2023届高考数学二轮复习专题一第2讲三角恒等变换与解三角形学案

第2讲　三角恒等变换与解三角形

考情分析

1．三角函数的化简与求值是高考的命题重点，其中关键是运用倍角公式、两角和与差公式进行恒等变换，“角”的变换是三角恒等变换的核心；

2．正、余弦定理及应用是高考的必考内容，主要考查边、角、面积的计算及有关的范围问题，常与三角恒等变换交汇融合，解答题常处于第一题位置，注重基础知识、基本能力的考查．

自主先热身　真题定乾坤

ZIZHUXIANRESHENZHENTIDINGQIANKUN　

真题热身

1．(2021·全国甲卷)若α∈，tan2α＝，则tanα＝(　A　)

A．　　 B．　　

C．　　 D．

【解析】　∵tan 2α＝，

∴tan 2α＝＝＝，

∵α∈，∴cos α≠0，

∴＝，解得sin α＝，

∴cos α＝＝，

∴tanα＝＝.故选A.

2．(2021·新高考Ⅰ卷)若tanθ＝－2，则＝(　C　)

A．－　　 B．－　　

C．　　 D．

【解析】　将式子进行齐次化处理得：＝＝sin θ(sin θ＋cos θ)＝＝＝＝.故选C.

3．(2021·全国乙卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，B＝60°，a2＋c2＝3ac，则b＝__2__．

【解析】　由题意，S△ABC＝ac sinB＝ac＝，

所以ac＝4，a2＋c2＝12，

所以b2＝a2＋c2－2ac cos B＝12－2×4×＝8，

解得b＝2(负值舍去).

故答案为2.

4．(2022·全国甲卷)已知△ABC中，点D在边BC上，∠ADB＝120°，AD＝2，CD＝2BD.当取得最小值时，BD＝__－1__．

【解析】　设CD＝2BD＝2m>0，

则在△ABD中，AB2＝BD2＋AD2－2BD·AD·cos ∠ADB＝m2＋4＋2m，

在△ACD中，AC2＝CD2＋AD2－2CD·AD·cos ∠ADC＝4m2＋4－4m，

所以＝

＝

＝4－

≥4－＝4－2，

当且仅当m＋1＝即m＝－1时，等号成立，

所以当取最小值时，m＝－1.

故答案为－1.

5．(2022·全国高三专题练习)△ABC中，sin2A－sin2B－sin2C＝sinBsinC.

(1)求A；

(2)若BC＝3，求△ABC周长的最大值．

【解析】(1)由正弦定理可得：BC2－AC2－AB2＝AC·AB，

∴cos A＝＝－，

∵A∈(0，π)，∴A＝.

(2)方法一：最优解：余弦＋不等式

由余弦定理得：BC2＝AC2＋AB2－2AC·AB cos A＝AC2＋AB2＋AC·AB＝9，

即(AC＋AB)2－AC·AB＝9.

∵AC·AB≤(当且仅当AC＝AB时取等号)，

∴9＝(AC＋AB)2－AC·AB≥(AC＋AB)2－＝(AC＋AB)2，

解得：AC＋AB≤2(当且仅当AC＝AB时取等号)，

∴△ABC周长L＝AC＋AB＋BC≤3＋2，

∴△ABC周长的最大值为3＋2.

方法二：正弦化角(通性通法)

设B＝＋α，C＝－α，则－<α<，

根据正弦定理可知＝＝＝2，

所以b＋c＝2(sin B＋sin C)＝2＝2cos α≤2，

当且仅当α＝0，即B＝C＝时，等号成立，

此时△ABC周长的最大值为3＋2.

6．(2022·全国乙卷)记△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinCsin (A－B)＝sinBsin (C－A).

(1)若A＝2B，求C；

(2)证明：2a2＝b2＋c2.

