2022-2023学年重庆市梁平区梁山初中教育集团九年级（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年重庆市梁平区梁山初中教育集团九年级（上）期中数学试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共48.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
一元二次方程2x2-x-3=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是( )
A. 2，1，3B. 2，1，-3C. 2，-1，3D. 2，-1，-3
下列北京冬奥会运动标识图案是轴对称图形的是( )
A. B.
C. D.
已知x=2是关于x的一元二次方程x2-4x+m=0的一个根，则m的值为( )
A. 2B. -2C. 4D. -4
二次函数y=x2+6x+4图象的对称轴是直线( )
A. x=-3B. x=-6C. x=6D. x=4
二次函数y=-(x+a)2-2的最大值是( )
A. -2B. -1C. 1D. 2
把菱形按照如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个菱形，第②个图案中有3个菱形，第③个图案中有5个菱形，…，按此规律排列下去，则第⑥个图案中菱形的个数为( )
A. 15B. 13C. 11D. 9
某小区2018年屋顶绿化面积为2000m2，计划2020年屋顶绿化面积要达到2880m2.设该小区2018年至2020年屋顶绿化面积的年平均增长率为x，则可列方程为( )
A. 2000(1+2x)=2880
B. 2000×(1+x)=2880
C. 2000+2000(1+x)+2000(1+x)2=2880
D. 2000(1+x)2=2880
将抛物线y=3x2向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是( )
A. y=3(x-1)2-2B. y=3(x+1)2-2
C. y=3(x+1)2+2D. y=3(x-1)2+2
已知：a>b>c，且a+b+c=0，则二次函数y=ax2+bx+c的图象可能是下列图象中的( )
A. B.
C. D.
已知抛物线y=kx2(k>2)与直线y=ax+b(a≠0)有两个公共点，它们的横坐标分别为x1、x2，又有直线y=ax+b与x轴的交点坐标为(x3,0)，则x1、x2、x3满足的关系式是( )
A. x1+x2=x3B. 1x1+1x2=1x3
C. x3=x1+x2x1x2D. x1x2+x2x3=x1x3
下表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值：
下列选项中，正确的是( )
A. 这个函数的图象开口向下B. 这个函数的图象与x轴无交点
C. 这个函数的最小值小于-6D. 当x>1时，y随x值得增大而增大
关于x的分式方程3x-ax-3+x+13-x=1解为正数，且关于y的不等式组y+9≤2(y+2)2y-a3>1，解集为y≥5，则满足所有条件的整数a的个数是( )
A. 0B. 1C. 2D. 3
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共16.0分）
若y=(m+2)xm2-2是二次函数，则m的值是______ ．
已知(-3,y1)，(-2,y2)，(1,y3)是抛物线y=-3x2-12x+m上的点，则y1、y2、y3的大小关系为______．
如图，在矩形ABCD中，AB=1，BC=2，以B为圆心，BC的长为半径画弧，交AD于点E.则图中阴影部分的面积为______.(结果保留π)
如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y=x2-2x+2上运动．过点A作AC⊥x轴于点C，以AC为对角线作矩形ABCD，连结BD，则对角线BD的最小值为______．
三、解答题（本大题共9小题，共86.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
(本小题8.0分)
解方程：
(1)x(x-3)=-x+3
(2)x2=3x-2．
(本小题8.0分)
若抛物线y=x2+3x+a与x轴只有一个交点，求实数a的值．
(本小题10.0分)
已知m、n、4分别是等腰三角形(非等边三角形)三边的长，且m、n是关于x的一元二次方程x2-6x+k+2=0的两个根，则k的值．
(本小题10.0分)
约定：(a,b,c)为函数y=ax2+bx+c的“关联数”，当其图象与坐标轴交点的横、纵坐标均为整数时，该交点为“整交点”.若关联数为(m,-m-2,2)的函数图象与x轴有两个整交点(m为正整数)，求这个函数图象上整交点的坐标．
(本小题10.0分)
如图，已知抛物线y=ax2+bx(a≠0)经过A(3,0)，B(4,4)两点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)将直线OB向下平移m个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个公共点D，求m的值．
