2023高考数学二轮专题 微专题21 圆锥曲线的基本问题

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微专题21　圆锥曲线的基本问题高考定位　圆锥曲线的方程与几何性质是高考的重点，多以选择题、填空题或解答题的一问的形式命题，难度较小.1.(2021·新高考Ⅰ卷)已知F1，F2是椭圆C：＋＝1的两个焦点，点M在C上，则|MF1|·|MF2|的最大值为(　　)A.13  B.12  C.9  D.6答案　C解析　由椭圆C：＋＝1，得|MF1|＋|MF2|＝2×3＝6，则|MF1|·|MF2|≤＝32＝9，当且仅当|MF1|＝|MF2|＝3时等号成立.故选C.2.(2022·全国乙卷)设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，点A在C上，点B(3，0)，若|AF|＝|BF|，则|AB|＝(　　)A.2  B.2  C.3  D.3答案　B解析　法一　由题意可知F(1，0)，抛物线的准线方程为x＝－1.设A(，y0)，则由抛物线的定义可知|AF|＝＋1，又|BF|＝3－1＝2，故由|AF|＝|BF|，可得＋1＝2，解得y0＝±2，所以A(1，2)或A(1，－2).不妨取A(1，2)，故|AB|＝＝2，故选B.法二　由题意可知F(1，0)，故|BF|＝2，所以|AF|＝2.又抛物线通径长为4，所以|AF|＝2为通径长的一半，所以AF⊥x轴，所以|AB|＝＝2，故选B.3.(2022·全国甲卷)椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称.若直线AP，AQ的斜率之积为，则C的离心率为(　　)A.  B.  C.  D.答案　A解析　设P(m，n)(n≠0)，则Q(－m，n)，易知A(－a，0)，所以kAP·kAQ＝·＝＝(*).因为点P在椭圆C上，所以＋＝1，得n2＝(a2－m2)，代入(*)式，得＝，所以e＝＝＝.故选A.4.(2022·北京卷)已知双曲线y2＋＝1的渐近线方程为y＝±x，则m＝________.答案　－3解析　法一　依题意得m<0，双曲线的方程化为标准方程为y2－＝1，此时双曲线的渐近线的斜率为±＝±，解得m＝－3.法二　依题意得m<0，令y2－＝0，得y＝±x，则±＝±，解得m＝－3.5.(2022·新高考Ⅰ卷)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，C的上顶点为A，两个焦点为F1，F2，离心率为.过F1且垂直于AF2的直线与C交于D，E两点，|DE|＝6，则△ADE的周长是________.答案　13解析　如图，连接AF1，DF2，EF2，因为C的离心率为，所以＝，所以a＝2c，所以b2＝a2－c2＝3c2.因为|AF1|＝|AF2|＝a＝2c＝|F1F2|，所以△AF1F2为等边三角形，又DE⊥AF2，所以直线DE为线段AF2的垂直平分线，所以|AD|＝|DF2|，|AE|＝|EF2|，且∠EF1F2＝30°，所以直线DE的方程为y＝(x＋c)，代入椭圆C的方程＋＝1，得13x2＋8cx－32c2＝0.设D(x1，y1)，E(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝－，所以|DE|＝＝＝＝6，解得c＝，所以a＝2c＝，所以△ADE的周长为|AD|＋|AE|＋|DE|＝|DF2|＋|EF2|＋|DE|＝4a＝13.热点一　圆锥曲线的定义与标准方程1.圆锥曲线的定义(1)椭圆：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a＞|F1F2|).(2)双曲线：||PF1|－|PF2||＝2a(0＜2a＜|F1F2|).(3)抛物线：|PF|＝|PM|，l为抛物线的准线，点F不在定直线l上，PM⊥l于点M.2.