2023高考数学二轮复习专题11 函数的图象（解析版）

这是一份2023高考数学二轮复习专题11 函数的图象（解析版），共56页。

专题11 函数的图象
【考点预测】
一、掌握基本初等函数的图像
（1）一次函数；（2）二次函数；（3）反比例函数；（4）指数函数；（5）对数函数；（6）三角函数.
二、函数图像作法
1.直接画
①确定定义域；②化简解析式；③考察性质：奇偶性（或其他对称性）、单调性、周期性、凹凸性；④特殊点、极值点、与横/纵坐标交点；⑤特殊线（对称轴、渐近线等）.
2.图像的变换
（1）平移变换
①函数的图像是把函数的图像沿轴向左平移个单位得到的；
②函数的图像是把函数的图像沿轴向右平移个单位得到的；
③函数的图像是把函数的图像沿轴向上平移个单位得到的；
④函数的图像是把函数的图像沿轴向下平移个单位得到的；
（2）对称变换
①函数与函数的图像关于轴对称；
函数与函数的图像关于轴对称；
函数与函数的图像关于坐标原点对称；
②若函数的图像关于直线对称，则对定义域内的任意都有
或（实质上是图像上关于直线对称的两点连线的中点横坐标为，即为常数）；
若函数的图像关于点对称，则对定义域内的任意都有
③的图像是将函数的图像保留轴上方的部分不变，将轴下方的部分关于轴对称翻折上来得到的（如图（a）和图（b））所示
④的图像是将函数的图像只保留轴右边的部分不变，并将右边的图像关于轴对称得到函数左边的图像即函数是一个偶函数（如图（c）所示）.

注：的图像先保留原来在轴上方的图像，做出轴下方的图像关于轴对称图形，然后擦去轴下方的图像得到；而的图像是先保留在轴右方的图像，擦去轴左方的图像，然后做出轴右方的图像关于轴的对称图形得到.这两变换又叫翻折变换.
⑤函数与的图像关于对称.
（3）伸缩变换
①的图像，可将的图像上的每一点的纵坐标伸长或缩短到原来的倍得到.
②的图像，可将的图像上的每一点的横坐标伸长或缩短到原来的倍得到.
【方法技巧与总结】
(1)若恒成立，则的图像关于直线对称.
(2)设函数定义在实数集上，则函数与的图象关于直线对称.
(3)若，对任意恒成立，则的图象关于直线对称.
(4)函数与函数的图象关于直线对称.
(5)函数与函数的图象关于直线对称.
(6)函数与函数的图象关于点中心对称.
(7)函数平移遵循自变量“左加右减”，函数值“上加下减”.





【题型归纳目录】
题型一：由解析式选图（识图）
题型二：由图象选表达式
题型三：表达式含参数的图象问题
题型四：函数图象应用题
题型五：函数图像的综合应用



【典例例题】
题型一：由解析式选图（识图）
例1．（2022·浙江·赫威斯育才高中模拟预测）函数的图象可能是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
通过判断不是奇函数，排除A，B，又因为，排除C，即可得出答案.
【详解】
因为的定义域为，又因为，所以不是奇函数，排除A，B.
，所以排除C.
故选：D.
例2．（2022·陕西·汉台中学模拟预测（理））函数的图象大致是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据函数的定义域与奇偶性，排除A、B选项；结合导数求得函数在上的单调性，排除D选项，即可求解.
【详解】
由题意，函数的定义域为，关于原点对称，
且满足，
所以函数为偶函数，其图象关于轴对称，排除B选项；
当时，可得，则，
当时，，单调递减；排除A选项
当时，，单调递增，
所以排除D选项，选项C符合.
故选：C.
例3．（2022·天津·二模）函数的图象大致为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
分析函数的奇偶性及其在上的函数值符号，结合排除法可得出合适的选项.
【详解】
令，该函数的定义域为，，
所以，函数为偶函数，排除AB选项，
当时，，则，排除C选项.
故选：D.
例4．（2022·全国·模拟预测）已知函数则函数的大致图象为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
先利用函数的奇偶性排除部分选项，再根据时，函数值的正负判断.
【详解】
易知函数为奇函数，也是奇函数，
则函数为偶函数，故排除选项B，C；
因为，
当时，恒成立，所以恒成立，
且当时，，
所以当时，，故选项A正确，选项D错误，
故选：A．
例5．（2022·全国·模拟预测）函数的图象大致是(       )
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据f(x)的零点和时函数值变化情况即可判断求解．
【详解】
由得或2，故排除选项A；
当时，函数值无限靠近x轴，但与x轴不相交，只有选项B满足．
故选：B．
例6．（2022·河北·模拟预测）函数的部分图象大致为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
利用函数的奇偶性和代入特殊值即可求解.
【详解】
由已知条件得函数的定义域关于原点对称，
∵，
∴为偶函数，函数的图象关于轴对称，则排除选项、,
又∵，
∴排除选项，
故选：.
【方法技巧与总结】
利用函数的性质（如定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性、特殊点等）排除错误选项，从而筛选出正确答案
题型二：由图象选表达式
例7．（2022·全国·模拟预测）已知y关于x的函数图象如图所示，则实数x，y满足的关系式可以为（       ）