(本小题10.0分)
已知关于x的一元二次方程：x2-(m-3)x-m=0．
(1)试判断原方程根的情况；
(2)若抛物线y=x2-(m-3)x-m与x轴交于A(x1,0)，B(x2,0)两点，则A，B两点间的距离是否存在最大或最小值？若存在，求出这个值；若不存在，请说明理由．(友情提示：AB=|x2-x1|)
(本小题10.0分)
某公司生产某种产品的成本是200元/件，售价是250元/件，年销售量为10万件．为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告，根据经验，每年投入的广告费是x万元，产品的年销售量将是原销售量的y倍，且y与x之间满足二次函数关系：y=-0.001x2+0.06x+1．
(1)如果把利润看作是销售总额减去成本费用和广告费用，试求出年利润S(万元)与广告费用x(万元)的函数关系式(无需自变量的取值范围)；
(2)如果公司年投入的广告费不低于10万元且不高于50万元，求年利润S的最大值．
(本小题10.0分)
材料：在处理有动点的几何问题时，寻求与动点相关的常量，可以帮我们分析出动点的运动轨迹，进而解决问题．如果动点C与定线段AB所成的∠CAB为常量，那么点C的运动轨迹为射线AC，如图A.如果动点G与定直线EF的距离GH为常量，动点G的运动轨迹即为过点G且与直线EF平行的直线l，如图B．
如图C中，矩形ABCD中，AB=5，BC=6，点P在边AD上且PD=2，点M为直线AB上的一动点，以PM为直角边作等腰RtPMN，∠MPN=90°，点N在直线MP的右下方，连接DN，当点M在边AB上运动时，
(1)分析点N的运动轨迹并写出证明过程；画出轨迹(尺规作图)．
(2)求△PDN周长的最小值．#ZZ00
(本小题10.0分)
已知：A(0,2)，点B为x轴上的一动点，过点B作x轴的垂线交AB的垂直平分线于点P．
(1)请利用图(1)进行探讨：
若点B(2,0)，则点P的坐标为______；若点B(-2,0)，则点P的坐标为______；若点B(0,0)时，点P的坐标为______；
(2)设P(x,y)，请列y关于x函数关系式，并在图2中画出点P的运动轨迹l；
(3)图2中，点C(0,2)，点D(0,5)，有动点G，且DG=1；按下列要求作图，轨迹l与直线y=2相交于点A，B(A点在左)，点Q为线段AG的中点，连接CQ，直接写出线段CQ的长度范围．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：一元二次方程2x2-x-3=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是2，-1，-3，
故选：D．
找出方程的二次项系数，一次项系数，常数项即可．
此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0(a,b,c是常数且a≠0)特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
2.【答案】C
【解析】解：A.不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B.不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C.是轴对称图形，故此选项符合题意；
D.不是轴对称图形，故此选项不合题意．
故选：C．
根据轴对称图形的概念求解．
本题考查了轴对称图形，关键是掌握好轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
3.【答案】C
【解析】解：根据题意将x=2代入方程得：22-4×2+m=0，
解得：m=4，
故选：C．
由x=2为方程的解，将x=2代入方程即可求出m的值．
此题考查了一元二次方程的解，以及一元二次方程的定义，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
4.【答案】A
【解析】解：∵二次函数y=x2+6x+4=(x+3)2-5，
∴该函数的对称轴是直线x=-3，
故选：A．
先将二次函数解析式化为顶点式，即可得到该函数的对称轴．
本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
5.【答案】A
【解析】解：∵二次函数y=-(x+a)2-2，
∴抛物线开口向下，顶点是抛物线的最高点，
∴当x=-a时，y有最大值是-2；
故选：A．
利用二次函数的图象与性质解答即可，a=-1，开口向下，顶点是抛物线的最高点，当x=-a时y有最大值是-2．
本题主要考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质．
6.【答案】C
【解析】解：由图形知，第①个图案中有1个菱形，
第②个图案中有3个菱形，即1+2=3，
第③个图案中有5个菱形即1+2+2=5，
……
则第n个图案中菱形有1+2(n-1)=(2n-1)个，
∴第⑥个图案中有2×6-1=11个菱形，
故选：C．
