2022-2023学年浙江省衢州市中考数学专项突破仿真模拟试题(一模二模)含解析
展开2022-2023学年浙江省衢州市中考数学专项突破仿真模拟试题
(一模)
一、选一选
1. 在数﹣2,﹣,1,3中,大小在﹣1和0之间的数是( )
A. ﹣2 B. ﹣ C. 1 D. 3
2. 用科学记数法表示的数3.61×108.它的原数是( )
A 36100000000 B. 3610000000 C. 361000000 D. 36100000
3. 下列计算正确的是( )
A. a2+a2=a4 B. a2•a3=a6
C. (﹣a2)2=a4 D. (a+1)2=a2+1
4. 由4个相同小立方体搭成的几何体如图所示,则它的主视图是
A. B. C. D.
5. 某小组7位同学的中考体育测试成绩依次为27,30,29,27,30,28,30,则这组数据的众数与中位数分别是( )
A. 30,27 B. 30,29 C. 29,30 D. 30,28
6. 计算(﹣)÷的结果为( )
A. B. C. D.
7. 从长度分别为1,3,5,7的四条线段中任选三条作边,能构成三角形的概率为( )
A. B. C. D.
8. 一只没有透明的袋子中装有两个完全相同的小球,上面分别标有1,2两个数字,若随机地从中摸出一个小球,记下号码后放回,再随机摸出一个小球,则两次摸出小球的号码之积为偶数的概率是( )
A. B. C. D.
9. 化简:(a+)(1﹣)的结果等于( )
A. a﹣2 B. a+2 C. D.
10. 如图,AB是⊙O的直径,CD是弦,∠BCD=50°,则∠ABD的度数是( )
A. 20° B. 25° C. 40° D. 50°
11. 如图,在矩形ABCD中,已知AB=4,BC=3,矩形在直线l上绕其右下角的顶点B向右旋转90°至图①位置,再绕右下角的顶点继续向右旋转90°至图②位置,…,以此类推,这样连续旋转2015次后,顶点A在整个旋转过程中所的路程之和是( )
A. 2015π B. 3019.5π C. 3018π D. 3024π
12. 周末,身高都为1.6米的小芳、小丽来到溪江公园,准备用她们所学的知识测算南塔的高度.如图,小芳站在A处测得她看塔顶的仰角a为45°,小丽站在B处(A、B与塔的轴心共线)测得她看塔顶的仰角b为30°.她们又测出A、B两点的距离为30米.假设她们的眼睛离头顶都为10 cm,则可计算出塔高约为(结果到0.01,参考数据:≈1.414,≈1.732)( ).
A. 36.21米 B. 37.71米 C. 40.98米 D. 42.48米
13. 如图,已知△ABC的三个顶点均在格点上,则cosA的值为( )
A. B. C. D.
14. 如图,点P是菱形ABCD边上一动点,若∠A=60°,AB=4,点P从点A出发,以每秒1个单位长速度沿A→B→C→D的路线运动,当点P运动到点D时停止运动,那么△APD的面积S与点P运动的时间t之间的函数关系的图象是( )
A. B. C. D.
二、填 空 题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)
15. 比较大小:_________1.(选填“<”“>”或“=”)
16. 考试中,甲组12人的平均分数为70分,乙组8人的平均分数为80分,那么这两组20人的平均分为_____.
17. 如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,AB垂直平分线交AC于点E,垂足为点D,连接BE,则∠EBC的度数为_____.
18. 如图,在正方形方格中,阴影部分是涂黑7个小正方形所形成的图案,再将方格内空白的一个小正方形涂黑,使得到的新图案成为一个轴对称图形的涂法有______种.
19. 定义:如果二次函数y=a1x2+b1x+c1(a1≠0,a1,b1,c1是常数)与y=a2x2+b2x+c2(a2≠0,a2,b2,c2是常数)满足a1+a2=0,b1=b2,c1+c2=0,则称这两个函数互为“旋转函数”.写出y=﹣x2+3x﹣2函数的“旋转函数”_____.
三、解 答 题(本题共6小题,共63分)
20. 计算:(3﹣π)0﹣(﹣)﹣1+×4sin60°.
21. 某商店准备进一批季节性小家电,单价40元.经市场预测,定价为52元时,可售出180个,定价每增加1元,量净减少10个;定价每减少1元,量净增加10个.因受库存的影响,每批次进货个数没有得超过180个,商店若将准备获利2000元,则应进货多少个?定价为多少元?
22. 为了解学生课余情况,某校对参加绘画、书法、舞蹈、乐器这四个课外兴趣小组的人员分布情况进行抽样,并根据收集的数据绘制了下面两幅没有完整的统计图,请根据图中提供的信息,解答下面的问题:
(1)此次共了多少名同学?
(2)将条形图补充完整,并计算扇形统计图中书法部分的圆心角的度数;
(3)如果该校共有1000名学生参加这4个课外兴趣小组,而每个教师至多只能辅导本组20名学生,估计每个兴趣小组至少需要准备多少名教师?
23. 如图,点B、C、D都在⊙O上,过点C作AC∥BD交OB延长线于点A,连接CD,且∠CDB=∠OBD=30°,DB=cm.
(1)求证:AC是⊙O的切线;
(2)求由弦CD、BD与弧BC所围成的阴影部分的面积.(结果保留π)
24. 如图1,△ABC为等腰直角三角形,∠ACB=90∘,F是AC边上的一个动点(点F与A、C没有重合),以CF为一边在等腰直角三角形外作正方形CDEF,连接BF、AD.
(1)猜想图1中线段BF、AD的数量关系及所在直线的位置关系,直接写出结论;
(2)将图1中的正方形CDEF,绕着点C按顺时针方向旋转任意角度α,得到如图2的情形.图2中BF交AC于点H,交AD于点O,请你判断(1)中得到的结论是否仍然成立,并证明你的判断.
(3)将原题中的等腰直角三角形ABC改为直角三角形ABC,∠ACB=90∘,正方形CDEF改为矩形CDEF,如图3,且AC=4,BC=3,CD=,CF=1,BF交AC于点H,交AD于点O,连接BD、AF,求BD2+AF2的值.
25. 如图,在平面直角坐标系中,抛物线点A(0,4),B(1,0),C(5,0),其对称轴与x轴交于点M.
(1)求此抛物线的解析式和对称轴;
(2)在此抛物线的对称轴上是否存在一点P,使△PAB的周长最小?若存在,请求出点P的坐标;若没有存在,请说明理由;
(3)连接AC,在直线AC下方的抛物线上,是否存在一点N,使△NAC的面积?若存在,请求出点N的坐标;若没有存在,请说明理由.