求圆锥曲线标准方程“先定型，后计算”所谓“定型”，就是确定曲线焦点所在的坐标轴的位置；所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的a2，b2，p的值.例1 (1)已知A，B分别是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右顶点与虚轴的上端点，F(2，0)是双曲线C的右焦点，直线AB与双曲线C的一条渐近线垂直，则双曲线C的标准方程为________.(2)(2022·成都二诊)已知抛物线C以坐标原点O为顶点，以为焦点，直线x－my－2p＝0与抛物线C交于两点A，B，直线AB上的点M(1，1)满足OM⊥AB，则抛物线C的方程为________.答案　(1)－＝1　(2)y2＝2x解析　(1)由题意得A(a，0)，B(0，b)，双曲线的渐近线方程为y＝±x，而kAB＝－，∴－＝－1，∴a＝b，又F(2，0)，∴c2＝a2＋b2＝2a2＝4，∴a2＝b2＝2，∴双曲线C的标准方程为－＝1.(2)由已知直线OM的斜率为1，则AB的斜率为－1，所以m＝－1，又M(1，1)在直线AB上，∴1＋1－2p＝0，∴p＝1.∴抛物线C的方程为y2＝2x.易错提醒　求圆锥曲线的标准方程时的常见错误：(1)双曲线的定义中忽略“绝对值”致错；(2)椭圆与双曲线中参数的关系式弄混，椭圆中的关系式为a2＝b2＋c2，双曲线中的关系式为c2＝a2＋b2；(3)圆锥曲线方程确定时还要注意焦点位置.训练1 (1)(2022·武汉模拟)抛物线y2＝2px(p>0)上一点M(3，y)到焦点F的距离|MF|＝4，则抛物线的方程为(　　)A.y2＝8x  B.y2＝4xC.y2＝2x  D.y2＝x(2)(2022·怀仁二模)若双曲线C：－＝1(a>0，b>0)上任意一点到两焦点的距离之差的绝对值为6，且离心率为2，则双曲线C的标准方程为________.答案　(1)B　(2)－＝1解析　(1)由抛物线y2＝2px(p>0)上一点M(3，y)到焦点F的距离|MF|＝4，可得3＋＝4，解得p＝2，所以抛物线的方程为y2＝4x，故选B.(2)由双曲线C：－＝1(a>0，b>0)上任意一点到两焦点的距离之差的绝对值为6，可得a＝3，离心率为2，所以c＝6，则b2＝c2－a2＝62－32＝27.所以双曲线C的标准方程为－＝1.热点二　椭圆、双曲线的几何性质1.求离心率通常有两种方法(1)椭圆的离心率e＝＝(0<e<1)，双曲线的离心率e＝＝(e>1).(2)根据条件建立关于a，b，c的齐次式，消去b后，转化为关于e的方程或不等式，即可求得e的值或取值范围.2.与双曲线－＝1(a＞0，b＞0)共渐近线的双曲线方程为－＝λ(λ≠0).考向1　离心率问题例2 (1)(2022·济南模拟)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，以F1F2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另两条边，则椭圆的离心率为(　　)A.－1  B.C.  D.(2)(2022·浙江卷)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点为F，过F且斜率为的直线交双曲线于点A(x1，y1)，交双曲线的渐近线于点B(x2，y2)且x1<0<x2.若|FB|＝3|FA|，则双曲线的离心率是________.答案　(1)A　(2)解析　(1)可画出如图所示图形.△MF1F2为等边三角形，F1(－c，0)，F2(c，0)，QF1⊥MF2，∠F1F2Q＝60°，∵|F1F2|＝2c，∴|QF2|＝c，|QF1|＝c，∴|QF1|＋|QF2|＝(＋1)c＝2a，∴＝－1，即e＝－1.故选A.