精品解析：北京市东城区2019-2020学年度高一下学期期末统一检测数学试题

2019-2020学年北京市东城区高一第二学期期末数学试卷

一、选择题（共8小题）.

1. 复数的虚部为（    ）

A. 2 B.  C. 1 D. i

【答案】C

【解析】

【分析】

直接利用复数的基本概念得答案.

【详解】解：复数的虚部为1.

故选：C.

【点睛】此题考查复数的有关概念，属于基础题

2. 已知向量，若，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

根据平面向量的坐标运算，列方程求出x的值.

【详解】解：向量，；

若，则，

即，

解得.

故选：A.

【点睛】此题考查由向量垂直求参数，属于基础题

3. 在北京消费季活动中，某商场为促销举行购物抽奖活动，规定购物消费每满200元就可以参加一次抽奖活动，中奖的概率为.那么以下理解正确的是（    ）

A. 某顾客抽奖10次，一定能中奖1次

B. 某顾客抽奖10次，可能1次也没中奖

C. 某顾客消费210元，一定不能中奖

D. 某顾客消费1000元，至少能中奖1次

【答案】B

【解析】

【分析】

根据概率的定义进行判断.

【详解】解：中奖概率表示每一次抽奖中奖的可能性都是，

故不论抽奖多少次，都可能一次也不中奖，

故选：B.

【点睛】此题考查对概率定义的理解，属于基础题

4. 要得到函数的图象，只要将函数的图象（    ）

A. 向右平移个单位长度 B. 向左平移个单位长度

C. 向右平移个单位长度 D. 向左平移个单位长度

【答案】D

【解析】

【分析】

由题意利用函数的图象变换规律，得出结论.

【详解】解：只要将函数的图象向左平移个单位长度，

即可得到函数的图象，

故选：D.

【点睛】此题考查函数的图象变换，属于基础题

5. 在复平面内，复数对应的点位于（   ）

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

【答案】B

【解析】

【分析】

化简复数，找出对应点得到答案.

【详解】对应点为在第二象限

故答案选B

【点睛】本题考查了复数的化简，属于简单题.

6. 设l是直线，，是两个不同的平面，下列命题正确的是（    ）

A. 若，，则 B. 若，，则

C. 若，，则 D. 若，，则

【答案】D

【解析】

【分析】

利用空间线线、线面、面面的位置关系对选项进行逐一判断，即可得到答案.

【详解】A.若，，则与可能平行，也可能相交，所以不正确.

B.若，，则与可能的位置关系有相交、平行或,所以不正确.

C.若，，则可能，所以不正确.

D.若，，由线面平行的性质过的平面与相交于，则，又.
所以，所以有，所以正确.

故选：D

【点睛】本题考查面面平行、垂直的判断，线面平行和垂直的判断,属于基础题.

7. 已知A，B，C，D是平面内四个不同的点，则“”是“四边形为平行四边形”的（    ）

A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件

C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】

根据必要条件、充分条件的定义即可判断.

【详解】解：由可不一定推出四边形为平行四边形，

但由四边形为平行四边形一定可得，

故“”是“四边形为平行四边形”的必要而不充分条件，

故选：B.

【点睛】此题考查充分条件和必要条件的判断，考查推理能力，属于基础题

8. 沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，利用细沙全部流到下部容器所需要的时间进行计时.如图，某沙漏由上、下两个圆维组成.这两个圆锥的底面直径和高分别相等，细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度（h）的（细管长度忽略不计）.假设细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆.这个沙堆的高与圆锥的高h的比值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

细沙全部在上部时，沙漏上部分圆锥中的细沙的高为，设圆锥的底面半径为r，则细沙形成的圆锥的底面半径为，求出细沙的体积，再设细沙漏入下部后，圆锥形沙堆的高为，求出细沙的体积，由体积相等求解，则答案可求.

【详解】解：细沙全部在上部时，沙漏上部分圆锥中的细沙的高为，

设圆锥的底面半径为r，则细沙形成的圆锥的底面半径为，

∴细沙的体积为.

细沙漏入下部后，圆锥形沙堆的底面半径r，设高为，

则，

得.

∴.

故选：A.

【点睛】此题考查圆锥体积公式的应用，属于中档题

二、填空题（共6小题）.

9. 若函数，则的值为______.

【答案】

【解析】

【分析】

由已知利用二倍角公式可求，进而根据特殊角的三角函数值即可求解.