2022-2023学年浙江省衢州市中考数学专项突破仿真模拟试题
(一模)
一、选一选
1. 在数﹣2,﹣,1,3中,大小在﹣1和0之间的数是( )
A. ﹣2 B. ﹣ C. 1 D. 3
【正确答案】B
【详解】如图,
,
由图可知,大小在﹣1和0之间的数是﹣ ,
故选B.
2. 用科学记数法表示的数3.61×108.它的原数是( )
A. 36100000000 B. 3610000000 C. 361000000 D. 36100000
【正确答案】C
【分析】科学记数法的标准形式为a×10n(1≤|a|<10,n为整数).本题把数据“3.61×108中3.61的小数点向左移动8位就可以得到.
【详解】解:3.61×108=3.61×100000000=361000000,
故选C
本题考查了科学记数法,用科学记数法表示的数还原成原数时,n>0时,n是几,小数点就向右移几位.
3. 下列计算正确的是( )
A. a2+a2=a4 B. a2•a3=a6
C. (﹣a2)2=a4 D. (a+1)2=a2+1
【正确答案】C
【详解】解:A、根据同类项及合并同类项,可知a2+a2=2a2,错误;
B、根据同底数幂乘法,底数没有变,指数相加,可知a2•a3=a5,错误;
C、根据幂乘方,底数没有变,指数相乘,可知(﹣a2)2=a4,正确;
D、根据完全平方公式特点,可知(a+1)2=a2+2a+1,错误;
故选C.
4. 由4个相同的小立方体搭成的几何体如图所示,则它的主视图是
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】找到从正面看所得到的图形即可,注意所有的看到的棱都应表现在主视图中.
【详解】解:几何体的主视图有2列,每列小正方形数目分别为2,1.
故选A.
本题考查简单组合体的三视图.在画图时一定要将物体的边缘、棱、顶点都体现出来,看得见的轮廓线都画成实线,看没有见的画成虚线,没有能漏掉.本题画几何体的三视图时应注意小正方形的数目及位置.
5. 某小组7位同学的中考体育测试成绩依次为27,30,29,27,30,28,30,则这组数据的众数与中位数分别是( )
A. 30,27 B. 30,29 C. 29,30 D. 30,28
【正确答案】B
【详解】试题分析:根据一组数据中出现次数至多数是众数,所以这组数据的众数是30;按照大小顺序排序后处在中间或者是中间两个数的平均数是中位数,所以这组数据的中位数是29.
故选B.
本题考查了众数和中位数的计算,熟练掌握计算方法是解题关键.
6. 计算(﹣)÷的结果为( )
A. B. C. D.
【正确答案】A
【详解】解:原式= ,
故选A.
7. 从长度分别为1,3,5,7的四条线段中任选三条作边,能构成三角形的概率为( )
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】从四条线段中任意选取三条,找出所有的可能,以及能构成三角形的情况数,即可求出所求的概率.
【详解】解:从四条线段中任意选取三条,所有的可能有:1,3,5;1,3,7;1,5,7;3,5,7共4种,
其中构成三角形的有3,5,7共1种,
∴能构成三角形的概率为:,
故选C.
此题考查了列表法与树状图法,以及三角形的三边关系,用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比.
8. 一只没有透明的袋子中装有两个完全相同的小球,上面分别标有1,2两个数字,若随机地从中摸出一个小球,记下号码后放回,再随机摸出一个小球,则两次摸出小球的号码之积为偶数的概率是( )
A. B. C. D.
【正确答案】D
【详解】试题分析:列表或画树状图得出所有等可能的情况数,找出两次摸出小球的号码之积为偶数的情况数,即可求出所求的概率:
列表如下:
1
2
1
(1,1)
(1,2)
2
(2,1)
(2,2)
∵所有等可能的情况数有4种,两次摸出小球的号码之积为偶数的情况有3种,
∴两次摸出小球的号码之积为偶数的概率P=.
故选D.
考点:1.列表法或树状图法;2.概率..
9. 化简:(a+)(1﹣)的结果等于( )
A. a﹣2 B. a+2 C. D.
【正确答案】B
【详解】解:原式=
=
=
=.
故选B.
10. 如图,AB是⊙O的直径,CD是弦,∠BCD=50°,则∠ABD的度数是( )
A. 20° B. 25° C. 40° D. 50°
【正确答案】C
【详解】试题解析:连接AD.
∵AB是的直径,
又
故选C.
点睛:直径所对的圆周角是直角.
11. 如图,在矩形ABCD中,已知AB=4,BC=3,矩形在直线l上绕其右下角的顶点B向右旋转90°至图①位置,再绕右下角的顶点继续向右旋转90°至图②位置,…,以此类推,这样连续旋转2015次后,顶点A在整个旋转过程中所的路程之和是( )
A. 2015π B. 3019.5π C. 3018π D. 3024π
【正确答案】D
【分析】分析:首先求得每转动的路线的长,发现每4次循环,找到规律然后计算即可.
【详解】解:转动A的路线长是:,
转动第二次的路线长是:,
转动第三次路线长是:,
转动第四次的路线长是:0,
转动五次A的路线长是:,
以此类推,每四次循环,
故顶点A转动四次的路线长为:,2015÷4=503余3.
顶点A转动四次的路线长为:6π×504=3024π;
故选:D.
类似的规律题型,发现规律是解决问题的关键,故在解题时,依次求出答案,再从答案中找出其中的循环规律.
12. 周末,身高都为1.6米的小芳、小丽来到溪江公园,准备用她们所学的知识测算南塔的高度.如图,小芳站在A处测得她看塔顶的仰角a为45°,小丽站在B处(A、B与塔的轴心共线)测得她看塔顶的仰角b为30°.她们又测出A、B两点的距离为30米.假设她们的眼睛离头顶都为10 cm,则可计算出塔高约为(结果到0.01,参考数据:≈1.414,≈1.732)( ).
A. 36.21米 B. 37.71米 C. 40.98米 D. 42.48米
【正确答案】D
【详解】分析:由已知设塔高为x米,则由已知可得到如下关系,=tan30°,从而求出塔高.
解答:解:已知小芳站在A处测得她看塔顶的仰角α为45°,小丽站在B处(A、B与塔的轴心共线)测得她看塔顶的仰角β为30°,A、B两点的距离为30米.假设她们的眼睛离头顶都为10cm,
所以设塔高为x米则得:=tan30°=,
解得:x≈42.48,
故选D.
13. 如图,已知△ABC的三个顶点均在格点上,则cosA的值为( )
A. B. C. D.
【正确答案】D
【详解】过B点作BD⊥AC,如图,
由勾股定理得,AB=,AD=,
cosA===,
故选D.
