2023届高考数学二轮复习专题一函数与导数第1讲函数的图象与性质学案

第1讲　函数的图象与性质

1.[函数的图象](2022·全国甲卷,T5)函数y=(3x-3-x)cos x在区间[-,]的图象大致为(　A　)

解析:法一(特值法)　取x=1,则y=(3-)cos 1=cos 1>0;取x=-1,则y=(-3)cos(-1)=-cos 1<0.结合选项知选A.

法二　令y=f(x),则f(-x)=(3-x-3x)·cos(-x)=-(3x-3-x)cos x=-f(x),所以函数y=(3x-3-x)cos x是奇函数,排除B,D;取x=1,则y=(3-)cos 1=cos 1>0,排除C.

2.[函数的奇偶性与单调性](2020·全国Ⅱ卷,T9)设函数f(x)=ln|2x+1|-ln|2x-1|,则f(x)(　D　)

A.是偶函数,且在(,+∞)单调递增

B.是奇函数,且在(-,)单调递减

C.是偶函数,且在(-∞,-)单调递增

D.是奇函数,且在(-∞,-)单调递减

解析:由得函数f(x)的定义域为(-∞,-)∪(-,)∪(,+∞),其关于原点对称,因为f(-x)=ln|2(-x)+1|-ln|2(-x)-1|=ln|2x-1|-ln|2x+1|=-f(x),所以函数f(x)为奇函数,排除A,C.

当x∈(-,)时,f(x)=ln(2x+1)-ln(1-2x),易知函数f(x)单调递增,排除B.

当x∈(-∞,-)时,f(x)=ln(-2x-1)-ln(1-2x)=ln=ln(1+),易知函数f(x)单调递减.故选D.

3.[函数的奇偶性与周期性](2021·新高考Ⅱ卷,T8)已知函数f(x)的定义域为R,f(x+2)为偶函数,f(2x+1)为奇函数,则(　B　)

A.f(-)=0 B.f(-1)=0

C.f(2)=0 D.f(4)=0

解析:因为函数f(x+2)为偶函数,则f(2+x)=f(2-x),可得f(x+3)=f(1-x),因为函数f(2x+1)为奇函数,则f(1-2x)=-f(2x+1),所以f(1-x)=-f(x+1),所以f(x+3)=-f(x+1)=f(x-1),即f(x)=f(x+4),故函数f(x)是以4为周期的周期函数,因为函数F(x)=f(2x+1)为奇函数,则F(0)=f(1)=0,故f(-1)=-f(1)=0,其他三个选项未知.故选B.

4.[奇偶性求参数](2022·全国乙卷,T16)若f(x)=ln|a+|+b是奇函数,则a=　　　　,b=　　　　. 

解析:f(x)=ln|a+|+b=ln|a+|+ln eb=ln||.

因为f(x)为奇函数,所以f(-x)+f(x)=

ln||=0,

所以|(a+1)2e2b-a2e2bx2|=|1-x2|.

当(a+1)2e2b-a2e2bx2=1-x2时,

[(a+1)2e2b-1]+(1-a2e2b)x2=0对任意的x恒成立,则解得

当(a+1)2e2b-a2e2bx2=x2-1时,

[(a+1)2e2b+1]-(a2e2b+1)x2=0对任意的x恒成立,则无解.

综上,a=-,b=ln 2.

答案:-　ln 2

5.[分段函数](2021·浙江卷,T12)已知a∈R,函数f(x)=若f(f())=3,则a=　　　　. 

解析:因为>2,所以f()=6-4=2,

所以f(f())=f(2)=1+a=3,解得a=2.

答案:2

　　高考对此部分内容的命题多集中于函数的概念、分段函数、函数的性质及函数的图象等,主要考查求函数的定义域、分段函数的函数值、分段函数与方程、不等式或分段函数中求参数问题及函数图象的识别,难度属于中等及以上.此部分内容多以选择题、填空题的形式出现,有时在压轴题的位置,多与导数、不等式、创新性问题相结合命题.

热点一　函数及其表示

(1)复合函数的定义域.

①若f(x)的定义域为[m,n],则在f(g(x))中,由m≤g(x)≤n解得x的取值范围即为f(g(x))的定义域.

②若f(g(x))的定义域为[m,n],则由m≤x≤n得到g(x)的取值范围,即为f(x)的定义域.

(2)分段函数.

