2023届高考数学二轮复习专题一第1讲三角函数的图象和性质学案

第二篇　经典专题突破·核心素养提升

专题一　三角函数和解三角形

第1讲　三角函数的图象和性质

考情分析

三角函数的图象与性质是高考考查的重点和热点内容，主要从以下两个方面进行考查；

1．三角函数的图象，涉及图象变换问题以及由图象确定解析式问题，主要以选择题、填空题的形式考查；

2．利用三角函数的性质求解三角函数的值、参数、最值、值域、单调区间等，主要以客观题或解答题其中一问的形式考查．

自主先热身　真题定乾坤

ZIZHUXIANRESHENZHENTIDINGQIANKUN　

真题热身

1．(2022·全国新高考Ⅰ卷)记函数f(x)＝sin＋b(ω>0)的最小正周期为T.若<T<π，且y＝f(x)的图象关于点中心对称，则f＝(　A　)

A．1　　 B．　　

C．　　 D．3

【解析】　由函数的最小正周期T满足<T<π，

得<<π，解得2<ω<3，

又因为函数图象关于点对称，

所以ω＋＝kπ，k∈Z，且b＝2，

所以ω＝－＋k，k∈Z，

所以ω＝，f(x)＝sin ＋2，

所以f＝sin ＋2＝1.

故选A.

2．(2022·全国甲卷)设函数f(x)＝sin在区间(0，π)恰有三个极值点、两个零点，则ω的取值范围是(　C　)

A．　　 B．

C．　　 D．

【解析】　依题意可得ω>0，因为x∈(0，π)，

所以ωx＋∈，

要使函数在区间(0，π)恰有三个极值点、两个零点，

又y＝sin x，x∈的图象如下所示：

则<ωπ＋≤3π，解得<ω≤，

即ω∈.故选C.

3．(2022·全国甲卷)将函数f(x)＝sin(ω>0)的图象向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则ω的最小值是(　C　)

A．　　 B．　　

C．　　 D．

【解析】　由题意可知：曲线C为y＝sin ＝sin ，又C关于y轴对称，则＋＝＋kπ，k∈Z，解得ω＝＋2k，k∈Z，又ω>0，故当k＝0时，ω的最小值为.故选C.

4．(2021·全国新高考Ⅰ卷)下列区间中，函数f(x)＝7sin单调递增的区间是(　A　)

A．　　 B．

C．　　 D．

【解析】　因为函数y＝sin x的单调递增区间为(k∈Z)，对于函数f(x)＝7sin ，由2kπ－<x－<2kπ＋(k∈Z)，解得2kπ－<x<2kπ＋(k∈Z)，取k＝0，可得函数f(x)的一个单调递增区间为，则⊆，⊄，A选项满足条件，B不满足条件；取k＝1，可得函数f(x)的一个单调递增区间为，⊄且⊄，⊄，CD选项均不满足条件．故选A.

5．(2022·全国乙卷)函数f(x)＝cosx＋(x＋1)sinx＋1在区间[0，2π]的最小值、最大值分别为(　D　)

A．－，　　 B．－，

C．－，＋2　　 D．－，＋2

【解析】　f′(x)＝－sin x＋sin x＋(x＋1)cos x＝(x＋1)cos x，所以f(x)在区间和上f′(x)>0，即f(x)单调递增；在区间上f′(x)<0，即f(x)单调递减，又f(0)＝f(2π)＝2，f＝＋2，f＝－＋1＝－，所以f(x)在区间[0，2π]上的最小值为－，最大值为＋2.故选D.

6．(2022·全国乙卷)记函数f(x)＝cos (ωx＋φ)(ω>0，0<φ<π)的最小正周期为T，若f(T)＝，x＝为f(x)的零点，则ω的最小值为__3__．

【解析】　因为f(x)＝cos (ωx＋φ)，(ω>0，0<φ<π)

所以最小正周期T＝，

因为f(T)＝cos ＝cos (2π＋φ)＝cos φ＝，

又0<φ<π，所以φ＝，

即f(x)＝cos ，

又x＝为f(x)的零点，

所以ω＋＝＋kπ，k∈Z，

解得ω＝3＋9k，k∈Z，

因为ω>0，所以当k＝0时ωmin＝3；故答案为3.

