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河南省南阳市宛城区第二中学校2022-2023学年八年级上学期期末数学试题
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河南省南阳市宛城区第二中学校2022-2023学年八年级上学期期末数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．9的算术平方根是( )A．3 B．9 C．±3 D．±92．计算（ ）A． B． C． D．3．下列各数中，不是无理数的是（ ）A． B． C． D．4．下列运算正确的是（ ）A． B．C． D．5．如果多项式x2﹣mx＋6分解因式的结果是（x﹣3）（x＋n），那么m，n的值分别是（ ）A．m＝﹣2，n＝5 B．m＝2，n＝5 C．m＝5，n＝﹣2 D．m＝﹣5，n＝26．若是关于的完全平方式，则实数（ ）A．1 B． C．2 D．7．如图，在△ABC中，∠ACB=90°,分别以点A和点C为圆心，以相同的长（大于AC）为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交AB于点D，交AC于点E，连接CD，下列结论错误的是（ ）A．AD=CD B．∠A=∠DCE C．∠ADE=∠DCB D．∠A=2∠DCB8．已知a，b，c为△ABC的三边长，且a4﹣b4+b2c2﹣a2c2＝0，则△ABC的形状是（ ）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形9．（2016山东省泰安市）某学校将为初一学生开设ABCDEF共6门选修课，现选取若干学生进行了“我最喜欢的一门选修课”调查，将调查结果绘制成如图统计图表（不完整）根据图表提供的信息，下列结论错误的是（ ）A．这次被调查的学生人数为400人B．扇形统计图中E部分扇形的圆心角为72°C．被调查的学生中喜欢选修课E、F的人数分别为80，70D．喜欢选修课C的人数最少10．如图，正方形的边长为2，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为…按照此规律继续下去，则的值为（ ）A． B． C． D．二、填空题11．计算：____.12．命题“等角对等边”改成“如果……,那么……”的形式：_____________13．市统计局统计了今年第一季度每月人均的增长情况，并绘制了如图所示的统计图下列结论：①1月份的人均增长率最高；②2月份的人均比1月份低；③这三个月的人均都在增长，其中正确的结论是____________．14．如图，直线上有三个正方形a、b、c，若a、b的面积分别为2和5，则c的边长为______．15．在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=3，点P为边BC的三等分点，连接AP，则AP的长为_______．三、解答题16．分解因式(1)；(2)17．已知线段，的长如图所示，求作，使斜边，直角边．要求用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔加黑．18．先化简，再求值；，其中，.19．如图，在中，，作交的延长线于点，作，，且，相交于点，求证：.20．为了提高学生书写汉字的能力，增强保护汉子的意识，某校举办了首届“汉字听写大赛”，学生经选拔后进入决赛，测试同时听写100个汉字，每正确听写出一个汉字得1分，本次决赛，学生成绩为（分），且，将其按分数段分为五组，绘制出以下不完整表格： 请根据表格提供的信息，解答以下问题：（1）本次决赛共有 名学生参加；（2）直接写出表中a= ,b= ;（3）请补全下面相应的频数分布直方图；（4）若决赛成绩不低于80分为优秀，则本次大赛的优秀率为 ．21．我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数字等式，例如图1可以得到．请解答下列问题：(1)写出图2中所表示的数学等式________；(2)利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知，，求的值；(3)小明同学用2张边长为的正方形，3张边长为的正方形，5张边长分别为、的长方形纸片拼出了一个长方形，那么该长方形较长一边的边长为多少？(4)小明同学又用张边长为的正方形，张边长为的正方形，张边长分别为、的长方形纸片拼出了一个面积为长方形，那么________．