2022-2023学年江苏省南通市崇川区高二（上）期末数学试卷

这是一份2022-2023学年江苏省南通市崇川区高二（上）期末数学试卷，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（5分）过点（1，2）且与直线2x+y﹣3＝0平行的直线的方程为（ ）
A．2x﹣y＝0B．2x﹣y﹣4＝0C．2x+y﹣4＝0D．2x+y﹣5＝0
2．（5分）在数列{an}中，若an则a4+a5的值为（ ）
A．17B．23C．25D．41
3．（5分）若双曲线1（a＞0，b＞0）的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A．x±2y＝0B．x±y＝0C．2x±y＝0D．x±y＝0
4．（5分）国际足联世界杯，简称“世界杯”，每四年举办一次，第22届世界杯足球赛于2022年11月18日在亚洲的卡塔尔举办，根据世界杯足球赛的规则，第一阶段是小组循环赛，每小组有四球队，其中任意两支球队比赛1场，每场比赛，若分出胜负，则胜队得3分，负队得0分，若双方打平，则各得1分，小组赛结束后每支球队的积分为该队参加的所有比赛的累计得分，已知某小组在小组循环赛中，4场分出胜负，2场打平，且四支球队的积分成公差不为0的差数列，则积分最高的球队的积分为（ ）
A．9B．7C．6D．5
5．（5分）设抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，若点A（1，2）在抛物线上，则|AF|＝（ ）
A．6B．4C．2D．1
6．（5分）在直角坐标系xOy中，圆M的圆心在射线OM：3x﹣y＝0（x≥0）上，圆M与x轴相切，与y轴相交于A，B两点，若|AB|＝4，则圆M的方程为（ ）
A．（x﹣1）2+（y﹣3）2＝9B．（x﹣1）2+（y﹣3）2＝1
C．（x﹣3）2+（y﹣1）2＝9D．（x﹣3）2+（y﹣1）2＝1
7．（5分）已知数列{an}为等比数列，a1＝100，公比q，若Tn是数列{an}的前n项积，则Tn取得最大值时n的值为（ ）
A．6B．7C．8D．9
8．（5分）已知三次函数f（x）的零点从小到大依次为m，0，2，其图象在x＝﹣1处的切线l经过点（2，0），则m＝（ ）
A．B．﹣2C．D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分。
（多选）9．（5分）下列式子求导正确的是（ ）
A．（x2﹣csx）′＝2x+sinxB．（）′
C．（xe﹣x）′＝（1﹣x）e﹣xD．（ln2）′
（多选）10．（5分）设点A在圆O：x2+y2＝1上，点B在圆C：x2+（y﹣3）2＝2上，则（ ）
A．圆O与圆C外切
B．存在点A，B，|AB|
C．存在点A，B，∠BAC＝60°
D．当直线AB与圆C相切时，|AB|的最小值为
（多选）11．（5分）设数列{2n•an}是公差为d的等差数列，且a1＞0，d＞0，则下列说法正确的是（ ）
A．{an}是等差数列
B．{an+1an}是等比数列
C．an+2＝an+1an
D．若a1＞d，则an+1＜an
（多选）12．（5分）已知F1，F2分别为椭圆C：1的左，右焦点，A为C的上顶点，过F1且垂直于AF2的直线与C交于D、E两点，则（ ）
A．椭圆C的焦距为2B．|DE|
C．△ADE的面积为1D．△ADE的周长为8
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3，S9，S6成等差数列，则 ．
14．（5分）某同学在劳动实习中，加工制作烟筒，如图，先用矩形铁皮围成一个圆柱，然后用一平面截该圆柱得到两个柱形部件，再将两个部件焊接在一起做成一个直角烟筒弯头，则两个烟筒部件在焊接处的椭圆的离心率为 ．
15．（5分）已知直线y＝kx与曲线y＝ln（2x﹣1）相切，则实数k＝ ．
16．（5分）设F是双曲线C：1（a＞0，b＞0）的左焦点，点P是双曲线右支上一点，直线PF与以双曲线实轴为直径的圆交于M，N两点，且，则直线PF的斜率为 ，又|PF|＝9，则点F到该双曲线的一条渐近线的距离为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）设m为实数，已知F为抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点，M（m，4）是抛物线上一点，O为坐标原点，且∠MFO＝120°．
（1）求m的值；
（2）过点F垂直于MF的直线与抛物线相交于A，B两点，求AB的长．
18．（12分）在①Sn+2﹣2Sn+1+Sn＝4；②2；③8这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．
问题：已知等差数列{an}的前n项和为Sn，满足a10＝S4，且_____，
（1）求{an}的通项公式；
（2）设数列{}的前n项和为Tn，求满足Tn的最大整数n的值．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
19．（12分）已知△ABC的一条内角平分线CD的方程为x+y＝0，一个顶点为A（2，1），AC边上的中线BE所在直线的方程为5x﹣2y+10＝0．
（1）求顶点C的坐标；
（2）求△ABC的面积．
20．（12分）已知圆O：x2+y2＝16上，圆M：（x﹣2）2+（y﹣4）2＝r2（r＞0）．