感悟高考

高考对此部分内容主要以选择、填空题的形式考查，难度为中等偏下，大多出现在6～12或第14～15题位置上，命题的热点主要集中于三角函数的定义、图象与性质，主要考查图象的变换，函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性及最值，并常与三角恒等变换交汇命题．

核心拔头筹　考点巧突破

HEXINBATOUCHOUKAODIANQIAOTUPO　

考点一　三角函数的定义、诱导公式及基本关系

1．同角关系：sin2α＋cos2α＝1，＝tanα.

2．诱导公式：在＋α，k∈Z的诱导公式中“奇变偶不变，符号看象限”．

典例1 (1)已知点P在角θ的终边上，且θ∈[0，2π)，则角θ的大小为(　B　)

A．　　 B．　　

C．　　 D．

【解析】∵点P在角的终边上，且θ∈[0，2π)，

∴点P在第二象限，|OP|＝1，cos θ＝－，则角θ的大小为，故选B.

(2)已知tanθ＝，则sinθcosθ＝(　A　)

A．　　 B．－

C．　　 D．－

【解析】由于tan θ＝，

故sin θcos θ＝＝＝＝.故选A.

【二级结论】(1)若α∈，则sinα<α<tan α.

(2)由(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可知一求二．

1．(1)(2020·全国Ⅲ)已知2tanθ－tan＝7，则tanθ等于(　D　)

A．－2　　 B．－1　　

C．1　　 D．2

(2)已知sinα＋cosα＝，α∈(0，π)，则＝(　A　)

A．－　　 B．　　

C．　　 D．－

【解析】(1)2tan θ－tan ＝2tan θ－＝7，解得tan θ＝2.

(2)因为sin α＋cos α＝，

所以(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝，

所以sin αcos α＝－，又因为α∈(0，π)，

所以sin α>0，cos α<0，所以cos α－sin α<0，

因为(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×＝，

所以cos α－sin α＝－，

所以＝＝＝＝－.

考点二　三角函数的图象与解析式

三角函数图象的变换

典例2 (1)已知函数f(x)＝2sin (ωx＋φ)的部分图象大致如图所示，则下列说法错误的是(　C　)

A．函数f(x)的最小正周期为π

B．函数f(x)在上单调递减

C．是函数f(x)图象的一个对称中心

D．函数f(x)的图象可以由函数y＝2cos图象上各点的纵坐标不变，横坐标缩小为原来的得到

【解析】设f(x)的最小正周期为T，

由题意知T＝－＝，

解得T＝π，故A确，

又ω＞0，所以ω＝2.

今2×＋φ＝2kπ(k∈Z)，

得φ＝2kπ＋(k∈Z)，

又φ∈，所以φ＝.

所以f(x)＝2sin .

由＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ(k∈Z)，

得f(x)的单调递减区间为，k∈Z.

易知函数在上单调递减，故B正确，

因为f＝2sin ＝－2≠0，

所以不可能是函数f(x)的对称中心，C错误．

y＝2cos ＝2cos ＝2sin 图象上各点的纵坐标不变，横坐标缩小为原来的得到f(x)＝2sin ，D正确．故选C.

(2)设函数g(x)＝sinωx(ω>0)向左平移个单位长度得到函数f(x)，已知f(x)在[0，2π]上有且只有5个零点，则下列结论正确的是__②③__．

①f(x)在(0，2π)上有且只有3个极大值点，2个极小值点；

②f(x)在上单调递增；

③ω的取值范围是.

【解析】依题意得f(x)＝sin ＝sin ，

T＝，如图：

对于①，根据图象可知，xA≤2π<xB，f(x)在(0，2π)上有3个极大值点，f(x)在(0，2π)上有2个或3个极小值点，故①不正确；

对于③，因为xA＝－＋T＝－＋×＝，xB＝－＋3T＝－＋3×＝，

所以≤2π<，解得≤ω<，所以③正确；

对于②，因为－＋T＝－＋×＝，

由图可知f(x)在上单调递增，

因为ω<<3，所以－＝<0，

所以f(x)在上单调递增，故②正确．故②③正确．

【易错提醒】(1)根据零点求φ值时注意是在增区间上还是在减区间上．

(2)注意变换时“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”的区别．

2．(1)(2020·全国Ⅰ)设函数f(x)＝cos在[－π，π]上的图象大致如图，则f(x)的最小正周期为(　C　)

A．　　 B．　　

C．　　 D．

(2)已知函数f(x)＝Atan(ω>0)，若f(x)在区间内单调递减，则ω的取值范围是(　C　)

A．　　 B．

C．∪　　 D．∪

【解析】(1)由图象知π<T<2π，

即π<<2π，所以1<|ω|<2.