14. 如图,点P是菱形ABCD边上一动点,若∠A=60°,AB=4,点P从点A出发,以每秒1个单位长的速度沿A→B→C→D的路线运动,当点P运动到点D时停止运动,那么△APD的面积S与点P运动的时间t之间的函数关系的图象是( )
A. B. C. D.
【正确答案】B
【详解】试题分析:根据∠A的度数求出菱形的高,再分点P在AB上,在BC上和在CD上三种情况,利用三角形的面积公式列式求出相应的函数关系式,然后选择答案即可.
解:∵∠A=60°,AB=4,
∴菱形的高=4×=2,
点P在AB上时,△APD的面积S=×4×t=t(0≤t≤4);
点P在BC上时,△APD的面积S=×4×2=4(4<t≤8);
点P在CD上时,△APD的面积S=×4×(12﹣t)=﹣t+12(8<t≤12),
纵观各选项,只有B选项图形符合.
故选B.
点评:本题考查了动点问题的函数图象,菱形的性质,根据点P的位置的没有同,分三段求出相应的函数解析式是解题的关键.
二、填 空 题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)
15. 比较大小:_________1.(选填“<”“>”或“=”)
【正确答案】
【分析】先估算无理数的值,然后再用求差法比较即可.
【详解】解:∵
∴
∴<1.
故答案为<.
本题考查了无理数的估算和实数大小的比较,估算无理数的值是解答本题的关键.
16. 考试中,甲组12人的平均分数为70分,乙组8人的平均分数为80分,那么这两组20人的平均分为_____.
【正确答案】74分
【详解】这两组20人的平均分==74(分),
故74分.
17. 如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,AB的垂直平分线交AC于点E,垂足为点D,连接BE,则∠EBC的度数为_____.
【正确答案】36°
【分析】根据等腰三角形两底角相等求出∠ABC,再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AE=BE,然后求出∠ABE,根据∠EBC=∠ABC-∠ABE代入数据进行计算即可得解.
【详解】∵AB=AC,∠A=36°,
∴∠ABC=(180°-∠A)=×(180°-36°)=72°,
∵DE是AB的垂直平分线,
∴AE=BE,
∴∠ABE=∠A=36°,
∴∠EBC=∠ABC-∠ABE=72°-36°=36°.
考点:1.线段垂直平分线的性质;2.等腰三角形的性质.
18. 如图,在正方形方格中,阴影部分是涂黑7个小正方形所形成的图案,再将方格内空白的一个小正方形涂黑,使得到的新图案成为一个轴对称图形的涂法有______种.
【正确答案】3
【详解】在1,2,3处分别涂黑都可得一个轴对称图形,
故涂法有3种,
故答案为3.
19. 定义:如果二次函数y=a1x2+b1x+c1(a1≠0,a1,b1,c1是常数)与y=a2x2+b2x+c2(a2≠0,a2,b2,c2是常数)满足a1+a2=0,b1=b2,c1+c2=0,则称这两个函数互为“旋转函数”.写出y=﹣x2+3x﹣2函数的“旋转函数”_____.
【正确答案】y=x2+3x+2
【分析】根据定义可求得其旋转函数的二次项系数、项系数和常数项,则可求得答案.
【详解】解:,
,,,
设函数的“旋转函数”为,,,是常数),
,,,
即,,,
解得,,,
函数的“旋转函数”为,
故.
本题为新定义题目,解题的关键是理解题目中旋转函数的定义.
三、解 答 题(本题共6小题,共63分)
20. 计算:(3﹣π)0﹣(﹣)﹣1+×4sin60°.
【正确答案】16
【详解】分析:直接利用零指数幂性质以及负整数指数幂的性质、二次根式的性质化简进而求出答案.
本题解析:
原式=1﹣(﹣3)+2×4×
=4+12
=16.
21. 某商店准备进一批季节性小家电,单价40元.经市场预测,定价为52元时,可售出180个,定价每增加1元,量净减少10个;定价每减少1元,量净增加10个.因受库存的影响,每批次进货个数没有得超过180个,商店若将准备获利2000元,则应进货多少个?定价为多少元?
【正确答案】该商品进货100个,每个定价为60元.
【详解】解:利用利润=售价﹣进价,根据题中条件可以列出利润与x的关系式,求出即可.
解:设每个商品的定价是x元,
由题意,得(x﹣40)[180﹣10(x﹣52)]=2000,
整理,得x2﹣110x+3000=0,
解得x1=50,x2=60.
当x=50时,进货180﹣10(50﹣52)=200个>180个,没有符合题意,舍去;
当x=60时,进货180﹣10(60﹣52)=100个<180个,符合题意.
答:当该商品进货100个,每个定价为60元.
22. 为了解学生课余情况,某校对参加绘画、书法、舞蹈、乐器这四个课外兴趣小组的人员分布情况进行抽样,并根据收集的数据绘制了下面两幅没有完整的统计图,请根据图中提供的信息,解答下面的问题:
(1)此次共了多少名同学?
(2)将条形图补充完整,并计算扇形统计图中书法部分的圆心角的度数;
(3)如果该校共有1000名学生参加这4个课外兴趣小组,而每个教师至多只能辅导本组的20名学生,估计每个兴趣小组至少需要准备多少名教师?
【正确答案】(1)200
(2)36
(3)
绘画需辅导教师23(名)
书法需辅导教师5(名)
舞蹈需辅导教师8(名)
乐器需辅导教师15(名)
【详解】解:(1)………2分
(2)画图(如下) …………4分
书法部分的圆心角为:………6分
(3)绘画需辅导教师(名)…………7分
书法需辅导教师(名)………………………8分
舞蹈需辅导教师(名) ……………9分
乐器需辅导教师(名)…………………10分
23. 如图,点B、C、D都在⊙O上,过点C作AC∥BD交OB延长线于点A,连接CD,且∠CDB=∠OBD=30°,DB=cm.
(1)求证:AC是⊙O的切线;
(2)求由弦CD、BD与弧BC所围成的阴影部分的面积.(结果保留π)
【正确答案】(1)证明见解析;(2)6πcm2.
【分析】连接BC,OD,OC,设OC与BD交于点M.(1)求出∠COB的度数,求出∠A的度数,根据三角形的内角和定理求出∠OCA的度数,根据切线的判定推出即可;
(2)证明△CDM≌△OBM,从而得到S阴影=S扇形BOC.
【详解】如图,连接BC,OD,OC,设OC与BD交于点M.
(1)根据圆周角定理得:∠COB=2∠CDB=2×30°=60°,
∵AC∥BD,
∴∠A=∠OBD=30°,
∴∠OCA=180°﹣30°﹣60°=90°,即OC⊥AC,
∵OC为半径,
∴AC是⊙O的切线;
(2)由(1)知,AC为⊙O的切线,
∴OC⊥AC.