分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集,值域等于各段函数值域的并集.

典例1　(1)(2022·河南商丘模拟)函数y=f(x-1)的定义域是[-4,3],则函数g(x)=的定义域是(　　)

A.[,] B.[-1,]

C.(-2,-1] D.(-2,]

(2)设函数f(x)=则满足f(x)+f(x-1)≥2的x的取值范围是　　　　. 

解析:(1)因为函数y=f(x-1)的定义域是[-4,3],所以-4≤x≤3,即-5≤x-1≤2,所以函数y=f(x)的定义域是[-5,2],所以函数g(x)=的定义域需满足

解得-1≤x≤.故选B.

(2)法一(分段求解)　因为函数f(x)=所以当x≤0时,x-1≤-1,f(x)+f(x-1)=2x+1+2(x-1)+1=4x≥2,无解;

当即0<x≤1时,f(x)+f(x-1)=4x+2(x-1)+1=4x+2x-1≥2,解得≤x≤1;当x-1>0,即x>1时,f(x)+f(x-1)=4x+4x-1≥2,解得x>1.综上,x的取值范围是[,+∞).

法二(图象法)　将不等式f(x)+f(x-1)≥2变形为f(x-1)≥2-f(x),令y1=f(x-1),y2=2-f(x),作出其图象如图所示,

由图可知不等式的解集为[,+∞).

答案:(1)B　(2)[,+∞)

(1)对于分段函数的求值(解不等式)问题,基本方法是分段函数分段求解,即依据条件准确地找出利用哪一段求解;再者数形结合,利用图象法求解.

(2)注意分段求解不等式时自变量的取值范围的大前提.利用函数性质转化时,首先判断已知分段函数的性质,利用性质将所求问题简单化.形如f(g(x))的函数求值时,应遵循先内后外的原则.

热点训练1　 (1)(多选题)已知函数f(x)=a∈R,则下列结论正确的是(　　)

A.f(x)为奇函数

B.若f(x)在定义域上是增函数,则a≤1

C.若f(x)的值域为R,则a<1

D.当a≤1时,若f(x)+f(3x+4)>0,则x∈(-1,0)∪(0,+∞)

(2)(2022·浙江绍兴模拟)设函数f(x)=则f[f(1)]=　　　　;若f(a)>1,则实数a的取值范围是　　　　　　. 

解析:(1)当x<0时,-x>0,f(x)=-2-x+a,f(-x)=2-x-a=-(-2-x+a)=-f(x);当x>0时,-x<0,f(x)=2x-a,f(-x)=-2x+a=-f(x),则函数f(x)为奇函数,故A正确;若f(x)在定义域上是增函数,则-2-0+a≤20-a,即a≤1,故B正确;当x<0时,f(x)=-2-x+a在区间(-∞,0)上单调递增,此时值域为(-∞,a-1),当x>0时,f(x)=2x-a在区间(0,+∞)上单调递增,此时值域为(1-a,+∞),要使得f(x)的值域为R,则a-1>1-a,即a>1,故C错误;当a≤1时,由于-2-0+a≤20-a,则函数f(x)在定义域上是增函数,由f(x)+f(3x+4)>0,得f(x)>f(-3x-4),则解得x∈(-1,0)∪(0,+∞),故D正确.故选ABD.

(2)f[f(1)]=f(0)=()0-8=-7.

f(a)>1等价于①或②

由①得a>10;由②得a<-2,则实数a的取值范围是(-∞,-2)∪(10,+∞).

答案:(1)ABD　(2)-7　 (-∞,-2)∪(10,+∞)

热点二　函数的图象及应用

(1)作函数图象有两种基本方法:一是描点法;二是图象变换法,其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换.

(2)利用函数图象可以判断函数的单调性、奇偶性,作图时要准确画出图象的特点.

典例2　(1)(2022·湖北荆州模拟)函数f(x)=,x∈(-π,0)∪(0,π)的图象大致为(　　)

(2)(2019·全国Ⅱ卷)设函数f(x)的定义域为R,满足f(x+1)=2f(x),且当x∈(0,1]时,f(x)=x(x-1).若对任意x∈(-∞,m],都有f(x)≥-,则m的取值范围是(　　)

A.(-∞,] B.(-∞,]

C.(-∞,] D.(-∞,]

解析:(1)因为f(-x)==-=-f(x),所以f(x)为奇函数,所以其图象关于原点对称,所以排除A;当0<x<π时,由f(x)=,得f′(x)=,令g(x)=sin x-xcos x,则g′(x)=cos x-(cos x-xsin x)=xsin x>0,所以g(x)在(0,π)上单调递增,所以g(x)>g(0)=0,所以f′(x)>0,所以f(x)在(0,π)上单调递增,所以排除B,D.故选C.