【详解】解：∵，

∴.

故答案为：.

【点睛】此题考查正弦的二倍角公式的应用，属于基础题

10. 已知复数满足，那么__________，__________．

【答案】    (1).     (2).

【解析】

【分析】

利用复数除法运算得到复数，进而求出其共轭与模即可.

【详解】复数，

故，．

【点睛】本题考查复数的运算及基本概念，属于基础题.

11. 已知在中，，，，则______.

【答案】或.

【解析】

【分析】

由已知利用正弦定理可得，结合，可得范围，即可求解B的值.

【详解】解：∵，，，

∴由正弦定理，可得，

∵，可得，

∴，或.

故答案为：，或.

【点睛】此题考查正弦定理的应用，考查计算能力，属于基础题

12. 已知甲、乙、丙、丁四人各自独立解决某一问题的概率分别是0.5，0.4，0.3，a，如果甲、乙、丙至少有一人解决该问题的概率不小于丁独立解决这一问题的概率，则a的最大值是______.

【答案】0.79.

【解析】

【分析】

由甲、乙、丙至少有一人解决该问题的概率不小于丁独立解决这一问题的概率，利用对立事件概率计算公式列出方程，由此能求出a的最大值.

【详解】解：甲、乙、丙、丁四人各自独立解决某一问题的概率分别是0.5，0.4，0.3，a，

∵甲、乙、丙至少有一人解决该问题的概率不小于丁独立解决这一问题的概率，

∴，

解得.

∴a的最大值是0.79.

故答案为：0.79.

【点睛】此题考查对立事件概率的应用，属于基础题

13. 已知l，m是两条不同的直线，，是两个不同的平面，给出下列四个论断：①，②，③，④.以其中的两个论断作为命题的条件，作为命题的结论，写出一个真命题：______.

【答案】若，，则

【解析】

【分析】

若，，则，运用线面垂直的性质和判定定理，即可得到结论.

【详解】解：l，m是两条不同的直线，，是两个不同的平面，

可得若，，则，

理由：在内取两条相交直线a，b，

由可得.，

又，可得.，

而a，b为内的两条相交直线，可得.

故答案：若，，则

【点睛】此题考查线面垂直的判定定理和性质定理的应用，考查推理能力，属于基础题

14. 在日常生活中，我们会看到如图所示的情境，两个人共提一个行李包.假设行李包所受重力为G，作用在行李包上的两个拉力分别为，，且，与的夹角为.给出以下结论：

①越大越费力，越小越省力；

②的范围为；

③当时，；

④当时，.

其中正确结论的序号是______.

【答案】①④.

【解析】

【分析】

根据为定值，求出，再对题目中的命题分析、判断正误即可.

【详解】解：对于①，由为定值，

所以，

解得；

由题意知时，单调递减，所以单调递增，

即越大越费力，越小越省力；①正确.

对于②，由题意知，的取值范围是，所以②错误.

对于③，当时，，所以，③错误.

对于④，当时，，所以，④正确.

综上知，正确结论的序号是①④.

故答案为：①④.

【点睛】此题考查平面向量数量积的应用，考查分析问题的能力，属于中档题

三、解答题共5题，每题10分，共50分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

15. 已知函数，其，_____.

（1）写出函数的一个周期（不用说明理由）；

（2）当时，求函数的最大值和最小值.

从①，②这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答，

注：如果选择多个条件分别解答.按第一个解答计分.

【答案】若选①（1）；（2）最小值，最大值；若选②（1），（2）最大值，最小值.

【解析】

【分析】

（1）结合所选选项，然后结合二倍角公式及辅助角公式进行化简，然后结合周期公式可求；

（2）由已知角x的范围，然后结合正弦函数的性质即可求解.

【详解】解：选①，（1）因为，

，

故函数的周期；

（2）因为，所以，

当即时，函数取得最小值，当即时，函数取得最大值，

选②，（1）

，

，

故函数的一个周期，

（2）由可得，

时即时，函数取得最大值，

当时即时，函数取得最小值.

【点睛】此题考查二倍角公式及辅助角公式的应用，考查正弦函数性质的应用，考查计算能力，属于中档题

16. 某医院首批援鄂人员中有2名医生，3名护士和1名管理人员.采用抽签的方式，从这六名援鄂人员中随机选取两人在总结表彰大会上发言.