22．感知：如图①，平分，，，易知：.探究：如图②，平分，，，求证：．应用：如图③，四边形中，，，，则_______．23．如图，在中，，，，点D为AC边上的动点，点D从点C出发，沿边CA往A运动，当运动到点A时停止．设点D运动的时间为t秒，速度为每秒2个单位长度．（1）当t为多少秒时，是直角三角形？（2）当t为多少秒时，是等腰三角形？ 组别成绩（分）频数（人数）频率一20.04二100.2三14b四a0.32五80.16参考答案：1．A【分析】根据算术平方根的定义：一个非负数的正的平方根，即为这个数的算术平方根．所以结果必须为正数，由此即可求出9的算术平方根．【详解】∵32=9，∴9的算术平方根是3．故选A．【点睛】此题主要考查了算术平方根的定义，易错点正确区别算术平方根与平方根的定义．2．C【分析】利用平方差公式计算即可．【详解】解：．故选：C．【点睛】本题考查了平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差，即．掌握公式是解题的关键．3．B【分析】根据无理数的概念“无理数就是无限不循环小数”，依次进行判断即可得．【详解】解：、、是无理数，是有理数，故选：B．【点晴】本题考查了无理数，解题的关键是掌握无理数的概念．4．A【分析】按同底数幂、幂的乘方、合并同类项法则计算每一个选择支，得到结论．【详解】解：，故选项A正确；∵，，由于与不是同类项，不能合并，∴选项B、C、D均不正确．故选：A．【点睛】本题考查了同底数幂的乘除法、幂的乘方及整式的加减．记住法则并准确运用法则是关键．5．C【分析】因式分解的结果利用多项式乘以多项式法则计算，利用多项式相等的条件求出m与n的值即可．【详解】x2－mx＋6＝（x－3）（x＋n）＝x2＋（n－3）x－3n，可得－m＝n－3，－3n＝6，解得：m＝5，n＝－2．故选：C．【点睛】此题考查了因式分解与多项式乘法的关系，熟练掌握多项式乘多项式的法则是解本题的关键．6．B【分析】利用完全平方公式的结构特征即可确定出的值．【详解】解：∵是关于的完全平方式，∴，∴，故选：B．【点睛】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．7．D【分析】根据题意可知DE是AC的垂直平分线，由此即可一一判断．【详解】∵DE是AC的垂直平分线，∴DA=DC，AE=EC，故A正确，∴DE∥BC，∠A=∠DCE，故B正确，∴∠ADE=∠CDE=∠DCB，故C正确，故选D．【点睛】本题考查作图-基本作图、线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，三角形中位线定理等知识，解题的关键是熟练运用这些知识解决问题．8．D【分析】将多项式进行因式分解后，根据勾股定理逆定理及等腰三角形的判定即可确定三角形形状．．【详解】解：原式＝(a2﹣b2)(a2+b2)+c2(b2﹣a2)＝(a2﹣b2)(a2+b2﹣c2)＝0，当a2﹣b2＝0时此时△ABC是等腰三角形，当a2+b2﹣c2＝0，此时△ABC是直角三角形故选：D．【点睛】本题考查因式分解的应用、勾股定理的逆定理，掌握这两个知识点的熟练应用，根据(a2﹣b2)(a2+b2﹣c2)＝0得a-b=0，或c2-a2-b2=0是解题关键．9．D【分析】通过计算得出选项A、B、C正确，选项D错误，即可得出结论．【详解】解：被调查的学生人数为60÷15%=400（人），∴选项A正确； 扇形统计图中D的圆心角为×360°=90°，∵×360°=36°，360°（17.5%+15%+12.5%）=162°，∴扇形统计图中E的圆心角=360°﹣162°﹣90°﹣36°=72°， ∴选项B正确；∵400×=80（人），400×17.5%=70（人），∴选项C正确；∵12.5%＞10%， ∴喜欢选修课A的人数最少，∴选项D错误；10．C【分析】根据等腰直角三角形的性质可得出，写出部分的值，根据数的变化找出变化规律“，依此规律即可得出结论．【详解】解：正方形的边长为2，为等腰直角三角形，，，．观察，发现规律：，，，，，．当时，．故选：C．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理以及规律型中数的变化规律，解题的关键是找出规律，本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，写出部分Sn的值，根据数值的变化找出变化规律是关键．11．1【分析】先做立方根和平方根运算，再做有理数的加法运算即可.【详解】原式.