根据前面三个图案中菱形的个数，得出规律，第n个图案中菱形有(2n-1)个，从而得出答案．
本题主要考查了图形的变换规律，归纳出第n个图案中菱形的个数为2n-1，是解题的关键．，体现了从特殊到一般的数学思想．
7.【答案】D
【解析】解：依题意得：2000(1+x)2=2880．
故选：D．
根据该小区2018年及2020年屋顶绿化的面积，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
8.【答案】A
【解析】解：将抛物线y=3x2向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是y=3(x-1)2-2．
故选A．
由平移的规律即可求得答案．
本题主要考查二次函数的图象变换，掌握平移的规律是解题的关键，即“左加右减，上加下减”．
9.【答案】C
【解析】解：A、由图知a>0，-b2a=1，c>0，即b<0，
∵已知a>b>c，故本选项错误；
B、由图知a<0，而已知a>b>c，且a+b+c=0，必须a>0，故本选项错误；
C、图C中条件满足a>b>c，且a+b+c=0，故本选项正确；
D、∵a+b+c=0，
即当x=1时a+b+c=0，与图中与x轴的交点不符，故本选项错误．
故选：C．
由a>b>c，且a+b+c=0，确定a>0，c<0，与x轴交点一个是(1,0)，采取排除法即可选出所选答案．
本题主要考查了二次函数的性质，点的坐标特点等知识点，灵活运用性质进行说理是解此题的关键．题型较好．
10.【答案】B
【解析】解：由题意得x1和x2为方程ax+b=kx2的两个根，即kx2-ax-b=0，
∴x1+x2=ak，x1⋅x2=-bk；
∴1x1+1x2=x1+x2x1x2=-ab，
∵直线与x轴交点的横坐标为：x3=-ba，
∴1x3=-ab；
∴1x1+1x2=1x3．
故选：B．
先将直线y=ax+b与抛物线y=kx2联立，构成一元二次方程，求出两根积与两根和的表达式；然后将欲证等式的左边通分，转化为两根积与两根和的形式，将以上两表达式代入得到等式左边的值；再根据直线解析式求出与x的交点横坐标，即可得出答案．
此题考查了函数与方程的关系，证明时利用一元二次方程根与系数的关系将原式转化，得到关于k、b的表达式是证明的关键．证明思路可简单表达为：抓两头，凑中间．
11.【答案】C
【解析】解：∵抛物线经过点(0,-4)，(3,-4)，
∴抛物线对称轴为直线x=32，
∵抛物线经过点(-2,6)，
∴当x<32时，y随x增大而减小，
∴抛物线开口向上，且跟x轴有交点，故A，B错误，不符合题意；
∴x>32时，y随x增大而增大，故D错误，不符合题意；
由对称性可知，在x=32处取得最小值，且最小值小于-6.故C正确，符合题意；
故选：C．
根据抛物线经过点(0,-4)，(3,-4)可得抛物线对称轴为直线x=32，由抛物线经过点(-2,6)可得抛物线开口向上，进而求解．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程的关系．
12.【答案】D
【解析】解：解分式方程得：x=a-2，
∵x>0且x≠3，
∴a-2>0且a-2≠3，
∴a>2且a≠5，
解不等式组得：y≥5y>a+32，
∵不等式组的解集为y≥5，
∴a+32<5，
∴a<7，
∴2∴所有满足条件的整数a的值有3，4，6共3个，
故选：D．
解分式方程得得出x=a-2，结合题意及分式方程的意义求出a>2且a≠5，解不等式组得出y≥5y>a+32，结合题意得出a<7，进而得出2本题考查了分式方程的解，解一元一次不等式组，解一元一次不等式，一元一次不等式的整数解，正确求解分式方程，一元一次不等式组，一元一次不等式是解决问题的关键．
13.【答案】2
【解析】解：由题意得：m2-2=2，且m+2≠0，
解得：m=2，
故答案为：2．
利用二次函数定义可得m2-2=2，且m+2≠0，再解即可．
此题主要考查了二次函数定义，关键是掌握形如y=ax2+bx+c(a、b、c是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数．
14.【答案】y2>y1>y3
【解析】解：抛物线y=-3x2-12x+m的开口向下，对称轴是直线x=--122×(-3)=-2，当x<-2时，y随x的增大而增大，
∵(-3,y1)，(-2,y2)，(1,y3)是抛物线y=-3x2-12x+m上的点，
∴点(1,y3)关于对称轴x=-2的对称点是(-5,y3)，
∵-5<-3<-2，
∴y2>y1>y3，
故答案为：y2>y1>y3．
先求出抛物线的对称轴和开口方向，根据二次函数的性质比较即可．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质，能熟记二次函数的性质是解此题的关键．
15.【答案】13π
【解析】解：∵以B为圆心，BC的长为半径画弧，交AD于点E，
∴BE=BC=2，
在矩形ABCD中，∠A=∠ABC=90°，AB=1，BC=2，
∴sin∠AEB=ABBE=12，
∴∠AEB=30°，
∴∠EBA=60°，
∴∠EBC=30°，
∴阴影部分的面积：S=30π×22360=13π，
故答案为：13π.
