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陕西省西安市雁塔区陕西师范大学附属中学2022-2023学年九年级上学期期末数学试题
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陕西省西安市雁塔区陕西师范大学附属中学2022-2023学年九年级上学期期末数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．-2022的相反数是（ ）A．2022 B．-2022 C． D．-2．下列运算正确的是（ ）A． B． C． D．3．如图，已知，是的平分线，若，则的度数为（ ）A． B． C． D．4．正比例函数的图象经过点，，则的值为（ ）A．3 B． C．－3 D．5．如图，将绕点A逆时针旋转得到，若，于点F，则的度数为（ ）A． B． C． D．6．如图，△ABC中，∠A＝60°，以AB为直径作⊙O，分别交AC、BC于点D、E，若AD＝CD，则∠AOE的度数是（ ）A．120° B．100° C．80° D．60°7．已知二次函数，函数y与自变量x的部分对应值如下表所示：当时，y的取值范围是（ ）A． B． C． D．二、填空题8．比较大小：___5（选填“”、“ ”、“ ” ）．9．如图，点F在正五边形的内部，若为等边三角形，则的度数是______．10．如图，矩形的对角线与相交于点，，，则的值为______．11．如图，点A，B是函数图象上两点，过点A作轴垂足为点C，并交于点D．若的面积为2，D为的中点，则k的值为______．12．如图，在菱形中，，，直线l平分菱形的面积，交于点E，交于点F，当线段最短时，的长为______．三、解答题13．计算：．14．解不等式组：．15．解分式方程：16．先化简，再求值：，其中．17．尺规作图：如图，在中，，请画出的外接圆（不写作法，保留作图痕迹）．18．如图，在正方形中，E为边上一点，延长至点H，使，过点H作，连接，且．求证：．19．为扎实推进“五育并举”工作，某校利用课外活动时间，开设了丰富多彩的社团活动，每位同学只能选择一个社团参加．小军和小阳是好朋友，他们对其中的四个社团（A．航模社团、B．智能创意3D制造、C．篮球社、D．“生物圈”创新实验室）都很喜欢，但难以取舍，于是他们每人决定随机选择一个社团．(1)随机选择一个社团，小军选择“智能创意3D制造”社团的概率是________；(2)A，C为室外社团，B，D为室内社团，请利用画树状图或列表的方法，求小军和小阳都选择室外社团的概率．20．为了了解落实国家“双减”政策情况，某学校随机调查了部分学生在家完成作业的时间．按时间长短划分为，，，四个等级，并绘制了如下不完整的频数分布表和扇形统计图：根据以上信息，解答以下问题：(1)表中的______，扇形统计图中______，______．(2)被调查学生完成作业时长的中位数落在______等级．(3)若该校有2500名学生，请估计全校在家完成作业时间为1.5小时及以下的学生有多少人？21．如图，在一笔直的海岸线上有A，B两个观测站，A在B的正西方向，AB=2km，从观测站A测得船C在北偏东45°的方向，从观测站B测得船C在北偏西30°的方向．求船C离观测站A的距离．22．“倡导垃圾分类，共享绿色生活”．为了对回收的垃圾进行更精准的分类，某垃圾处理厂计划向某机器人公司购进一批垃圾分捡机器人，每台原价为20万元，经过协商，机器人公司表示，根据购买数量，可以给予一定的优惠，具体如下：购买不超过30台，每台可享受九折优惠；超过30台，则超出部分每台可享受七五折优惠．设垃圾处理厂购进x台机器人，需要总费用y万元．(1)求y与x的函数表达式；(2)若垃圾处理厂计划用820万元购买这种机器人，则最多可以购买多少台？23．如图，在中，，点D在边上，以为直径作交的延长线于点E．若是的切线．(1)求证：；(2)若，求半径的长．24．如图，平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，顶点为，对称轴l与x轴交于点C．(1)求该抛物线的表达式；(2)点M在抛物线上，过点M作对称轴l的垂线，垂足为点E，点F在l上，若以M、E、F为顶点的三角形与全等，请求出满足条件的所有点M的坐标．25．（1）在中，，则的面积为__________．（2）如图，某老式住宅的地基平面示意图为如下四边形，其中．某设计师受业主委托将该住宅翻新改造，为了固定房屋主体结构，设计师打算在边上分别选取两点E、F，使得，再在上选取点G、H，连接交于点O（点O在四边形内部），且满足，，设，房屋主体结构所在四边形的面积为．