(2)结合题意作出图形如图所示，由题意知，过左焦点F(－c，0)且斜率为的直线方程为y＝(x＋c)，由解得所以B.因为|FB|＝3|FA|，所以＝3，即＝3(x1＋c，y1)，得所以A.将代入双曲线方程－＝1，可得－＝1，结合离心率e＝得e2＝，又e>1，所以双曲线的离心率为.考向2　椭圆、双曲线的几何性质例3 (1)双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是双曲线C上一点，PF2⊥x轴，tan∠PF1F2＝，则双曲线的渐近线方程为(　　)A.x±2y＝0  B.2x±y＝0C.x±y＝0  D.x±y＝0(2)(2022·南通质检)椭圆C：＋＝1(b2<18且b>0)的上、下顶点分别为A，C，如图，点B在椭圆上(异于椭圆顶点)，点D在椭圆内，平面四边形ABCD满足∠BAD＝∠BCD＝90°，且S△ABC＝2S△ADC，则该椭圆的短轴长为________.答案　(1)C　(2)6解析　(1)因为点P在双曲线上，且PF2⊥x轴，所以点P的横坐标为c，代入双曲线的方程可得P，则|PF2|＝，|F1F2|＝2c，所以tan∠PF1F2＝＝＝＝，整理得2b2＝3ac，所以4－9－9＝0，解得＝，所以双曲线的渐近线方程为y＝±x，即x±y＝0，故选C.(2)根据题意可得A(0，b)，C(0，－b)，设B(x1，y1)，D(x2，y2).连接BD，由∠BAD＝∠BCD＝90°可得，点A，B，C，D均在以BD为直径的圆E(E为BD中点)上，又原点O为圆E上的弦AC的中点，所以圆心E在AC的垂直平分线上，即圆心E在x轴上，所以y1＋y2＝0.又S△ABC＝2S△ADC，所以x1＝－2x2，故圆心E的坐标为，所以圆E的方程为＋y2＝x＋y，将(0，b)代入圆E的方程，结合＋＝1可得b2＝9，所以b＝3，短轴长为6.规律方法　1.确定椭圆和双曲线的离心率的值或范围，其关键就是确立一个关于a，b，c的等量关系或不等关系，然后用a，c代换b，进而求的值或范围.2.求双曲线渐近线方程的关键在于求或的值，也可将双曲线方程中等号右边的“1”变为“0”，然后因式分解得到.训练2 (1)双曲线E：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点M在y轴上，且△MF1F2为正三角形.若线段MF2的中点恰好在双曲线E的渐近线上，则E的离心率等于(　　)A.  B.2  C.  D.(2)(2022·张家口一模)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，过原点O的直线l交椭圆C于点A，B，且2|FO|＝|AB|，若∠BAF＝，则椭圆C的离心率是________.答案　(1)B　(2)－1解析　(1)不妨设M在y轴的正半轴上，设M(0，t)，t>0，由于△MF1F2为正三角形，所以t＝c，故M(0，c)，则MF2的中点为N，因为N在渐近线y＝x上，所以＝×，即＝，e＝＝＝2，故选B.(2)因为直线AB过原点，由椭圆及直线的对称性可得|OA|＝|OB|，所以|AB|＝2|OA|，设右焦点F′，连接BF′，AF′，又因为2|OF|＝|AB|＝2c，可得四边形AFBF′为矩形，在Rt△ABF中，|AF|＝2c·cos∠BAF＝2c·＝c，|BF|＝2c·sin∠BAF＝2c·＝c，∴|AF′|＝|BF|＝c，由椭圆定义|AF|＋|AF′|＝c＋c＝2a，∴e＝＝－1.热点三　抛物线的几何性质抛物线的焦点弦的几个常见结论：设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，α是弦AB的倾斜角，则(1)x1x2＝，y1y2＝－p2.(2)|AB|＝x1＋x2＋p＝.(3)＋＝.(4)以线段AB为直径的圆与准线x＝－相切.