(2)当x∈(0,1]时,f(x)=x(x-1),且当x∈R时,f(x+1)=2f(x),

作出函数f(x)的部分图象如图所示.

当2<x≤3时,f(x)=4f(x-2)=4(x-2)(x-3),令4(x-2)(x-3)=-,整理得9x2-45x+56=0,

所以(3x-7)(3x-8)=0,

所以x1=,x2=,结合图象知,m≤时,符合题意.所以当x∈(-∞,m]时,都有f(x)≥-成立,即m≤,所以m∈(-∞,].故选B.

(1)确定函数图象的主要方法是利用函数的性质,如定义域、奇偶性、单调性等,特别是利用一些特殊点排除不符合要求的图象.

(2)函数图象的应用主要体现为数形结合思想,借助于函数图象的特点和变化规律,求解有关不等式恒成立、最值、交点、方程的根等问题.求解两个函数图象在给定区间上的交点个数问题时,可以先画出已知函数完整的图象,再观察.

热点训练2　 (1)(2022·全国乙卷)如图是下列四个函数中的某个函数在区间[-3,3]的大致图象,则该函数是(　　)

A.y= B.y= 

C.y= D.y=

(2)(2022·广东茂名一模)已知函数f(x)=若x1,x2,x3均不相等,且f(x1)=f(x2)=f(x3),则x1·x2·x3的取值范围是　　　　. 

解析:(1)对于选项B,当x=1时,y=0,与图象不符,故排除B;对于选项D,当x=3时,y=sin 3>0,与图象不符,故排除D;对于选项C,当x>0时,y=≤=cos x≤1,与图象在y轴右侧最高点大于1不符,所以排除C.故选A.

(2)不妨设x1<x2<x3,由图可得,|log2x1|=|log2x2|=-x3+3∈(0,1),所以log2x1=-log2x2,即x1x2=1,由f(x1)=f(x2)=f(x3),得x3∈(2,3),所以x1·x2·x3的取值范围是(2,3).

答案:(1)A　(2)(2,3)

热点三　函数的性质及应用

1.函数的奇偶性

(1)定义:若函数的定义域关于原点对称,则有f(x)是偶函数⇔f(-x)=f(x)=f(|x|);

f(x)是奇函数⇔f(-x)=-f(x).

(2)判断方法:定义法、图象法、奇偶函数性质法(如奇函数×奇函数是偶函数).

2.函数单调性的判断方法:定义法、图象法、导数法.

3.函数周期性:若函数f(x)满足f(x+a)=f(x-a)或f(x+2a)=f(x),则函数y=f(x)的周期为2|a|.

4.函数图象的对称性

(1)对于函数y=f(x),若有f(M)=f(N)且M+N=a(常数),则其图象关于直线x=对称.

(2)对于函数y=f(x),若有f(M)+f(N)=b(常数)且M+N=a(常数),则其图象关于点(,)中心对称.

(3)若函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称和直线x=b对称,则函数具有周期性,且周期T=2|a-b|;

若函数y=f(x)的图象关于点(a,0)和点(b,0)对称,则函数具有周期性,且周期T=2|a-b|;

若函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称和点(b,0)对称,则函数具有周期性,且周期T=4|a-b|.

考向1　单调性与奇偶性

典例3　(1)(2022·广东茂名二模)已知f(x)=x-sin x,则不等式f(2m+1)+f(1-m)>0的解集为(　　)

A.(-∞,-2) B.(-2,+∞)

C.(0,+∞) D.(-∞,0)

(2)(2022·山东青岛一模)设f(x)是定义域为R的偶函数,且在[0,+∞)上单调递增,若a=f(lo),b=f(lo),c=f(-),则a,b,c的大小关系为(　　)

A.c>b>a B.b>c>a

C.a>c>b D.a>b>c

解析:(1)由题意知f(x)的定义域为R,且f(-x)=-x+sin x=-f(x),所以f(x)为奇函数,且f′(x)=1-cos x≥0,则f(x)在(-∞,+∞)上单调递增.由f(2m+1)+f(1-m)>0得f(2m+1)>f(m-1),即2m+1>m-1,解得m>-2.故选B.