①请求出S与x的函数关系式．②求S的最大值及此时的长． x…013…y…366…等级时长（h）频数（人数）1.5小时以上4160.5以下6参考答案：1．A【分析】相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．【详解】-2022的相反数是2022．故选：A．【点睛】本题考查了相反数，掌握相反数的定义是解答本题的关键．2．D【分析】根据不同的运算法则或公式逐项加以计算，即可选出正确答案．【详解】解：A：，故 A错误；B：，故 B错误；C：，故C错误；D：．故选：D【点睛】本题考查了整式的加减法法则、乘法公式、同底数幂的除法法则、积的乘方、幂的乘方等知识点，熟知上述各种不同的运算法则或公式，是解题的关键．3．D【分析】因为平分，所以，再根据平行线的性质可知，再根据平角的性质可求．【详解】解：如图平分，，，，．故选：D．【点睛】本题考查平行线的性质，解题关键是结合图形利用平行线的性质进行角的转化和计算．4．B【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征，可得出关于，的方程，变形后即可求出的值．【详解】解：正比例函数的图象经过点，，．故选：B．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式是解题的关键．5．C【分析】由旋转的性质可得，，再由垂直的定义可得，利用直角三角形两锐角互余可得，即可得．【详解】解：绕点逆时针旋转得到，，，，，，，故选：C．【点睛】本题主要考查了旋转变换，掌握旋转前后两图形全等、对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角是解答本题的关键．6．A【分析】连接BD，根据圆周角定理求出∠ADB＝90°，求出AB＝BC，根据等边三角形的判定得出△ABC是等边三角形，求出∠ABC＝60°，求出∠OEB＝∠ABC＝60°，再求出答案即可．【详解】解：连接BD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，即BD⊥AC，∵AD＝CD，∴AB＝BC，∵∠A＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝60°，∵OE＝OB，∴∠OEB＝∠ABC＝60°，∴∠AOE＝∠ABC+∠OEB＝60°+60°＝120°．故选：A．【点睛】本题考查圆周角定理、等边三角形的判定及其性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是求出△ABC是等边三角形．7．B【分析】利用待定系数法求函数解析式，即可求得开口方向，对称轴，函数的最值，然后根据二次函数的性质，可以得到当时，的取值范围．【详解】解：将点，，代入得，解得，，该函数图象开口向下，对称轴为直线，函数有最大值7，和时的函数值相等，则时，的取值范围是：，故选：B．【点睛】本题考查求二次函数的解析式，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．8．＜【分析】先把两数值化成带根号的形式，再根据实数的大小比较方法即可求解．【详解】解：∵，，而24＜25，∴＜5．故答案为：＜．【点睛】此题主要考查了实数的大小的比较，当一个带根号的无理数和一个有理数进行比较时，首选的方法就是把它们还原成带根号的形式，然后比较被开方数即可解决问题．9．##66度【分析】根据等边三角形的性质得到，，由正五边形的性质得到，，等量代换得到，，根据三角形的内角和即可得到结论．【详解】解：是等边三角形，，，在正五边形中，，，，，，故答案为：．【点睛】本题考查了正多边形的内角和，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，熟记正多边形的内角的求法是解题的关键．10．6【分析】利用矩形的对角线平分且相等来进行计算即可．【详解】解：四边形是矩形，，，在中，，，，，．故答案为：6．【点睛】本题考查的是矩形的性质，解题的关键是熟练掌握矩形的性质．11．【分析】先设出点的坐标，进而表示出点，的坐标，利用三角形的面积建立方程求出，即可得出结论．【详解】解：设点，，为的中点，，轴，，的面积为2，，，，故答案为：．【点睛】本题考查反比例函数系数的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用反比例函数的性质解答．12．1【分析】连接，交于点．