例4 (1)(2022·泰安模拟)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M在抛物线C上，射线FM与y轴交于点A(0，2)，与抛物线C的准线交于点N，＝，则p的值等于(　　)A.  B.2  C.  D.4(2)(多选)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，直线l的斜率为且经过点F，直线l与抛物线C交于A，B两点(点A在第一象限)，与抛物线的准线交于点D，若|AF|＝8，则以下结论正确的是(　　)A.p＝4  B.＝C.|BD|＝2|BF|  D.|BF|＝4答案　(1)B　(2)ABC解析　(1)依题意F点的坐标，设M在准线上的射影为K，由抛物线的定义知|MF|＝|MK|，∵＝，∴＝，可得＝，则|KN|∶|KM|＝2∶1，∴kFN＝＝－，∴－＝－2，求得p＝2.故选B.(2)如图所示，分别过点A，B作准线的垂线，垂足分别为E，M，连接EF.设抛物线C的准线交x轴于点P，则|PF|＝p，由于直线l的斜率为，则其倾斜角为60°.又AE∥x轴，∴∠EAF＝60°，由抛物线的定义可知，|AE|＝|AF|，则△AEF为等边三角形，∴∠EFP＝∠AEF＝60°，则∠PEF＝30°，∴|AF|＝|EF|＝2|PF|＝2p＝8，解得p＝4，故A正确；∵|AE|＝|EF|＝2|PF|，PF∥AE，∴F为线段AD的中点，则＝，故B正确；∵∠DAE＝60°，∴∠ADE＝30°，∴|BD|＝2|BM|＝2|BF|(抛物线定义)，故C正确；∵|BD|＝2|BF|，∴|BF|＝|DF|＝|AF|＝，故D错误.规律方法　利用抛物线的几何性质解题时，要注意利用定义构造与焦半径相关的几何图形(如三角形、直角梯形等)来沟通已知量与p的关系，灵活运用抛物线的焦点弦的特殊结论，使问题简单化且减少数学运算.训练3 (1)(2022·济南模拟)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，直线l经过F与抛物线交于A，B两点，点P在抛物线的准线上，且PF⊥AB，线段AB的中点为Q.若|PQ|＝4，则|AB|＝(　　)A.4  B.4  C.8  D.8(2)(2022·广州模拟)过抛物线y2＝4x焦点F的直线与该抛物线及其准线都相交，交点从左到右依次为A，B，C.若＝，则线段BC的中点到准线的距离为(　　)A.3  B.4  C.5  D.6答案　(1)C　(2)B解析　(1)由A，B向准线作垂线，垂足分别为C，D，因为PF⊥AB，可知P是线段CD的中点，PQ是梯形ABDC的中位线，又由抛物线的定义可知|AB|＝2|PQ|＝8，故选C.(2)由抛物线的方程可得焦点F(1，0)，渐近线的方程为：x＝－1，由＝，可得＝，如图所示：作BB′垂直于准线于B′，而＝，∴∠ABB′＝45°，所以直线AB的斜率为1，所以直线AB的方程为x＝y＋1，设B(x1，y1)，C(x2，y2)，联立整理可得：x2－6x＋1＝0，可得x1＋x2＝6，所以线段BC的中点到准线的距离为＋1＝4，故选B.一、基本技能练1.(2022·温州模拟)双曲线y2－2x2＝1的离心率是(　　)A.  B.  C.  D.答案　B解析　双曲线方程化为－＝1，则a2＝1，b2＝，从而e＝＝，故选B.2.设经过点F(1，0)的直线与抛物线y2＝4x相交于A，B两点.若线段AB中点的横坐标为2，则|AB|＝(　　)A.4  B.5  C.6  D.7答案　C解析　因为抛物线为y2＝4x，所以p＝2，设A，B两点横坐标为x1，x2，因为线段AB中点的横坐标为2，则＝2，即x1＋x2＝4，故|AB|＝x1＋x2＋p＝4＋2＝6，故选C.3.