2023届黑龙江省牡丹江市第三高级中学高三上学期第五次月考数学试题（解析版）

这是一份2023届黑龙江省牡丹江市第三高级中学高三上学期第五次月考数学试题（解析版），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023届黑龙江省牡丹江市第三高级中学高三上学期第五次月考数学试题

一、单选题
1．已知集合，，则AB＝（    ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】化简集合A＝，再与求交集即可.
【详解】∵集合A＝，
∴集合A＝，
又∵
∴＝.
故选：
【点睛】本题主要考查集合的交集运算，涉及一元二次不等式的解法，属于基础题.
2．已知(3﹣4i)z＝1＋i，其中i为虚数单位，则在复平面内z对应的点位于（    ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【分析】根据复数的除法计算出，即可确定z对应的点所在象限.
【详解】因为(3﹣4i)z＝1＋i
所以，
故在复平面内z对应的点为(，)，在第二象限.
故选：B
【点睛】本题主要考查了复数的除法运算，复数的几何意义，属于容易题.
3．已知向量，满足，，且，则与的夹角为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先求得数量积，再利用向量夹角公式即可求得与的夹角.
【详解】因为，所以,
则.则.
又因为，所以,即与的夹角为.
故选：D.
4．一次竞赛考试，老师让学生甲､乙､丙､丁预测他们的名次.学生甲说：丁第一；学生乙说：我不是第一；学生丙说：甲第一；学生丁说：甲第二.若有且仅有一名学生预测错误，则该学生是（    ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】C
【分析】丙和丁必有一个错误，分类讨论后可得正确的选项.
【详解】显然丙丁有一个错误，倘若丙正确，则与甲矛盾，故丁错误.
故选：C.
5．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若2bcosC≤2a﹣c，则角B的取值范围是（    ）
A．(0，] B．(0，] C．[，) D．[，)
【答案】A
【分析】已知的不等式利用正弦定理化简，整理后求出的范围，利用余弦定理的性质即可确定的取值范围.
【详解】在△ABC中，，
，
，
即，
，即，

故选：A
【点睛】本题主要考查正弦定理、两角和与差的正弦函数公式，以及余弦函数的性质，熟练掌握正弦定理是解决问题的关键，属于中档题.
6．设，，，则（    ）
A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．c＞a＞b
【答案】C
【分析】由换底公式得，由幂的运算法则得，利用对数函数的单调性比较的，再借助中间值1和指数函数性质比较大小可得结论．
【详解】∵9＞8，∴3＞，故，从而有，
故选：C
【点睛】本题考查比较对数和幂的大小，掌握指数函数和对数函数性质是解题关键，解题时可借助中间值如0，1等进行比较．
7．函数的图象大致为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】确定函数图象关于直线对称，排除AC，再结合特殊的函数值的正负或函数零点个数排除B，得出正确结论．
【详解】函数定义域是，由于的图象关于直线对称，的图象也关于直线对称，因此的图象关于直线对称，排除AC，
有无数个零点，因此也有无数个零点，且当时，，排除B．
故选：D．
【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：
(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．
(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；
(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；
(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.
8．已知奇函数的定义域为，且．若当时， ，则的值是（    ）
A． B． C．2 D．3
【答案】B
【分析】先根据题意得函数的周期为4，再根据周期函数和对数运算求解即可.
【详解】解：因为函数是奇函数，所以函数图象关于点对称，
因为函数满足，所以函数图象关于直线对称，
所以函数的周期为4，
∴
因为
所以
故选：B
【点睛】本题考查抽象函数的周期性，对数运算，是中档题.