直线平分菱形的面积，推出直线经过点，当直线时，的值最短．【详解】解：如图，连接，交于点．直线平分菱形的面积，直线经过点，当直线时，的值最短，四边形是菱形，，，，是等边三角形，，，在中，．故答案为：1．【点睛】本题考查中心对称，等边三角形的判定和性质，菱形的性质等知识，解题关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．13．【分析】根据绝对值，负整数指数幂，特殊角三角函数值的计算法则求解即可【详解】解：．【点睛】本题主要考查了实数的运算，熟知绝对值，负整数指数幂，特殊角三角函数值的计算法则是解题的关键．14．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．【详解】解不等式①得，解不等式②得，所以这个不等式组的解集为．【点晴】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解题关键．15．x=1【分析】分式有意义，则，先去分母，方程两边同乘以，转化为解一元一次方程，最后检验即可．【详解】解：x-3+(x-2)=-3x+x=-3+3+22x=2x=1检验：当x=1时，左边=3=右边∴x=1是原方程的解【点睛】本题考查解分式方程，其中涉及分式有意义的条件、一元一次方程等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．16．，【分析】先根据分式的混合计算法则化简，然后代值计算即可．【详解】解：，当时，原式．【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，熟知相关计算法则是解题的关键．17．见解析【分析】只需要作出AB的中点O，然后以O为圆心，以AB为直径作圆即可．【详解】解：如图所示，圆O即为所求；作AB的垂直平分线与AB交于点O，以O为圆心，AB为直径画圆即可．【点睛】本题主要考查了尺规作图—画圆，熟练掌握90度角所对的弦是直径是解题的关键．18．见解析【分析】根据正方形的性质可得，，根据已知条件可证，，根据即可得证．【详解】解：证明：在正方形中，，，，，，，，在和中，，．【点睛】本题考查了三角形全等的判定，涉及正方形的性质，熟练掌握直角三角形全等的判定方法是解题的关键．19．(1)；(2)．【分析】（1）利用概率公式计算即可；（2）利用画树状图求概率即可．【详解】（1）解：由题意可知：小军选择“智能创意3D制造”社团的概率是．故答案为：（2）解：画树状图如下：共有16种等可能的结果，其中小军和小阳都选择室外社团的结果有4种，．【点睛】本题考查概率公式：一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率；画树状图法求概率．20．(1)14；10；40(2)C(3)2250人【分析】（1）根据D等级的人数和百分比求出总人数，可得x的值，再根据百分比的定义求出m，n的值；（2）根据中位数的定义，可得结论；（3）利用样本估计总体的思想解决问题即可．【详解】（1）调查的学生人数为6÷15%=40（人），∴x=40-（4+16+6）=14，m=×100=10，n=×100=40，故答案为：14，10，40；（2）根据中位数的定义，中位数是第20与21两个数据的平均数，A、B两等级数之和为4+14=18＜20，∴第20与21两个数据都在C等级，被调查学生完成作业时长的中位数落在C等级．故答案为：C；（3）（人）答：估计全校在家完成作业时间为1.5小时及以下的学生有2250人．【点睛】本题考查扇形统计图，频率分布表等知识，利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．21．【分析】如图，过点C作CD⊥AB于点D，从而把斜三角形转化为两个直角三角形，然后在两个直角三角形中利用直角三角形的边角关系列出方程求解即可．【详解】解：如图，过点C作CD⊥AB于点D，则∠CAD=∠ACD=45°，∴AD=CD，设AD=，则AC=，∴BD=AB-AD=，∵∠CBD=60°，在Rt△BCD中，∵tan∠CBD=，∴，解得，经检验，是原方程的根，∴AC==()=(-)km．答：船C离观测站A的距离为(-)km．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，解决本题的关键是掌握方向角定义．22．(1)(2)48台【分析】（1）根据购买不超过30台，每台可享受九折优惠；超过30台，则超出部分每台可享受七五折优惠．可以写出分段函数与的函数关系式．