∵AC∥BD,
∴OC⊥BD.
由垂径定理可知,MD=MB=BD=3.
在Rt△OBM中,
∠COB=60°,OB==6.
在△CDM与△OBM中
,
∴△CDM≌△OBM(ASA),
∴S△CDM=S△OBM
∴阴影部分的面积S阴影=S扇形BOC==6π(cm2).
考点:1.切线的判定;2.扇形面积的计算.
24. 如图1,△ABC为等腰直角三角形,∠ACB=90∘,F是AC边上的一个动点(点F与A、C没有重合),以CF为一边在等腰直角三角形外作正方形CDEF,连接BF、AD.
(1)猜想图1中线段BF、AD的数量关系及所在直线的位置关系,直接写出结论;
(2)将图1中的正方形CDEF,绕着点C按顺时针方向旋转任意角度α,得到如图2的情形.图2中BF交AC于点H,交AD于点O,请你判断(1)中得到的结论是否仍然成立,并证明你的判断.
(3)将原题中的等腰直角三角形ABC改为直角三角形ABC,∠ACB=90∘,正方形CDEF改为矩形CDEF,如图3,且AC=4,BC=3,CD=,CF=1,BF交AC于点H,交AD于点O,连接BD、AF,求BD2+AF2的值.
【正确答案】(1) BF=AD,BF⊥AD;(2) BF=AD,BF⊥AD仍然成立,理由见解析;(3).
【分析】(1)可由SAS证得△BCF≌△ACD得到BF=AD,BF⊥AD;
(2)与(1)中的方法相同;
(3)证△BCF∽△ACD,得BO⊥AD,再利用勾股定理求解.
【详解】(1)BF=AD,BF⊥AD;
延长BF交AD于H,如图1所示.
∵△ABC是等腰直角三角形,∠ACB=90∘,
∴AC=BC,
∵四边形CDEF是正方形,
∴CD=CF,∠FCD=90∘,
在△BCF和△ACD中,BC=AC,∠BCF=∠ACD=90゜,CF=CD,
∴△BCF≌△ACD(SAS),
∴BF=AD,∠CBF=∠CAD,
∴∠BAD+∠ABF=∠BAC+∠CAD+∠ABF
=∠BAC+∠CBF+∠ABF
=∠BAC+∠ABC=90∘,
∴∠AHA=90∘,
∴BF⊥AD;
(2)BF=AD,BF⊥AD仍然成立,
∵△ABC是等腰直角三角形,∠ACB=90∘,
∴AC=BC,
∵四边形CDEF是正方形,
∴CD=CF,∠FCD=90∘,
∴∠ACB+∠ACF=∠FCD+∠ACF,即∠BCF=∠ACD,
在△BCF和△ACD中,BC=AC,∠BCF=∠ACD,CF=CD,
∴△BCF≌△ACD(SAS),
∴BF=AD,∠CBF=∠CAD,
又∵∠BHC=∠AHO,∠CBH+∠BHC=90∘,
∴∠CAD+∠AHO=90∘,
∴∠AOH=90∘,
∴BF⊥AD;
(3)证明:连接DF,如图所示.
∵四边形CDEF是矩形,
∴∠FCD=90゜,
又∵∠ACB=90゜,
∴∠ACB=∠FCD
∴∠ACB+∠ACF=∠FCD+∠ACF,即∠BCF=∠ACD,
∵AC=4,BC=3,CD=,CF=1,
∴BC:AC=CF:CD=3:4,
∴△BCF∽△ACD,
∴∠CBF=∠CAD,
又∵∠BHC=∠AHO,∠CBH+∠BHC=90゜,
∴∠CAD+∠AHO=90∘,
∴∠AOH=90∘,
∴BF⊥AD,
∴∠BOD=∠AOB=90∘,
∴BD2=OB2+OD2,AF2=OA2+OF2,AB2=OA2+OB2,DF2=OF2+OD2,
∴BD2+AF2=OB2+OD2+OA2+OF2=AB2+DF2,
∵在Rt△ABC中,∠ACB=90∘,AC=4,BC=3,
∴AB2=AC2+BC2=32+42=25,
∵在Rt△FCD中,∠FCD=90∘,CD=,CF=1,
∴DF2=CD2+CF2=()2+12=,
∴BD2+AF2=AB2+DF2=25+.
这是一种类比题,当图形从到一般时,一般图形中的解题方法可类比图形中的解题方法,图形中的很多结论在一般图形中还存在.它考查了等腰直角三角形和直角三角形的性质,勾股定理,矩形与正方形的性质,全等三角形的判定与性质,相似三角形的判定与性质等知识,具有一定的综合性.
25. 如图,在平面直角坐标系中,抛物线点A(0,4),B(1,0),C(5,0),其对称轴与x轴交于点M.
(1)求此抛物线的解析式和对称轴;
(2)在此抛物线的对称轴上是否存在一点P,使△PAB的周长最小?若存在,请求出点P的坐标;若没有存在,请说明理由;
(3)连接AC,在直线AC下方的抛物线上,是否存在一点N,使△NAC的面积?若存在,请求出点N的坐标;若没有存在,请说明理由.
【正确答案】(1)y= ,抛物线的对称轴是 x=3;
(2)存在;P点坐标为(3,).
(3)在直线AC下方的抛物线上存在点N,使△NAC面积.N(,-3)
【详解】(1)根据已知条件可设抛物线的解析式为y=a(x-1)(x-5).
把点A(0,4)代入上式,解得a=.
∴y=(x-1)(x-5)=x2-x+4=(x-3)2-.
∴抛物线的对称轴是x=3.
(2)存在,P点的坐标是(3,).如图1,连接AC交对称轴于点P,连接BP,AB.
∵点B与点C关于对称轴对称,
∴PB=PC.
∴AB+AP+PB=AB+AP+PC=AB+AC.
∴此时△PAB的周长最小.
设直线AC的解析式为y=kx+b.把A(0,4),C(5,0)代入y=kx+b,得
解得
∴y=-x+4.
∵点P的横坐标为3,
∴y=-×3+4=.
∴P(3,).
(3)在直线AC下方的抛物线上存在点N,使△NAC的面积.
如图2,设N点的横坐标为tt,此时点N(t,t2-t+4)(0<t<5).
过点N作y轴的平行线,分别交x轴,AC于点F,G,过点A作AD⊥NG,垂足为D.
由(2)可知直线AC的解析式为y=-x+4.
把x=t代入y=-x+4,得y=-t+4.