先根据锐角三角函数求出∠AEB=30°，再根据扇形面积公式求出阴影部分的面积．
本题考查有关扇形面积的相关计算、矩形的性质，掌握扇形面积公式和矩形的性质的应用，其中根据锐角三角函数求出角的度数是解题关键．
16.【答案】1
【解析】解：∵y=x2-2x+2=(x-1)2+1，
∴抛物线的顶点坐标为(1,1)，
∵四边形ABCD为矩形，
∴BD=AC，
而AC⊥x轴，
∴AC的长等于点A的纵坐标，
当点A在抛物线的顶点时，点A到x轴的距离最小，最小值为1，
∴对角线BD的最小值为1．
故答案为1．
先利用配方法得到抛物线的顶点坐标为(1,1)，再根据矩形的性质得BD=AC，由于AC的长等于点A的纵坐标，所以当点A在抛物线的顶点时，点A到x轴的距离最小，最小值为1，从而得到BD的最小值．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了矩形的性质．
17.【答案】解：(1)移项，得x(x-3)+x-3=0
所以(x-3)(x+1)=0
即x-3=0或x+1=0
所以x1=3，x2=-1
(2)移项，得x2-3x+2=0
所以(x-1)(x-2)=0
即x-1=0或x-2=0
所以x1=1，x2=2．
【解析】(1)移项后提取公因式，用因式分解法；
(2)移项后用因式分解法．
本题考查了因式分解法解一元二次方程．掌握因式分解法解一元二次方程的一般步骤是关键．
18.【答案】解：∵抛物线y=x2+3x+a与x轴只有一个交点，
∴△=0，即9-4a=0．
解得：a=94．
【解析】抛物线y=x2+3x+a与x轴只有一个交点，则△=0．
本题主要考查的是抛物线与x轴交点，根据题意得到△=0是解题的关键．
19.【答案】解：当m=n时，Δ=(-6)2-4(k+2)=0，
解得k=7，
∵m+n=6>4，
∴k=7满足条件；
当m=4时，4+n=6，4n=k+2，
解得n=2，k=6，
当n=4时，同理可得m=2，k=6，
综上所述，k的值为7或6．
【解析】讨论：当m=n时，利用判别式的意义得到Δ=(-6)2-4(k+2)=0，则k=7；当m=4时，根据根与系数的关系得4+n=6，4n=k+2，解得n=2，k=6；当n=4时，同理可得m=2，k=6．
本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根，则x1+x2=-ba，x1x2=ca.也考查了三角形三边的关系和根的判别式．
20.【答案】解：根据题意，令y=0，将关联数(m,-m-2,2)代入函数y=ax2+bx+c，则有mx2+(-m-2)x+2=0，
Δ=(-m-2)2-4×2m=(m-2)2>0，
∴mx2+(-m-2)x+2=0有两个根，且m≠2，
由求根公式可得x=m+2±(-m-2)2-8m2m，
x=m+2±|m-2|2m，
x1=m+2+m-22m=1，
x2=m+2+2-m2m=42m=2m，
当m=1时符合题意；此时x2=2；
所以这个函数图象上整交点的坐标为(2,0)，(1,0)；
令x=0，可得y=c=2，即得这个函数图象上整交点的坐标(0,2)．
综上所述，这个函数图象上整交点的坐标为(2,0)，(1,0)和(0,2)．
【解析】根据题意令y=0，将关联数(m,-m-2,2)代入函数y=ax2+bx+c，则有mx2+(-m-2)x+2=0，利用求根公式可得m，将m代入可得函数图象与x轴的交点坐标；令x=0，可得y=c=2，即得这个函数图象与y轴上整交点的坐标(0,2)．
本题主要考查了抛物线与坐标轴交点的特征，理解题意是解答此题的关键．
21.【答案】解：(1)∵抛物线y=ax2+bx(a≠0)经过A(3,0)，B(4,4)两点，
∴9a+3b=016a+4b=4，解得a=1b=-3，
∴抛物线解析式为y=x2-3x；
(2)设OB的解析式为y=kx，
把B(4,4)代入得4k=4，解得k=1，
∴直线OB的解析式为y=x，
∴直线OB向下平移m个单位长度后得到的直线的解析式为y=x-m，
∵直线y=x-m与抛物线y=x2-3x只有一个公共点D，
∴x2-3x=x-m有两个相等的实数解，
整理得x2-4x+m=0，
∵Δ=(-4)2-4m=0，解得m=4，
即m的值为4．
【解析】(1)把A点和B点坐标代入利用待定系数法求解即可；
(2)先确定直线OB的解析式为y=x，则平移后的直线的解析式为y=x-m，利用x2-3x=x-m有两个相等的实数解得到Δ=(-4)2-4m=0，然后解m的方程即可．
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，一次函数图象与几何变换，解题关键是掌握函数与方程的关系．
22.【答案】解：(1)Δ=[-(m-3)]2-4(-m)=m2-2m+9=(m-1)2+8，