（2）先判断出购买的数量大于30台，再令，解之即可．【详解】（1）解：当时，，当时，，与函数表达式为：．（2），所以购买的数量大于30台，，解得，所以最多可以购买48台．【点睛】本题考查一次函数，解题的关键正确找出题中的等量关系，本题属于中等题型．23．(1)见解析(2)6【分析】（1）根据切线的性质，等边对等角，以及同角的余角相等，证明，即可得证；（2）由已知条件可得，证明，根据相似三角形的性质列出比例式，进而即可求解．【详解】（1）如图，连接，是的直径，，即，是的切线，，即，，，，，，，，，；（2），，，，，，，又，，，，设的半径为，即解得，的半径为6【点睛】本题考查了已知正切求边长，相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，切线的性质，直径所对的圆周角是直角，综合运用以上知识是解题的关键．24．(1)(2)或或或【分析】（1）设交点式，然后把点坐标代入求出即可得到抛物线解析式；（2）由题意得，分两种情况：①当，时，，②，根据全等三角形的性质即可得到结论．【详解】（1）解：设抛物线解析式为，把代入得，解得，抛物线解析式为，即；（2）抛物线与轴交于点、顶点为，对称轴为直线．对称轴，，，．①当，时，，此时，对称轴为直线．点的横坐标为或，，点的坐标为或；②当，时，，此时，对称轴为直线．点的横坐标为或，，点的坐标为或；综上，点的坐标为或或或．【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，二次函数的性质，全等三角形的性质等知识，利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来是本题的关键．要注意分类讨论的作用．25．（1）（2）①；②米时，取得最大值为【分析】（1）根据题意作出图形，根据直角三角形的面积公式求解即可；（2）延长交于点，过点作于，则四边形是矩形，进而根据求得，可得，是等腰直角三角形，根据列出函数关系，进而根据二次函数的性质即可求解．【详解】（1）如图，中，，过点作，（2）①如图，延长交于点，过点作于，则四边形是矩形，即解得，，是等腰直角三角形，，，-②，当时，随的增大而减小解得时，即时，取得最大值，最大值为【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质，二次函数的应用，掌握以上知识是解题的关键．
陕西省西安市雁塔区陕西师范大学附属中学2022-2023学年九年级上学期期末数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．-2022的相反数是（ ）A．2022 B．-2022 C． D．-2．下列运算正确的是（ ）A． B． C． D．3．如图，已知，是的平分线，若，则的度数为（ ）A． B． C． D．4．正比例函数的图象经过点，，则的值为（ ）A．3 B． C．－3 D．5．如图，将绕点A逆时针旋转得到，若，于点F，则的度数为（ ）A． B． C． D．6．如图，△ABC中，∠A＝60°，以AB为直径作⊙O，分别交AC、BC于点D、E，若AD＝CD，则∠AOE的度数是（ ）A．120° B．100° C．80° D．60°7．已知二次函数，函数y与自变量x的部分对应值如下表所示：当时，y的取值范围是（ ）A． B． C． D．二、填空题8．比较大小：___5（选填“”、“ ”、“ ” ）．9．如图，点F在正五边形的内部，若为等边三角形，则的度数是______．10．如图，矩形的对角线与相交于点，，，则的值为______．11．如图，点A，B是函数图象上两点，过点A作轴垂足为点C，并交于点D．若的面积为2，D为的中点，则k的值为______．12．如图，在菱形中，，，直线l平分菱形的面积，交于点E，交于点F，当线段最短时，的长为______．三、解答题13．计算：．14．解不等式组：．15．解分式方程：16．先化简，再求值：，其中．17．尺规作图：如图，在中，，请画出的外接圆（不写作法，保留作图痕迹）．18．如图，在正方形中，E为边上一点，延长至点H，使，过点H作，连接，且．求证：．19．为扎实推进“五育并举”工作，某校利用课外活动时间，开设了丰富多彩的社团活动，每位同学只能选择一个社团参加．小军和小阳是好朋友，他们对其中的四个社团（A．航模社团、B．智能创意3D制造、C．篮球社、D．“生物圈”创新实验室）都很喜欢，但难以取舍，于是他们每人决定随机选择一个社团．(1)随机选择一个社团，小军选择“智能创意3D制造”社团的概率是________；(2)A，C为室外社团，B，D为室内社团，请利用画树状图或列表的方法，求小军和小阳都选择室外社团的概率．