A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
将化为，结合图像变换，可判断A;取特殊值验证，可判断B;作出函数的图象，可判断C;根据函数的性质，可判断D.
【详解】
由，得，
所以，即，
化为指数式，得，
其图象是将函数 的图象向右平移1个单位长度得到的，
即为题中所给图象，所以选项A正确；
对于选项B，取，则由，得，
与已知图象不符，所以选项B错误；
由，得，其图象是将函数的图象向右平移1个单位长度得到的，如图：


与题中所给的图象不符，所以选项C错误；
由，得，该函数为偶函数，图象关于y轴对称，
显然与题中图象不符，所以选项D错误，
故选：A.
例8．（2022·江西赣州·二模（理））已知函数的图象的一部分如下左图，则如下右图的函数图象所对应的函数解析式（       ）


A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
分三步进行图像变换①关于y轴对称②向右平移1个单位③纵坐标不变，横坐标变为原来的一半
【详解】



①关于y轴对称②向右平移1个单位③纵坐标不变，横坐标变为原来的一半
故选：C.
例9．（2022·浙江·模拟预测）已知函数的大致图象如图所示，则函数的解析式可以是（       ）


A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据函数图象，可知函数为偶函数，排除A，D，根据C项函数没有零点，排除C项，最终选出正确结果.
【详解】
根据函数图象，可知函数为偶函数，排除A，D；
对于C，当时，，函数显然不存在零点，排除C．
故选：B．
例10．（2022·全国·模拟预测）已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为(       )

A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据已知图象的对称性，结合AC的奇偶性可排除AC，根据已知图象f(0)=0可排除D，从而正确可得B为正确选项．
【详解】
对于A，，故为偶函数，图象应该关于y轴对称，与已知图象不符；
对于C，也为偶函数，故排除AC；
对于D，，与已知图象不符，故排除D．
对于B，，故f(x)关于x=1对称，f(0)=0，均与已知图象符合，故B正确．
故选：B．
例11．（2022·河北沧州·模拟预测）下列图象对应的函数解析式正确的是（       ）

A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由图可知，函数的图象关于原点中心对称，所以函数为奇函数，且，对选项B、C：由函数为偶函数即可判断，对选项A：函数为奇函数，但即可判断；对选项D：函数为奇函数，且即可判断.
【详解】
解：由图可知，函数的图象关于原点中心对称，所以函数为奇函数，且，
对A：因为，所以函数为奇函数，但，故选项A错误；
对B：因为，所以函数为偶函数，故选项B错误；
对C：因为，所以函数为偶函数，故选项C错误；
对D：因为，所以函数为奇函数，且
，符合题意，故选项D正确.
故选：D.
例12．（2022·浙江绍兴·模拟预测）已知函数，，下图可能是下列哪个函数的图象（       ）