（Ⅰ）写出发言人员所有可能的结果构成的样本空间；

（Ⅱ）求选中1名医生和1名护士发言的概率；

（Ⅲ）求至少选中1名护士发言的概率.

【答案】（Ⅰ）样本空间见解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）.

【解析】

【分析】

（Ⅰ）给6名医护人员进行编号，使用列举法得出样本空间；

（Ⅱ）列举出符合条件的基本事件，根据古典概型的概率公式计算概率；

（Ⅲ）列举出对立事件的基本事件，根据对立事件概率公式计算概率.

【详解】解：（Ⅰ）设2名医生记为，，3名护士记为，，，1名管理人员记为C，

则样本空间为：

.

（Ⅱ）设事件M：选中1名医生和1名护士发言，则，

∴，又，

∴

（Ⅲ）设事件N：至少选中1名护士发言，则，

∴，

∴.

【点睛】本题考查事件空间，考查古典概型，考查对立事件的概率公式．用列举法写出事件空间中的所有基本事件是解题关键，也是求古典概型的基本方法．

17. 在正方体中，E，F分别为和的中点.

（1）求证：平面；

（2）在棱上是否存在一点M，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）证明见解析；（2）存在，1.

【解析】

【分析】

（1）取的中点G，连接，，运用中位线定理和平行四边形的判定和性质，结合线面平行的判定定理，即可得证；

（2）在棱上假设存在一点M，使得平面平面，取M为的中点，连接，，，由线面垂直的判定和性质，结合面面垂直的判定定理，可得所求结论.

【详解】解：（1）取的中点G，连接，，因为F为的中点，

所以∥，且，

在正方体中，因为E为的中点，

所以∥，且，所以∥，，

可得四边形为平行四边形，

所以∥，又因为平面，平面，

则∥平面；

（2）在棱上假设存在一点M，使得平面平面，

取M为的中点，连接，，，

因为F为的中点，所以∥，因为，

可得，

因为平面，平面，

所以，

因为平面，平面，，

所以平面，

因为平面，所以平面平面，

故.

【点睛】

此题考查线面平行的判定，考查线面垂直的判定和性质的应用，考查面面垂直的判定，考查推理能力，属于中档题

18. 在中，，D是的中点，，.

（1）求B；

（2）求的面积.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】

（1）直接由已知条件和正弦定理求出B的值.

（2）根据余弦定理求出c的值，再根据面积公式即可求出.

【详解】解：（1）由及正弦定理，

可得：，

所以：，

由于：，，

因为，

解得：；

（2）延长线段到E，使得，

因为D是的中点，

所以是的中位线，

所以，

因为，

所以，

在中，由余弦定理

可得，解得，

所以.

【点睛】此题考查正弦定理和余弦定理应用，考查两角和正弦公式的应用，考查计算能力，属于中档题

19. 对于任意实数a，b，c，d，表达式称为二阶行列式（determinant），记作，

（1）求下列行列式的值：

①；②；③；

（2）求证：向量与向量共线的充要条件是；

（3）讨论关于x，y的二元一次方程组（）有唯一解的条件，并求出解.（结果用二阶行列式的记号表示）.

【答案】（1）1，0，0；（2）证明见解析；（3）当时，有唯一解，，.

【解析】

【分析】

（1）利用行列式的定义可以直接求出行列式的值.

（2）若向量与向量共线，由和时，分别推导出；反之，若，即，当c，d不全为0时，不妨设，则，，推导出，，当且时，，与共线，由此能证明向量与向量共线的充要条件是.

（3）求出，，由此能求出当时，关于x，y的二元一次方程组（）有唯一解，并能求出解.

【详解】解：（1）解：①

②；

③.

（2）证明：若向量与向量共线，则：

当时，有，即，

当时，有，即，

∴必要性得证.

反之，若，即，

当c，d不全为0时，即时，

不妨设，则，∴，

∵，∴，∴，∴与共线，

当且时，，∴与共线，

充分性得证.

综上，向量与向量共线的充要条件是.

（3）用和分别乘上面两个方程两端，然后两个方程相减，消去y得：

，①

同理，消去x，得：

，②

∴当时，即时，由①②得：

，，

∴当时，关于x，y的二元一次方程组（）有唯一解，

且，.

【点睛】此题考查行列式求值，考查向量共线的充要条件的证明，考查二元一次方程有解的条件及解的求法，考查运算求解能力，属于中档题