径作⊙O，OG交⊙O于N′，连接MN′，DN′，∴OD＝OM，DN′＝MN′，∵∠ODM＝90°﹣∠CDF＝60°，∴△DOM是等边三角形，∴∠DN′M，∵ADAB＝4，3AM＝DM，∴DM＝3，∴DG＝GN，∴OGDG，∴ON′＝OD＝DM＝3，∴GN′＝OG+ON′3，∴MN′，当DN＝DM时，MNDM，综上所述：当MN或时，△DMN是等腰三角形．【点评】本题考查了矩形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，确定圆的条件等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2023/1/30 21:54:39；用户：刘世阳；邮箱：zhaoxia41@xyh.com；学号：39428214小亮和小明567510111261112137121314