二、多选题
9．下列关于平面向量，，的运算，一定成立的有（　　）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】根据数量积的定义及运算律判断即可；
【详解】解：对于A：根据平面向量数量积的分配律可知一定成立，故A正确；
对于B：由数量积的结果为数量，则表示与共线的向量，
表示与共线的向量，则与不一定相同，即B错误；
对于C：设与的夹角为，则，因为，
所以，故C正确；
对于D：，，
由C知，所以，
即，即，故D正确；
故选：ACD
10．若．且，则下列不等式恒成立的是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】CD
【分析】结合基本不等式对选项进行分析，由此确定正确选项.
【详解】，当且仅当时等号成立，
则或，
则，
即AB错误，D正确.
对于C选项，，C选项正确.
故选：CD
11．将函数的图象向左平移个单位后，得到函数的图象，则（    ）
A．函数的图象关于直线对称
B．函数的图象关于点(，0)对称
C．函数在区间(，)上单调递增
D．函数在区间(0，)上有两个零点
【答案】ACD
【分析】先由已知求出，然后利用三角函数的图像和性质逐个判断即可
【详解】可得，当，，故A正确；
当，，故B错误；
当(，)，(，0)，故C正确；
当(0，)，(，)，故D正确．
故选：ACD．
【点睛】此题考查三角函数的平移变换，考查三角函数的图像和性质的应用，属于基础题
12．若正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，则下列命题正确的是（    ）
A．直线BC与平面ABC1D1所成的角为
B．点C到平面ABC1D1的距离为
C．异面直线D1C和BC1所成的角为
D．三棱柱AA1D1- BB1C1外接球半径为
【答案】ABD
【分析】对选项A，首先连接，交于点，易证平面，从而得到为直线与平面所成的角，再根据即可判断选项A正确.对选项B，根据平面，得到为点到面的距离，再计算即可判断选项B正确.对选项C，首先连接，，，根据，得到为异面直线和所成的角，再计算即可判断选项C 错误.对选项D，根据三棱柱的外接球与正方体的外接球相同，计算正方体的外接球的半径即可判断选项D正确.
【详解】对选项A，如图所示：

连接，交于点.
因为正方体，所以四边形为正方形，.
又因为平面，平面，所以.
平面.
所以为直线与平面所成的角，又因为，故选项A正确.
对选项B，由上知：平面，所以为点到面的距离.
又因为正方体边长为，所以，故选项B正确.
对选项C，如图所示：

连接，，.
因为，所以为异面直线和所成的角.
又因为，所以，故选项C错误.
对选项D，因为三棱柱的外接球与正方体
的外接球相同，设外接球半径为，，故选项D正确.
故选：ABD

三、填空题
13．写出一个最小正周期为2的奇函数________．
【答案】
【解析】根据奇函数性质可考虑正弦型函数，，再利用周期计算，选择一个作答即可.
【详解】由最小正周期为2，可考虑三角函数中的正弦型函数，，
满足，即是奇函数；
根据最小正周期，可得.
故函数可以是中任一个，可取.
故答案为：.
14．已知，则________.
【答案】
【分析】利用诱导公式、二倍角的正弦公式以及齐次式即可求解.
【详解】
.
故答案为：
【点睛】本题考查了诱导公式、二倍角的正弦公式以及齐次式求三角函数值，需熟记公式，属于基础题.
15．已知正方体棱长为2，以正方体的一个顶点为球心，以为半径作球面，则该球面被正方体表面所截得的所有的弧长和为______________.
【答案】
【分析】不妨以D为球心，画出几何关系图形，结合图形即可知球面被正方体表面所截得3段相等的弧长，其中与上底面截得的弧长，是以为圆心，以2为半径的四分之一的圆周，通过计算即可得答案.
【详解】如图所示，球面被正方体表面所截得3段相等的弧长，

与上底面截得的弧长，是以为圆心，以2为半径的四分之一的圆周，所以 ，
则所有弧长和为，
故答案为：.
【点睛】本题考查了正方体与球的截面问题，关键是理解截面与球的关系，弧与球心的位置关系，属于中档题.
16．已知各项均为正数的等比数列{an}，若2a4＋a3－2a2－a1＝8，则2a8＋a7的最小值为______.
【答案】54
【详解】由题意知等比数列中，，则公比