【点睛】本题考查了立方根、平方根、有理数的加法，熟记立方根和平方根运算是解题关键.12．在同一个三角形中，如果有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．【分析】分析原命题，找出其条件与结论，然后写成“如果…那么…”形式即可．【详解】解：因为条件是：在同一个三角形中，有两个角相等，结论为：这两个角所对的边也相等．所以改写后为：在同一个三角形中，如果有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．故答案为在同一个三角形中，如果有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．【点睛】本题考查命题的定义，难度适中，正确找到条件与结论是解题关键．13．①③【分析】根据函数图象的纵坐标，可得答案．【详解】解：①由纵坐标看出1月份的增长率是10%，2月份的增长率是5%，3月份的增长率是8%，故①说法正确；②2月份比1月份增长5%，故②说法错误；③1月份的增长率是10%，2月份的增长率是5%，3月份的增长率是8%，故③说法正确；故答案为：①③．【点睛】本题考查折线统计图，折线统计图表示的是事物的变化情况，如增长率，注意2月份的增长率低，但2月份比1月份增长．14．【分析】由正方形a，b的面积分别为2和5，推出，由，推出，根据勾股定理求出即可．【详解】解：如图，∵正方形a，b的面积分别为2和5，∴∵根据正方形的性质得：，∴，∴，在和中，∴，∴，∴在中，由勾股定理得：，所以正方形的c边长为．故答案为．【点睛】本题考查了正方形性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理的应用，解此题的关键是证明△DEF≌△FHG，属于中考常考题型．15．或【详解】试题解析：①如图1，∵∠ACB=90°，AC=BC=3，∵PB=BC=1，∴CP=2，∴AP==；②如图2，∵∠ACB=90°，AC=BC=3，∵PC=BC=1，∴AP==，综上所述：AP的长为或，故答案为或．16．(1)(2)【分析】（1）首先提取公因式，进而利用平方差公式分解因式得出答案；（2）首先去括号，进而利用完全平方公式分解因式得出答案．【详解】（1）；（2）．【点睛】此题主要考查了公式法以及提取公因式法分解因式，熟练应用公式是解题关键．17．见解析【分析】先作直线，在直线上截取，利用过直线外一点作已知直线的垂线的方法过作的垂线，再以为圆心，为半径画弧，交的垂线于，即可得到．【详解】解：先作直线，在直线上截取，过作的垂线，再以为圆心，长为半径画弧，交的垂线于，连接，即为所求，如图所示：【点睛】此题主要考查了复杂作图，解题的关键是掌握过直线外一点作已知直线的垂线的方法．18．，【分析】先去括号，再合并同类项，代入计算即可.【详解】解：原式，当，时，原式.【点睛】本题考查了整式的混合运算，掌握去括号与合并同类项是解题的关键.19．见解析【分析】欲证明，只要证明即可．【详解】证明：∵∴，∵，∴，∴，∵，，∴，在和中，∴，∴．【点睛】本题考查全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键，属于中考常考题型．20．（1）50；（2）a=16，b=0.28；（3）答案见解析；（4）48%.【详解】试题分析：（1）根据第一组别的人数和百分比得出样本容量；（2）根据样本容量以及频数、频率之间的关系得出a和b的值，（3）根据a的值将图形补全；（4）根据图示可得：优秀的人为第四和第五组的人，将两组的频数相加乘以100%得出答案.试题解析：（1）2÷0.04=50（2）50×0.32=16 14÷50=0.28（3）（4）（0.32+0.16）×100%=48%考点：频数分布直方图21．(1)(2)(3)(4)2016【分析】（1）直接求得正方形的面积，然后再根据正方形的面积＝各矩形的面积之和求解即可；（2）将，代入（1）中得到的关系式，然后进行计算即可；（3）先列出长方形的面积的代数式，然后分解代数式，可得到矩形的两边长；（4）长方形的面积，然后运算多项式乘多项式法则求得的结果，从而得到、、的值，代入即可求解．【详解】（1）解：正方形的面积，正方形的面积各个矩形的面积之和，所以，故答案为：；（2）解：由（1）知，因此；（3）解：长方形的面积，所以长方形的边长为和，因为，所以较长的一边的边长为；（4）解：因为长方形的面积，所以，，，所以．故答案为：2016．【点睛】本题考查多项式乘多项式的应用、因式分解的应用，利用面积法列出等式是解题的关键．22．探究：见解析；应用：2．