【解析】　(1)由A＝2B，sin C sin (A－B)＝sin B sin (C－A)可得，

sin C sin B＝sin B sin (C－A)，

而0<B<，所以sin B∈(0，1)，

即有sin C＝sin (C－A)>0，

而0<C<π，0<C－A<π，显然C≠C－A，

所以C＋C－A＝π，而A＝2B，A＋B＋C＝π，

所以C＝.

(2)证明：由sin C sin (A－B)＝sin B sin (C－A)可得，

sin C(sin A cos B－cos A sin B)＝sin B(sin Ccos A－cos C sin A)，

再由正弦定理可得，

ac cos B－bc cos A＝bc cos A－ab cos C，

然后根据余弦定理可知，

(a2＋c2－b2)－(b2＋c2－a2)

＝(b2＋c2－a2)－(a2＋b2－c2)，

化简得：2a2＝b2＋c2，故原等式成立．

感悟高考

1．高考对此部分的考查一般以“二小”或“一大”的命题形式出现．

2．若无解答题，一般在选择题或填空题各有一题，主要考查三角恒等变换、解三角形，难度一般，一般出现在第4～9或第13～15题位置上．

3．若以解答题命题形式出现，主要考查三角函数与解三角形的综合问题，一般出现在解答题第17题位置上，难度中等．

核心拔头筹　考点巧突破

HEXINBATOUCHOUKAODIANQIAOTUPO　

考点一　三角恒等变换

1．三角求值“三大类型”

“给角求值”“给值求值”“给值求角”．

2．三角恒等变换“四大策略”

(1)常值代换：常用到“1”的代换，1＝sin2θ＋cos2θ＝tan45°等．

(2)项的拆分与角的配凑：如sin2α＋2cos2α＝(sin2α＋cos2α)＋cos2α，α＝(α－β)＋β等．

(3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次．

(4)弦、切互化．

典例1(1)已知sin＝－，则cos＝(　B　)

A．－　　 B．－　　

C．　　 D．

【解析】　cos ＝cos ＝sin ＝－.故选B.

(2)已知sinα＝，sin (α－β)＝－，α，β均为锐角，则β等于(　C　)

A．　　 B．　　

C．　　 D．

【解析】因为α，β均为锐角，所以－<α－β<.

又sin (α－β)＝－，所以cos (α－β)＝.

又sin α＝，所以cos α＝，

所以sin β＝sin [α－(α－β)]

＝sin αcos (α－β)－cos αsin (α－β)

＝×－×＝.

所以β＝.

【易错提醒】(1)公式的使用过程要注意正确性，要特别注意公式中的符号和函数名的变换，防止出现“张冠李戴”的情况．

(2)求角问题要注意角的范围，要根据已知条件将所求角的范围尽量缩小，避免产生增解．

1．(1)在△ABC中，A＋B≠，且tanA＋tanB＋＝tanAtanB，则角C的值为(　A　)

A．　　 B．　　

C．　　 D．

(2)若cos＝，则sin2α＝(　D　)

A．　　 B．　　

C．－　　 D．－

【解析】　(1)∵tan A＋tan B＋＝tan A tan B⇔tan (A＋B)·(1－tan A tan B)＝(tan A tan B－1).(*)

若1－tan A tan B＝0，

则cos A cos B－sin A sin B＝0，即cos (A＋B)＝0.

∵0<A＋B<π，∴A＋B＝与题设矛盾．

∴由(*)得tan (A＋B)＝－，即tan C＝.

又∵0<C<π，∴C＝.

(2)cos ＝2cos2－1＝2×－1＝－，

且cos＝cos ＝sin 2α，故选D.

考点二　正弦定理、余弦定理

1．正弦定理：在△ABC中，＝＝＝2R(R为△ABC的外接圆半径).变形：a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC，sinA＝，sinB＝，sinC＝，a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC等．

2．余弦定理：在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccosA.

变形：b2＋c2－a2＝2bccosA，cosA＝.

3．三角形的面积公式：S＝absinC＝acsinB＝bcsinA.

