高考数学二轮复习专项分层特训微专题1基本不等式中“1”的妙用含答案

这是一份高考数学二轮复习专项分层特训微专题1基本不等式中“1”的妙用含答案，共9页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。

微专题1 基本不等式中“1”的妙用
一、单项选择题
1．[2022·湖北武汉模拟]已知正实数x，y，则“x＋y＝1”是“ eq \f(1,x) ＋ eq \f(1,y) ≥4”的( )
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2．[2022·辽宁鞍山二模]已知正实数a、b满足a＋b＝2，则 eq \f(4,b) ＋ eq \f(1,a) 的最小值是( )
A． eq \f(7,2) B． eq \f(9,2)
C．5 D．9
3．已知x>0，y>0.且 eq \f(2,x) ＋ eq \f(1,y) ＝1，若2x＋y>m恒成立，则实数m的取值范围是( )
A．(－∞，7] B．(－∞，7)
C．(－∞，9] D．(－∞，9)
4．[2022·河北保定高三期中]若圆(x＋1)2＋(y－1)2＝5上存在两点关于直线2ax－by＋3＝0(a>0，b>2)对称，则 eq \f(1,2a) ＋ eq \f(1,b－2) 的最小值是( )
A．3 B．4
C．5 D．8
5．[2022·江苏高邮模拟]函数y＝lga(x＋3)－1(a>0且a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx＋ny＋1＝0上，其中mn>0，则 eq \f(1,m) ＋ eq \f(1,n) 的最小值为( )
A．3－2 eq \r(2) B．1＋ eq \r(2)
C．3＋2 eq \r(2) D．2＋2 eq \r(2)
6．[2022·山东济南历城二中模拟]已知a>0、b>0，直线l1：x＋(a－4)y＋1＝0，l2：2bx＋y－2＝0，且l1⊥l2，则 eq \f(1,a＋1) ＋ eq \f(1,2b) 的最小值为( )
A．2 B．4
C． eq \f(2,5) D． eq \f(4,5)
7．[2022·湖南邵阳二中模拟]已知正项等比数列 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an)) 满足a3＝a2＋2a1，若存在am、an，使得am·an＝16a eq \\al(2,1) ，则 eq \f(1,m) ＋ eq \f(4,n) 的最小值为( )
A． eq \f(8,3) B．16
C． eq \f(11,4) D． eq \f(3,2)
8．[2022·江苏泰州模拟]若正实数a，b满足a＋b＝1，则函数f(x)＝abx2＋(3b＋1)x－36ab的零点的最大值为( )
A． eq \r(2) B． eq \r(3)
C．2 D．3
二、多项选择题
9．[2022·湖南师大附中三模]若a>0，b>0， eq \f(1,a) ＋b＝2，则 eq \f(a,a＋1) ＋ eq \f(1,b) 的可能取值有( )
A． eq \f(6,5) B． eq \f(5,4)
C． eq \f(4,3) D． eq \f(3,2)
10．[2022·河北石家庄二模]设正实数m，n满足m＋n＝2，则下列说法正确的是( )
A． eq \f(1,m) ＋ eq \f(1,n) 的最小值为2
B．mn的最大值为1
C． eq \r(m) ＋ eq \r(n) 的最大值为4
D．m2＋n2的最小值为 eq \f(5,4)
11．[2022·福建三明一中模拟]已知x，y∈R，且 eq \f(1,x) > eq \f(1,y) >0，x＋y＝2，则下列不等式中一定成立的是( )
A．x>y
B． eq \f(1,x) ＋ eq \f(1,y) ≥2
C.x2＋y2>2x＋2y－2
D．(x＋ eq \f(1,2) )2＋y2> eq \f(13,4)
12．[2022·广东广州二模]已知a>0，b>0，直线y＝x＋a与曲线y＝ex－1－2b＋1相切，则下列不等式成立的是( )
A．ab≤ eq \f(1,8) B． eq \f(2,a) ＋ eq \f(1,b) ≤8
C． eq \r(a) ＋ eq \r(b) ≤ eq \f(\r(6),2) D．3a＋b≤ eq \r(3)
三、填空题
13．[2022·广东茂名二模]已知正实数m，n满足m＋2n＝1，则 eq \f(4,m) ＋ eq \f(n＋2,n) 的最小值为________.
14．[2022·辽宁朝阳模拟]在△ABC中，点F为线段BC上任一点(不含端点)，若 eq \(AF,\s\up6(→)) ＝x eq \(AB,\s\up6(→)) ＋3y eq \(AC,\s\up6(→)) ，则 eq \f(3,x) ＋ eq \f(1,y) 的最小值为________．
15．[2022·江苏扬州高三期末]已知正实数x，y满足x＋y＝1，则 eq \f(x＋2y＋3,xy) 的最小值为________.
