2022-2023学年天津市第四十三中学高一上学期期末数学试题（解析版）

2022-2023学年天津市第四十三中学高一上学期期末数学试题

一、单选题

1．设全集，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据补集的概念求出，再根据并集运算即可求出结果.

【详解】由题意可知，又，所以.

故选:A.

2．命题“对，都有”的否定为（      ）

A．对，都有 B．对，都有

C．，使得 D．，使得

【答案】D

【分析】全称命题的否定是特称命题，把任意改为存在，把结论否定.

【详解】，都有的否定是，使得.

故选：D

3．为了得到函数的图象，可以将函数的图象

A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度

C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度

【答案】D

【详解】，据此可知，为了得到函数的图象，可以将函数的图象向右平移个单位长度.

本题选择D选项.

4．若，则化简=（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据诱导公式化简即可得答案.

【详解】解：

.

故选：D

5．已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由于，进而根据诱导公式和余弦二倍角公式计算即可.

【详解】解：因为，

所以.

故选：A

6．已知，则、、的大小关系为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】借助中间量比较大小即可.

【详解】解：因为，

所以.

故选：A

7．已知函数，则的值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据题意，直接计算即可得答案.

【详解】解：由题知，，.

故选：D

8．函数的零点所在区间为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】依次判断出、、的符号可得答案.

【详解】，

，

因为指数函数在上单调递减，所以，即，

，

因为幂函数在上单调递增，所以，即，

所以由零点存在定理可得函数的零点所在区间为，

故选：B

9．函数的图象大致为 （ ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】试题分析：由函数解析式可知，函数的定义域为，排除C、D；值域为，排除A,故选B.

【解析】函数的定义域、值域与函数的图象.

10．设且，若对恒成立，则a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由题设知在恒成立，结合正弦函数、对数函数性质可得，再根据正弦、对数函数的区间单调性及恒成立求参数范围.

【详解】由题设，即在恒成立，

当时，上，不满足题设，

所以，此时在上递减，递增，

要使不等式恒成立，则，即，

综上.

故选：D

二、填空题

11．____________．

【答案】

【分析】由诱导公式化简求值即可.

【详解】解：

故答案为：

12．扇形半径为，圆心角为60°，则扇形的弧长是____________．

【答案】

【分析】根据弧长公式直接计算即可.

【详解】解：扇形半径为，圆心角为60°，

所以，圆心角对应的弧度为.

所以扇形的弧长为.

故答案为：

13．已知，且，则的最小值为_____________.

【答案】

【分析】由题意首先求得的值，然后结合均值不等式的结论整理计算即可求得最终结果，注意等号成立的条件.

【详解】由可知，

且：，因为对于任意，恒成立，

结合均值不等式的结论可得：.

当且仅当，即时等号成立.

综上可得的最小值为.

【点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．

14．函数的部分图象如图所示，则的值是______.

【答案】

【分析】根据函数的周期性求出，再根据函数图象过点求出，即可解决.

【详解】由图可得解得，

所以，

因为，

所以，

因为，所以，

所以，

所以，

故答案为: .

15．给出下列命题：

①存在实数，使；

②函数是偶函数；

③若是第一象限角，且，则；

④是函数的一条对称轴方程．

以上命题是真命题的是_______（填写序号）

【答案】②④

【分析】根据三角函数的性质，依次分析各选项即可得答案.

【详解】解：①因为，故不存在实数，使得成立，错误；

②函数，由于是偶函数，故是偶函数，正确；

③若，均为第一象限角，显然，故错误；

④当时，，由于是函数的一条对称轴，故是函数的一条对称轴方程，正确.

故正确的命题是：②④

故答案为：②④

三、解答题

16．计算：

(1)；

(2)已知，，求.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）利用指数对数运算法则即可求出答案.

（2）利用同角三角函数求出，再利用正切的二倍角公式即可得到答案.

【详解】（1）

（2），，则

则

.

17．已知，，是第三象限角，．求：

(1)的值；

(2)的值．

【答案】(1)

(2)

【分析】(1)利用给定条件结合同角公式求，再利用二倍角正弦公式计算即得；

(2)由条件求出，由(1)求出，再借助和角的余弦公式计算即得.

【详解】（1）因为是第三象限角，，则．

所以，

（2）因为，，则，

又，

所以

18．已知函数．

（1）求函数的最小正周期；

（2）求函数在上的最大值和最小值，并求函数取得最大值和最小值时的自变量的值．

【答案】（1）;（2）

【试题分析】（1）先运用三角变换公式化简，再用周期公式求解；（2）借助所给定义域内的变量的取值范围结合三角函数的图象探求.

.

（1）.

(2) .

点睛：本题旨在考查二倍角的正弦、余弦公式、两角和差的正弦公式以及正弦函数的图象和性质等有关知识的综合运用．第一问时，先借助二倍角的正弦、余弦公式及两角和的正弦公式将其化简，再运用周期公式求解；解答第二问时，则借助题设中提供的定义域进行分析推证，最后借助正弦函数的图象求出其最大值和最小值.

19．已知集合A为函数的定义域，集合B是不等式的解集

(1)时，求；

(2)若，求实数a的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】(1)由函数定义域求A，由不等式求B，按照集合交并补运算规则即可；

(2)由A推出B的范围，由于a的不确定性，可以将不等式转换，用基本不等式解决.

【详解】（1）由，解得：，即；

当时，由得：或，

∴，∴，

∴；

（2）由知：，

即对任意，恒成立，

∴，

∵，当且仅当，即时取等号，

∴，即实数a的取值范围为；

综上：，.