因为图象过点，

所以cos ＝0，

所以－ω＋＝kπ＋，k∈Z，

所以ω＝－k－，k∈Z.

因为1<|ω|<2，故k＝－1，得ω＝.

故f(x)的最小正周期为T＝＝.

(2)由f(x)在区间内单调递减得A＜0，

而y＝tan (ω>0)在区间内单调递增，

故kπ－<ωx＋<kπ＋，k∈Z，

得－<x<＋，k∈Z，

所以y＝tan (ω>0)的单调递增区间为，k∈Z，

所以⊆，k∈Z，

所以k∈Z，

解得2k－≤ω≤k＋，k∈Z，

由2k－≤k＋得k≤，

由0<ω≤k＋得k≥－，

所以－≤k≤且k∈Z，

故k＝0或k＝1，

当k＝0时，0<ω≤，

当k＝1时，≤ω≤，

综上所述：ω∈∪.

故选C.

考点三　三角函数的性质

函数y＝Asin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)的性质

(1)奇偶性：φ＝kπ(k∈Z)时，函数y＝Asin (ωx＋φ)为奇函数；φ＝kπ＋(k∈Z)时，函数y＝Asin (ωx＋φ)为偶函数．

(2)三角函数的周期性：f(x)＝Asin (ωx＋φ)和f(x)＝Acos (ωx＋φ)的最小正周期为；y＝Atan (ωx＋φ)的最小正周期为.

(3)根据y＝sint的性质研究y＝sin (ωx＋φ)(ω>0)的性质：

由－＋2kπ≤ωx＋φ≤＋2kπ(k∈Z)可得增区间，由＋2kπ≤ωx＋φ≤＋2kπ(k∈Z)可得减区间；由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)可得对称中心；由ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)可得对称轴．

典例3 (1)将函数f(x)＝cos的图象向右平移个单位长度后，再把横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象，则g(x)满足(　D　)

A．奇函数

B．偶函数

C．最小正周期为2π

D．g＝g(x)

【解析】将函数f(x)＝cos 的图象向右平移个单位长度后，

可得y＝cos ＝cos 的图象，

再把横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数g(x)＝cos 的图象，

故g＝cos

＝cos

＝cos ＝g(x).

故选D.

(2)设函数f(x)＝sinωx＋cosωx(ω>0)，其图象的一条对称轴在区间内，且f(x)的最小正周期大于π，则ω的取值范围是(　C　)

A．　　 B．(0，2)

C．(1，2)　　 D．[1，2)

【解析】由题意得f(x)＝sin ωx＋cos ωx＝2sin (ω>0).令ωx＋＝＋kπ，k∈Z，得x＝＋，k∈Z，因为f(x)的图象的一条对称轴在区间内，所以<＋<，所以3k＋1<ω<6k＋2，k∈Z.又f(x)的最小正周期大于π，所以>π，解得0<ω<2，所以ω的取值范围是(1，2).故选C.

【素养提升】已知三角函数的单调区间求参数取值范围的三种方法

(1)子集法：求出原函数的相应单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不等式(组)求解．

(2)反子集法：由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正弦、余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式(组)求解．

(3)周期性：由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过个周期列不等式(组)求解．

3．已知函数f(x)＝sinωx，g(x)＝cosωx，其中ω>0，A，B，C是这两个函数图象的交点，且不共线．

①当ω＝1时，△ABC的面积的最小值为__2π__；

②若存在△ABC是等腰直角三角形，则ω的最小值为____．

【解析】函数f(x)＝sin ωx，g(x)＝cos ωx，其中ω>0，A，B，C是这两个函数图象的交点．

①当ω＝1时，f(x)＝sin x，g(x)＝cos x，如图所示，

所以AB＝2π，高为·＋·＝2，

所以S△ABC＝·2π·2＝2π.

②若存在△ABC是等腰直角三角形，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，则＝2，解得ω的最小值为.