A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据图象体现的函数性质，结合每个选项中函数的性质，即可判断和选择.
【详解】
由图可知，图象对应函数为奇函数，且；
显然对应的函数都不是奇函数，故排除；
对：，其为奇函数，
且当时，，故错误；
对：，其为奇函数，
且当时，，故正确.
故选：.
【方法技巧与总结】
1.从定义域值域判断图像位置；
2.从奇偶性判断对称性；
3.从周期性判断循环往复；
4.从单调性判断变化趋势；
5.从特征点排除错误选项．
题型三：表达式含参数的图象问题
（多选题）例13．（2022·全国·高三专题练习）函数的图象可能为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【解析】
【分析】
讨论、、、四种情况下，的奇偶性、单调性及函数值的正负性判断函数图象的可能性.
【详解】
当时，；
当时，定义域为R且为奇函数，在上，在上递增，在上递减，A可能；
当时，定义域为且为奇函数，在上且递增，在上且递增，B可能；
当时，且定义域为，此时为偶函数，
若时，在上(注意)，在上，则C不可能；
若时，在上，在上，则D可能；
故选：ABD
（多选题）例14．（2022·福建·莆田二中高三开学考试）函数的大致图象可能是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【解析】
【分析】
先判断函数的奇偶性，可排除D选项，然后对 的取值进行分类讨论，比如，可判断A可能，再对分大于零和小于零的情况讨论，结合求导数判断函数单调性，即可判断B,C是否可能.
【详解】
因为为定义域上的偶函数，
图象关于轴对称，所以D不可能.
由于为定义域上的偶函数，只需考虑的情况即可.
①当时，函数，所以A可能；
②当时，，，
所以在单调递增，在单调递减，所以C可能；
③当时，，，
所以在单调递减，在单调递减，所以B不可能；
故选:AC.
（多选题）例15．（2021·河北省唐县第一中学高一阶段练习）已知的图像可能是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【解析】
【分析】
根据a的取值分类讨论函数f(x)的单调性、奇偶性、值域，据此判断图像即可.
【详解】
若a＝0，则f(x)＝，图像为C；
若a＞0，则f(x)定义域为{x|x≠±}，f(0)＝0，f(－x)＝－f(x)，f(x)为奇函数，
x∈(－∞，－)时，f(x)＜0，x∈(－，0)时，f(x)＞0，x∈(0，)，f(x)＜0，x∈(，＋∞)时，f(x)＞0，
又x≠0时，f(x)＝，函数y＝x－在(－∞，0)和(0，＋∞)均单调递增，∴f(x)在(－∞，－)，(－，0)，(0，)，(，＋∞)均单调递减，综上f(x)图像如A选项所示；
若a＜0，则f(x)定义域为R，f(x)为奇函数，f(0)＝0，
当x＞0时，f(x)＞0，当x＜0时，f(x)＜0，
当x≠0时，f(x)＝，函数y＝x＋时双勾函数，x∈时，y均单调递减，x∈时，y均单调递增，
∴f(x)在单调递增，在单调递减，结合以上性质，可知B图像符合.
故选：ABC.
（多选题）例16．（2022·湖北武汉·高一期末）设，函数的图象可能是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【解析】
令，得到抛物线的开口向上，对称轴的方程为，再根据和三种情形分类讨论，结合复合函数的单调性，即可求解.
【详解】
由题意，函数，令，
可得抛物线的开口向上，对称轴的方程为，
当时，即时，可得，
此时函数在单调递减，在上单调递增，且
可得在递减，在上递增，且；
当时，即时，可得，
此时函数在单调递减，在上单调递增，
由复合函数的单调性，可得在递减，在上递增，且，
此时选项B符合题意；
当当时，即时，此时函数有两个零点，
不妨设另个零点分别为且，
此时函数在单调递减，在上单调递增，
可得在递减，在上递增，且，
则在递减，在上递增，且，
此时选项D符合题意.
综上可得，函数的图象可能是选项BD.
故选：BD.
（多选题）例17．（2022·广东东莞·高一期末）已知函数，则其图像可能为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【解析】
【分析】
按照，，讨论的取值范围，利用排除法解决.
【详解】
，，定义域需要挖去一个点，不是完整的直线，A选项错误；时，在上递增，也在递增，两个增函数相加还是增函数，即在上递增，故D选项错误，C选项正确.；时，由对勾函数的性质可知B选项正确.
故选：BC.
（多选题）例18．（2021·山西省长治市第二中学校高一阶段练习）在同一直角坐标系中，函数的图象可能是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【解析】
【分析】
根据给定条件对a值进行分类讨论函数的单调性及0一侧的函数值，再结合图象与y轴交点位置即可判断作答.
【详解】
依题意，当时，函数图象与y轴交点在点上方，排除B，C，
而，因此，在上递减，且x<0时，0 当时，函数图象与y轴交点在原点上方，点下方，排除A，D，
而，因此，f(x)在上递增，且x>0时，0 所以给定函数的图象可能是AC.
故选：AC
（多选题）例19．（2021·河北·高三阶段练习）函数的大致图象可能是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【解析】
【分析】
对的取值进行分类讨论，利用导数对函数的单调性进行分析即可判断函数的大致图象.
【详解】
当时，，令，易知，其在上为减函数，上为增函数，所以在上为增函数，在上为减函数，故D正确；
当时，，，令，当且时，，当且时，，所以，故A正确；
当时，，，令，当且时，，当且时，，所以，故B正确；
综上，的图象不可能为C.
故选：ABD.
（多选题）例20．（2022·全国·高三专题练习）已知（k为常数），那么函数的图象不可能是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【解析】
【分析】
根据选项，四个图象可知备选函数都具有奇偶性．当时，为偶函数，当时，为奇函数，再根据单调性进行分析得出答案．
【详解】
由选项的四个图象可知，备选函数都具有奇偶性．
当时，为偶函数，
当时，且单调递增，而在上单调递增，
故函数在上单调递增，故选项C正确，D错误；
当时，为奇函数，
当时，且单调递增，而在上单调递减，
故函数在上单调递减，故选项B正确，A错误.
故选:AD．
【方法技巧与总结】
根据函数的解析式识别函数的图象，其中解答中熟记指数幂的运算性质，二次函数的图象与性质，以及复合函数的单调性的判定方法是解答的关键，着重考查分析问题和解答问题的能力，以及分类讨论思想的应用.
题型四：函数图象应用题
例21．（2022·全国·高三专题练习）如图，正△ABC的边长为2，点D为边AB的中点，点P沿着边AC，CB运动到点B，记∠ADP＝x．函数f（x）＝|PB|2﹣|PA|2，则y＝f（x）的图象大致为（　　）