(2022·烟台一模)已知点F为抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，点P在抛物线上且横坐标为8，O为坐标原点，若△OFP的面积为2，则该抛物线的准线方程为(　　)A.x＝－  B.x＝－1C.x＝－2  D.x＝－4答案　B解析　由抛物线的方程可得F，不妨设P在x轴上方，则y2＝2p×8，可得yp＝4，则S△OFP＝|OF|·yp＝××4＝2，解得p＝2，所以准线方程为x＝－＝－1，故选B.4.“1<k<5”是方程“＋＝1表示椭圆”的(　　)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案　B解析　因为k＝3时，＋＝1表示圆，故充分性不成立.若＋＝1表示椭圆，则∴1<k<5且k≠3，∴必要性成立.故“1<k<5”是“方程＋＝1表示椭圆”的必要不充分条件.故选B.5.已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线与x轴正半轴所成夹角为，则C的离心率为(　　)A.  B.2  C.  D.3答案　A解析　双曲线C的渐近线方程为y＝±x，由题意可得＝tan＝，则＝，所以e＝＝＝＝，故选A.6.(2022·西安二模)直线y＝kx(k>0)与双曲线C：－＝1(a>0，b>0)在第一、第三象限分别交于P，Q两点，F2是C的右焦点，有|PF2|∶|QF2|＝1∶，且PF2⊥QF2，则C的离心率是(　　)A.  B.C.＋1  D.＋1答案　C解析　由对称性可知四边形PF1QF2为平行四边形，又由PF2⊥QF2得四边形PF1QF2为矩形，∴|PQ|＝|F1F2|＝2c，又|PF2|∶|QF2|＝1∶，∴|QF2|－|PF2|＝(－1)c＝2a，∴e＝＝＝＋1，故选C.7.(2022·石家庄模拟)已知椭圆M：＋y2＝1(a>1)的中心为O，过焦点F的直线l与M交于A，B两点，线段AF的中点为P，若|OP|＝|PF|＝，则M的方程为(　　)A.＋y2＝1  B.＋y2＝1C.＋y2＝1  D.＋y2＝1答案　B解析　不妨设F为椭圆M的右焦点，则其左焦点为F1，连接AF1，∵O为FF1中点，P为AF中点.∴OP为△AFF1的中位线.∴|AF1|＝2|OP|＝，|AF|＝2|PF|＝.∴|AF1|＋|AF|＝2＝2a，∴a＝.∴椭圆M的方程为＋y2＝1，故选B.8.(2022·南京调研)已知F1，F2分别为双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点和右焦点，过F2的直线l与双曲线的右支交于A，B两点，△AF1F2的内切圆半径为r1，△BF1F2的内切圆半径为r2，若r1＝2r2，则直线l的斜率为(　　)A.1  B.  C.2  D.2答案　D解析　记△AF1F2的内切圆圆心为C，△BF1F2的内切圆圆心为D，边AF1，AF2，F1F2上的切点分别为M，N，E，易知C，E横坐标相等，|AM|＝|AN|，|F1M|＝|F1E|，|F2N|＝|F2E|，由|AF1|－|AF2|＝2a，即|AM|＋|MF1|－(|AN|＋|NF2|)＝2a，得|MF1|－|NF2|＝2a，即|F1E|－|F2E|＝2a，记C的横坐标为x0，则E(x0，0)，于是x0＋c－(c－x0)＝2a，得x0＝a，同样圆心D的横坐标也为a，则有CD⊥x轴，设直线l的倾斜角为θ，则∠OF2D＝，∠CF2O＝90°－，在△CEF2中，tan∠CF2O＝tan＝，在△DEF2中，tan∠OF2D＝tan＝，由r1＝2r2，可得2tan＝tan＝，解得tan＝，则直线l的斜率为tan θ＝＝＝2，故选D.9.(多选)(2022·福州模拟)已知椭圆C：＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P为C上一点，则(　　)A.C的离心率为 B.△PF1F2的周长为5C.