2022-2023学年苏州市工业园区中考数学专项突破模拟试题（一模二模）含解析

这是一份2022-2023学年苏州市工业园区中考数学专项突破模拟试题（一模二模）含解析，共64页。试卷主要包含了选一选，填 空 题，解 答 题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年苏州市工业园区中考数学专项突破模拟试题
（一模）
一、选一选
1. ﹣2的值是（ ）
A 2 B. C. D.
2. 地球的平均半径约为6371000米，该数字用科学记数法可表示为（   ）
A. 0.6371×107 B. 6.371×106 C. 6.371×107 D. 6.371×103
3. 下列图形中，既是对称图形，又是轴对称图形的个数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
4. 下列计算中，正确是（   ）
A. 2a+3b=5ab B. （3a3）2=6a6 C. a6÷a2=a3 D. ﹣3a+2a=﹣a
5. 数据3、4、6、7、x的平均数是5，这组数据的中位数是（ ）
A. 4 B. 4.5 C. 5 D. 6
6. 若，其中、为两个连续的整数，则的值为（ ）．
A. B. C. 6 D.
7. 如图，在△ABC中，∠CAB=65°，将△ABC在平面内绕点A旋转到△AB′C′的地位，使CC′∥AB，则旋转角的度数为（　　）

A. 30° B. 40° C. 50° D. 65°
8. 某商店在节日期间开展优惠促销：购买原价超过200元的商品，超过200元的部分可以享用打折优惠．若购买商品的实践付款金额y(单位：元)与商品原价x(单位：元)的函数关系的图象如图所示，则超过200元的部分可以享用的优惠是( )

A. 打八折 B. 打七折 C. 打六折 D. 打五折
9. 如图，其中A，B，C三地在同不断线上，D地在A地北偏东30°方向、在C地北偏西45°方向．C 地在A地北偏东75°方向．且BD=BC=30cm．从A地到D地距离是（   ）

A. 30m    B. 20m C. 30m D. 15m
10. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB边的中点，过D作DE⊥BC于点E，点P是边BC上的一个动点，AP与CD相交于点Q．当AP＋PD的值最小时，AQ与PQ之间的数量关系是（ ）

A. AQ＝PQ B. AQ＝3PQ C. AQ＝PQ D. AQ＝4PQ
二、填 空 题
11. 若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是_______．
12. 分解因式：=____.
13. 课程改革以来，数学老师积极组织先生参与“综合与理论”，学校随机调查了七年级部分同窗某月参与“综合与理论”的工夫，并用得到的数据绘制了不残缺的统计图（如图所示），根据图中信息可知扇形图中的“小时”部分圆心角是__________．

14. 如图，AB//GH//CD，点H在BC上，AC与BD交于点G，AB=2，CD=3，则GH的长为___．

15. 若点（a，b）在函数y=2x﹣3上，则代数式3b﹣6a+1的值是________．
16. 如图，已知四边形ABCD是矩形，把矩形沿直线AC折叠，点B落在点E处，连接DE．若DE：AC=3：5，求的值．

17. 如图，△ABC是边长为4个等边三角形，D为AB边的中点，以CD为直径画圆，则图中暗影部分的面积为____________（结果保留π）．

18. 如图，在等边中， ，点、、分别在三边、、上，且， ， ，则长为__________．

三、解 答 题
19. 计算：|﹣1|﹣+（﹣2016）0．
20. 解不等式组：
21. （2016江苏省苏州市）先化简，再求值：，其中x=．
22. “母亲节”前夕，某花店用4000元购进若干束花，很快售完，接着又用4500元购进第二批花，已知每束花的进价比批的进价少5元，且第二批所购花的束数是批所购花束数的1.5倍，求批花每束的进价是多少？
23. 小明参加某个智力竞答节目，答对两道单 选 题就顺利通关．道单 选 题有3个选项，第二道单 选 题有4个选项，这两道题小明都不会，不过小明还有一个“求助”没有用（运用“求助”可以让掌管人去掉其中一题的一个错误选项）．
（1）如果小明题不运用“求助”，那么小明答对道题的概率是　 　．
（2）如果小明将“求助”留在第二题运用，请用树状图或者列表来分析小明顺利通关的概率．
（3）从概率的角度分析，你建议小明在第几题运用“求助”．（直接写出答案）
24. 如图，AD是等腰△ABC底边BC上的高.点O是AC中点，延伸DO到E，使，连接AE，CE.

（1）求证：四边形ADCE是矩形；
（2）若，，求四边形ADCE的面积.
25. 如图，函数y=kx+b的图象与反比例函数y=的图象交于A（﹣2，1），B（1，n）两点．

（1）试确定上述反比例函数和函数的表达式；
（2）求△AOB的面积．
26. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AO是△ABC的角平分线．以O为圆心，OC为半径作⊙O．

（1）求证：AB是⊙O的切线．
（2）已知AO交⊙O于点E，延伸AO交⊙O于点D，tanD=，求的值．
（3）在（2）的条件下，设⊙O的半径为3，求AB的长．
27. 如图，⊙M与菱形ABCD在平面直角坐标系中，点M的坐标为（﹣3，1），点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（1，﹣），点D在x轴上，且点D在点A的右侧．
（1）求菱形ABCD的周长；
（2）若⊙M沿x轴向右以每秒2个单位长度的速度平移，菱形ABCD沿x轴向左以每秒3个单位长度的速度平移，设菱形挪动的工夫为t（秒），当⊙M与AD相切，且切点为AD的中点时，连接AC，求t的值及∠MAC的度数；
（3）在（2）的条件下，当点M与AC所在的直线的距离为1时，求t的值．

28. 如图1，在平面直角坐标系中，直线l与x轴、y轴分别交于点B（4，0）、C（0，3），点A为x轴负半轴上一点，AM⊥BC于点M交y轴于点N（0，）．已知抛物线y=ax2+bx+c点A，B，C．

（1）求抛物线的函数式；
（2）连接AC，点D在线段BC上方的抛物线上，连接DC，DB，若△BCD和△ABC面积满足S△BCD= S△ABC， 求点D的坐标；

（3） 如图2，E为OB中点，设F为线段BC上一点（不含端点），连接EF．一动点P从E出发，沿线段EF以每秒3个单位速度运动到F，再沿着线段PC以每秒5个单位的速度运动到C后中止．若点P在整个运动过程中用时最少，请直接写出最少工夫和此时点F的坐标．