∴G(t,-t+4).
∴NG=-t+4-(t2-t+4)=-t2+4t.
∵AD+CF=OC=5,
∴S△NAC=S△ANG+S△CGN=NG·AD+NG·CF=NG·OC
=×(-t2+4t)×5=-2t2+10t=-2(t-)2+.
∵当t=时,△NAC面积的值为.
由t=,得y=×()2-×+4=-3.
∴N(,-3).
2022-2023学年浙江省衢州市中考数学专项突破仿真模拟试题
(二模)
一、选一选
1. 下列各数中,值数是( )
A. 5 B. ﹣3 C. 0 D. ﹣2
2. 下列运算中,结果正确的是
A. B. C. D.
3. 据北京2017年1月20日电国家统计局20日发布数据,初步核算,2016年我国国内生产总值约74万亿元,若将74万亿用科学记数法表示为
A. B. C. D.
4. 方程(x-2)(x-4)=0 的两个根是等腰三角形的底和腰,则这个等腰三角形的周长为 ( )
A. 6 B. 8 C. 10 D. 8或10
5. 如图,由6个小正方体搭建而成的几何体的俯视图是( )
A. B. C. D.
6. 某校九年级一班全体学生2017年中招理化生实验操作考试的成绩统计如下表,根据表中的信息判断,下列结论中错误的是( )
成绩(分)
30
29
28
26
18
人数(人)
32
4
2
1
1
A. 该班共有40名学生
B. 该班学生这次考试成绩的平均数为29.4分
C. 该班学生这次考试成绩众数为30分
D. 该班学生这次考试成绩的中位数为28分
7. 如图,在▱ABCD中,AC与BD相交于点O,E为OD的中点,连接AE并延长交DC于点F,则S△DEF:S△AOB的值为( )
A. 1:3 B. 1:5 C. 1:6 D. 1:11
8. 现有四张完全相同的卡片,上面分别标有数字0,1,2,3,把卡片背面朝上洗匀,然后从中随机抽取两张卡片组成一个两位数,则这个两位数是偶然的概率是
A. B. C. D.
9. 如图,△ABC中,∠B=55°,∠C=30°,分别以点A和点C为圆心,大于AC的长为半径画弧,两弧相交于点M,N作直线MN,交BC于点D,连结AD,则∠BAD的度数为( )
A. 65° B. 60° C. 55° D. 45°
10. 如图,中,,,,点P是斜边AB上任意一点,过点P作,垂足为P,交边或边于点Q,设,的面积为y,则y与x之间的函数图象大致是
A B. C. D.
二、填 空 题
11. 计算:______.
12. 没有等式组的整数解为______.
13. 如图,A,B是反比例函数图象上的两点,过点A作轴,垂足为C,AC交OB于点,若D为OB的中点,的面积为6,则k的值为______
14. 如图,在扇形中,是的中点,,与交于点,以为圆心,的长为半径作交于点.若,,则图中阴影部分的面积为________.(结果保留)
15. 如图,在矩形ABCD中,AD=5,AB=8,点E为射线DC上一个动点,把△ADE沿直线AE折叠,当点D的对应点F刚好落在线段AB的垂直平分线上时,则DE的长为_____.
三、解 答 题
16. 先化简,再求值:,其中.
17. 如图,函数y=kx+b与反比例函数y=的图象相较于A(2,3),B(﹣3,n)两点.
(1)求函数与反比例函数的解析式;
(2)根据所给条件,请直接写出没有等式kx+b>的解集;
(3)过点B作BC⊥x轴,垂足为C,求S△ABC.
18. 每年的3月22日为联合国确定的“世界水日”,某社区为了宣传节约用水,从本社区1000户家庭中随机抽取部分家庭,他们每月的用水量,并将的结果绘制成如下两幅尚没有完整的统计图(每组数据包括右端点但没有包括左端点),请你根据统计图解答下列问题:
(1)此次抽样的样本容量是 ;
(2)补全频数分布直方图,求扇形图中“6吨﹣﹣9吨”部分的圆心角的度数;
(3)如果自来水公司将基本月用水量定为每户每月12吨,没有超过基本月用水量的部受基本价格,超出基本月用水量的部分实行加价收费,那么该社区用户中约有多少户家庭能够全部享受基本价格?
19. 如图,AB是⊙O的一条弦,E是AB的中点,过点E作EC⊥OA于点C,过点B作⊙O的切线交CE的延长线于点D.
(1)求证:DB=DE;
(2)若AB=12,BD=5,求⊙O的半径.
20. 如图所示,某教学小组选定测量山顶铁塔AE的高,他们在30m高的楼CD的底部点D测得塔顶A的仰角为,在楼顶C测得塔顶A的仰角为若小山高,楼的底部D与山脚在同一水平面上,求铁塔的高参考数据:,
21. 由于数学课上需要用到科学计算器,班级决定集体购买,班长小明先去文具店购买了2个A型计算器和3个B型计算器,共花费90元;后又买了1个A型计算器和2个B型计算器,共花费55元(每次两种计算器的售价都没有变)
(1)求A型计算器和B型计算器的售价分别是每个多少元?
(2)经统计,班内还需购买两种计算器共40个,设购买A型计算器t个,所需总费用w元,请求出w关于t的函数关系式;
(3)要求:B型计算器的数量没有少于A型计数器的2倍,请设计一种购买,使所需总费用.
22. 如图1,过等边三角形ABC边AB上一点D作交边AC于点E,分别取BC,DE的中点M,N,连接MN.
发现:在图1中,______;
应用:如图2,将绕点A旋转,请求出的值;
拓展:如图3,和是等腰三角形,且,M,N分别是底边BC,DE的中点,若,请直接写出的值.
23. 如图,抛物线对称轴是直线,与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,点A的坐标为,点P为抛物线上的一个动点,过点P作轴于点D,交直线BC于点E.
求抛物线解析式;
若点P在象限内,当时,求四边形POBE的面积;
在条件下,若点M为直线BC上一点,点N为平面直角坐标系内一点,是否存在这样的点M和点N,使得以点B,D,M,N为顶点的四边形是菱形?若存在,直接写出点N的坐标;若没有存在,请说明理由.
2022-2023学年浙江省衢州市中考数学专项突破仿真模拟试题
(二模)
一、选一选
1. 下列各数中,值的数是( )
A. 5 B. ﹣3 C. 0 D. ﹣2
【正确答案】A
【详解】试题分析:|5|=5,|﹣3|=3,|0|=0,|﹣2|=2,∵5>3>2>0,∴值的数是5,故选A.
考点:1.有理数大小比较;2.值.