∠F1PF2<90° D.1≤|PF1|≤3答案　CD解析　对于A，由椭圆方程知：a＝2，c＝＝1，∴离心率e＝＝，A错误；对于B，由椭圆定义知：|PF1|＋|PF2|＝2a＝4，|F1F2|＝2c＝2，∴△PF1F2的周长为4＋2＝6，B错误；对于C，当P为椭圆短轴端点时，tan＝＝，∴tan∠F1PF2＝＝＝，∴∠F1PF2＝60°，即(∠F1PF2)max＝60°，∴∠F1PF2<90°，C正确；对于D，∵|PF1|min＝a－c＝1，|PF1|max＝a＋c＝3，∴1≤|PF1|≤3，D正确.故选CD.10.(多选)(2022·菏泽模拟)设抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，点M为C上一动点，E(3，1)为定点，则下列结论正确的有(　　)A.准线l的方程是y＝－2 B.以线段MF为直径的圆与y轴相切C.|ME|＋|MF|的最小值为5 D.|ME|－|MF|的最大值为2答案　BC解析　抛物线C：y2＝8x的焦点为F(2，0)，准线为l：x＝－2，故A错误；设M(m，n)，MF的中点为N，可得|MF|＝m＋2＝2·，即N到y轴的距离是|MF|的一半，则以线段MF为直径的圆与y轴相切，故B正确；设M在准线上的射影为H，由|ME|＋|MF|＝|ME|＋|MH|，当E，M，H三点共线时，|ME|＋|MH|取得最小值，为3＋2＝5，故C正确；由|ME|－|MF|≤|EF|，当M为EF的延长线与抛物线的交点时，取得最大值|EF|，为＝，故D错误.故选BC.11.已知抛物线y2＝2px的准线方程为x＝－1，则p＝________.答案　2解析　y2＝2px准线方程为x＝－，则－＝－1，∴p＝2.12.已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，且其虚轴长大于1，则双曲线C的一个标准方程可以为________.答案　x2－＝1(答案不唯一)解析　依题意，不妨取b＝2，由题意可得解得a＝1，b＝2，c＝.所以满足题设的一个标准方程为x2－＝1.二、创新拓展练13.(多选)(2022·南通适考)在平面直角坐标系xOy中，已知F1，F2分别是椭圆C：＋＝1的左、右焦点，点A，B是椭圆C上异于长轴端点的两点，且满足＝λ，则(　　)A.△ABF2的周长为定值 B.AB的长度最小值为1C.若AB⊥AF2，则λ＝3 D.λ的取值范围是[1，5]答案　AC解析　＝λ，则A，B，F1三点共线，△ABF2周长＝4a＝8是定值，A正确.ABmin＝2·＝2≠1，B错误；∵AB⊥AF2，则AF1⊥AF2，A在上、下顶点处，不妨设A(0，)，则AB∶y＝x＋，解得或B，λ＝＝3，C正确；令AB：x＝my－，A(x1，y1)，B(x2，y2)，消x可得(m2＋2)y2－2my－2＝0，则y1＋y2＝，y1y2＝，－y1＝λy2，当m＝0时，λ＝1，当m≠0时，＝>，∴3－2<λ<3＋2，D错误.故选AC.14.(多选)(2022·济宁模拟)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，左、右顶点分别为A1，A2，点P是双曲线C上异于顶点的一点，则(　　)A.||PA1|－|PA2||＝2aB.若焦点F2关于双曲线C的渐近线的对称点在C上，则C的离心率为C.若双曲线C为等轴双曲线，则直线PA1的斜率与直线PA2的斜率之积为1D.若双曲线C为等轴双曲线，且∠A1PA2＝3∠PA1A2，则∠PA1A2＝答案　BCD解析　对于A：在△PA1A2中，根据三角形两边之差小于第三边，故||PA1|－|PA2||<|A1A2|＝2a，故A错误；对于B，焦点F2(c，0)，渐近线不妨取y＝x，即bx－ay＝0，设焦点F2关于双曲线C的渐近线的对称点为(m，n)，则解得即F2关于双曲线C的渐近线的对称点为，由题意该对称点在双曲线上，故－＝1，将c2＝a2＋b2代入，化简整理得b4－3a2b2－4a4＝0，即b2＝4a2，所以e＝＝，∴e＝，故B正确；对于C：双曲线C为等轴双曲线，即C：x2－y2＝a2(a>0)，设P(x0，y0)(y0≠0)，则x－y＝a2，所以x－a2＝y，故kPA1·kPA2＝·＝＝1，故C正确；对于D：双曲线为等轴双曲线，即C：x2－y2＝a2(a>0)，且∠A1PA2＝3∠PA1A2，设∠PA1A2＝θ，∠A1PA2＝3θ，则∠PA2x＝4θ，根据C项中的结论kPA1·kPA2＝1，即有tan θ·tan 4θ＝1，在三角形中，只有两角互余时，它们的正切值才互为倒数，故θ＋4θ＝，所以θ＝，即∠PA1A2＝，故D正确.