16．[2022·山东师范大学附中模拟]已知随机变量ξ～N(4，σ2)，且P(ξ≤3)＝P(ξ≥a＋1)，则 eq \f(1,x) ＋ eq \f(4,a－x) (0微专题1 基本不等式中“1”的妙用
1．解析： eq \f(1,x) ＋ eq \f(1,y) ＝( eq \f(1,x) ＋ eq \f(1,y) )(x＋y)＝2＋ eq \f(y,x) ＋ eq \f(x,y) ≥2＋2 eq \r(\f(y,x)·\f(x,y)) ＝4，当且仅当x＝y＝ eq \f(1,2) 时等号成立，所以充分性成立，
当x＝y＝ eq \f(1,3) 时， eq \f(1,x) ＋ eq \f(1,y) ≥4，此时x＋y≠1，所以必要性不成立．故选B.
答案：B
2．解析： eq \f(4,b) ＋ eq \f(1,a) ＝ eq \f(1,2) ( eq \f(4,b) ＋ eq \f(1,a) )(a＋b)＝ eq \f(1,2) ( eq \f(4a,b) ＋ eq \f(b,a) ＋5)≥ eq \f(1,2) (4＋5)＝ eq \f(9,2) ，当且仅当 eq \f(4a,b) ＝ eq \f(b,a) 时等号成立．故选B.
答案：B
3．解析：因为 eq \f(2,x) ＋ eq \f(1,y) ＝1，故2x＋y＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋y)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,x)＋\f(1,y))) ＝5＋ eq \f(2y,x) ＋ eq \f(2x,y) ≥5＋4＝9，当且仅当x＝y＝3时等号成立，故2x＋y的最小值为9，故m<9.故选D.
答案：D
4．解析：由题可知圆的圆心为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，1)) ，若圆上存在两点关于2ax－by＋3＝0对称，则说明直线过圆心，即2a× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1)) －b×1＋3＝0，即2a＋b＝3，变形可得2a＋b－2＝1
故 eq \f(1,2a) ＋ eq \f(1,b－2) ＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2a)＋\f(1,b－2))) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2a＋b－2)) ＝1＋ eq \f(b－2,2a) ＋ eq \f(2a,b－2) ＋1≥2 eq \r(\f(b－2,2a)·\f(2a,b－2)) ＋2＝2＋2＝4，
当且仅当 eq \f(b－2,2a) ＝ eq \f(2a,b－2) ，即a＝ eq \f(1,4) ，b＝ eq \f(5,2) 时取得等号，故最小值为4.故选B.
答案：B
5．解析：因为函数y＝lga(x＋3)－1(a>0且a≠1)的图象恒过定点A eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2，－1)) ，
所以－2m－n＋1＝0，即2m＋n＝1，
所以 eq \f(1,m) ＋ eq \f(1,n) ＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,m)＋\f(1,n))) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2m＋n)) ＝ eq \f(n,m) ＋ eq \f(2m,n) ＋3，
又mn>0，所以 eq \f(n,m) >0， eq \f(m,n) >0，
所以 eq \f(n,m) ＋ eq \f(2m,n) ＋3≥2 eq \r(\f(n,m)·\f(2m,n)) ＋3＝2 eq \r(2) ＋3，当且仅当 eq \f(n,m) ＝ eq \f(2m,n) ，即n＝ eq \r(2) m＝ eq \r(2) －1时取等号．故选C.
答案：C
6．解析：因为a>0、b>0，直线l1：x＋(a－4)y＋1＝0，l2：2bx＋y－2＝0，且l1⊥l2，
所以2b＋a－4＝0，即a＋2b＝4，
所以(a＋1)＋2b＝5，所以 eq \f(1,5) eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(（a＋1）＋2b)) ＝1，
所以 eq \f(1,a＋1) ＋ eq \f(1,2b) ＝ eq \f(1,5) eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(（a＋1）＋2b)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a＋1)＋\f(1,2b)))
＝ eq \f(1,5) eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋1,2b)＋\f(2b,a＋1)))))
≥ eq \f(1,5) eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2＋2 \r(\f(a＋1,2b)·\f(2b,a＋1)))) ＝ eq \f(4,5) ，
当且仅当 eq \f(a＋1,2b) ＝ eq \f(2b,a＋1) ，即a＝ eq \f(3,2) ，b＝ eq \f(5,4) 时，取等号，
所以 eq \f(1,a＋1) ＋ eq \f(1,2b) 的最小值为 eq \f(4,5) ，故选D.