【分析】探究：欲证明，只要证明即可．应用：先证明，再证明，结合即可解决问题．【详解】探究：证明：如图②中，于，交的延长线于，∵平分，，，∴，∵，，∴，在和中，∴，∴．应用：解：如图③，连接、于，交的延长线于，∵，，∴，在和中，∴，∴，，在和中，∴，∴，∴，在中，∵，，，∴，∴．故答案为2．【点睛】此题是三角形综合题，主要考查全等三角形的判定和性质、角平分线的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识；解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形，属于中考常考题型．23．（1）t=4.5或12.5秒时，△CBD是直角三角形；（2）t=6.25秒或7.5秒或9秒时，△CBD是等腰三角形．【分析】（1）根据速度×时间，得到CD的长，利用勾股定理列式求出AC，再分①∠CDB=90°时，利用△ABC的面积列式计算即可求出BD，然后利用勾股定理列式求解得到CD，再根据时间=路程÷速度计算；②∠CBD=90°时，点D和点A重合，然后根据时间=路程÷速度计算即可得解；（2）分①CD=BC时，CD=15；②CD=BD时，根据等腰三角形的性质、直角三角形的性质可求CD；③BD=BC时，过点B作BF⊥AC于F，根据等腰三角形三线合一的性质可得CD=2CF；依此解答．【详解】（1）CD=2t，∵∠ABC=90°，AB=20，BC=15，∴AC=，AD=AC-CD=25-2t；①∠CDB=90°时，AC•BDAB•BC，即BD=，∴CD=，②∠CBD=90°时，点D和点A重合，t=25÷2=12.5．综上所述，t=4.5或12.5秒时，△CBD是直角三角形；（2）①CD=BC时，CD=15，t=15÷2=7.5；②CD=BD时，∠C=∠DBC，∵∠C+∠A=∠DBC+∠DBA=90°，∴∠A=∠DBA，∴BD=AD，∴CD=ADAC=12.5，∴t=12.5÷2=6.25；③BD=BC时，如图，过点B作BF⊥AC于F，根据等腰三角形三线合一的性质可得CD=2CF；则CF=DF，∵BF=12，∴CF=，∴CD=2CF=9×2=18，∴t=18÷2=9．综上所述，t=6.25或7.5或9秒时，△CBD是等腰三角形．【点睛】本题考查了勾股定理，等腰三角形的判定与性质，三角形的面积，难点在于要分情况讨论，作出图形更形象直观．
河南省南阳市宛城区第二中学校2022-2023学年八年级上学期期末数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．9的算术平方根是( )A．3 B．9 C．±3 D．±92．计算（ ）A． B． C． D．3．下列各数中，不是无理数的是（ ）A． B． C． D．4．下列运算正确的是（ ）A． B．C． D．5．如果多项式x2﹣mx＋6分解因式的结果是（x﹣3）（x＋n），那么m，n的值分别是（ ）A．m＝﹣2，n＝5 B．m＝2，n＝5 C．m＝5，n＝﹣2 D．m＝﹣5，n＝26．若是关于的完全平方式，则实数（ ）A．1 B． C．2 D．7．如图，在△ABC中，∠ACB=90°,分别以点A和点C为圆心，以相同的长（大于AC）为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交AB于点D，交AC于点E，连接CD，下列结论错误的是（ ）A．AD=CD B．∠A=∠DCE C．∠ADE=∠DCB D．∠A=2∠DCB8．已知a，b，c为△ABC的三边长，且a4﹣b4+b2c2﹣a2c2＝0，则△ABC的形状是（ ）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形9．（2016山东省泰安市）某学校将为初一学生开设ABCDEF共6门选修课，现选取若干学生进行了“我最喜欢的一门选修课”调查，将调查结果绘制成如图统计图表（不完整）根据图表提供的信息，下列结论错误的是（ ）A．这次被调查的学生人数为400人B．扇形统计图中E部分扇形的圆心角为72°C．被调查的学生中喜欢选修课E、F的人数分别为80，70D．喜欢选修课C的人数最少10．如图，正方形的边长为2，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为…按照此规律继续下去，则的值为（ ）A． B． C． D．二、填空题11．计算：____.12．命题“等角对等边”改成“如果……,那么……”的形式：_____________13．