A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意，结合图形，分析区间（0，）和（，π）上f（x）的符号，再分析f（x）的对称性，排除BCD，即可得答案．
【详解】
根据题意，f（x）＝|PB|2﹣|PA|2，∠ADP＝x．
在区间（0，）上，P在边AC上，|PB|＞|PA|，则f（x）＞0，排除C；
在区间（，π）上，P在边BC上，|PB|＜|PA|，则f（x）＜0，排除B，
又由当x1+x2＝π时，有f（x1）＝﹣f（x2），f（x）的图象关于点（，0）对称，排除D，
故选：A
例22．（2022·全国·高三专题练习）匀速地向一底面朝上的圆锥形容器注水，则该容器盛水的高度h关于注水时间t的函数图象大致是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
设出圆锥底面圆半径r，高H，利用圆锥与其轴垂直的截面性质，建立起盛水的高度h与注水时间t的函数
关系式即可判断得解.
【详解】
设圆锥PO底面圆半径r，高H，注水时间为t时水面与轴PO交于点，水面半径，此时水面高度，如图：

由垂直于圆锥轴的截面性质知，，即，则注入水的体积为，
令水匀速注入的速度为，则注水时间为t时的水的体积为，
于是得，
而都是常数，即是常数，
所以盛水的高度h与注水时间t的函数关系式是，，，函数图象是曲线且是上升的，随t值的增加，函数h值增加的幅度减小，即图象是先陡再缓，
A选项的图象与其图象大致一样，B，C，D三个选项与其图象都不同.
故选：A
例23．（2022·四川泸州·模拟预测（文））如图，一高为H且装满水的鱼缸，其底部装有一排水小孔，当小孔打开时，水从孔中匀速流出，水流完所用时间为若鱼缸水深为h时，水流出所用时间为t，则函数的图象大致是　　

A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据时间和h的对应关系分别进行排除即可．
【详解】
函数是关于t的减函数，故排除C，D，
则一开始，h随着时间的变化，而变化变慢，超过一半时，h随着时间的变化，而变化变快，故对应的图象为B，
故选B．
【点睛】
本题主要考查函数与图象的应用，结合函数的变化规律是解决本题的关键．
例24．（2021·山东济南·高三阶段练习）如图，公园里有一处扇形花坛，小明同学从点出发，沿花坛外侧的小路顺时针方向匀速走了一圈(路线为)，则小明到点的直线距离与他从点出发后运动的时间之间的函数图象大致是（       ）

A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
根据距离随与时间的增长的变化增减情况即可判定.
【详解】
小明沿走时，与点的直线距离保持不变，
沿走时，随时间增加与点的距离越来越小，
沿走时，随时间增加与点的距离越来越大.
故选：D.
例25．（2021·江苏·常州市西夏墅中学高三开学考试）如图，△AOD是一直角边长为1的等腰直角三角形，平面图形OBD是四分之一圆的扇形，点P在线段AB上，PQ⊥AB，且PQ交AD或交弧DB于点Q，设AP＝x(0
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
分两段，当P点在AO之间时，当P点在OB之间时，再由二次函数的性质及增长趋势可知．
【详解】
当P点在AO之间时，f（x）x2（0＜x≤1），排除B,D
当P点在OB之间时，y随x的增大而增大且增加速度原来越慢，故只有A正确
故选A．
【点睛】
本题主要考查了函数图像的识别的性质，考查分类讨论思想及排除法应用，属于基础题．
【方法技巧与总结】
思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：
(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．
(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；
(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；
(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.