2. 下列运算中,结果正确的是
A. B. C. D.
【正确答案】A
【详解】【分析】根据幂的乘方,合并同类项,同底数幂的乘法,同底数幂的除法,逐项进行计算后即可得.
【详解】A、,故A选项符合题意;
B、3a与2b没有是同类项没有能合并,故B选项没有符合题意;
C、,故C选项没有符合题意;
D、,故D选项没有符合题意,
故选A.
本题考查了同底数幂乘法、同底数幂的除法等,熟记各运算法则是解题的关键.
3. 据北京2017年1月20日电国家统计局20日发布数据,初步核算,2016年我国国内生产总值约74万亿元,若将74万亿用科学记数法表示为
A. B. C. D.
【正确答案】A
【详解】【分析】科学记数法的表示形式为的形式,其中,n为整数,确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的值与小数点移动的位数相同,当原数值时,n是正数;当原数的值时,n是负数.
【详解】74万亿=74000000000000,
所以,74万亿用科学记数法表示为:,
故选A.
本题考查了科学记数法,科学记数法的表示形式为的形式,其中,n为整数,正确确定a的值以及n的值是关键.
4. 方程(x-2)(x-4)=0 的两个根是等腰三角形的底和腰,则这个等腰三角形的周长为 ( )
A. 6 B. 8 C. 10 D. 8或10
【正确答案】C
【分析】先利用因式分解法解方程得到x1=2,x2=4,再根据三角形三边的关系判断等腰三角形的底为2,腰为4,然后计算这个等腰三角形的周长.
【详解】解:∵(x-2)(x-4)=0,
∴x-2=0或x-4=0,
∴x1=2,x2=4,
∵当2为腰,4为底时,2+2=4,没有符合三角形三边的关系,
∴等腰三角形的底为2,腰为4,
∴这个等腰三角形的周长=2+4+4=10.
故选C.
本题考查了解一元二次方程-因式分解法:先把方程的右边化为0,再把左边通过因式分解化为两个因式的积的形式,那么这两个因式的值就都有可能为0,这就能得到两个一元方程的解,这样也就把原方程进行了降次,把解一元二次方程转化为解一元方程的问题了(数学转化思想).也考查了等腰三角形的性质和三角形三边的关系.
5. 如图,由6个小正方体搭建而成的几何体的俯视图是( )
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】根据三视图的概念,俯视图是从物体的上面向下看到的,因此可知其像是一个十字架.
【详解】解:根据三视图的概念,俯视图是
故选C.
考点:三视图.
6. 某校九年级一班全体学生2017年中招理化生实验操作考试的成绩统计如下表,根据表中的信息判断,下列结论中错误的是( )
成绩(分)
30
29
28
26
18
人数(人)
32
4
2
1
1
A. 该班共有40名学生
B. 该班学生这次考试成绩的平均数为29.4分
C. 该班学生这次考试成绩的众数为30分
D. 该班学生这次考试成绩的中位数为28分
【正确答案】D
【详解】A.∵32+4+2+1+1=40(人),故A正确;
B. ∵(30×32+29×4+28×2+26+18)÷40=29.4(分),故B正确;
C. ∵成绩是30分的人有32人,至多,故C 正确;
D. 该班学生这次考试成绩的中位数为30分,故D错误;
故选:D
7. 如图,在▱ABCD中,AC与BD相交于点O,E为OD的中点,连接AE并延长交DC于点F,则S△DEF:S△AOB的值为( )
A. 1:3 B. 1:5 C. 1:6 D. 1:11
【正确答案】C
【详解】解:∵O为平行四边形ABCD对角线的交点,
∴DO=BO.
又∵E为OD的中点,
∴DE=DB,
∴DE:EB=1:3.
又∵AB∥DC,
∴△DFE∽△BAE,
∴,
∴S△DEF=S△BAE.
∵,
∴S△AOB=S△BAE,
∴S△DEF:S△AOB=S△BAE:S△BAE=1:6.
故选C.
点睛:本题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质,难度适中,解答本题的关键是根据平行证明△DFE∽△BAE,然后根据对应边成比例求值.
8. 现有四张完全相同的卡片,上面分别标有数字0,1,2,3,把卡片背面朝上洗匀,然后从中随机抽取两张卡片组成一个两位数,则这个两位数是偶然的概率是
A. B. C. D.
【正确答案】B
【详解】【分析】首先根据题意画出树状图,然后由树状图求得所有等可能的结果与这个两位数是偶数的情况,再根据概率公式进行计算即可.
【详解】画树状图得:
共有9种等可能的结果,这个两位数是偶数的有5种情况,
这个两位数是偶数的概率是:,
故选B.
本题考查了列表法或树状图法求概率,解本题时要注意十位数字没有能为0,用到的知识点为:概率所求情况数与总情况数之比.
9. 如图,△ABC中,∠B=55°,∠C=30°,分别以点A和点C为圆心,大于AC的长为半径画弧,两弧相交于点M,N作直线MN,交BC于点D,连结AD,则∠BAD的度数为( )
A. 65° B. 60° C. 55° D. 45°
【正确答案】A
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到AD=DC,根据等腰三角形的性质得到∠C=∠DAC,求得∠DAC=30°,根据三角形的内角和得到∠BAC=95°,即可得到结论.
【详解】解:由题意可得:MN是AC的垂直平分线,
则AD=DC,故∠C=∠DAC,
∵∠C=30°,
∴∠DAC=30°,
∵∠B=55°,
∴∠BAC=95°,
∴∠BAD=∠BAC-∠CAD=65°,
故选:A.
此题主要考查了线段垂直平分线的性质,三角形的内角和,正确掌握线段垂直平分线的性质是解题关键.
10. 如图,中,,,,点P是斜边AB上任意一点,过点P作,垂足为P,交边或边于点Q,设,的面积为y,则y与x之间的函数图象大致是
A. B. C. D.
【正确答案】D
【详解】【分析】首先过点C作CD⊥AB于点D,由△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,可求得∠B的度数与AD的长,再分别从当0≤≤12时与当12<x≤16时,去分析求解即可求得答案.
【详解】∵∠ACB=90°,∠A=30°,AB=16,
∴∠B=60°,BC=AB=8,
∴∠BCD=30°,
∴BD=BC=4,
∴AD=AB﹣BD=12.
如图1,当0≤AD≤12时,AP=x,PQ=AP•tan30°=x,
∴y=x•x=x2;
如图2:当12<x≤16时,BP=AB﹣AP=16﹣x,
∴PQ=BP•tan60°=(16﹣x),
∴y=x•(16﹣x)=,
该函数图象前半部分是抛物线开口向上,后半部分也为抛物线开口向下,
故选D.
本题考查了动点问题的函数图象,运用分类讨论思想、图形进行解题是关键.