市统计局统计了今年第一季度每月人均的增长情况，并绘制了如图所示的统计图下列结论：①1月份的人均增长率最高；②2月份的人均比1月份低；③这三个月的人均都在增长，其中正确的结论是____________．14．如图，直线上有三个正方形a、b、c，若a、b的面积分别为2和5，则c的边长为______．15．在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=3，点P为边BC的三等分点，连接AP，则AP的长为_______．三、解答题16．分解因式(1)；(2)17．已知线段，的长如图所示，求作，使斜边，直角边．要求用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔加黑．18．先化简，再求值；，其中，.19．如图，在中，，作交的延长线于点，作，，且，相交于点，求证：.20．为了提高学生书写汉字的能力，增强保护汉子的意识，某校举办了首届“汉字听写大赛”，学生经选拔后进入决赛，测试同时听写100个汉字，每正确听写出一个汉字得1分，本次决赛，学生成绩为（分），且，将其按分数段分为五组，绘制出以下不完整表格： 请根据表格提供的信息，解答以下问题：（1）本次决赛共有 名学生参加；（2）直接写出表中a= ,b= ;（3）请补全下面相应的频数分布直方图；（4）若决赛成绩不低于80分为优秀，则本次大赛的优秀率为 ．21．我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数字等式，例如图1可以得到．请解答下列问题：(1)写出图2中所表示的数学等式________；(2)利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知，，求的值；(3)小明同学用2张边长为的正方形，3张边长为的正方形，5张边长分别为、的长方形纸片拼出了一个长方形，那么该长方形较长一边的边长为多少？(4)小明同学又用张边长为的正方形，张边长为的正方形，张边长分别为、的长方形纸片拼出了一个面积为长方形，那么________．22．感知：如图①，平分，，，易知：.探究：如图②，平分，，，求证：．应用：如图③，四边形中，，，，则_______．23．如图，在中，，，，点D为AC边上的动点，点D从点C出发，沿边CA往A运动，当运动到点A时停止．设点D运动的时间为t秒，速度为每秒2个单位长度．（1）当t为多少秒时，是直角三角形？（2）当t为多少秒时，是等腰三角形？ 组别成绩（分）频数（人数）频率一20.04二100.2三14b四a0.32五80.16参考答案：1．A【分析】根据算术平方根的定义：一个非负数的正的平方根，即为这个数的算术平方根．所以结果必须为正数，由此即可求出9的算术平方根．【详解】∵32=9，∴9的算术平方根是3．故选A．【点睛】此题主要考查了算术平方根的定义，易错点正确区别算术平方根与平方根的定义．2．C【分析】利用平方差公式计算即可．【详解】解：．故选：C．【点睛】本题考查了平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差，即．掌握公式是解题的关键．3．B【分析】根据无理数的概念“无理数就是无限不循环小数”，依次进行判断即可得．【详解】解：、、是无理数，是有理数，故选：B．【点晴】本题考查了无理数，解题的关键是掌握无理数的概念．4．A【分析】按同底数幂、幂的乘方、合并同类项法则计算每一个选择支，得到结论．【详解】解：，故选项A正确；∵，，由于与不是同类项，不能合并，∴选项B、C、D均不正确．故选：A．【点睛】本题考查了同底数幂的乘除法、幂的乘方及整式的加减．记住法则并准确运用法则是关键．5．C【分析】因式分解的结果利用多项式乘以多项式法则计算，利用多项式相等的条件求出m与n的值即可．【详解】x2－mx＋6＝（x－3）（x＋n）＝x2＋（n－3）x－3n，可得－m＝n－3，－3n＝6，解得：m＝5，n＝－2．故选：C．【点睛】此题考查了因式分解与多项式乘法的关系，熟练掌握多项式乘多项式的法则是解本题的关键．6．B【分析】利用完全平方公式的结构特征即可确定出的值．【详解】解：∵是关于的完全平方式，∴，∴，故选：B．【点睛】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．7．D【分析】根据题意可知DE是AC的垂直平分线，由此即可一一判断．【详解】∵DE是AC的垂直平分线，∴DA=DC，AE=EC，故A正确，∴DE∥BC，∠A=∠DCE，故B正确，∴∠ADE=∠CDE=∠DCB，故C正确，故选D．