2022-2023学年苏州市工业园区中考数学专项突破模拟试题
（一模）
一、选一选
1. ﹣2的值是（ ）
A. 2 B. C. D.
【正确答案】A

【分析】根据数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的值的定义进行求解即可．
【详解】在数轴上，点﹣2到原点的距离是2，所以﹣2的值是2，
故选A．

2. 地球的平均半径约为6371000米，该数字用科学记数法可表示为（   ）
A. 0.6371×107 B. 6.371×106 C. 6.371×107 D. 6.371×103
【正确答案】B

【详解】根据科学记数法的表示方式可得，6371000=6.371×106.
故选B.
3. 下列图形中，既是对称图形，又是轴对称图形的个数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【正确答案】B

【详解】A为对称图形，
B为对称、轴对称图形，
C为对称，轴对称图形，
D为轴对称图形．
故选B.
4. 下列计算中，正确的是（   ）
A. 2a+3b=5ab B. （3a3）2=6a6 C. a6÷a2=a3 D. ﹣3a+2a=﹣a
【正确答案】D

【详解】试题分析：A、不是同类项，无法计算；B、原式=9a6；C、同底数幂相除，底数不变，指数相减，原式=；D、是同类项，能够合并，正确．故答案选D．
考点：．合并同类项；同底数幂的乘除法．
5. 数据3、4、6、7、x的平均数是5，这组数据的中位数是（ ）
A. 4 B. 4.5 C. 5 D. 6
【正确答案】C

【分析】首先根据3、4、6、7、x这组数据的平均数求得x值，再根据中位数的定义找到中位数即可．
【详解】由3、4、6、7、x的平均数是5，
即
得
这组数据按照从小到大陈列为3、4、5、6、7，则中位数为5．
故选C
此题考查了平均数计算及中位数的定义，纯熟运算平均数及掌握中位数的定义是解题关键．
6. 若，其中、为两个连续的整数，则的值为（ ）．
A. B. C. 6 D.
【正确答案】C

【详解】分析: 根据平方数越大对应的算术平方根越大可求得a、b的值，根据有理数的乘法法则求解即可．
详解: ∵4＜8＜9，
∴2＜＜3，即2＜＜3．
∴a=2，b=3．
∴ab=6．
故选C．
点睛: 本题次要考查的是估算在理数的大小，掌握夹逼法估算在理数的大小是解题的关键．
7. 如图，在△ABC中，∠CAB=65°，将△ABC在平面内绕点A旋转到△AB′C′的地位，使CC′∥AB，则旋转角的度数为（　　）

A. 30° B. 40° C. 50° D. 65°
【正确答案】C

【详解】解：∵CC′∥AB，
∴∠ACC′=∠CAB=65°，
∵△ABC绕点A旋转得到△AB′C′，
∴AC=AC′，
∴∠CAC′=180°-2∠ACC′=180°-2×65°=50°，
∴∠CAC′=∠BAB′=50°
故选C．
8. 某商店在节日期间开展优惠促销：购买原价超过200元的商品，超过200元的部分可以享用打折优惠．若购买商品的实践付款金额y(单位：元)与商品原价x(单位：元)的函数关系的图象如图所示，则超过200元的部分可以享用的优惠是( )

A. 打八折 B. 打七折 C. 打六折 D. 打五折
【正确答案】B

【分析】设超过200元的部分可以享用的优惠是打n折，根据：实践付款金额=200+（商品原价-200）×，列出y关于x的函数关系式，由图象将x=500、y=410代入求解可得．
【详解】解：设超过200元的部分可以享用的优惠是打n折，
根据题意，得：y=200+（x-200）•，
由图象可知，当x=500时，y=410，即：410=200+（500-200）×，
解得：n=7，
∴超过200元的部分可以享用的优惠是打7折，
故选B．
本题次要考查函数的实践运用，理解题意根据相等关系列出实践付款金额y与商品原价x间的函数关系式是解题的关键．
9. 如图，其中A，B，C三地在同不断线上，D地在A地北偏东30°方向、在C地北偏西45°方向．C 地在A地北偏东75°方向．且BD=BC=30cm．从A地到D地的距离是（   ）

A. 30m    B. 20m C. 30m D. 15m
【正确答案】D

【详解】过点D作DH垂直于AC，垂足为H，

由题意可知∠DAC=75°−30°=45°，
∵△BCD是等边三角形，
∴∠DBC=60°，BD=BC=CD=30m，
∴DH=×30=15，
∴AD=DH=15m.
答：从A地到D地的距离是15m.
故选D.
10. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB边的中点，过D作DE⊥BC于点E，点P是边BC上的一个动点，AP与CD相交于点Q．当AP＋PD的值最小时，AQ与PQ之间的数量关系是（ ）

A. AQ＝PQ B. AQ＝3PQ C. AQ＝PQ D. AQ＝4PQ
【正确答案】B

【分析】作点A关于BC的对称点A′，连接A′D交BC于点P，此时PA+PD最小．作DM∥BC交AC于M，交PA于N，利用平行线的性质AN=NP，利用全等三角形证明NQ=PQ，即可处理成绩．
【详解】如图，作点A关于BC的对称点A′，连接A′D交BC于点P，此时PA+PD最小．作DM∥BC交AC于M，交PA于N．

∵∠ACB=∠DEB=90°，
∴DE∥AC，
∵∠ACB＝90°，点D是AB边的中点
AD=DB=DC，
DE⊥BC
∴CE=EB，
为 的中位线
∴DE=AC=CA′，
∵DE∥CA′，
∴EP：PC=DE：CA′=，
∵DM∥BC，AD=DB，

∴AM=MC，
同理，AN=NP，
∴DM=BC=CE=EB，MN=PC，
∴MN=PE，ND=PC，
在△DNQ和△CPQ中，
，
∴△DNQ≌△CPQ，
∴NQ=PQ，
∵AN=NP，
∴AQ=3PQ
故选：B．
本题考查轴对称最短成绩、全等三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是利用对称找到点P地位，纯熟掌握平行线的性质，属于中考常考题型．解两条线段之和最小（短）类成绩，普通是运用轴对称变换将处于直线同侧的点转化为直线异侧的点，从而把两条线段的地位关系转换，再根据两点之间线段最短来确定，使两条线段之和转化为一条线段．
二、填 空 题
11. 若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是_______．
【正确答案】

