黑龙江省牡丹江市第二高级中学2023届高三上学期期末数学试题

2022-2023学年度牡丹江市第二高级中学第六次阶段性测试

高三数学

注意事项：

1．本试卷满分150分，考试时间120分钟。

2．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。

3．本试卷命题范围：高考范围。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合，则（    ）

A．       B．       C．          D．

2．复数的虚部为（    ）．

A．1            B．        C．i          D．

3．第24届冬季奥林匹克运动会，即2022年北京冬季奥运会，是由中国举办的国际性奥林匹克赛事．北京时间2月8日，中国选手谷爱凌摘得冬奥会自由式滑雪大跳台金牌．谷爱凌夺冠的动作叫“向左偏转偏轴转体”，即空中旋转，则（    ）

A．        B．         C．1        D．

4．的二项展开式中，二项式系数的最大值为a，含项的系数为b，则（    ）

A．       B．       C．          D．

5．江南的周庄、同里、用直、西塘、乌镇、南浔古镇，并称为“江南六大古镇”，是中国江南水乡风貌最具代表的城镇，它们以其深邃的历史文化底蕴、清丽婉约的水乡古镇风貌、古朴的吴侬软语民俗风情，在世界上独树一帜，驰名中外，这六大古镇中，其中在苏州境内的有3处．某家庭计划今年暑假从这6个古镇中挑选2个去旅游，则至少选一个苏州古镇的概率为（    ）

A．       B．       C．          D．

6．已知抛物线的焦点为F，点为抛物线C上的一点，且，点B是抛物线C上异于点A的一点，且A，F，B三点共线，则（    ）

A．       B．       C．          D．

7．已知函数若关于x的不等式恒成立，则a的取值范围是（    ）

A．    B．     C．    D．

8．在数列中，，且对任意，则实数入的取值范围是（    ）

A．     B．     C．        D．

二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9．已知向量，则（    ）

A．                           B．

C．可以作为平面向量的一个基底     D．

10．2022年2月28日，国家统计局发布了我国2021年国民经济和社会发展统计公报，在以习近平同志为核心的党中央坚强领导下，各地区各部门沉着应对百年变局和世纪疫情，构建新发展格局，实现了“十四五”良好开局2021年，全国居民人均可支配收入和消费支出均较上一年有所增长，结合如下统计图表，下列说法中错误的是（    ）

图1：2017-2021年全国居民人均可支配收入及其增长速度  图2：2021年全国居民人均消费支出及其构成

A．2017-2021年全国居民人均可支配收入逐年递增

B．2021年全国居民人均消费支出构成中教育文化娱乐占比低于交通通信占比

C．2020年全国居民人均可支配收入较前一年下降

D．2021年全国居民人均消费支出构成中食品烟酒和居住占比超过

11．把函数的图象向左平移个单位长度，得到的函数图象恰好关于y轴对称，则（    ）

A．的最小正周期为

B．关于点对称

C．在是上单调递增

D．若在区间上存在最大值，则实数a的取值范围为

12．如图，在长方形ABCD中，，E为BC的中点，将沿AE向上翻折到的位置，连接PC，PD，在翻折的过程中，则（    ）

A．四棱锥体积的最大值为   B．PD的中点F的轨迹长度的最大值为

C．EP，CD与平面PAD所成的角相等   D．三棱锥外接球的表面积的最小值为

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知双曲线的一条渐近线为，则C的焦距为__________．

14．函数的图象恒过定点A，过点A的直线l与圆相切，则直线l的方程是__________．

15．已知，若在区间上存在，使得成立，则实数a的取值范围是__________．

l6．已知函数，则的最大值为__________．

四、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。

17．（10分）

已知的角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．

（1）求角C；

（2）若的面积为，，求边c．

18．（12分）

随着人们生活水平的提高，国家倡导绿色安全消费，菜篮子工程从数量保障型转向质量效益型．为了测试甲、乙两种不同有机肥料的使用效果，某科研单位用西红柿做了对比实验，分别在两片实验区各摘取100个，对其质量的某项指标值进行检测，质量指数值达到35及以上的为“质量优等”，由测量结果绘成如下频率分布直方图，其中质量指数值分组区间是：．

甲片实验区西红柿的质量指数统计图      乙片实验区西红柿的质量指数统计图

（1）分别求甲片实验区西红柿的质量指数的平均数和中位数；

（2）请根据题中信息完成下面的列联表，并判断是否有的把握认为“质量优等”与使用不同的肥料有关．

．

19．（12分）

设等比数列的前n项和为，已知，且．

（1）求数列的通项公式；

（2）已知数列是等差数列，且，设，求数列的前n项和．

20．（12分）

如图，在长方体中，，点E在棱AB上移动．

（1）证明：；

（2）当E为AB的中点时，求异面直线AC与所成角的余弦值；

（3）线段AE的长为何值时，二面角的大小为．

21．（12分）

已知函数．

（1）讨论函数极值点的个数；

（2）若有两个零点，证明：．

22．（12分）

已知椭圆的离心率为，短轴长为2．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）在圆上取一动点P作椭圆C的两条切线，切点分别记为M，N，PM与PN的斜率均存在，分别记为．

①求证：；

②求面积的取值范围．

2022-2023学年度牡丹江市第二高级中学第六次阶段性测试·高三数学

参考答案、提示及评分细则

1．C  集合，则．

2．B  的虚部为．

3．D  ．

4．B  在的二项展开式中，二项式系数的最大值为，含项的为，即系数为，因此．

5．C  某家庭计划今年暑假从这6个古镇中挑选2个去旅游的可能情况有种情况，至少选一个苏州古镇的概率为．

6．A  ，准线方程为，点为抛物线C上的一点，，将代入得，或．A，F，B三点共线，又或关于x轴对称，由抛物线的对称性可知，或对应B也关于x轴对称，故只需研究一点，即可令，，由整理得，得或，．