题型五：函数图像的综合应用
例26．（2022·四川·宜宾市教科所三模（理））定义在R上的偶函数满足，且当时，，若关于x的方程恰有5个解，则m的取值范围为（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由题可知函数与直线有5个交点，利用数形结合即得.
【详解】
∵，
∴函数关于直线对称，又为定义在R上的偶函数，
故函数关于直线对称，
作出函数与直线的图象，

要使关于x的方程恰有5个解，则函数与直线有5个交点，
∴，即.
故选：B.
例27．（2022·北京丰台·一模）已知函数无最小值，则的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
利用导数研究函数的性质，作出函数函数与直线的图象，利用数形结合即得.
【详解】
对于函数，
可得，
由，得或，由，得，
∴函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
∴函数在时有极大值2，在时有极小值，
作出函数与直线的图象，

由图可知，当时，函数有最小值，当时，函数没有最小值.
故选：D.
例28．（2022·全国·高三专题练习）已知函数若函数有6个零点，则m的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
利用数形结合可得在上有两个不同的实数根，然后利用二次函数的性质即得.
【详解】
设，则，作出函数的大致图象，如图所示，

则函数有6个零点等价于在上有两个不同的实数根，
则解得.
故选：D.
【点睛】
关键点点睛：本题的关键是利用数形结合，把问题转化为方程在上有两个不同的实数根，即二次方程根的分布问题，利用二次函数的性质即解.
例29．（2022·甘肃省武威第一中学模拟预测（文））已知函数，则关于的方程有个不同实数解，则实数满足（       ）
A．且 B．且
C．且 D．且
【答案】C
【解析】
【分析】
令，利用换元法可得，由一元二次方程的定义知该方程至多有两个实根、，作出函数的图象，结合题意和图象可得、，进而得出结果.
【详解】
令，作出函数的图象如下图所示：

由于方程至多两个实根，设为和，
由图象可知，直线与函数图象的交点个数可能为0､2､3､4，
由于关于x的方程有7个不同实数解，
则关于u的二次方程的一根为，则，
则方程的另一根为，
直线与函数图象的交点个数必为4，则，解得.
所以且.
故选：C.
例30.（2022·天津市滨海新区塘沽第一中学模拟预测）已知函数，若不等式的解集为，则实数的取值范围为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由不等式的解集为，等价于在上恒成立.根据相切找临界位置，结合函数的单调性以及图像特征，即可求解.
【详解】
不等式的解集为,等价于在上恒成立.
当时,此时在上单调递增,
当则当时,,故在上单调递减.
当与相切时,设切点为,所以,解得,,此时切线方程为,该切线与轴的交点为,同理可得当与相切时,切线与轴的交点为,
又因为与轴的交点为
要使在上恒成立,则点在之间移动即可.故,解得
故选:D


例31．（2022·安徽·巢湖市第一中学高三期中（理））已知函数，若函数有4个零点，则实数k的取值范围为_______________.
【答案】
【解析】
【分析】
转化求的图像与图像交点，求出直线与相切时的，进而得到有4个交点时的范围即可
【详解】

因为有4个零点，
所以方程有4个实数根，
画出的图像，以及，
则两函数的图象有4个公共点．其中直线经过定点，斜率为
当直线与相切时，联立，，可求出，由图可知，当时，方程有4个交点，故的取值范围为
故答案为.
【点睛】
方法点睛：根据函数零点个数求参数取值范围的注意点：
（1）结合题意构造合适的函数，将函数零点问题转化成两函数图象公共点个数的问题处理；
（2）在同一坐标系中正确画出两函数的图象，借助图象的直观性进行求解；
（3）求解中要注意两函数图象的相对位置，同时也要注意图中的特殊点，如本题中直线经过定点等．
例32．（2022·贵州遵义·高三开学考试（文））已知函数恰有3个零点，则的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】
设函数，根据题意转化为函数与直线的图象有3个公共点，利用导数求得函数的极值，画出函数的图象，结合图象，即可求解.
【详解】
设函数，根据题意函数恰有3个零点，
即为函数的图象与直线有3个公共点，
当时，可得，令，得，
当时，函数单调递减；
当时，函数单调递增，
所以当时，函数取得极小值，极小值为，
又由，
作出的图象，如图所示，
由图可知，实数的取值范围是．
故答案为：．

例33．（2022·全国·高三专题练习）已知函数f（x）＝和函数g（x）＝，则函数h（x）＝f（x）－g（x）的零点个数是________．
【答案】3
【解析】
【分析】
函数零点个数可转化为与图象交点的个数问题，作出图象，数形结合即可求解.
【详解】
在同一直角坐标系中，作出与的图象如图，

由可得，，即函数的零点为图象交点的横坐标，
由图知与的图象有3个交点，即有3个零点．
故答案为：3
例34．（2022·全国·高三专题练习（理））如图，在等边三角形ABC中， AB=6.动点P从点A出发，沿着此三角形三边逆时针运动回到A点，记P运动的路程为x，点P到此三角形中心O距离的平方为f(x)，给出下列三个结论：


①函数f(x)的最大值为12；
②函数f(x)的图象的对称轴方程为x=9；
③关于x的方程最多有5个实数根.
其中，所有正确结论的序号是____.
【答案】①②
【解析】
写出分别在上运动时的函数解析式，利用分段函数图象可解.
【详解】

分别在上运动时的函数解析式，
分别在上运动时的函数解析式，
分别在上运动时的函数解析式，
，

由图象可得，方程最多有个实数根
故正确的是①②.
故答案为：①②
【点睛】
利用函数图象可以解决很多与函数有关的问题，如利用函数的图象解决函数性质问题，函数的零点、方程根的问题，有关不等式的问题等.解决上述问题的关键是根据题意画出相应函数的图象，利用数形结合思想求解.