即
则


设，则，设
则，令，得或
当时，，
当时，
函数在上递增，在上递减，
当时，函数取得最大值是
则取到最小值是
即的最小值为
点睛：由题意知和公比，由通项公式代入式子:，化简得到，同理化简，再把上式代入用来表示且化简，设并构造函数，再求导，求临界点和函数单调区间，求出函数的最大值，代入的化简后式子求出最小值．

四、解答题
17．已知,设函．
(1)求函数的最小正周期；
(2)若，且，求的值．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）根据平面向量的数量积坐标公式，以及辅助角公式化简，再根据周期公式求最小正周期.
（2）根据的值计算,再利用和角公式计算.
【详解】（1）由已知条件得：
最小正周期
（2），又
故，进而可得

18．已知各项均不相等的等差数列的前4项和为10，且是等比数列的前3项．
(1)求；
(2)设，求的前n项和．
【答案】(1)，
(2)

【分析】（1）利用等差数列的通项公式与等比中项公式求得基本量，从而利用公式法依次求得；
（2）结合（1）中结论，利用分组求和法与裂项相消法即可得解.
【详解】（1）设等差数列的公差为，前项和为，则，
因为，则，即，
又因为成等比数列，所以，即，整理得，
又因为，所以，
联立，解得，
所以，
又，，是等比数列，
所以，则.
（2）由（1）得，
所以
，
所以数列的前n项和.
19．在中，角的对边分别为.
（1）求的取值范围；
（2）若，求的值.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）利用三角形的内角和性质可得，，由，可得，从而可得的取值范围.
（2）利用正弦定理的边角互化可得，由（1）可得，代入上式即可求解.
【详解】（1）由及，得，
所以，所以.
由，得
得，故的取值范围为.
（2）若，由正弦定理有，①
由（1）知，则.②
由①②得，
所以，
解得或，
又，所以.
20．已知数列是公比为2的等比数列，其前n项和为，
（1）在①，②，③，这三个条件中任选一个，补充到上述题干中．求数列的通项公式，并判断此时数列是否满足条件P：任意m，n，均为数列中的项，说明理由；
（2）设数列满足，n，求数列的前n项和．
注：在第（1）问中，如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】（1）答案不唯一，理由见解析；（2）Tn＝(n－1)＋1
【分析】（1）选①，利用前n项和与项的关系求得a1，得出数列通项公式，然后可证明数列具有性质这P，
选②，同样可利用前n项和与项的关系求得a1，得出数列通项公式，然后可证明数列不具有性质这P，
选③，利用等比数列的通项公式求得a1，得出数列通项公式，然后可证明数列具有性质这P，
（2）不管选①还是③（不可能选②）都得an＝，利用错位相减法求Tn．
【详解】（1）选①，因为S1＋S3＝2S2＋2，所以S3－S2＝S2－S1＋2，即a3＝a2＋2，
又数列{an}是公比为2的等比数列，所以4a1＝2a1＋2，解得a1＝1，因此an＝1×2n－1＝．
此时任意m，n∈N*，aman＝，由于m＋n－1∈N*，所以aman是数列{an}的第m＋n－1项，
因此数列{an}满足条件P．
选②，因为S3＝，即a1＋a2＋a3＝，又数列{an}是公比为2的等比数列，
所以a1＋2a1＋4a1＝，解得a1＝，因此an＝×．
此时a1a2＝＜a1≤an，即a1a2不为数列{an}中的项，因此数列{an}不满足条件P．
选③，因为a2a3＝4a4，又数列{an}是公比为2的等比数列，所以2a1×4a1＝4×8a1，又a1≠0，故a1＝4，  
因此an＝4×＝． 此时任意m，n∈N*，aman＝，
由于m＋n＋1∈N*，所以aman是为数列{an}的第m＋n＋1项，因此数列{an}满足条件P．
（2）因为数列{an}是公比为2的等比数列，所以＝2，因此bn＝n×．
所以Tn＝1×20＋2×21＋3×22＋…＋n×2，
则2Tn＝1×21＋2×22＋…＋(n－1)×2＋n×，
两式相减得－Tn＝1＋21＋22＋…＋2－n×2＝－n×2 ＝(1－n)2－1，
所以Tn＝(n－1)＋1．
【点睛】本题考查数列新定义，考查错位相减法求和，解题关键是理解新定义，用已知的知识研究新定义，本题是一种开放性问题．考查了学生的运算求解能力，创新意识．
21．如图，在四棱锥P—ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AD//BC，AB＝BC＝PA＝1，AD＝2，∠PAD＝∠DAB＝90°，点E在棱PC上，设CE＝CP．