7．C

可以作出的图象，记，即有，为过点且斜率为a的直线，记，过A点的直线要始终在函数的下方，则当该直线与相切于C点时为一个临界值，此时设切点为，则解得或0（舍去），所以，当过的直线经过B点时取得另一个临界值，，此时有，观察图象可得直线的斜率应该在时该直线始终在函数的下方，故a的取值范围为．

8．A  由已知有，故，故，．因为，且由已知有，故可得，解得，，，且由指数函数单调性可得：中的偶数项递减，奇数项递增，且，故中最大项为，最小项为，故由题意的最小值为，最大值为，故可得：解得：．

9．BC  对于选项A，，即，即选项A错误；对于选项B，，即选项B正确；对于选项C，，即不共线，即可以作为平面向量的一个基底，即选项C正确；对于选项D，，由，即与不共线，即选项D错误．

10．ABD  由柱状图知，2017-2021年全国居民人均可支配收入逐年递增，故选项A正确；由饼形图知，2021年全国居民人均消费支出构成中教育文化娱乐占比低于交通通信占比，故选项B正确；由柱状图知，2020年全国居民人均可支配收入较前一年上升，故选项C错误；由饼形图知，2021年全国居民人均消费支出构成中食品烟酒和居住占比超过，故选项D正确．

11．CD  因为，所以把的图像向左平移个单位长度得到函数的图像，因为关于y轴对称，所以，即，又因为，所以，对于，故A错误；对于B，，故B错误；对于C，由，得，所以当时，的单调递增区间为，又因为，所以在上单调递增，故C正确；对于D，若函数在上存在最大值，由选项C可知，在上单调递增，且，即在时取得最大值，所以，即实数a的取值范围为，故D正确．

12．ACD

对于A，易知梯形AECD的面积为6，，直角斜边AE上的高为．当平面平面AECD时，四棱锥的体积取得最大值．，A正确．对于B，取PA的中点G，连接GF，GE，FC，则GF，EC平行且相等，四边形ECFG是平行四边形，所以点F的轨迹与点G的轨迹形状完全相同．过G作AE的垂线，垂足为H，G的轨迹是以H为圆心，为半径的半圆弧，从而PD的中点F的轨迹长度的最大值为，B错误，对于C，由四边形ECFG是平行四边形，知，则平面PAD，则E，C到平面PAD的距离相等，故PE，CD与平面PAD所成角的正弦值之比为，C正确．对于D，外接圆的半径为2，圆心为AD的中点，当三棱锥外接球球心为AD中点，即时，三棱锥外接球的表面积取得最小值，为．D正确．

13．  因为双曲线的方程为，所以它的渐近线方程为，由题意，可得，所以，即双曲线的方程为，所以，则，即，所以焦距．

14．或  当，即时，，即函数过定点．由圆的方程可得圆心，半径，当切线l的斜率不存在时，直线方程为，此时直线和圆相切，当直线斜率k存在时，设直线方程为，即，圆心到直线的距离，即，平方的，即，此时对应的直线方程为，综上切线方程为或．

15．  由题可得，因为在区间上存在，使得成立，所以函数在区间不是单调函数，所以在上有解，所以在上有解，所以．所以实数a的取值范围是．

16．  ，从而是函数的周期，当时，，则．设，且，，则当时，单调递增，当时，，单调递减，当时，，单调递增，又，∴函数的最大值为．

17．解：（1）由及正弦定理可得：，

即，，，．             5分

（2）由的面积为，得．又，

，整理得．        12分

18．解：（1）甲片实验区西红柿的质量指数的平均数为

            3分

设甲片实验区西红柿的质量指数的中位数为x，则，所以，故甲片实验区西红柿的质量指数的中位数为35.91．                         6分

（2）由题意可得列联表为

．                                  10分

所以有的把握认为“质量优等”与使用不同的肥料有关．                      12分

19．解：（1）因为，所以，

两式相减可得：，整理得：，

时，，

，

∴数列是以1为首项，2为公比的等比数列，

．                                                       5分

（2）由（1）得：，

．                                              7分

，

，

两式相减得：，

．                                                       12分

20．解：以D为坐标原点，直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，

设，则．                2分

（1）．             4分

（2）为AB的中点，，又，

设异面直线AC与所成的角为，则．         7分

（3）设平面的法向量为，由得令，从而．       9分

由题意，（不合题意，舍去），或．

∴当时，二面角的大小为．                     12分

21．（1）解：由，得，

当时，，函数在上单调递增，没有极值点；

当时，令，即，解得，

当时，，函数在上单调递减，

当时，，函数在上单调递增，

所以当时，函数有且只有一个极小值点．

综上所述，当时，函数没有极值点．

当时，有一个极小值点，无极大值点．                4分

（2）证明：由（1）可知，当时，有一个极小值点，

且极小值为．              5分

当时，，函数没有零点；

当时，，函数只有一个零点；            6分

当时，，

又因为，所以存在，使；

又，

所以存在，使，

所以当时，有两个零点，

综上，若有两个零点，则．                    8分

记，则，记，则，因为，所以，所以，所以在上单调递增，又，所以，即．                    12分

22．（1）解：，又，

则椭圆C的标准方程为．                       2分

（2）①证明：设，过P点与椭圆C相切的直线方程为，

联立，得．

由，得，可得．       6分

②解：设，再设，

联立 得．

由，得，

则，即，

同理．

在直线PM，PN上，∴直线MN的方程为．            8分

与椭圆方程联立，可得，

，

．

O到MN的距离，

．               10分

令，则，．                 12分