20．为了了解落实国家“双减”政策情况，某学校随机调查了部分学生在家完成作业的时间．按时间长短划分为，，，四个等级，并绘制了如下不完整的频数分布表和扇形统计图：根据以上信息，解答以下问题：(1)表中的______，扇形统计图中______，______．(2)被调查学生完成作业时长的中位数落在______等级．(3)若该校有2500名学生，请估计全校在家完成作业时间为1.5小时及以下的学生有多少人？21．如图，在一笔直的海岸线上有A，B两个观测站，A在B的正西方向，AB=2km，从观测站A测得船C在北偏东45°的方向，从观测站B测得船C在北偏西30°的方向．求船C离观测站A的距离．22．“倡导垃圾分类，共享绿色生活”．为了对回收的垃圾进行更精准的分类，某垃圾处理厂计划向某机器人公司购进一批垃圾分捡机器人，每台原价为20万元，经过协商，机器人公司表示，根据购买数量，可以给予一定的优惠，具体如下：购买不超过30台，每台可享受九折优惠；超过30台，则超出部分每台可享受七五折优惠．设垃圾处理厂购进x台机器人，需要总费用y万元．(1)求y与x的函数表达式；(2)若垃圾处理厂计划用820万元购买这种机器人，则最多可以购买多少台？23．如图，在中，，点D在边上，以为直径作交的延长线于点E．若是的切线．(1)求证：；(2)若，求半径的长．24．如图，平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，顶点为，对称轴l与x轴交于点C．(1)求该抛物线的表达式；(2)点M在抛物线上，过点M作对称轴l的垂线，垂足为点E，点F在l上，若以M、E、F为顶点的三角形与全等，请求出满足条件的所有点M的坐标．25．（1）在中，，则的面积为__________．（2）如图，某老式住宅的地基平面示意图为如下四边形，其中．某设计师受业主委托将该住宅翻新改造，为了固定房屋主体结构，设计师打算在边上分别选取两点E、F，使得，再在上选取点G、H，连接交于点O（点O在四边形内部），且满足，，设，房屋主体结构所在四边形的面积为．①请求出S与x的函数关系式．②求S的最大值及此时的长． x…013…y…366…等级时长（h）频数（人数）1.5小时以上4160.5以下6参考答案：1．A【分析】相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．【详解】-2022的相反数是2022．故选：A．【点睛】本题考查了相反数，掌握相反数的定义是解答本题的关键．2．D【分析】根据不同的运算法则或公式逐项加以计算，即可选出正确答案．【详解】解：A：，故 A错误；B：，故 B错误；C：，故C错误；D：．故选：D【点睛】本题考查了整式的加减法法则、乘法公式、同底数幂的除法法则、积的乘方、幂的乘方等知识点，熟知上述各种不同的运算法则或公式，是解题的关键．3．D【分析】因为平分，所以，再根据平行线的性质可知，再根据平角的性质可求．【详解】解：如图平分，，，，．故选：D．【点睛】本题考查平行线的性质，解题关键是结合图形利用平行线的性质进行角的转化和计算．4．B【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征，可得出关于，的方程，变形后即可求出的值．【详解】解：正比例函数的图象经过点，，．故选：B．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式是解题的关键．5．C【分析】由旋转的性质可得，，再由垂直的定义可得，利用直角三角形两锐角互余可得，即可得．【详解】解：绕点逆时针旋转得到，，，，，，，故选：C．【点睛】本题主要考查了旋转变换，掌握旋转前后两图形全等、对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角是解答本题的关键．6．A【分析】连接BD，根据圆周角定理求出∠ADB＝90°，求出AB＝BC，根据等边三角形的判定得出△ABC是等边三角形，求出∠ABC＝60°，求出∠OEB＝∠ABC＝60°，再求出答案即可．【详解】解：连接BD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，即BD⊥AC，∵AD＝CD，∴AB＝BC，∵∠A＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝60°，∵OE＝OB，∴∠OEB＝∠ABC＝60°，∴∠AOE＝∠ABC+∠OEB＝60°+60°＝120°．故选：A．