【方法技巧与总结】
1.利用函数图像判断方程解的个数.由题设条件作出所研究对象的图像，利用图像的直观性得到方程解
的个数.
2.利用函数图像求解不等式的解集及参数的取值范围.先作出所研究对象的图像，求出它们的交点，根据题意结合图像写出答案
3.利用函数图像求函数的最值，先做出所涉及到的函数图像，根据题目对函数的要求，从图像上寻找取得最值的位置，计算出结果，这体现出了数形结合的思想。

【过关测试】
一、单选题
1．（2022·全国·模拟预测）函数的图象大致为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
通过对称性（奇偶性）、特殊点得到正确结果．
【详解】
依题意，，，
故函数为偶函数，其图象关于y轴对称，结合选项可排除B；
而，结合选项可排除C，D．
故选：A．
2．（2022·全国·模拟预测）函数的大致图象是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
求出函数定义域并判断其奇偶性，利用奇偶性排除两个选项，再利用特殊点处的函数值排除一个即可得解.
【详解】
由得，即函数的定义域为，
又，即为奇函数，排除B，C；
因为，D不符合条件，A满足.
故选：A
3．（2022·山西运城·模拟预测（文））函数的部分图象大致为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
利用函数的奇偶性可排除A，利用的值排除B，利用当时， 可排除C，进而得出结论.
【详解】
由题可知，函数的定义域为，
又，
所以 为定义域上的偶函数，图象关于对称，可排除A；
又，可排除B；
当时，，则，可排除C.
故选：D.
4．（2022·浙江·模拟预测）函数的大致图象为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
分析出在上单调递增，在上单调递减，排除B，C选项，又当时，
，求导得到其单调递减函数，再次求导得到函数图象上凸,从而得到A选项正确.
【详解】
当时，，
则，
故当时，，当时，，
故在上单调递增，在上单调递减，所以B，C错误，
当时，，
，所以在上单调递减，
令，则，
所以单调递减，函数图象为上凸，故D错误，A正确.
故选：A.
5．（2022·浙江金华·三模）若函数，则下列图象不可能是（          ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
分别在，和的情况下，借助余弦函数图象、的正负可确定图象.
【详解】
当时，，与选项C相符；
当时，；，与选项D相符；
当时，；，与A相符；
图象不可能是B中图象.
故选：B.
6．（2022·山东枣庄·三模）声音是由物体振动产生的．我们平时听到的声音几乎都是复合音．复合音的产生是由于发音体不仅全段在振动，它的各部分如二分之一、三分之一、四分之一等也同时在振动．不同的振动的混合作用决定了声音的音色，人们以此分辨不同的声音．己知刻画某声音的函数为，则其部分图象大致为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
令，进而求导得，再讨论时，的符号得的单调区间与函数值的符号，进而得答案.
【详解】
解：令，
求导得
，
所以，当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减；
由于，
所以，时，，且单调区间变化不具有对称的性质，
所以，只有C选项满足.
故选：C
7．（2022·贵州贵阳·二模（理））函数的图像大致为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
判断函数的奇偶性后排除两个选项，然后考虑函数在原点附近的函数值的正负又排除一个选项，得正确结论．
【详解】
函数定义域是R，，函数为奇函数，排除BD，
时，，排除C．
故选：A．
8．（2022·浙江·慈溪中学模拟预测）已知函数，则图像为下列图示的函数可能是（       ）