故选BCD.15.(多选)(2022·济南模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)左、右焦点分别为F1，F2，点P为C上任意一点，△PF1F2的内切圆的圆心为I，圆I与PF1的切点为M，PI与x轴的交点为N，则以下结论正确的有(　　)A.·有最大值a2B.内切圆I面积有最大值C.若|PM|＝|F1F2|，则椭圆C的离心率为 D.若∠F1PF2＝，则＋＝答案　BCD解析　对A：·＝2－c2≤b2，故A不正确；对B：由等面积法，内切圆I的半径r＝≤，所以内切圆面积有最大值，故B正确；对C：|PM|＝|F1F2|＝c，2|PM|＋2c＝4c＝2a，椭圆C的离心率为，故C正确；对D：若∠F1PF2＝，由角平分线性质得则＋＝，故D正确.故选BCD.16.(多选)(2022·无锡模拟)已知双曲线C1：－＝1(a1>0，b1>0)的一条渐近线的方程为y＝x，且过点，椭圆C2：＋＝1的焦距与双曲线C1的焦距相同，且椭圆C2的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线交C2于A，B两点，若点A(1，y1)，则下列说法中正确的有(　　)A.双曲线C1的离心率为2B.双曲线C1的实轴长为C.点B的横坐标的取值范围为(－2，－1)D.点B的横坐标的取值范围为(－3，－1)答案　AD解析　双曲线C1：－＝1(a1>0，b1>0)的一条渐近线的方程为y＝x，则可设双曲线C1的方程为x2－＝λ，∵过点，∴1－＝λ，解得λ＝，∴双曲线C1方程为4x2－y2＝1，即－＝1，可知双曲线C1的离心率e＝＝2，实轴的长为1，故选项A正确，选项B错误；由＋＝1，可知椭圆C2：＋＝1的焦点F1(－1，0)，F2(1，0)，不妨设A(1，y1)(y1>0)，代入＋＝1，得＋＝1，∴y1＝，直线AB的方程为y＝(x＋1)，联立消去y并整理得(a2＋3)x2＋2(a2－1)x－3a2－1＝0，根据韦达定理可得1·xB＝－，可得xB＝－＝－3＋，又a2>1，∴a2＋3>4，0<<2，∴－3<xB<－1，故选项C错误，选项D正确，故选AD.17.(2022·北京石景山区一模)设点F1，F2分别为椭圆C：＋y2＝1的左、右焦点，点P是椭圆C上任意一点，若使得·＝m成立的点恰好是4个，则实数m的一个取值可以为________.答案　0(答案不唯一)解析　当m＝0时，·＝0，则⊥，由椭圆方程可知a2＝4，b2＝1，c2＝3，因为c>b，所以以F1F2为直径的圆与椭圆有4个交点.使得·＝0成立的点恰好有4个.所以实数m的一个取值可以为0.18.(2022·湖州质检)已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且∠F1PF2＝，设椭圆、双曲线的离心率分别为e1，e2，则e＋e的最小值为________.答案　1＋解析　由题意，可设椭圆长半轴为a1，双曲线的实半轴为a2，不妨设P为双曲线右支上一点，由椭圆和双曲线的定义可知则|PF1|＝a1＋a2，|PF2|＝a1－a2，又∠F1PF2＝，由余弦定理可得(2c)2＝(a1＋a2)2＋(a1－a2)2－2(a1＋a2)(a1－a2)cos，整理得4c2＝a＋3a，即＋＝4，则＋＝1，所以e＋e＝(e＋e)＝1＋＋≥1＋2＝1＋.当且仅当＝，即e2＝e1时取等号.