【点睛】本题考查圆周角定理、等边三角形的判定及其性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是求出△ABC是等边三角形．7．B【分析】利用待定系数法求函数解析式，即可求得开口方向，对称轴，函数的最值，然后根据二次函数的性质，可以得到当时，的取值范围．【详解】解：将点，，代入得，解得，，该函数图象开口向下，对称轴为直线，函数有最大值7，和时的函数值相等，则时，的取值范围是：，故选：B．【点睛】本题考查求二次函数的解析式，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．8．＜【分析】先把两数值化成带根号的形式，再根据实数的大小比较方法即可求解．【详解】解：∵，，而24＜25，∴＜5．故答案为：＜．【点睛】此题主要考查了实数的大小的比较，当一个带根号的无理数和一个有理数进行比较时，首选的方法就是把它们还原成带根号的形式，然后比较被开方数即可解决问题．9．##66度【分析】根据等边三角形的性质得到，，由正五边形的性质得到，，等量代换得到，，根据三角形的内角和即可得到结论．【详解】解：是等边三角形，，，在正五边形中，，，，，，故答案为：．【点睛】本题考查了正多边形的内角和，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，熟记正多边形的内角的求法是解题的关键．10．6【分析】利用矩形的对角线平分且相等来进行计算即可．【详解】解：四边形是矩形，，，在中，，，，，．故答案为：6．【点睛】本题考查的是矩形的性质，解题的关键是熟练掌握矩形的性质．11．【分析】先设出点的坐标，进而表示出点，的坐标，利用三角形的面积建立方程求出，即可得出结论．【详解】解：设点，，为的中点，，轴，，的面积为2，，，，故答案为：．【点睛】本题考查反比例函数系数的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用反比例函数的性质解答．12．1【分析】连接，交于点．直线平分菱形的面积，推出直线经过点，当直线时，的值最短．【详解】解：如图，连接，交于点．直线平分菱形的面积，直线经过点，当直线时，的值最短，四边形是菱形，，，，是等边三角形，，，在中，．故答案为：1．【点睛】本题考查中心对称，等边三角形的判定和性质，菱形的性质等知识，解题关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．13．【分析】根据绝对值，负整数指数幂，特殊角三角函数值的计算法则求解即可【详解】解：．【点睛】本题主要考查了实数的运算，熟知绝对值，负整数指数幂，特殊角三角函数值的计算法则是解题的关键．14．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．【详解】解不等式①得，解不等式②得，所以这个不等式组的解集为．【点晴】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解题关键．15．x=1【分析】分式有意义，则，先去分母，方程两边同乘以，转化为解一元一次方程，最后检验即可．【详解】解：x-3+(x-2)=-3x+x=-3+3+22x=2x=1检验：当x=1时，左边=3=右边∴x=1是原方程的解【点睛】本题考查解分式方程，其中涉及分式有意义的条件、一元一次方程等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．16．，【分析】先根据分式的混合计算法则化简，然后代值计算即可．【详解】解：，当时，原式．【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，熟知相关计算法则是解题的关键．17．见解析【分析】只需要作出AB的中点O，然后以O为圆心，以AB为直径作圆即可．【详解】解：如图所示，圆O即为所求；作AB的垂直平分线与AB交于点O，以O为圆心，AB为直径画圆即可．【点睛】本题主要考查了尺规作图—画圆，熟练掌握90度角所对的弦是直径是解题的关键．18．见解析【分析】根据正方形的性质可得，，根据已知条件可证，，根据即可得证．【详解】解：证明：在正方形中，，，，，，，，在和中，，．【点睛】本题考查了三角形全等的判定，涉及正方形的性质，熟练掌握直角三角形全等的判定方法是解题的关键．19．(1)；(2)．【分析】（1）利用概率公式计算即可；（2）利用画树状图求概率即可．【详解】（1）解：由题意可知：小军选择“智能创意3D制造”社团的概率是．