（1）求证：CD⊥AE；
（2）记二面角C—AE—D的平面角为，且，求实数的值．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【分析】（1）由平面PAD⊥平面ABCD，∠PAD＝90°，可证得PA⊥平面ABCD，从而得CD⊥PA，再由已知的数据结合勾股定理的逆定理可得CD⊥AC，再由线面垂直的判定定理可得CD⊥平面PAC，从而可得CD⊥AE；
（2）因为PA⊥平面ABCD，BA⊥AD，故以{，，}为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系，然后利用空间向量求解即可
【详解】（1）因为∠PAD＝90°，所以PA⊥AD．
因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PAÌ平面PAD，
所以PA⊥平面ABCD．    
又CDÌ平面ABCD，所以CD⊥PA．
在四边形ABCD中，AD//BC，∠DAB＝90°，所以∠ABC＝90°，
又AB＝BC＝1，所以△ABC是等腰直角三角形，即∠BAC＝∠CAD＝45°，AC＝．
在△CAD中，∠CAD＝45°，AC＝，AD＝2，
所以CD＝＝，
从而AC2＋CD2＝4＝AD2．所以CD⊥AC．
又AC∩PA＝A，AC，PAÌ平面PAC，
所以CD⊥平面PAC．
又AEÌ平面PAC，所以CD⊥AE．  
（2）因为PA⊥平面ABCD，BA⊥AD，故以{，，}为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系．
因为AB＝BC＝PA＝1，AD＝2，所以 A(0，0，0)，P(0，0，1)，C(1，1，0)，D(0，2，0)，
则＝(－1，1，0)，＝(0，2，0)．因为点E在棱PC上，且CE＝λCP，所以＝λ，
设E(x，y，z)，则(x－1，y－1，z)＝λ(－1，－1，1)，故E(1－λ，1－λ，λ)，所以＝(1－λ，1－λ，λ)．
由（1）知，CD⊥平面PAC，所以平面ACE的一个法向量为＝＝(－1，1，0)．
设平面AED的法向量为＝(x1，y1，z1)，由得
令z1＝1－λ，所以平面AED的一个法向量为＝(－λ，0，1－λ)．
因此 |cosθ|＝|cos|＝||＝||＝，
化简得3λ2－8λ＋4＝0，解得λ＝或2．因为E在棱PC上，所以λ∈[0，1]，所以λ＝．
所以当|cosθ|＝时，实数λ的值为．

【点睛】此题考查线线垂直的证明，考查二面角的求法，考查推理能力和计算能力，属于中档题
22．已知函数，．
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）当时，恒成立，求k的取值范围；
（3）设n，求证：．
【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为；（2）；（3）证明见解析.
【分析】（1）代入，求出，再令求出其单调递增区间，令求出其单调递减区间；
（2）求出，再分类讨论的取值，验证其正确性，进而求出k的取值范围；
（3）利用（2）中得出的结论，取，得到不等式，再令，对不等式变形得到≤，进而证明原不等式.
【详解】解：（1）当时，，，由，解得；由，解得，
因此函数单调递增区间为，单调递减区间为．
（2），故．
当时，因为，所以，因此恒成立，即在上单调递增，所以恒成立．  
当时，令，解得．
当，，单调递增；当，，单调递减；
于是，与恒成立相矛盾．
综上，k的取值范围为．
（3）由（2）知，当时，． 令，则+，即， 因此≤．
所以.
【点睛】本题主要考查函数的单调性与最值，以及不等式的证明相关问题，考查运算求解能力，属于中等题型.