答案：D
7．解析：设等比数列 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an)) 的公比为q，则q>0，由a3＝a2＋2a1可得q2－q－2＝0，解得q＝2，
因为am·an＝16a eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ，则a eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ·2m－1·2n－1＝16a eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ，∴m＋n－2＝4，可得m＋n＝6，
由已知m、n∈N*，所以， eq \f(1,m) ＋ eq \f(4,n) ＝ eq \f(1,6) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(m＋n)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,m)＋\f(4,n))) ＝ eq \f(1,6) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5＋\f(4m,n)＋\f(n,m)))
≥ eq \f(1,6) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5＋2 \r(\f(4m,n)·\f(n,m)))) ＝ eq \f(3,2) ，
当且仅当n＝2m＝4时，等号成立，
因此， eq \f(1,m) ＋ eq \f(4,n) 的最小值为 eq \f(3,2) .故选D.
答案：D
8．解析：f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x)) ＝0，则x2＋ eq \f(3b＋1,ab) x－36＝0，
则x2＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4b＋a,ab))) x－36＝0，整理得 eq \f(4,a) ＋ eq \f(1,b) ＝ eq \f(36,x) －x，
而 eq \f(4,a) ＋ eq \f(1,b) ＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,a)＋\f(1,b))) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a＋b)) ＝ eq \f(4b,a) ＋ eq \f(a,b) ＋5≥2 eq \r(\f(4b,a)×\f(a,b)) ＋5＝9，当且仅当 eq \f(4b,a) ＝ eq \f(a,b) 时等号成立，
∴ eq \f(36,x) －x≥9，解得x≤－12或0答案：D
9．解析：原式＝ eq \f(1,\f(1,a)＋1) ＋ eq \f(1,b) ＝ eq \f(1,（2－b）＋1) ＋ eq \f(1,b) ＝ eq \f(1,3－b) ＋ eq \f(1,b)
＝ eq \f(1,3) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3－b)＋\f(1,b))) (3－b＋b)
＝ eq \f(1,3) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3－b,b)＋1＋1＋\f(b,3－b))) ≥ eq \f(4,3) (当且仅当b＝ eq \f(3,2) ，a＝2时取等号).故选CD.
答案：CD
10．解析：∵m>0，n>0，m＋n＝2，
∴ eq \f(1,m) ＋ eq \f(1,n) ＝ eq \f(1,2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(m＋n)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,m)＋\f(1,n))) ＝ eq \f(1,2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2＋\f(n,m)＋\f(m,n)))
≥ eq \f(1,2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2＋2 \r(\f(n,m)·\f(m,n)))) ＝2，
当且仅当 eq \f(n,m) ＝ eq \f(m,n) ，即m＝n＝1时等号成立，故A正确；
∵m＋n＝2≥2 eq \r(mn) ，∴mn≤1，当且仅当m＝n＝1时，等号成立，故B正确；
∵ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(m)＋\r(n))) 2≤2 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(m)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(n)))2)) ＝4，∴ eq \r(m) ＋ eq \r(n) ≤ eq \r(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(m＋n))) ＝2，当且仅当m＝n＝1时等号成立，最大值为2，故C错误；
m2＋n2≥ eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(m＋n))2,2) ＝2，当且仅当m＝n＝1时等号成立，故D错误．故选AB.
答案：AB
11．解析：∵ eq \f(1,x) > eq \f(1,y) >0，∴0∴ eq \f(1,x) ＋ eq \f(1,y) ＝ eq \f(x＋y,2) · eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)＋\f(1,y))) ＝ eq \f(x,2y) ＋ eq \f(y,2x) ＋1≥2 eq \r(\f(x,2y)·\f(y,2x)) ＋1＝2，
∴ eq \f(1,x) ＋ eq \f(1,y) ≥2成立，即B正确；∵x2－2x＋1＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－1)) 2≥0，
得x2≥2x－1，当且仅当x＝1时取等号，同理，y2≥2y－1，
当且仅当y＝1时取等号，又∵0即x，y不同时等于1，∴x2＋y2>2x＋2y－2，C正确；
当x＝ eq \f(1,2) ，y＝ eq \f(3,2) 时， eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,2))) 2＋y2＝1＋ eq \f(9,4) ＝ eq \f(13,4) ，D错．故选BC.