【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．
【详解】解：∵在实数范围内有意义，
∴x-1≥0，
解得x≥1．
故x≥1．
本题考查的是二次根式有意义的条件，即被开方数大于等于0．
12. 分解因式：=____.
【正确答案】

【详解】试题分析：要将一个多项式分解因式的普通步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察能否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式．因此，
先提取公因式后继续运用平方差公式分解即可：．
13. 课程改革以来，数学老师积极组织先生参与“综合与理论”，学校随机调查了七年级部分同窗某月参与“综合与理论”的工夫，并用得到的数据绘制了不残缺的统计图（如图所示），根据图中信息可知扇形图中的“小时”部分圆心角是__________．

【正确答案】

【详解】（人），
（人），
，
．
14. 如图，AB//GH//CD，点H在BC上，AC与BD交于点G，AB=2，CD=3，则GH的长为___．

【正确答案】##1.2

【分析】由ABGH，可得△CGH∽△CAB，从而得出=，同理可得=，将两个式子相加，即可求出GH的长．
【详解】∵ABGH，
∴△CGH∽△CAB，
∴=，即=①，
同理=，即=②，
①+②，得+=+==1，
∴+=1，
解得GH=．
故答案为．
15. 若点（a，b）在函数y=2x﹣3上，则代数式3b﹣6a+1的值是________．
【正确答案】-8

【详解】把代入，
得，
，
∴，
∴．
16. 如图，已知四边形ABCD是矩形，把矩形沿直线AC折叠，点B落在点E处，连接DE．若DE：AC=3：5，求的值．

【正确答案】

【分析】根据翻折的性质可得∠BAC=∠EAC，再根据矩形的对边平行可得AB∥CD，根据两直线平行，内错角相等可得∠DCA=∠BAC，从而得到∠EAC=∠DCA，设AE与CD相交于F，根据等角对等边的性质可得AF=CF，再求出DF=EF，从而得到△ACF和△EDF类似，根据类似三角形得出对应边成比，设DF=3x，FC=5x，在Rt△ADF中，利用勾股定理列式求出AD，再根据矩形的对边相等求出AB，然后代入进行计算即可得解．
【详解】解：∵矩形沿直线AC折叠，点B落在点E处，
∴CE＝BC，∠BAC＝∠CAE，
∵矩形对边AD＝BC，
∴AD＝CE，
设AE、CD相交于点F，
在△ADF和△CEF中，
，
∴△ADF≌△CEF（AAS），
∴EF＝DF，
∵AB∥CD，
∴∠BAC＝∠ACF，
又∵∠BAC＝∠CAE，
∴∠ACF＝∠CAE，
∴AF＝CF，
∴AC∥DE，
∴△ACF∽△DEF，
∴，
设EF＝3k，CF＝5k，
由勾股定理得CE＝，
∴AD＝BC＝CE＝4k，
又∵CD＝DF＋CF＝3k＋5k＝8k，
∴AB＝CD＝8k，
∴AD：AB＝（4k）：（8k）＝．

本题考查了翻折变换的性质，全等三角形的判定与性质，类似三角形的判定与性质，勾股定理，综合题难度较大，求出△ACF和△DEF类似是解题的关键，也是本题的难点．
17. 如图，△ABC是边长为4个等边三角形，D为AB边的中点，以CD为直径画圆，则图中暗影部分的面积为____________（结果保留π）．

【正确答案】-π．

【详解】试题解析：过点O作OE⊥AC于点E，连接FO，MO，

∵△ABC是边长为4等边三角形，D为AB边的中点，以CD为直径画圆，
∴CD⊥AB，∠ACD=∠BCD=30°，AC=BC=AB=4，
∴∠FOD=∠DOM=60°，AD=BD=2，
∴CD=2，则CO=DO=，
∴EO=，EC=EF=，则FC=3，
∴S△COF=S△COM=××3=，
S扇形OFM==π，
S△ABC=×CD×4=4，
∴图中影阴部分的面积为：4-2×-π=-π．
考点：扇形面积的计算．
18. 如图，在等边中， ，点、、分别在三边、、上，且， ， ，则的长为__________．

【正确答案】3

【详解】解：∵，，
∴，
∵为等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
故答案：3．
本题考查了类似三角形的判定与性质，等边三角形的性质，直角三角形30°角所对的边等于斜边的一半，根据平角等于180°和三角形的内角和定理求出是解题的关键，也是解题的难点．
三、解 答 题
19. 计算：|﹣1|﹣+（﹣2016）0．
【正确答案】0

【详解】试题分析：根据值的意义，立方根、零次幂的性质可直接求解.
试题解析：|﹣1|﹣ +（﹣2016）0
=1﹣2+1
=0．

20. 解不等式组：
【正确答案】2＜x≤5

【详解】试题分析：分别求出不等式组中各个不等式的解集，再求出这两个不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集.
试题解析：
解：
解①得：x＞2，
解②得x≤5．
则不等式组的解集是：2＜x≤5．
21. （2016江苏省苏州市）先化简，再求值：，其中x=．
【正确答案】，．

【详解】试题分析：先括号内通分，然后计算除法，代入化简即可．
试题解析：原式===，
当x=时，原式==．
22. “母亲节”前夕，某花店用4000元购进若干束花，很快售完，接着又用4500元购进第二批花，已知每束花的进价比批的进价少5元，且第二批所购花的束数是批所购花束数的1.5倍，求批花每束的进价是多少？
【正确答案】批花每束的进价是20元/束

【详解】试题分析：设批花每束的进价是x元/束，则批进的数量是：，第二批进的数量是：，再根据等量关系：第二批进的数量=批进的数量×1.5可得方程．
试题解析：设批花每束的价格为元，
，
两边同时乘以得，

，
．
∴批花每束的进价为元．
23. 小明参加某个智力竞答节目，答对两道单 选 题就顺利通关．道单 选 题有3个选项，第二道单 选 题有4个选项，这两道题小明都不会，不过小明还有一个“求助”没有用（运用“求助”可以让掌管人去掉其中一题的一个错误选项）．
（1）如果小明题不运用“求助”，那么小明答对道题的概率是　 　．
（2）如果小明将“求助”留在第二题运用，请用树状图或者列表来分析小明顺利通关的概率．
（3）从概率的角度分析，你建议小明在第几题运用“求助”．（直接写出答案）
【正确答案】（1）；（2）；（3）题