【点睛】本题考查作图-基本作图、线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，三角形中位线定理等知识，解题的关键是熟练运用这些知识解决问题．8．D【分析】将多项式进行因式分解后，根据勾股定理逆定理及等腰三角形的判定即可确定三角形形状．．【详解】解：原式＝(a2﹣b2)(a2+b2)+c2(b2﹣a2)＝(a2﹣b2)(a2+b2﹣c2)＝0，当a2﹣b2＝0时此时△ABC是等腰三角形，当a2+b2﹣c2＝0，此时△ABC是直角三角形故选：D．【点睛】本题考查因式分解的应用、勾股定理的逆定理，掌握这两个知识点的熟练应用，根据(a2﹣b2)(a2+b2﹣c2)＝0得a-b=0，或c2-a2-b2=0是解题关键．9．D【分析】通过计算得出选项A、B、C正确，选项D错误，即可得出结论．【详解】解：被调查的学生人数为60÷15%=400（人），∴选项A正确； 扇形统计图中D的圆心角为×360°=90°，∵×360°=36°，360°（17.5%+15%+12.5%）=162°，∴扇形统计图中E的圆心角=360°﹣162°﹣90°﹣36°=72°， ∴选项B正确；∵400×=80（人），400×17.5%=70（人），∴选项C正确；∵12.5%＞10%， ∴喜欢选修课A的人数最少，∴选项D错误；10．C【分析】根据等腰直角三角形的性质可得出，写出部分的值，根据数的变化找出变化规律“，依此规律即可得出结论．【详解】解：正方形的边长为2，为等腰直角三角形，，，．观察，发现规律：，，，，，．当时，．故选：C．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理以及规律型中数的变化规律，解题的关键是找出规律，本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，写出部分Sn的值，根据数值的变化找出变化规律是关键．11．1【分析】先做立方根和平方根运算，再做有理数的加法运算即可.【详解】原式.【点睛】本题考查了立方根、平方根、有理数的加法，熟记立方根和平方根运算是解题关键.12．在同一个三角形中，如果有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．【分析】分析原命题，找出其条件与结论，然后写成“如果…那么…”形式即可．【详解】解：因为条件是：在同一个三角形中，有两个角相等，结论为：这两个角所对的边也相等．所以改写后为：在同一个三角形中，如果有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．故答案为在同一个三角形中，如果有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．【点睛】本题考查命题的定义，难度适中，正确找到条件与结论是解题关键．13．①③【分析】根据函数图象的纵坐标，可得答案．【详解】解：①由纵坐标看出1月份的增长率是10%，2月份的增长率是5%，3月份的增长率是8%，故①说法正确；②2月份比1月份增长5%，故②说法错误；③1月份的增长率是10%，2月份的增长率是5%，3月份的增长率是8%，故③说法正确；故答案为：①③．【点睛】本题考查折线统计图，折线统计图表示的是事物的变化情况，如增长率，注意2月份的增长率低，但2月份比1月份增长．14．【分析】由正方形a，b的面积分别为2和5，推出，由，推出，根据勾股定理求出即可．【详解】解：如图，∵正方形a，b的面积分别为2和5，∴∵根据正方形的性质得：，∴，∴，在和中，∴，∴，∴在中，由勾股定理得：，所以正方形的c边长为．故答案为．【点睛】本题考查了正方形性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理的应用，解此题的关键是证明△DEF≌△FHG，属于中考常考题型．15．或【详解】试题解析：①如图1，∵∠ACB=90°，AC=BC=3，∵PB=BC=1，∴CP=2，∴AP==；②如图2，∵∠ACB=90°，AC=BC=3，∵PC=BC=1，∴AP==，综上所述：AP的长为或，故答案为或．16．(1)(2)【分析】（1）首先提取公因式，进而利用平方差公式分解因式得出答案；（2）首先去括号，进而利用完全平方公式分解因式得出答案．【详解】（1）；（2）．【点睛】此题主要考查了公式法以及提取公因式法分解因式，熟练应用公式是解题关键．17．见解析【分析】先作直线，在直线上截取，利用过直线外一点作已知直线的垂线的方法过作的垂线，再以为圆心，为半径画弧，交的垂线于，即可得到．