二、填 空 题
11. 计算:______.
【正确答案】3
【分析】根据任何没有为零的数的零次幂都为1,可得,由表示4的算术平方根,可得=2,然后再进行加法运算即可.
【详解】,
,
,
故答案为3.
本题考查了实数的运算,涉及到算术平方根和零次幂的计算,熟记是关键.
12. 没有等式组的整数解为______.
【正确答案】0
【详解】【分析】先分别求出没有等式组中每一个没有等式的解集,然后根据口诀:“同大取大、同小取小、大小小大中间找、小小无解了”确定没有等式组的解集,再确定整数解即可
【详解】解没有等式,得:,
解没有等式,得:,
没有等式组的解集为,
则没有等式组的整数解为0,
故答案为0.
本题考查的是解一元没有等式组,正确求出每一个没有等式解集是基础,利用“同大取大、同小取小、大小小大中间找、小小无解了”的原则确定没有等式组的解集是解题的关键.
13. 如图,A,B是反比例函数图象上两点,过点A作轴,垂足为C,AC交OB于点,若D为OB的中点,的面积为6,则k的值为______
【正确答案】16
【分析】先设点D坐标为,得出点B的坐标为,A的坐标为,再根据的面积为6,列出关系式求得k的值即可.
【详解】解:设点D坐标为,
点D为OB的中点,
根据中点坐标公式可得点B的坐标为,
,
又轴,A反比例函数图象上,
∴A的坐标为,
,
的面积为6,
,
,
,
故答案为16.
本题考查了反比例函数系数k的几何意义,以及运用待定系数法求反比例函数解析式,根据的面积为6列出关系式是解题的关键.
14. 如图,在扇形中,是的中点,,与交于点,以为圆心,的长为半径作交于点.若,,则图中阴影部分的面积为________.(结果保留)
【正确答案】
【详解】如解图,连接OD,交于点M,∵,C是OA的中点,,∴,∴,,,∴,
∴.
15. 如图,在矩形ABCD中,AD=5,AB=8,点E为射线DC上一个动点,把△ADE沿直线AE折叠,当点D的对应点F刚好落在线段AB的垂直平分线上时,则DE的长为_____.
【正确答案】或10
【详解】如图①,当点E在DC上时,点D的对应点F刚好落在线段AB的垂直平分线QP上,
∵AF=AD=5,AP=4,
∴FP==3,
∴FQ=2,
设FE=x,则DE=x,QE=4-x,
在Rt△EQF中,(4-x)2+22=x2,所以x=.
如图②,当,所以FQ=点E在DG的延长线上时,点D的对应点F刚好落在线段AB的垂直平分线QP上,易求FP=3,
所以FQ=8,设DE=x,则FE=x,QE=x-4,在Rt△EQF中,(x-4)2+82=x2,所以x=10,
综上所述,DE=或10.
三、解 答 题
16. 先化简,再求值:,其中.
【正确答案】,
【分析】先通过约分和通分,进行化简,再代入求值,即可求解.
详解】解:原式=
=
=,
当时,原式=.
本题主要考查分式的化简求值,掌握分式的通分和约分以及二次根式分母有理化,是解题的关键.
17. 如图,函数y=kx+b与反比例函数y=的图象相较于A(2,3),B(﹣3,n)两点.
(1)求函数与反比例函数的解析式;
(2)根据所给条件,请直接写出没有等式kx+b>的解集;
(3)过点B作BC⊥x轴,垂足为C,求S△ABC.
【正确答案】(1)反比例函数的解析式为:y=,函数的解析式为:y=x+1;(2)﹣3<x<0或x>2;(3)5.
【分析】(1)根据点A位于反比例函数的图象上,利用待定系数法求出反比例函数解析式,将点B坐标代入反比例函数解析式,求出n的值,进而求出函数解析式
(2)根据点A和点B的坐标及图象特点,即可求出反比例函数值大于函数值时x的取值范围
(3)由点A和点B的坐标求得三角形以BC 为底的高是10,从而求得三角形ABC 的面积
【详解】解:(1)∵点A(2,3)在y=的图象上,
∴m=6,
∴反比例函数的解析式为:y=,
∴n==﹣2,
∵A(2,3),B(﹣3,﹣2)两点在y=kx+b上,
∴,
解得:,
∴函数的解析式为:y=x+1;
(2)由图象可知﹣3<x<0或x>2时,kx+b>.
(3)以BC为底,则BC边上的高为3+2=5.
∴S△ABC=×2×5=5.
18. 每年3月22日为联合国确定的“世界水日”,某社区为了宣传节约用水,从本社区1000户家庭中随机抽取部分家庭,他们每月的用水量,并将的结果绘制成如下两幅尚没有完整的统计图(每组数据包括右端点但没有包括左端点),请你根据统计图解答下列问题:
(1)此次抽样的样本容量是 ;
(2)补全频数分布直方图,求扇形图中“6吨﹣﹣9吨”部分的圆心角的度数;
(3)如果自来水公司将基本月用水量定为每户每月12吨,没有超过基本月用水量的部受基本价格,超出基本月用水量的部分实行加价收费,那么该社区用户中约有多少户家庭能够全部享受基本价格?
【正确答案】(1)100;(2)补图见解析;(3)680户.
【分析】(1)由3~6吨的户数及其百分比可得样本容量;
(2)总户数减去其他分组的户数之和求得6~9吨的户数,即可补全直方图,用6~9吨的户数所占比例乘以360度可得圆心角度数;
(3)总户数乘以样本中3~12吨的户数所占比例即可得.
【详解】(1)此次抽样的样本容量是10÷10%=100,
故答案为100;
(2)6~9吨的户数为100﹣(10+38+24+8)=20(户),
补全频数分布直方图如下:
扇形图中“6吨﹣﹣9吨”部分的圆心角的度数为360°×=72°;
(3)1000×=680,
答:该社区约有680户家庭的用水全部享受基本价格.
本题考查是条形统计图和扇形统计图的综合运用,读懂统计图,从没有同的统计图中得到必要的信息是解题的关键.条形统计图能清楚地表示每个项目的数据,扇形统计图直接反映了部分占总体的百分比大小.
19. 如图,AB是⊙O的一条弦,E是AB的中点,过点E作EC⊥OA于点C,过点B作⊙O的切线交CE的延长线于点D.
(1)求证:DB=DE;
(2)若AB=12,BD=5,求⊙O的半径.
【正确答案】(1)证明见解析;(2)
【详解】试题分析:(1)由切线性质及等量代换推出∠4=∠5,再利用等角对等边可得出结论;
(2)由已知条件得出sin∠DEF和sin∠AOE的值,利用对应角的三角函数值相等推出结论.