【分析】（1）由道单 选 题有3个选项，直接利用概率公式求解即可求得答案；
（2）画出树状图，再由树状图求得一切等可能的结果与小明顺利通关的情况，继而利用概率公式即可求得答案；
（3）由如果在题运用“求助”小明顺利通关的概率为：；如果在第二题运用“求助”小明顺利通关的概率为：；即可求得答案．
【详解】（1）如果小明题不运用“求助”，那么小明答对道题的概率=；
故答案为；
（2）画树状图为：

共有9种等可能的结果数，其中两个都正确的结果数为1，所以小明顺利通关的概率为；
（3）建议小明在题运用“求助”．理由如下：
小明将“求助”留在题，
画树状图为：

小明将“求助”留在题运用，小明顺利通关的概率=，
因＞，
所以建议小明在题运用“求助”．
本题考查的是概率，纯熟掌握树状图法和概率公式是解题的关键.
24. 如图，AD是等腰△ABC底边BC上的高.点O是AC中点，延伸DO到E，使，连接AE，CE.

（1）求证：四边形ADCE是矩形；
（2）若，，求四边形ADCE的面积.
【正确答案】（1）证明见解析；（2）四边形ADCE的面积是120.

【分析】（1）根据平行四边形的性质得出四边形ABCD是平行四边形，根据垂直推出∠ADC=90°，根据矩形的判定得出即可；
（2）求出DC，根据勾股定理求出AD，根据矩形的面积公式求出即可.
【详解】解：（1）证明：∵点O是AC的中点，
∴AO=OC，
∵OE=OD，
∴四边形ADCE是平行四边形，
∵AD是等腰△ABC底边上的高，
∴∠ADC=90°，
∴四边形ADCE是矩形；
（2）∵AD是等腰△ABC底边上的高，BC=16，AB=17，
∴BD=CD=8，AB=AC=17，∠ADC=90°，
由勾股定理得：AD===15，
∴四边形ADCE的面积是AD×DC=15×8=120.
本题考查了平行四边形的判定，矩形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理的运用，能综合运用定理进行推理和计算是解此题的关键.
25. 如图，函数y=kx+b的图象与反比例函数y=的图象交于A（﹣2，1），B（1，n）两点．

（1）试确定上述反比例函数和函数的表达式；
（2）求△AOB的面积．
【正确答案】（1），y=﹣x﹣1；（2）．

【分析】（1）首先把A的坐标代入反比例函数关系式中可以求出m，再把B（1，n）代入反比例函数关系式中可以求出n的值，然后利用待定系数法就可以求出函数的解析式；
（2）△AOB的面积不能直接求出，要求出函数与x轴的交点坐标，然后利用面积的割补法球它的面积．S△AOB=S△AOC+S△BOC．
【详解】解：（1）∵点A（﹣2，1）在反比例函数y=的图象上，
∴m=（﹣2）×1=﹣2．
∴反比例函数的表达式为 ．
∵点B（1，n）也在反比例函数 的图象上，
∴n=﹣2，即B（1，﹣2）．
把点A（﹣2，1），点B（1，﹣2）代入函数y=kx+b中，
得 ，解得 ．
∴函数的表达式为y=﹣x﹣1
（2）在y=﹣x﹣1中，当y=0时，得x=﹣1．
∴直线y=﹣x﹣1与x轴的交点为C（﹣1，0）．
∵线段OC将△AOB分成△AOC和△BOC，
∴S△AOB=S△AOC+S△BOC= ×1×1+ ×1×2= +1=．
26. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AO是△ABC的角平分线．以O为圆心，OC为半径作⊙O．

（1）求证：AB是⊙O的切线．
（2）已知AO交⊙O于点E，延伸AO交⊙O于点D，tanD=，求的值．
（3）在（2）的条件下，设⊙O的半径为3，求AB的长．
【正确答案】（1）证明见解析（2） （3）

【分析】（1）过O作OF⊥AB于F，由角平分线上的点到角两边的距离相等即可得证；
（2）连接CE，证明△ACE∽△ADC可得= tanD＝；
（3）先由勾股定理求得AE的长，再证明△BOF∽△BAC，得，设BO=y，BF=z，列二元方程组即可处理成绩．
【详解】（1）证明：作OF⊥AB于F
∵AO是∠BAC的角平分线，∠ACB=90º
∴OC=OF
∴AB是⊙O的切线
（2）连接CE
∵AO是∠BAC的角平分线，
∴∠CAE=∠CAD
∵∠ACE所对的弧与∠CDE所对的弧是同弧
∴∠ACE=∠CDE
∴△ACE∽△ADC
∴= tanD＝
（3）先在△ACO中，设AE=x,
由勾股定理得
(x＋3)²=(2x) ²＋3² ，解得x=2,
∵∠BFO=90°=∠ACO
易证Rt△BOF∽Rt△BAC
得，
设BO=y BF=z

即4z=9＋3y，4y=12＋3z
解得z=y=
∴AB=＋4=

考点：圆的综合题．
27. 如图，⊙M与菱形ABCD在平面直角坐标系中，点M的坐标为（﹣3，1），点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（1，﹣），点D在x轴上，且点D在点A的右侧．
（1）求菱形ABCD的周长；
（2）若⊙M沿x轴向右以每秒2个单位长度的速度平移，菱形ABCD沿x轴向左以每秒3个单位长度的速度平移，设菱形挪动的工夫为t（秒），当⊙M与AD相切，且切点为AD的中点时，连接AC，求t的值及∠MAC的度数；
（3）在（2）的条件下，当点M与AC所在的直线的距离为1时，求t的值．

【正确答案】（1）菱形的周长为8；（2）t=，∠MAC=105°；（3）当t=1﹣或t=1+时，圆M与AC相切．

【详解】试题分析：（1）过点B作BE⊥AD，垂足为E．由点A和点B的坐标可知：BE=，AE=1，根据勾股定理可求得AB的长，从而可求得菱形的周长；（2）记 M与x轴的切线为F，AD的中点为E．先求得EF的长，然后根据路程=工夫×速度列出方程即可；平移的图形如图3所示：过点B作BE⊥AD，垂足为E，连接MF，F为 M与AD的切点．由锐角三角函数值可求得∠EAB=60°，根据菱形的性质可得到∠FAC=60°，然后证明△AFM是等腰直角三角形，从而可得到∠MAF的度数，故此可求得∠MAC的度数；（3）如图4所示：连接AM，过点作MN⊥AC，垂足为N，作ME⊥AD，垂足为E．先求得∠MAE=30°，根据锐角三角函数值可得到AE的长，然后根据3t+2t=5-AE可求得t的值；如图5所示：连接AM，过点作MN⊥AC，垂足为N，作ME⊥AD，垂足为E．根据菱形的性质和切线长定理可求得∠MAE=60°，然后根据锐角三角函数值可得到EA=，根据3t+2t=5+AE．列方程求解即可．
试题解析：（）如图1所示：过点作，垂足为，