(2)依题意f(x)是定义域为R的偶函数,则a=f()=f()=f(-log23)=f(log23),b=f()=f()=f(-log32)=f(log32),c=f(-)=f(),log23>log22=1,23=8,()3=3,23>()3,,1=log33>log32>log3=,0<<3-1=,由于f(x)在[0,+∞)上单调递增,所以a>b>c.故选D.

考向2　奇偶性、周期性与对称性

典例4　(1)(2022·福建模拟预测)已知f(x)是定义在R上的奇函数,f(x+1)=f(1-x),且f(-1)=1,则f(2 021)=(　　)

A.1 B.0 C.-2 021 　　D.-1

(2)(多选题)(2022·河北模拟预测)若函数f(2x+1)(x∈R)是周期为2的奇函数,则下列选项一定正确的是(　　)

A.函数f(x)的图象关于点(1,0)中心对称

B.2是函数f(x)的一个周期

C.f(2 021)=0

D.f(2 022)=0

解析:(1)因为f(x)为奇函数,所以f(x+1)=f(1-x)=-f(x-1),所以f(x+3)=f(x+2+1)=-f(x+2-1)=f(x-1),所以f(x+4)=f(x),即f(x)是周期为4的周期函数,故f(2 021)=f(1)=-f(-1)=-1.故选D.

(2)因为函数f(2x+1)(x∈R)是奇函数,所以f(2x+1)=-f(-2x+1)⇒f(2x+1)+f(-2x+1)=0,函数f(x)的图象关于点(1,0)中心对称,故A正确;因为函数f(2x+1)(x∈R)的周期为2,所以f(x)的周期为4,故B错误;因为函数f(2x+1)(x∈R)是周期为2的奇函数,所以 f(2 021)=f(4×505+1)=f(1)=0,故C正确;f(2 022)=f(4×505+2)=f(2),无法判断f(2)的值,故D错误.故选AC.

函数的性质及应用

(1)奇偶性:具有奇偶性的函数在关于原点对称的区间上的图象、函数值、解析式和单调性联系密切,研究问题时可转化到只研究部分(一半)区间上,尤其注意偶函数f(x)的性质:f(|x|)=f(x).

(2)单调性:可以用来比较大小,求函数最值,解不等式,证明方程根的唯一性等.

(3)周期性:利用周期性可以转化函数的解析式、图象和性质,把不在已知区间上的问题,转化到已知区间上求解.

(4)对称性:①f(x)的图象关于直线x=a对称⇔f(a+x)=f(a-x)⇔f(2a-x)=f(x);

②f(a+x)+f(b-x)=2c⇒f(x)的图象关于点(,c)中心对称.

热点训练3　 (1)(2022·山东济宁一模)定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-2)=-f(x),则f(2 022)=(　　)

A.0 B.1 C.-1 D.2 022

(2)(多选题)(2022·甘肃兰州一中期末)定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+1)=-f(x),且在[-1,0]上是增函数,则下列关于f(x)的结论中正确的有(　　)

A.f(x)的图象关于直线x=1对称

B.f(x)在[0,1]上是增函数

C.f(x)在[1,2]上是减函数

D.f(2)=f(0)

解析:(1)因为f(x-2)=-f(x),可得f(x+2)=-f(x),所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x),所以f(x)的周期为4,函数f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(0)=0,所以f(2)=-f(0)=0,f(2 022)=f(505×4+2)=f(2)=0.故选A.

(2)根据题意,若f(x+1)=-f(x),则f(x+2)=-f(x+1)=f(x),即f(x+2)=f(x),所以f(x)是周期为2的周期函数,则有f(2)=f(0),故D选项正确;若f(x+2)=f(x),且函数f(x)为偶函数,则有f(x+2)=f(-x),则函数f(x)的图象关于直线x=1对称,故A选项正确;f(x)在[-1,0]上是增函数,且函数f(x)为偶函数,则函数f(x)在[0,1]上是减函数,故B选项错误;f(x)在[-1,0]上是增函数,且f(x)是周期为2的周期函数,则函数f(x)在[1,2]上是增函数,故C选项错误.故选AD.