A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由函数图形可知，函数为偶函数，利用排除法即可判断；
【详解】
解：依题意图示对应的函数为偶函数，考虑到为偶函数，
为奇函数，为奇函数.
因为为奇函数，故排除A，
又为奇函数，故排除B，
对于D：定义域为，故排除D；
因为在定义域上单调递增，在上单调递增，
又函数图象在的右侧部分函数为单调递增的，
符合条件的只有，
故选：C.
9．（2022·内蒙古通辽·二模（理））若函数（且）在R上既是奇函数，又是减函数，则的大致图象是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
先求得的解析式中参数的值和的取值范围，再去判断其图像形状.
【详解】
因为函数在R上是奇函数，
所以，所以，经检验，满足题意，
又因为为减函数，所以，则（）
由
可知的图象关于直线轴对称，排除选项CD ；
又，可知选项A错误.所以的大致图象为B．
故选：B
10．（2022·全国·哈师大附中模拟预测（理））我们常说函数的图象是双曲线，建立适当的平面直角坐标系，可求得这个双曲线的标准方程为．函数的图象也是双曲线，在适当的平面直角坐标系中，它的标准方程可能是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据的图象特点，求得其渐近线，再根据对称性建立新的平面直角坐标系，再求对应的，即可求得其双曲线方程.
【详解】
对函数，其定义域为，定义域关于原点对称，
用替换方程不变，故其图象关于原点对称；
又当，且趋近于时，趋近于正无穷；当趋近于正无穷时，趋近于，
此时的图象与无限靠近；
故的两条渐近线为轴与，做出其图象如下所示：

为使其双曲线的方程为标准方程，故应建立的坐标轴必须平分两条渐近线的夹角，
又，其斜率为，此时其在原坐标系中其倾斜角为，与轴夹角为，
故新坐标系中，轴与轴的夹角应为，
故轴所在直线在原坐标系中的方程为，轴与其垂直，
在如图所示的新坐标系中，设双曲线的方程为，
联立可得，则，
又在新坐标系下，双曲线的渐近线与的夹角为，
故，即，故在新坐标系下双曲线方程为.
故选：A.
【点睛】
本题考察函数的对称性、渐近线以及新情景下双曲线方程的求解，需要学生充分把握函数的性质，以及双曲线的几何特点，属困难题.
11．（2022·四川眉山·高三阶段练习（理））已知函数，若函数与的图象恰有5个不同公共点，则实数a的取值范围是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
利用导数分段画出函数的大致图象，将函数
与的图象恰有5个不同公共点的问题转化为方程有5个不同的根的问题，然后采用换元法将问题变为讨论在给定区间上有解的问题.
【详解】
当 时， ，，
当时，，当时，，
故时， ；
当时， ，
当时，有极大值，当时，，
作出的大致图象如图：

函数与的图象恰有5个不同公共点，
即方程有5个不同的根，
令 ，根据其图象，讨论有解情况如下：
令,
(1当 在和上各有一个解时，
即 ，解得 ，
（2）当在和上各有一个解时，
，解得，
（3）当有一个根为6时，解得，此时另一个根为 ，不合题意；
（4）当有一个根为1时，解得，此时另一个根也为1，不合题意，
综上可知：，
故选：A
二、多选题
12．（2022·江苏·高三专题练习）若与的图形有两个交点，则的取值可能为（       ）
A．1 B．0 C．2 D．3
【答案】CD
【解析】
【分析】
在同一直角坐标系中作出与的图形，数形结合即可得解.
【详解】
表示关于轴对称的两条射线，
表示与平行的直线，在轴上的截距为的直线，
根据题意，画出大致图形，如下图，
若与的图形有两个交点，且，则根据图形可知.
故选：CD.

【点睛】
关键点点睛：本题考查直线的位置关系，以及函数的图像，解题的关键是画出相应的函数图像，考查学生的数形结合思想，属于一般题.
13．（2022·全国·高三专题练习）函数（k为常数）的图象可能是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【解析】
【分析】
先判断函数零点的个数，再求导函数，根据导函数判断原函数的单调性，从而逐一判断选项.
【详解】
显然有唯一零点，故D错误；
，，
∴在上单减，上单增，
∴，且时，时，
故当时，，单增，选项A可能；
当时，存在两个零点，在和上单增，上单减，选项B可能；
当时，存在唯一零点，在上单增，在上单减，
选项C可能．
故选: ABC.
【点睛】
关键点睛：函数图像的判断关键在求出导函数，用极限思想判断导函数的符号，得出原函数的单调性.
14．（2022·全国·高三专题练习）函数的图象可能为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【解析】
根据函数解析式的形式，以及图象的特征，合理给赋值，判断选项.
【详解】
当时，，图象A满足；
当时，，，且，此时函数是偶函数，关于轴对称，图象B满足；
当时，，，且，此时函数是奇函数，关于原点对称，图象D满足；
图象C过点，此时，故C不成立.
故选：ABD
【点睛】
思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：
(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．
(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；
(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；
(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.
15．（2022·全国·高三专题练习）假设存在两个物种，前者有充足的食物和生存空间，而后者仅以前者为食物，则我们称前者为被捕食者，后者为捕食者，现在我们来研究捕食者与被捕食者之间理想状态下的数学模型.假设捕食者的数量以表示，被捕食者的数量以表示.下图描述的是这两个物种随时间变化的数量关系，其中箭头方向为时间增加的方向.下列说法不正确的是（       ）