∵，，
∴，，
∴，
∵四边形为菱形，
∴，
∴菱形的周长．
（）如图2所示，⊙与轴的切线为，中点为，

∵，
∴，
∵，且为中点，
∴，，
∴，
解得．
平移的图形如图3所示：过点作，

垂足为，连接，为⊙与切点，
∵由（）可知，，，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∵为切线，
∴，
∵为的中点，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴．
（）如图4所示：连接，过点作，垂足为，作，垂足为，

∵四边形为菱形，，
∴．
∵、是圆的切线
∴，
∵．
∴，
∴，
∴．
如图5所示：连接，过点作，垂足为，作，垂足为，

∵四边形为菱形，，
∴，
∴，
∵、是圆的切线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
综上所述，当或时，圆与相切．
点睛：此题是一道圆的综合题.圆中的方法规律总结：1、分类讨论思想：研讨点、直线和圆的地位关系时，就要从不同的地位关系去考虑，即要全面揭示点、直线和元的各种可能的地位关系.这种地位关系的考虑与分析要用到分类讨论思想.1、转化思想：（1）化“曲面”为“平面”（2）化不规则图形面积为规则图形的面积求解.3、方程思想：再与圆有关的计算题中，除了直接运用公式进行计算外，有时根据图形的特点，列方程解答，思绪清楚，过程简捷.
28. 如图1，在平面直角坐标系中，直线l与x轴、y轴分别交于点B（4，0）、C（0，3），点A为x轴负半轴上一点，AM⊥BC于点M交y轴于点N（0，）．已知抛物线y=ax2+bx+c点A，B，C．

（1）求抛物线的函数式；
（2）连接AC，点D在线段BC上方的抛物线上，连接DC，DB，若△BCD和△ABC面积满足S△BCD= S△ABC， 求点D的坐标；

（3）如图2，E为OB中点，设F为线段BC上一点（不含端点），连接EF．一动点P从E出发，沿线段EF以每秒3个单位的速度运动到F，再沿着线段PC以每秒5个单位的速度运动到C后中止．若点P在整个运动过程中用时最少，请直接写出最少工夫和此时点F的坐标．

【正确答案】（1）y=﹣x2+x+3（2）D点坐标为（1，）或（3，3）（3）点P在整个运动过程中所用的最少工夫2××2=3秒，此时点F的坐标为（2，）

【详解】试题分析：（1）根据点N（0，），得到ON=，再证明△AON∽△COB，利用类似比计算出OA=1，得到A（-1，0），然后利用交点式可求出抛物线解析式为y=-x2+x+3；
（2）先利用待定系数法求出直线BC的解析式为y=-x+3，作PQ∥y轴交BC于Q，如图1，设P（x，-x2+x+3），则Q（x，-x+3），再计算出DQ=-x2+3x，根据三角形面积公式得S△BCD=S△CDQ+S△BDQ=-x2+6x，然后根据S△BCD=S△ABC得到-x2+6x=××（4+1）×3，然后解方程求出x即可得到D点坐标；
（3）设F（m，-x+3）利用两点间的距离公式得到EF，CF，则点P在整个运动过程中所用时t=EF+，根据不等式公式得到EF+≥2，当EF=CF时，取等号，此时t最小，解方程x2-x+13=（x）2得x1=2，x2=（舍去），于是得到点P在整个运动过程中所用的最少工夫2××2=3秒，此时点F的坐标为（2，）．
试题解析：
（1）解：∵C（0，3），
∴OC=3，
∵4CN=5ON，
∴ON= ，
∵∠OAN=∠NCM，
∴△AON∽△COB，
∴ = ，即 = ，解得OA=1，
∴A（﹣1，0），
设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣4），
把C（0，3）代入得a•1•（﹣4）=3，解得a=﹣，
∴抛物线解析式为y=﹣（x+1）（x﹣4）=﹣x2+ x+3
（2）解：设直线BC解析式为y=mx+n，
把C（0，3），B（4，0）代入得 ，解得 ，
∴直线BC的解析式为y=﹣ x+3，
作PQ∥y轴交BC于Q，如图1，

设P（x，﹣x2+ x+3），则Q（x，﹣x+3），
DQ=﹣x2+ x+3﹣（﹣x+3）=﹣x2+3x，
∴S△BCD=S△CDQ+S△BDQ= •4•（﹣x2+3x）=﹣x2+6x，
∵S△BCD= S△ABC ，
∴﹣ x2+6x= × ×（4+1）×3，
整理得x2﹣4x+3=0，解得x1=1，x2=3，
∴D点坐标为（1,）或（3，3）；
（3）解：设F（x，﹣ x+3），则EF= = ，CF= = x，
点P在整个运动过程中所用工夫t= EF+ ，
∴EF+ ≥2 ，当EF= CF时，取等号，此时t最小，
即x2-x+13=（x）2得x1=2，x2=（舍去），
∴点P在整个运动过程中所用的最少工夫2× ×2=3秒，此时点F的坐标为（2， ）．
点睛: 本题考查了二次函数的综合题：纯熟掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和不等式公式；理解坐标与图形性质，会利用两点间的距离公式计算线段的长；会用待定系数法求函数解析式；纯熟一元二次方程的解法．
























2022-2023学年苏州市工业园区中考数学专项突破模拟试题
（二模）
一、选一选
1. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，则的值为（　　　　）

A. B. C. D.
2. 抛物线y=2（x+3）2﹣4的顶点坐标是（　　）
A. （3，4） B. （3，﹣4） C. （﹣3，4） D. （﹣3，﹣4）
3. 如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，DE∥BC，已知AE=6，，则EC长是

A. 4.5 B. 8 C. 10.5 D. 14
4. 如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC=3：1，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（ ）