故答案为：（2）解：画树状图如下：共有16种等可能的结果，其中小军和小阳都选择室外社团的结果有4种，．【点睛】本题考查概率公式：一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率；画树状图法求概率．20．(1)14；10；40(2)C(3)2250人【分析】（1）根据D等级的人数和百分比求出总人数，可得x的值，再根据百分比的定义求出m，n的值；（2）根据中位数的定义，可得结论；（3）利用样本估计总体的思想解决问题即可．【详解】（1）调查的学生人数为6÷15%=40（人），∴x=40-（4+16+6）=14，m=×100=10，n=×100=40，故答案为：14，10，40；（2）根据中位数的定义，中位数是第20与21两个数据的平均数，A、B两等级数之和为4+14=18＜20，∴第20与21两个数据都在C等级，被调查学生完成作业时长的中位数落在C等级．故答案为：C；（3）（人）答：估计全校在家完成作业时间为1.5小时及以下的学生有2250人．【点睛】本题考查扇形统计图，频率分布表等知识，利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．21．【分析】如图，过点C作CD⊥AB于点D，从而把斜三角形转化为两个直角三角形，然后在两个直角三角形中利用直角三角形的边角关系列出方程求解即可．【详解】解：如图，过点C作CD⊥AB于点D，则∠CAD=∠ACD=45°，∴AD=CD，设AD=，则AC=，∴BD=AB-AD=，∵∠CBD=60°，在Rt△BCD中，∵tan∠CBD=，∴，解得，经检验，是原方程的根，∴AC==()=(-)km．答：船C离观测站A的距离为(-)km．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，解决本题的关键是掌握方向角定义．22．(1)(2)48台【分析】（1）根据购买不超过30台，每台可享受九折优惠；超过30台，则超出部分每台可享受七五折优惠．可以写出分段函数与的函数关系式．（2）先判断出购买的数量大于30台，再令，解之即可．【详解】（1）解：当时，，当时，，与函数表达式为：．（2），所以购买的数量大于30台，，解得，所以最多可以购买48台．【点睛】本题考查一次函数，解题的关键正确找出题中的等量关系，本题属于中等题型．23．(1)见解析(2)6【分析】（1）根据切线的性质，等边对等角，以及同角的余角相等，证明，即可得证；（2）由已知条件可得，证明，根据相似三角形的性质列出比例式，进而即可求解．【详解】（1）如图，连接，是的直径，，即，是的切线，，即，，，，，，，，，；（2），，，，，，，又，，，，设的半径为，即解得，的半径为6【点睛】本题考查了已知正切求边长，相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，切线的性质，直径所对的圆周角是直角，综合运用以上知识是解题的关键．24．(1)(2)或或或【分析】（1）设交点式，然后把点坐标代入求出即可得到抛物线解析式；（2）由题意得，分两种情况：①当，时，，②，根据全等三角形的性质即可得到结论．【详解】（1）解：设抛物线解析式为，把代入得，解得，抛物线解析式为，即；（2）抛物线与轴交于点、顶点为，对称轴为直线．对称轴，，，．①当，时，，此时，对称轴为直线．点的横坐标为或，，点的坐标为或；②当，时，，此时，对称轴为直线．点的横坐标为或，，点的坐标为或；综上，点的坐标为或或或．【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，二次函数的性质，全等三角形的性质等知识，利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来是本题的关键．要注意分类讨论的作用．25．（1）（2）①；②米时，取得最大值为【分析】（1）根据题意作出图形，根据直角三角形的面积公式求解即可；（2）延长交于点，过点作于，则四边形是矩形，进而根据求得，可得，是等腰直角三角形，根据列出函数关系，进而根据二次函数的性质即可求解．【详解】（1）如图，中，，过点作，（2）①如图，延长交于点，过点作于，则四边形是矩形，即解得，，是等腰直角三角形，，，-②，当时，随的增大而减小解得时，即时，取得最大值，最大值为【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质，二次函数的应用，掌握以上知识是解题的关键．
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