考向1　求解三角形中的角、边

典例2(2022·安徽模拟)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知sinC＝2sinA·sinB，点D在边AB上，且CD⊥AB.

(1)证明：CD＝c；

(2)若a2＋b2＝ab，求∠ACB.

【解析】(1)证明：在△CDB中，因为CD⊥AB，

所以sin B＝，

又因为sin C＝2sin A sin B，

所以＝2sin B，即＝2·，

在△ABC中，根据正弦定理，得＝2·，

故CD＝c.

(2)在△ABC中S△ABC＝ab sin C＝×c×CD，

又由(1)知，CD＝c，所以c2＝2ab sin C，

在△ABC中，根据余弦定理，

得c2＝a2＋b2－2ab cos C，

又由已知，a2＋b2＝ab，

得2ab sin C＝ab－2ab cos C，

所以sin C＋cos C＝，

则sin ＝，

即sin ＝，

因为C∈(0，π)，则C＋∈，

所以C＋＝或C＋＝，

故C＝或C＝.

考向2　求解三角形中的最值与范围问题

典例3(2022·新高考测评联盟联考)在：①a＝csinA－acosC，②(2a－b)sinA＋(2b－a)sinB＝2csinC这两个条件中任选一个，补充在下列问题中，并解答．

已知△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，c＝，而且________．

(1)求角C；

(2)求△ABC周长的最大值．

【解析】(1)选①：因为a＝c sin A－a cos C，

所以sin A＝sin C sin A－sin A cos C，

因为sin A≠0，所以sin C－cos C＝1，

即sin ＝，

因为0<C<π，所以－<C－<，

所以C－＝，即C＝.

选②：因为(2a－b)sin A＋(2b－a)sin B＝2c sin C，

所以(2a－b)a＋(2b－a)b＝2c2，

即a2＋b2－c2＝ab，

所以cos C＝＝，

因为0<C<π，所以C＝.

(2)由(1)可知，C＝，

在△ABC中，由余弦定理得

a2＋b2－2ab cos C＝3，即a2＋b2－ab＝3，

所以(a＋b)2－3＝3ab≤，

所以a＋b≤2，当且仅当a＝b时等号成立，

所以a＋b＋c≤3，即△ABC周长的最大值为3.

【素养提升】(1)利用余弦定理求边，一般是已知三角形的两边及其夹角．利用正弦定理求边，必须知道两角及其中一边，且该边为其中一角的对边，要注意解的多样性与合理性．

(2)三角形中的最值与范围问题主要有两种解决方法：一是利用基本不等式求得最大值或最小值；二是将所求式转化为只含有三角形某一个角的三角函数形式，结合角的范围确定所求式的范围．

2．(1)(2021·南宁模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c＝，C＝，sinB＝2sinA，则△ABC的周长是(　C　)

A．3　　 B．2＋

C．3＋　　 D．4＋

(2)在△ABC中，C＝60°，AC＝3，B＞90°，则的可能取值为(　D　)

A．　　 B．　　

C．　　 D．

(3)(2022·周口模拟)在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c，若3ccosA＋acosC＝0，则B的最大值为(　A　)

A．　　 B．　　

C．　　 D．

【解析】(1)已知sin B＝2sin A，由正弦定理得b＝2a.

由余弦定理得c2＝a2＋b2－2ab cos C＝a2＋4a2－2a2＝3a2.

又由c＝，解得a＝1，b＝2.

则△ABC的周长是3＋.故选C.

(2)因为C＝60°，AC＝3，B＞90°，

所以0°＜A＜30°，0＜tan A＜，

即得＞，

由正弦定理可得，＝＝＝＝＋×＞2，

则的可能取值为.

故选D.

(3)因为3c cos A＋a cos C＝0，

由余弦定理得3c×＋a×＝0，

整理得b2＝(a2－c2)，

由余弦定理得cos B＝＝＝≥＝，

当且仅当a＝c时取等号，

因为y＝cos x在(0，π)上单调递减，

故0<B≤.故选A.