A. 3：4 B. 9：16 C. 9：1 D. 3：1
5. 已知两圆的半径分别为2、5，且圆心距等于3，则两圆地位关系是（　　）
A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内切
6. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=8，点E是△ABC的内心，过点E作EF∥AB交AC于点F，则EF的长为（　　）

A. B. C. D.
二、填 空 题
7. 如果2x＝3y，那么___．
8. 计算： =_____．
9. 如果一幅地图的比例尺为，那么实践距离是km的两地在地图上的图距是_________cm．
10. 如果抛物线y=（a+1）x2﹣4有点，那么a取值范围是_____．
11. 抛物线y＝2x2+4向左平移2个单位长度，得到新抛物线的表达式为_____．
12. 已知点A（x1，y1）和B（x2，y2）是抛物线y=2（x﹣3）2+5上的两点，如果x1＞x2＞4，那么y1_____y2．（填“＞”、“=”或“＜”）
13. 在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，垂足为点D，如果AC=6，AB=8，那么AD的长度为_____．
14. 已知△ABC是等边三角形，边长为3，G是三角形的重心，那么GA的长度为_____．
15. 正八边形的角等于______度
16. 如图，一个斜坡长 m，坡顶离程度地面的距离为 m，那么这个斜坡的坡度为________．

17. 如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧A，B，C三点，已知点A的坐标是（-2，3），点C的坐标是（1，2），那么这条圆弧所在圆的圆心坐标是_____________.

18. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别在AC，BC上，且∠CDE＝∠B，将△CDE沿DE折叠，点C恰好落在AB边上的点F处，连接CF，若AC＝8，AB＝10，则CD的长为__

三、解 答 题
19. 计算：﹣3sin60°+2cos45°．
20. 如图，在中，BE平分交AC于点E，过点E作交AB于点D，已知，．
（1）求BC长度；
（2）如果，，那么请用、表示向量．

21. 如图，CD为⊙O直径，CD⊥AB，垂足为点F，AO⊥BC，垂足为点E，CE=2．
（1）求AB的长；
（2）求⊙O的半径．

22. 如图，港口B位于港口A的南偏东37°方向，灯塔C恰好在AB的中点处．一艘海轮位于港口A的正南方向，港口B的正东方向的D处，它沿正向航行5km到达E处，测得灯塔C在北偏东45°方向上，这时，E处距离港口A有多远？（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）

23. 如图，点E是正方形ABCD的边BC延伸线上一点，联合DE，过顶点B作BF⊥DE，垂足为F，BF交边DC于点G．
（1）求证：GD•AB=DF•BG；
（2）联合CF，求证：∠CFB=45°．

24. 如图，抛物线y=–x2+bx+c过点A（3，0），B（0，2）．M（m，0）为线段OA上一个动点（点M与点A不重合），过点M作垂直于x轴的直线与直线AB和抛物线分别交于点P、N．
（1）求直线AB解析式和抛物线的解析式；
（2）如果点P是MN的中点，那么求此时点N的坐标；
（3）如果以B，P，N为顶点的三角形与△APM类似，求点M的坐标．

25. 如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，cosA＝，D是AB边的中点，E是AC边上一点，联合DE，过点D作DF⊥DE交BC边于点F，联合EF．
（1）如图1，当DE⊥AC时，求EF的长；
（2）如图2，当点E在AC边上挪动时，∠DFE的正切值能否会发生变化，如果变化请说出变化情况；如果保持不变，请求出∠DFE的正切值；
（3）如图3，联合CD交EF于点Q，当△CQF是等腰三角形时，请直接写出BF的长．











2022-2023学年苏州市工业园区中考数学专项突破模拟试题
（二模）
一、选一选
1. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，则的值为（　　　　）

A. B. C. D.
【正确答案】B

【分析】先利用勾股定理计算出AC，然后根据正切的定义求解．
【详解】解：∵∠ACB=90°，AB=5，BC=3，
∴，
∴．
故选：B．
本题考查了勾股定理、锐角正切值的求法，利用正切函数等于对边比邻边是解题关键．
2. 抛物线y=2（x+3）2﹣4的顶点坐标是（　　）
A. （3，4） B. （3，﹣4） C. （﹣3，4） D. （﹣3，﹣4）
【正确答案】D

【分析】根据二次函数的顶点式为：y=a（x-h）²+k （a≠0），其中顶点坐标为（h，k），直接求解即可．
【详解】解：∵y=2（x+3）2﹣4，
∴抛物线顶点坐标为（﹣3，﹣4），
故选D．
3. 如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，DE∥BC，已知AE=6，，则EC的长是

A. 4.5 B. 8 C. 10.5 D. 14
【正确答案】B

【详解】∵DE∥BC，∴．
又∵AE=6，，∴．故选B．
4. 如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC=3：1，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（ ）

A. 3：4 B. 9：16 C. 9：1 D. 3：1
【正确答案】B

【分析】根据题意可证明△DFE∽△BFA，根据类似三角形的面积之比等于类似比的平方即可得出答案．
【详解】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴DC∥AB，
∴△DFE∽△BFA，
∵DE：EC=3：1，
∴DE：DC=3：4，
∴DE：AB=3：4，
∴S△DFE：S△BFA=9：16．
故选B．
5. 已知两圆的半径分别为2、5，且圆心距等于3，则两圆地位关系是（　　）
A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内切
【正确答案】D

【详解】∵两圆的半径分别为2和5，圆心距为3，
又∵5﹣2=3，
∴两圆的地位关系是内切．
故选D．
本题考查了两圆的地位关系：设两圆半径分别为R、r，两圆圆心距为d，则当d＞R+r时两圆外离；当d=R+r时两圆外切；当R-r＜d＜R+r（R≥r）时两圆相交；当d=R-r（R＞r）时两圆内切；当0≤d＜R-r（R＞r）时两圆内含．
6. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=8，点E是△ABC的内心，过点E作EF∥AB交AC于点F，则EF的长为（　　）