答案：BC
12．解析：设直线y＝x＋a与曲线y＝ex－1－2b＋1相切的切点为(x0，y0)，
由y＝ex－1－2b＋1求导得：y′＝ex－1，则有ex0－1＝1，解得x0＝1，
因此，y0＝1＋a＝2－2b，即a＋2b＝1，而a>0，b>0，
对于A，ab＝ eq \f(1,2) ·a·2b≤ eq \f(1,2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋2b,2))) 2＝ eq \f(1,8) ，当且仅当a＝2b＝ eq \f(1,2) 时取“＝”，A正确；
对于B， eq \f(2,a) ＋ eq \f(1,b) ＝(a＋2b) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,a)＋\f(1,b))) ＝4＋ eq \f(4b,a) ＋ eq \f(a,b) ≥4＋2 eq \r(\f(4b,a)·\f(a,b)) ＝8，当且仅当 eq \f(4b,a) ＝ eq \f(a,b) ，即a＝2b＝ eq \f(1,2) 时取“＝”，B不正确；
对于C，因( eq \r(a) ＋ eq \r(b) )2＋( eq \f(\r(a),\r(2)) － eq \r(2b) )2＝a＋b＋ eq \f(a,2) ＋2b＝ eq \f(3,2) (a＋2b)＝ eq \f(3,2) ，则有( eq \r(a) ＋ eq \r(b) )2≤ eq \f(3,2) ，即 eq \r(a) ＋ eq \r(b) ≤ eq \f(\r(6),2) ，
当且仅当 eq \f(\r(a),\r(2)) ＝ eq \r(2b) ，即a＝4b时取“＝”，由 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\a\vs4\al\c1(a＋2b＝1，,a＝4b))) 得a＝ eq \f(2,3) ，b＝ eq \f(1,6) ，所以当a＝ eq \f(2,3) ，b＝ eq \f(1,6) 时，( eq \r(a) ＋ eq \r(b) )max＝ eq \f(\r(6),2) ，C正确；
对于D，由a＋2b＝1，a>0，b>0得，0因此， eq \r(3) <3a＋b<3，D不正确．故选AC.
答案：AC
13．解析：因为 eq \f(4,m) ＋ eq \f(2,n) ＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(m＋2n)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,m)＋\f(2,n))) ＝8＋ eq \f(8n,m) ＋ eq \f(2m,n) ≥8＋2 eq \r(\f(8n,m)×\f(2m,n)) ＝16，
当且仅当 eq \f(8n,m) ＝ eq \f(2m,n) ，即 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\a\vs4\al\c1(m＝\f(1,2),n＝\f(1,4)))) 时等号成立，
所以 eq \f(4,m) ＋ eq \f(n＋2,n) ＝ eq \f(4,m) ＋ eq \f(2,n) ＋1≥17.
答案：17
14．解析：∵ eq \(AF,\s\up6(→)) ＝x eq \(AB,\s\up6(→)) ＋3y eq \(AC,\s\up6(→)) ，且点F在线段BC上，则x＋3y＝1，且x>0，y>0，
则 eq \f(3,x) ＋ eq \f(1,y) ＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,x)＋\f(1,y))) (x＋3y)＝6＋ eq \f(9y,x) ＋ eq \f(x,y) ≥6＋2 eq \r(\f(9y,x)·\f(x,y)) ＝12，
当且仅当x＝ eq \f(1,2) ，y＝ eq \f(1,6) 时等号成立．
所以 eq \f(3,x) ＋ eq \f(1,y) 的最小值为12.
答案：12
15．解析：由题意可知， eq \f(x＋2y＋3,xy) ＝ eq \f(x＋2y＋3x＋3y,xy) ＝ eq \f(4x＋5y,xy) ＝ eq \f(4,y) ＋ eq \f(5,x) ＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,y)＋\f(5,x))) (x＋y)
＝4＋5＋ eq \f(4x,y) ＋ eq \f(5y,x) ≥9＋2 eq \r(\f(4x,y)·\f(5y,x)) ＝9＋4 eq \r(5) ，
当且仅当 eq \f(4x,y) ＝ eq \f(5y,x) ，2x＝ eq \r(5) y时取等号， 此时x＝5－2 eq \r(5) ，y＝2 eq \r(5) －4，
故 eq \f(x＋2y＋3,xy) 的最小值为9＋4 eq \r(5) .
答案：9＋4 eq \r(5)
16．解析：由正态分布的对称性可知a＋1＝5，解得a＝4，
因为00，由基本不等式得：
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)＋\f(4,4－x))) ＝ eq \f(1,4) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)＋\f(4,4－x))) eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(x＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4－x))))
＝ eq \f(1,4) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(4－x,x)＋\f(4x,4－x)＋4)) ≥ eq \f(1,4) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5＋2 \r(\f(4－x,x)·\f(4x,4－x)))) ＝ eq \f(9,4) ，
当且仅当 eq \f(4－x,x) ＝ eq \f(4x,4－x) ，即x＝ eq \f(4,3) 时等号成立，
所以不等式的最小值为 eq \f(9,4) .
答案： eq \f(9,4)