∵(m-1)2≥0，
∴Δ=(m-1)2+8>0，
∴原方程有两个不等实数根；
(2)存在，
理由：由题意知x1，x2是原方程的两根，
∴x1+x2=m-3，x1⋅x2=-m．
∵AB=|x1-x2|，
∴AB2=(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2
=(m-3)2-4(-m)=(m-1)2+8，
∴当m=1时，AB2有最小值8，
∴AB有最小值，即AB=8=22．
【解析】本题考查了抛物线与x轴的交点，利用了根的判别式，根据根与系数的关系，利用完全平方公式得出二次函数是解题关键，又利用了二次函数的性质．
(1)根据根的判别式，可得答案；
(2)根据根与系数的关系，可得A、B间的距离，根据二次函数的性质，可得答案．
23.【答案】解：(1)根据题意得：S=(250-200)⋅10y-x=500(-0.001x2+0.06x+1)-x=-12x2+29x+500，
∴年利润S(万元)与广告费用x(万元)的函数关系式为S=-12x2+29x+500；
(2)∵S=-12(x-29)2+920.5(10≤x≤50)，
∴当10≤x<29时，S随着x的增大而增大；
当29当x=29时，S有最大值920.5．
故年利润S的最大值为920.5万元．
【解析】(1)根据利润=(销售单价-成本)×销售量-广告费用，列出函数关系式，化简成一般式即可得；
(2)将(1)中二次函数一般式配方成二次函数的顶点式，由x的范围结合二次函数的性质即可得．
本题主要考查二次函数的实际应用，理解题意找到题目蕴含的相等关系列出函数解析式及熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
24.【答案】解：(1)N的运动轨迹是AD下方，到AD等于4的一条直线l.理由如下：
如图，作NH⊥AD于H，

∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=90°，AD=BC=6，
∵∠H=∠A=∠MPN=90°，
∴∠APM+∠HPN=90°，∠APM+∠AMP=90°，
∴∠AMP=∠HPN，
∵PM=PN，
∴△APM≌△HNP(AAS)，
∴NH=AP=AD-PD=6-2=4，
∴点N的运动轨迹是直线l(在AD的下方，到直线AD的距离为4，
画出图象如下：
；
(2)作P关于这条直线l的对称点P'，连接DP'交直线l于N'，连接DN'，此时PN'+DN'的值最小，最小值=线段DP'的长，

在Rt△DPP'中，DP'=22+82=217，
∴△PDN周长的最小值为2+217．
【解析】(1)作NH⊥AD于H，利用全等三角形的性质证明NH=AP=4，则可得点N的运动轨迹是直线l(在AD的下方，到直线AD的距离为4；
(2)作P关于这条直线l的对称点P'，连接DP'交直线l于N'，连接DN'，此时PN'+DN'的值最小，最小值=线段DP'的长．
本题考查轴对称-最短问题，矩形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确判断N的运动轨迹，属于中考填空题中的压轴题．
25.【答案】(2,2) (-2,2) (0,1)
【解析】解：(1)如图1，

当B(2,0)时，AB的垂直平分线的解析式为：y=x，
当x=2时，y=2，
∴P1(2,2)，
当B(-2,0)时，AB的解析式为：y=-x，
∴P2(-2,2)，
当点B(0,0)时，P3(0,1)，
故答案为：(2,2)，(-2.2)，(0,1)；
(2)∵点P在AB的垂直平分线上，
∴PA=PB，即PA2=PB2，
x2+(y-2)2=y2，
∴y=14x2+1，
图象如图1：

(3)如图2，

当y=2时，14x2+1=2，
∴x1=-2，x2=2，
∴A(-2,2)，
连接AD，取AD的中点I，连接QI，
∵点Q是AG的中点，
∴QI=12 DQ=12，
∴点Q在以点I为圆心，12为半径的圆上运动，
作射线CM，分别交⊙I于M，N，
∵I(-1,72)，
∴IC=12+(72-2)2=52，
∴CN=CI+MI=52+12=3，CM=52-12=2，
∴2≤CQ≤3．
(1)当B(2,0)时，AB的垂直平分线的解析式为：y=x，当x=2时，y=2，从而求得点P的坐标，同样求得另外的情形；
(2)由PA=PB列出等式，进而变形得出结果；
(3)先求出点A的坐标，连接AD，取AD的中点I，连接QI，可推出点Q在以点I为圆心，12为半径的圆上运动，作射线CM，分别交⊙I于M，N，进一步得出结果．
本题考查了线段垂直平分线的性质，画二次函数的图象，圆的定义，三角形中位线定理等知识，解决问题的关键是作辅助线，找出点Q的运动轨迹．
x
……
-2
0
1
3
……
y
……
6
-4
-6
-4
……