A. B. C. D.
【正确答案】A

【分析】延伸FE交BC于点D，作EG⊥AB、作EH⊥AC，由EF∥AC可证四边形BDEG是矩形，由角平分线可得ED=EH=EG、∠GAE=∠HAE，从而知四边形BDEG是正方形，再证△GAE≌△HAE、△DCE≌△HCE得AG=AH、CD=CH，设BD=BG=x，则AG=AH=6-x、CD=CH=8-x，由AC=10可得x=2，即BD=DE=2、AG=4，再证△CDF∽△CBA，可得，据此得出EF=DF-DE=.
【详解】解：如图，延伸FE交BC于点D，作EG⊥AB于点G，作EH⊥AC于点H，
∵EF∥AB、∠ABC=90°，
∴FD⊥AB，
∵EG⊥BC，
∴四边形BDEG是矩形，
∵AE平分∠BAC、CE平分∠ACB，
∴ED=EH=EG，∠GAE=∠HAE，
∴四边形BDEG是正方形，
在△GAE和△HAE中，
∵，
∴△GAE≌△HAE（AAS），
∴AG=AH，
同理△DCE≌△HCE，
∴CD=CH，
设BD=BG=x，则AG=AH=6﹣x、CD=CH=8﹣x，
∵AC= = =10，
∴6﹣x＋8﹣x=10，
解得：x=2，
∴BD=DE=BG=2，AG=4，
∵DF∥AB，
∴△DCF∽△BCA，
∴，即，
解得：，
则EF=DF﹣DE=，
故选A

本题次要考查类似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质及正方形的判定与性质，纯熟掌握角平分线的性质和正方形的判定与性质、类似三角形的判定与性质是解题的关键．
二、填 空 题
7. 如果2x＝3y，那么___．
【正确答案】

【分析】直接利用已知得出x=y，进而代入得出答案．
【详解】解：∵2x=3y，
∴x=y，
∴．
故．
本题次要考查了比例的性质，正确将已知变形是解题关键．
8. 计算： =_____．
【正确答案】

【详解】
=
=
故答案为:.
9. 如果一幅地图的比例尺为，那么实践距离是km的两地在地图上的图距是_________cm．
【正确答案】6

【分析】设两地在地图上的图距是xcm，然后根据比例尺的定义，即可得到方程，解此方程即可求得答案，
【详解】解：设两地在地图上的图距是xcm，
根据题意得：
∴x=6cm
故6．
此题考查了比例线段．此题难度不大，解题的关键是理解题意，根据比例尺的定义列方程，留意一致单位．
10. 如果抛物线y=（a+1）x2﹣4有点，那么a的取值范围是_____．
【正确答案】

详解】试题解析：∵抛物线有点，
∴a+1＜0，
即a＜-1．
故答案为a＜-1．
11. 抛物线y＝2x2+4向左平移2个单位长度，得到新抛物线的表达式为_____．
【正确答案】y=2（x+2）2+4

【详解】试题解析：∵二次函数解析式为y=2x2+4，
∴顶点坐标（0，4）
向左平移2个单位得到的点是（-2，4），
可设新函数的解析式为y=2（x-h）2+k，
代入顶点坐标得y=2（x+2）2+4，
故答案为y=2（x+2）2+4．
点睛：函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式．
12. 已知点A（x1，y1）和B（x2，y2）是抛物线y=2（x﹣3）2+5上的两点，如果x1＞x2＞4，那么y1_____y2．（填“＞”、“=”或“＜”）
【正确答案】＞

【详解】∵y=2（x﹣3）2+5，
∴a=2＞0，有最小值为5，
∴抛物线开口向上，
∵抛物线y=2（x﹣3）2+5对称轴为直线x=3，
∵x1＞x2＞4，
∴y1＞y2．
故答案为＞
本题调查了二次函数的图像和性质，当a>0时，在对称轴的左侧y随x的增大而减小，在对称轴的右侧y随x的增大而增大；当a<0时，在对称轴的左侧y随x的增大而增大，在对称轴的右侧y随x的增大而减小.
13. 在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，垂足为点D，如果AC=6，AB=8，那么AD的长度为_____．
【正确答案】4.8

【详解】∵∠BAC=90°，AB=8，AC=6，
∴BC==10，
∵AD⊥BC，
∴6×8=AD×10，
解得：AD=4.8．
故答案为4.8．

14. 已知△ABC是等边三角形，边长为3，G是三角形的重心，那么GA的长度为_____．
【正确答案】

【详解】延伸AG交BC于D，
∵G是三角形的重心，
∴AD⊥BC，BD=DC=BC=，
由勾股定理得，AD=，
∴GA=AD=，
故答案为．

本题考查了三角形重心的性质，等边三角形三线合一的性质，勾股定理，纯熟掌握重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1是解答本题的关键.
15. 正八边形的角等于______度
【正确答案】45

【分析】已知该多边形为正八边形，代入角公式即可得出．
【详解】∵该多边形为正八边形，故n=8
∴
故45．
本题考查了正多边形的角，把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆．正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的角，正n边形的每个角都等于．
16. 如图，一个斜坡长 m，坡顶离程度地面的距离为 m，那么这个斜坡的坡度为________．

【正确答案】1：2.4

【详解】试题解析：如图，

在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，AB=130m，BC=50m，
∴AC==120m，
∴tan∠BAC=．
17. 如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧A，B，C三点，已知点A的坐标是（-2，3），点C的坐标是（1，2），那么这条圆弧所在圆的圆心坐标是_____________.

【正确答案】(-1,1)

【详解】试题解析：如图线段AB的垂直平分线和线段CD的垂直平分线的交点M，
即圆心的坐标是（-1，1），

18. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别在AC，BC上，且∠CDE＝∠B，将△CDE沿DE折叠，点C恰好落在AB边上的点F处，连接CF，若AC＝8，AB＝10，则CD的长为__

【正确答案】

【分析】由对称性可知CF⊥DE，可得∠CDE=∠ECF=∠B，得出CF=BF，同理可得CF=AF，由此可得F是AB的中点，求得CF=5，再判定△CDF∽△CFA，得到CF2=CD×CA，进而得出CD的长．
【详解】解：由对称性可知CF⊥DE，
又∵∠DCE=90°，
∴∠CDE=∠EDF=∠B，
四点在同一个圆上，

∴CF=BF，


CF=AF，
∴F是AB的中点，
∴CF=AB=5，
又∵∠DFC=∠ACF=∠A，∠DCF=∠FCA，
∴△CDF∽△CFA，

∴，即52=CD×8，
∴CD=.
故答案是.
考查了折叠成绩，四点共圆以及类似三角形的判定与性质的运用，处理成绩的关键是根据四点共圆以及等量代换得到F是AB的中点．
三、解 答 题
19. 计算：﹣3sin60°+2cos45°．
【正确答案】