试题解析:(1)∵DC⊥OA, ∴∠1+∠3=90°, ∵BD为切线,∴OB⊥BD, ∴∠2+∠5=90°, ∵OA=OB, ∴∠1=∠2,∵∠3=∠4,∴∠4=∠5,在△DEB中, ∠4=∠5,∴DE=DB.
(2)作DF⊥AB于F,连接OE,∵DB=DE, ∴EF=BE=3,在 RT△DEF中,EF=3,DE=BD=5,EF=3 , ∴DF=∴sin∠DEF== , ∵∠AOE=∠DEF, ∴在RT△AOE中,sin∠AOE= ,
∵AE=6, ∴AO=.
本题考查了圆的性质,切线定理,三角形相似,三角函数等知识,图形正确地选择相应的知识点与方法进行解题是关键.
20. 如图所示,某教学小组选定测量山顶铁塔AE的高,他们在30m高的楼CD的底部点D测得塔顶A的仰角为,在楼顶C测得塔顶A的仰角为若小山高,楼的底部D与山脚在同一水平面上,求铁塔的高参考数据:,
【正确答案】该铁塔的高AE约为58米.
【详解】【分析】设塔高,作于点F,根据楼高和山高可求出EF,继而得出AF,在中表示出CF,在中表示出BD,根据可建立方程,解出即可.
【详解】如图,过点C作于点F,
设塔高,作于点F,
则四边形BDCF是矩形,
,,
∴EF=BE-BF=62-30=32,
在中,,
,
在中,,,,
,
,
答:该铁塔的高AE约为58米.
本题考查了解直角三角形的应用,解答本题的关键是构造直角三角形,利用方程思想求解是解决此类问题常用的方法.
21. 由于数学课上需要用到科学计算器,班级决定集体购买,班长小明先去文具店购买了2个A型计算器和3个B型计算器,共花费90元;后又买了1个A型计算器和2个B型计算器,共花费55元(每次两种计算器的售价都没有变)
(1)求A型计算器和B型计算器的售价分别是每个多少元?
(2)经统计,班内还需购买两种计算器共40个,设购买A型计算器t个,所需总费用w元,请求出w关于t的函数关系式;
(3)要求:B型计算器的数量没有少于A型计数器的2倍,请设计一种购买,使所需总费用.
【正确答案】(1)A型计算器的售价为每个15元,B型计算器的售价为每个20元.(2)w=﹣5t+800.(3) 购买13个A型计算器、27个B型计算器时,所需总费用,费用为735元.
【详解】试题分析:(1)设A型计算器的售价为每个x元,B型计算器的售价为每个y元,根据“购买了2个A型计算器和3个B型计算器,共花费90元,后又买了1个A型计算器和2个
B型计算器,共花费55元”,即可得到关于x、y的二元方程组,解之即可;
(2)设购买A型计算器t个,所需总费用w元,则买B型计算器(40-t)个,根据总价=单价×购买数量,即可得到w关于t的函数解析式;
(3)由B型计算器的数量没有少于A型计数器的2倍,即可得出关于t的一元没有等式,解之解可求出t的取值范围,再利用函数的性质可解决最值问题.
试题解析:(1)设A型计算机,售价为每个x元,b型计算机售价为每个为y元,根据
题意得: ,解得
答:A型计算器售价为每个15元,B型计算器售价为每个20元
设购买A型计算机t个,所需总费用w元,则购买B型计算机(40-t)个
W=15t+20(40-t)=-5t+800
∵40-t≥2t,∴t≤
W=-5t+800,∵-5<0,∴随t的增大而减小
∴t为整数,当t=13时,wmin=-5x13+800=735元
答:购买A型计算器13个,B型计算器27个时,费用,费用为735元
22. 如图1,过等边三角形ABC边AB上一点D作交边AC于点E,分别取BC,DE的中点M,N,连接MN.
发现:在图1中,______;
应用:如图2,将绕点A旋转,请求出的值;
拓展:如图3,和是等腰三角形,且,M,N分别是底边BC,DE的中点,若,请直接写出的值.
【正确答案】(1);(2);(3).
【详解】【分析】如图1中,作于H,连接,只要证明四边形MNDH时矩形,即可解决问题;
如图2中,连接AM、只要证明∽,利用相似比为即可解决问题;
如图3中,连接AM、AN,延长AD交CE于H,交AC于,由∽,推出,只要证明时等腰直角三角形即可解决问题.
【详解】如图1中,作于H,连接AM,
,,
,
时等边三角形,
,
,
,
,
平分线段DE,
,
、N、M共线,
,
四边形MNDH时矩形,
,
,
故;
如图2中,连接AM、AN,
,都是等边三角形,,,
,,
,,
,
,
,
∽,
;
如图3中,连接AM、AN,延长AD交CE于H,交AC于O,
,,,,
,,
,
,
,
,
,,
,
,
∽,
,
,
,
,,
≌,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
.
本题考查了相似三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识,准确添加辅助线构造全等三角形或相似三角形解决问题是关键.
23. 如图,抛物线的对称轴是直线,与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,点A的坐标为,点P为抛物线上的一个动点,过点P作轴于点D,交直线BC于点E.
求抛物线解析式;
若点P在象限内,当时,求四边形POBE的面积;
在的条件下,若点M为直线BC上一点,点N为平面直角坐标系内一点,是否存在这样的点M和点N,使得以点B,D,M,N为顶点的四边形是菱形?若存在,直接写出点N的坐标;若没有存在,请说明理由.
【正确答案】(1)抛物线解析式为;(2)四边形POBE的面积为;(3)当或或或,以点B,D,M,N为顶点的四边形是菱形.
【详解】抛物线的对称轴是直线,在抛物线上,
,解得:,抛物线解析式为;
令,解得:,,当时,,
,,
设BC的解析式为,则,解得:,,
设,
轴,
,,
,
,
或舍去,
,,,
S四边形POBE;
存在,
设,
以BD为对角线,如图1,
四边形BNDM是菱形,
垂直平分BD,
,
,
,N关于x轴对称,
;
以BD为边,如图2,
四边形BNDM是菱形,
,,
过M作轴于H,
,即,
没有合题意,,
,
同理,
没有合题意,舍去,,
,
以BD为边,如图3,
过M作轴于H,
,即,
,没有合题意,舍去,
,
综上所述,当或或或,以点B,D,M,N为顶点的四边形是菱形.
本题考查的是二次函数的综合应用,涉及了待定系数法求函数、二次函数的解析式、勾股定理,三角形的面积公式、菱形的性质等知识,根据题意画出符合条件的图形是解题的关键.
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