【详解】解：先作直线，在直线上截取，过作的垂线，再以为圆心，长为半径画弧，交的垂线于，连接，即为所求，如图所示：【点睛】此题主要考查了复杂作图，解题的关键是掌握过直线外一点作已知直线的垂线的方法．18．，【分析】先去括号，再合并同类项，代入计算即可.【详解】解：原式，当，时，原式.【点睛】本题考查了整式的混合运算，掌握去括号与合并同类项是解题的关键.19．见解析【分析】欲证明，只要证明即可．【详解】证明：∵∴，∵，∴，∴，∵，，∴，在和中，∴，∴．【点睛】本题考查全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键，属于中考常考题型．20．（1）50；（2）a=16，b=0.28；（3）答案见解析；（4）48%.【详解】试题分析：（1）根据第一组别的人数和百分比得出样本容量；（2）根据样本容量以及频数、频率之间的关系得出a和b的值，（3）根据a的值将图形补全；（4）根据图示可得：优秀的人为第四和第五组的人，将两组的频数相加乘以100%得出答案.试题解析：（1）2÷0.04=50（2）50×0.32=16 14÷50=0.28（3）（4）（0.32+0.16）×100%=48%考点：频数分布直方图21．(1)(2)(3)(4)2016【分析】（1）直接求得正方形的面积，然后再根据正方形的面积＝各矩形的面积之和求解即可；（2）将，代入（1）中得到的关系式，然后进行计算即可；（3）先列出长方形的面积的代数式，然后分解代数式，可得到矩形的两边长；（4）长方形的面积，然后运算多项式乘多项式法则求得的结果，从而得到、、的值，代入即可求解．【详解】（1）解：正方形的面积，正方形的面积各个矩形的面积之和，所以，故答案为：；（2）解：由（1）知，因此；（3）解：长方形的面积，所以长方形的边长为和，因为，所以较长的一边的边长为；（4）解：因为长方形的面积，所以，，，所以．故答案为：2016．【点睛】本题考查多项式乘多项式的应用、因式分解的应用，利用面积法列出等式是解题的关键．22．探究：见解析；应用：2．【分析】探究：欲证明，只要证明即可．应用：先证明，再证明，结合即可解决问题．【详解】探究：证明：如图②中，于，交的延长线于，∵平分，，，∴，∵，，∴，在和中，∴，∴．应用：解：如图③，连接、于，交的延长线于，∵，，∴，在和中，∴，∴，，在和中，∴，∴，∴，在中，∵，，，∴，∴．故答案为2．【点睛】此题是三角形综合题，主要考查全等三角形的判定和性质、角平分线的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识；解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形，属于中考常考题型．23．（1）t=4.5或12.5秒时，△CBD是直角三角形；（2）t=6.25秒或7.5秒或9秒时，△CBD是等腰三角形．【分析】（1）根据速度×时间，得到CD的长，利用勾股定理列式求出AC，再分①∠CDB=90°时，利用△ABC的面积列式计算即可求出BD，然后利用勾股定理列式求解得到CD，再根据时间=路程÷速度计算；②∠CBD=90°时，点D和点A重合，然后根据时间=路程÷速度计算即可得解；（2）分①CD=BC时，CD=15；②CD=BD时，根据等腰三角形的性质、直角三角形的性质可求CD；③BD=BC时，过点B作BF⊥AC于F，根据等腰三角形三线合一的性质可得CD=2CF；依此解答．【详解】（1）CD=2t，∵∠ABC=90°，AB=20，BC=15，∴AC=，AD=AC-CD=25-2t；①∠CDB=90°时，AC•BDAB•BC，即BD=，∴CD=，②∠CBD=90°时，点D和点A重合，t=25÷2=12.5．综上所述，t=4.5或12.5秒时，△CBD是直角三角形；（2）①CD=BC时，CD=15，t=15÷2=7.5；②CD=BD时，∠C=∠DBC，∵∠C+∠A=∠DBC+∠DBA=90°，∴∠A=∠DBA，∴BD=AD，∴CD=ADAC=12.5，∴t=12.5÷2=6.25；③BD=BC时，如图，过点B作BF⊥AC于F，根据等腰三角形三线合一的性质可得CD=2CF；则CF=DF，∵BF=12，∴CF=，∴CD=2CF=9×2=18，∴t=18÷2=9．综上所述，t=6.25或7.5或9秒时，△CBD是等腰三角形．【点睛】本题考查了勾股定理，等腰三角形的判定与性质，三角形的面积，难点在于要分情况讨论，作出图形更形象直观．
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