【分析】先把锐角三角函数换为它们的三角函数值，再把项的分子、分母都乘以分母有理化，然后合并同类二次根式化简.
【详解】解：﹣3sin60°+2cos45°
=
=
=．
20. 如图，在中，BE平分交AC于点E，过点E作交AB于点D，已知，．
（1）求BC的长度；
（2）如果，，那么请用、表示向量．

【正确答案】（1）；（2）

【详解】试题分析：（1）由BE平分∠ABC交AC于点E，ED∥BC，可证得BD=DE，，从而可求出结论；
（2）由，得.故 又与同向，所以，由，得，因此
试题解析：（1）∵平分，
∴.
∵，
∴.
∴.
∴.
∵，
∴.
又∵，，
∴，
∴，∴.
（2）∵，
∴.
∴
又∵与同向
∴
∵，
∴
∴
21. 如图，CD为⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为点F，AO⊥BC，垂足为点E，CE=2．
（1）求AB的长；
（2）求⊙O的半径．

【正确答案】（1）AB=4；（2）⊙O的半径是．

【详解】试题分析：（1）由，得，，可证.从而AF=CE，故可求得AB的长；
（2）由垂径定理得BE=CE，故BE=AB，从而∠A=30°，在直角三角形AFO中即可求出AO值.
试题解析：（1）∵，
∴
在中

∴
∴
∵,
∴
∵是的直径，
∴
∴.
（2） ∵是的半径，,
∴,
∵,
∴.
∵，
∴.
又∵
∴
∴
即的半径是.
22. 如图，港口B位于港口A的南偏东37°方向，灯塔C恰好在AB的中点处．一艘海轮位于港口A的正南方向，港口B的正东方向的D处，它沿正向航行5km到达E处，测得灯塔C在北偏东45°方向上，这时，E处距离港口A有多远？（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）

【正确答案】35km

【分析】过点C作CH⊥AD于H．.构造直角三角形的模型，然后解直角三角形和平行线分线段成比例的定理列方程求解即可.
【详解】解：如图，过点C作CH⊥AD于H．.设.

在中，，
∵，
∴.
在中，，
∵，
∴.
∵，
∴.
∴.
∴.
又C为AB的中点，
∴.
∴.
∴.
∴.
∴
因此，E处距离港口A大约为35km.
点睛：本题考查了解直角三角形的运用--方向角成绩，航海中的实践成绩，将解直角三角形的相关知识无机，表现了数学运用于实践生活的思想．
23. 如图，点E是正方形ABCD的边BC延伸线上一点，联合DE，过顶点B作BF⊥DE，垂足为F，BF交边DC于点G．
（1）求证：GD•AB=DF•BG；
（2）联合CF，求证：∠CFB=45°．

【正确答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【分析】（1）先证明△BGC∽△DGF，然后根据类似三角形的性质列比例式整理即可；（2）连接BD、CF，由△BGC∽△DGF，可得,变形得，可证△BGD∽△CGF，从而∠BDG=∠CFG，再根据正方形的性质求出∠BDG即可.
【详解】证明：（1）∵四边形ABCD是正方形
∴∠BCD=∠ADC=90°，AB=BC，
∵BF⊥DE，
∴∠GFD=90°，
∴∠BCD=∠GFD，
∵∠BGC=∠FGD，
∴△BGC∽△DGF，
∴，
∴DG•BC=DF•BG，
∵AB=BC，
∴DG•AB=DF•BG；
（2）如图，连接BD、CF，

∵△BGC∽△DGF，
∴，
∴，
又∵∠BGD=∠CGF，
∴△BGD∽△CGF，
∴∠BDG=∠CFG，
∵四边形ABCD是正方形，BD是对角线，
∴，
∴∠CFG=45°．
24. 如图，抛物线y=–x2+bx+c过点A（3，0），B（0，2）．M（m，0）为线段OA上一个动点（点M与点A不重合），过点M作垂直于x轴的直线与直线AB和抛物线分别交于点P、N．
（1）求直线AB的解析式和抛物线的解析式；
（2）如果点P是MN的中点，那么求此时点N的坐标；
（3）如果以B，P，N为顶点的三角形与△APM类似，求点M的坐标．

【正确答案】（1） ，；（2）；（3）

【分析】（1）运用待定系数法求解即可；
（2）设， 得 再由点坐标公式得出方程，求解即可；
（3）分两种情况进行讨论即可得解.
【详解】（1）解：设直线的解析式为（）
∵，
∴ 解得
∴直线的解析式为
∵抛物线点，
∴ 解得
∴
（2）∵轴，
∴设，
∴，
∵点是的中点
∴
∴
解得，（不合题意，舍去）
∴
（3）∵，，
∴，
∴
∵
∴当与类似时，存在以下两种情况：
①
∴ 解得
∴
②
∴ ,解得
∴点M的坐标为
25. 如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，cosA＝，D是AB边的中点，E是AC边上一点，联合DE，过点D作DF⊥DE交BC边于点F，联合EF．
（1）如图1，当DE⊥AC时，求EF的长；
（2）如图2，当点E在AC边上挪动时，∠DFE的正切值能否会发生变化，如果变化请说出变化情况；如果保持不变，请求出∠DFE的正切值；
（3）如图3，联合CD交EF于点Q，当△CQF是等腰三角形时，请直接写出BF的长．

【正确答案】（1）；（2）不变；（3）或3或.

【详解】试题分析：（1）由已知条件易求DE=3，DF=4，再由勾股定理EF=5；
（2）过点作，，垂足分别为点、，由（1）可得DH=3，DG=4；再证，即可得出结论；
（3）分三种情况讨论即可.
（1）∵，
∴
∵
∴
∵是边的中点
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∵在中，
∴
∵
∴
又∵
∴四边形矩形
∴
∵在中，
∴
（2）不变
过点作，，垂足分别为点、

由（1）可得，
∵，
∴
又∵，
∴四边形是矩形
∴
∵
∴ 即
又∵
∴
∴
∵
∴
（3）1° 当时，易证，即
又∵，D是AB的中点
∴
∴
2° 当时，易证
∵在中，
∴设，则，
当时，易证，
∴
∵
∴
∴
∴
∵
∴
∴ 解得
∴
∴
3° 在BC边上截取BK=BD=5，由勾股定理得出
当时，易证
∴设，则，
∴
∵
∴
∴
∴
∵
∴
∴ 解得
∴
∴