微专题4　平面向量的基本运算和应用

这是一份微专题4　平面向量的基本运算和应用，共5页。试卷主要包含了已知向量a＝，b＝等内容，欢迎下载使用。
【真题体验】
1.(2022·新高考Ⅰ卷)在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA.记eq \(CA,\s\up6(→))＝m，eq \(CD,\s\up6(→))＝n，则eq \(CB,\s\up6(→))＝( )
A.3m－2n B.－2m＋3n
C.3m＋2n D.2m＋3n
2.(2023·新高考Ⅰ卷)已知向量a＝(1，1)，b＝(1，－1).若(a＋λb)⊥(a＋μb)，则( )
A.λ＋μ＝1 B.λ＋μ＝－1
C.λμ＝1 D.λμ＝－1
3.(2023·全国甲卷)已知向量a＝(3，1)，b＝(2，2)，则cs〈a＋b，a－b〉＝( )
A.eq \f(1,17) B.eq \f(\r(17),17)
C.eq \f(\r(5),5) D.eq \f(2\r(5),5)
4.(2023·新高考Ⅱ卷)已知向量a，b满足|a－b|＝eq \r(3)，|a＋b|＝|2a－b|，则|b|＝________.
【热点突破】
热点一 平面向量的线性运算
1.平面向量加减运算求解的关键是：对平面向量加法抓住“共起点”或“首尾相连”；对平面向量减法抓住“共起点，连两终点，指向被减向量的终点”，再观察图形对向量进行等价转化.
2.在一般向量的线性运算中，只要把其中的向量当作一个字母看待，其运算方法类似于代数中合并同类项的运算，在计算时可以进行类比.
例1 (1)(2023·济南模拟)在等腰梯形ABCD中，eq \(AB,\s\up6(→))＝－2eq \(CD,\s\up6(→))，M为BC的中点，则eq \(AM,\s\up6(→))＝( )
A.eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→)) B.eq \f(3,4)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))
C.eq \f(3,4)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,4)eq \(AD,\s\up6(→)) D.eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(3,4)eq \(AD,\s\up6(→))
(2)(2023·太原模拟)如图所示，已知点G是△ABC的重心，过点G的直线交AB于M，AC于N，若xeq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(AM,\s\up6(→))，yeq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(AN,\s\up6(→))，则eq \f(1,x)＋eq \f(1,y)的值为( )
A.3 B.4
C.5 D.6
易错提醒 在平面向量的化简或运算中，要根据平面向量基本定理恰当地选取基底，变形要有方向，不能盲目转化.
训练1 (1)(2023·泰安模拟)如图，在四边形ABCD中，eq \(AB,\s\up6(→))＝3eq \(DC,\s\up6(→))，E为边BC的中点，若eq \(AE,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))＋μeq \(AD,\s\up6(→))，则λ＋μ＝________.
(2)在△ABC中，AB＝5，AC＝2eq \r(5)，BC边上的高AD＝4，且垂足D在线段BC上，H为△ABC的垂心，且eq \(AH,\s\up6(→))＝xeq \(AB,\s\up6(→))＋yeq \(AC,\s\up6(→))(x，y∈R)，则eq \f(x,y)＝________.
热点二 平面向量的数量积
1.数量积的计算通常有三种方法：数量积的定义、坐标运算和数量积的几何意义.
2.可以利用数量积求向量的模和夹角，向量要分解成题中已知的向量模和夹角进行计算.
例2 (1)(2023·邯郸模拟)若向量a，b满足|a|＝2，|b|＝2eq \r(3)，且a·b＝3，则向量b与b－a夹角的余弦值为( )
A.eq \f(\r(3),2) B.eq \f(2\r(5),9)
C.eq \f(7\r(2),16) D.eq \f(3\r(30),20)
(2)(2023·聊城模拟)已知单位向量a，b满足|a－b|＝eq \r(3)|a＋b|，则|a＋3b|＝( )
A.2 B.eq \r(5)
C.eq \r(7) D.3
(3)(2023·淄博模拟)如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，F为AB的中点，CE＝3，CB＝8，AB＝12，则eq \(EA,\s\up6(→))·eq \(EB,\s\up6(→))＝( )
A.－15 B.－13
C.13 D.15
易错提醒 (1)由向量的运算求其夹角时要注意夹角的范围是[0，π]，
(2)利用基底计算数量积时，要注意选择恰当的基底，常用已知的向量作基底.
训练2 (1)(多选)(2023·武汉模拟)已知向量a＝(2，1)，b＝(x，x＋1)，则下列结论正确的是( )
A.若a⊥b，则x＝－eq \f(1,3)
B.若a∥b，则x＝±2
C.若x＝1，则|a－b|＝2
D.若x＝1，则a与b的夹角为锐角
(2)(2023·长沙模拟)在△ABC中，BC＝2，BA＝eq \r(2)，B＝eq \f(π,4)，eq \(CA,\s\up6(→))＝3eq \(DA,\s\up6(→))，且E是BD的中点，则eq \(AE,\s\up6(→))·eq \(EC,\s\up6(→)) ＝( )
A.－eq \f(2,9) B.eq \f(2,9)
C.－eq \f(2,3) D.eq \f(2,3)
热点三 平面向量的综合应用
三角函数和平面向量是高中数学的两个重要分支，内容繁杂，且平面向量与三角函数交汇点较多，如向量的平行、垂直、夹角、数量积等知识都可以与三角函数进行交汇.
例3 已知ω＞0，a＝(eq \r(3)sin ωx，－cs ωx)，b＝(cs ωx，cs ωx)，f(x)＝a·b，x1，x2是y＝f(x)－eq \f(1,2)的两个零点，且|x1－x2|min＝π.
(1)求f(x)的单调递增区间；
(2)若α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(α,2)))＝eq \f(1,10)，求sin 2α的值.
规律方法 对于此类问题的解决方法就是利用向量的知识将条件“脱去外衣”转化为三角函数中的“数量关系”，再利用三角函数的相关知识进行求解.
训练3 △ABC的内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c.向量m＝(a，eq \r(3)b)与n＝(cs A，sin B)平行.
(1)求A的大小；
(2)若a＝eq \r(7)，b＝2，求△ABC的面积.