A．若在、时刻满足：，则
B．如果数量是先上升后下降的，那么的数量一定也是先上升后下降
C．被捕食者数量与捕食者数量不会同时到达最大值或最小值
D．被捕食者数与捕食者数总和达到最大值时，捕食者的数量也会达到最大值
【答案】ABD
【解析】
根据图形可判断A选项的正误；根据曲线上半段中和的变化趋势可判断B选项的正误；根据捕食者和被捕食者的最值情况可判断C选项的正误；取，可判断D选项的正误.
【详解】
由图可知，曲线中纵坐标相等时横坐标未必相等，故A不正确；
在曲线上半段中观察到是先上升后下降，而是不断变小的，故B不正确；
捕食者数量最大时是在图象最右端，最小值是在图象最左端，此时都不是被捕食者的数量的最值处，
同样当被捕食者的数量最大即图象最上端和最小即图象最下端时，也不是捕食者数量取最值的时候，
所以被捕食者数量和捕食者数量不会同时达到最大和最小值，故C正确；
当捕食者数量最大时在图象最右端，，，
此时二者总和，由图象可知存在点，，
，所以并不是被捕食者数量与捕食者数量总和达到最大值时，
被捕食者数量也会达到最大值，故D错误，
故选：ABD.
【点睛】
关键点点睛：解决本题的关键在于结合图象分析与变化的关系，着重分析、的增减性、最值，必要时可寻找特殊点进行排除.
三、填空题
16．（2022·山西吕梁·一模（文））若函数的图象和直线有四个交点，则实数a的取值范围为______.
【答案】
【解析】
【分析】
画出函数图像，确定直线过定点，讨论的取值范围，根据相切的情况计算出的值，再结合函数图像得到答案.
【详解】
，画出函数的图象，
直线过定点，
当时，显然不符合题意；
当时，直线可化为，直线的斜率为，
当直线与相切时，有三个交点.
联立得到，
由得或.
当时，方程的解为，满足条件，此时切线的斜率为2；当时，当的解为，不满足条件.
结合图象知，若函数和直线有四个交点，所以直线的斜率应满足，实数a的取值范围是.
故答案为：.

17．（2022·全国·高三专题练习（理））定义在上函数满足，且当时，．若当时，，则的最小值等于________．
【答案】
【解析】
【分析】
转化条件为在区间上，，作出函数的图象，数形结合即可得解．
【详解】
当时，故，
当时，故…，
可得在区间上，，
所以当时，，作函数的图象，如图所示，

当时，由得，
由图象可知当时，，所以的最小值为．
故答案为：．
18．（2022·上海宝山·一模）已知定义在上的函数满足，当时，，则方程有___________个根.
【答案】10
【解析】
【分析】
作出周期函数的图象，再作出的图象，根据数形结合求解即可.
【详解】
由可知，函数周期为，
作出函数与，

由图象可知，与有10个交点，
所以方程有10个根.
故答案为：10
19．（2022·陕西渭南·一模（文））函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，给出下列四个结论：
①图象的对称中心是；
②图象的对称中心是；
③类比可得函数的图象关于直线成轴对称图形的充要条件是为偶函数；
④类比可得函数的图象关于直线成轴对称图形的充要条件是为偶函数．
其中所有正确结论的序号是______．
【答案】①③
【解析】
【分析】
根据是奇函数，对称中心为，由图象的平移变换可得的对称中心，可判断①②；将的图象向左平移个单位可得偶函数，可判断③④，进而可得正确答案.
【详解】
是奇函数，对称中心为，将图象向右平移个单位，再向上平移个单位可得的图象，所以图象的对称中心是，故①正确，②不正确；
若函数的图象关于直线成轴对称图形，图象向左平移个单位可得关于即轴对称，所以为偶函数，故③正确，④不正确；
所以所有正确结论的序号是：①③，
故答案为：①③.
20．（2022·浙江·高三专题练习）对实数a和b，定义运算“”：设函数．若函数恰有两个零点，则实数c的取值范围是___________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据定义运算法则化简，画出的图像，结合图像可求出c的取值范围
【详解】
因为，
所以
由图可知，当或时，函数与的图象有两个公共点，
的取值范围是.
故答案为：

21．（2022·宁夏吴忠·模拟预测（理））已知，若函数有三个零点，则实数的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】
求导得到函数在的单调区间和极大值，画出函数图像，将零点转化为交点，根据图像得到答案.
【详解】
当时，，，
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减.
在时的极大值为，当时，
画出函数图像，如图所示：
函数有三个零点，即有三个交点，故
故答案为：.