（1）圆M与圆O交于点A，B，若|AB|，求圆M的半径r；
（2）是否存在斜率为﹣1的直线l，使以l被圆O截得的弦CD为直径的圆过M点？若有，求出直线l的方程，若不存在，说明理由．
21．（12分）已知函数f（x）＝xe2x，记f1（x）＝f′（x），且fn+1（x）＝fn′（x），n∈N*．
（1）求f1（x）•f2（x）；
（2）设fn（x）＝（anx+bn）e2x，n∈N*，
（ⅰ）证明：数列{}是等差数列；
（ⅱ）求数列{bn}的前n项和Sn．
22．（12分）已知双曲线C：1（a＞0，b＞0）经过点（，1），其离心率为，A，B分别为C的左，右顶点，若P为直线x＝1上的动点，PA与C的另一交点为M，PB与C的另一交点为N．
（1）求C的方程；
（2）证明：直线MN过定点．
2022-2023学年江苏省南通市崇川区高二（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）过点（1，2）且与直线2x+y﹣3＝0平行的直线的方程为（ ）
A．2x﹣y＝0B．2x﹣y﹣4＝0C．2x+y﹣4＝0D．2x+y﹣5＝0
【分析】由题意，利用两直线平行的性质，用待定系数法求出要求直线的方程．
【解答】解：设过点（1，2）且与直线2x+y﹣3＝0平行的直线的方程为2x+y+m＝0，
把点（1，2）代入可得2+2+m＝0，求得m＝﹣4，
故要求的直线的方程为2x+y﹣4＝0，
故选：C．
【点评】本题主要考查两直线平行的性质，用待定系数法求直线的方程，属于基础题．
2．（5分）在数列{an}中，若an则a4+a5的值为（ ）
A．17B．23C．25D．41
【分析】直接代值计算即可．
【解答】解：an则a4+a5＝23+2×5﹣1＝17．
故选：A．
【点评】本题考查了数列的通项公式，属于基础题．
3．（5分）若双曲线1（a＞0，b＞0）的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A．x±2y＝0B．x±y＝0C．2x±y＝0D．x±y＝0
【分析】根据已知条件，结合双曲线的性质，即可求解．
【解答】解：双曲线1（a＞0，b＞0）的离心率为，
则，即，
双曲线的渐近线方程为y，即．
故选：D．
【点评】本题主要考查双曲线的性质，属于基础题．
4．（5分）国际足联世界杯，简称“世界杯”，每四年举办一次，第22届世界杯足球赛于2022年11月18日在亚洲的卡塔尔举办，根据世界杯足球赛的规则，第一阶段是小组循环赛，每小组有四球队，其中任意两支球队比赛1场，每场比赛，若分出胜负，则胜队得3分，负队得0分，若双方打平，则各得1分，小组赛结束后每支球队的积分为该队参加的所有比赛的累计得分，已知某小组在小组循环赛中，4场分出胜负，2场打平，且四支球队的积分成公差不为0的差数列，则积分最高的球队的积分为（ ）
A．9B．7C．6D．5
【分析】利用已知条件，设出等差数列的首项与公差，列出关系式，然后求解即可．
【解答】解：由题意可知，总得分为16分，得分为等差数列，设四个积分为：a，a+d，a+2d，a+3d，
可得4a+6d＝16，即2a+3d＝8，并且a，d∈N，可得d＝2，a＝1，
所以积分最高的球队的积分为：1+3×2＝7，
故选：B．
【点评】本题考查数列的应用，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．
5．（5分）设抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，若点A（1，2）在抛物线上，则|AF|＝（ ）
A．6B．4C．2D．1
【分析】利用点A在抛物线上可求得p，根据抛物线的定义求出|AF|．
【解答】解：∵点A（1，2）在抛物线上，
∴2p＝4，即p＝2，
∴|AF|＝xA1+1＝2．
故选：C．
【点评】本题考查了抛物线的性质，属于基础题．
6．（5分）在直角坐标系xOy中，圆M的圆心在射线OM：3x﹣y＝0（x≥0）上，圆M与x轴相切，与y轴相交于A，B两点，若|AB|＝4，则圆M的方程为（ ）
A．（x﹣1）2+（y﹣3）2＝9B．（x﹣1）2+（y﹣3）2＝1
C．（x﹣3）2+（y﹣1）2＝9D．（x﹣3）2+（y﹣1）2＝1
【分析】根据已知条件可设圆心（x0，3x0）其中x0≥0，半径为r，进而可得3x0＝r，根据与y轴相交于A，B两点，|AB|＝4，利用勾股定理计算可得x0的值，从而可得圆的方程．
【解答】解：因为圆M的圆心在射线OM：3x﹣y＝0（x≥0）上，
所以设圆心（x0，3x0）其中x0≥0，半径为r，
因为圆M与x轴相切，
所以y0＝r，即3x0＝r，
因为与y轴相交于A，B两点，若|AB|＝4，
而圆心到y轴的距离为x0，
所以x02+（）2＝（3x0）2，
解得x0＝1，
所以圆心M（1，3），半径为3，
所以圆M的方程为：（x﹣1）2+（y﹣3）2＝9，
故选：A．
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，属于基础题．
7．（5分）已知数列{an}为等比数列，a1＝100，公比q，若Tn是数列{an}的前n项积，则Tn取得最大值时n的值为（ ）
A．6B．7C．8D．9
【分析】由已知结合等比数列的通项公式及性质即可求解．
【解答】解：因为数列{an}为等比数列，a1＝100，公比q，
所以an＝100×（）n﹣1，
故a7＞1，a8＜1，
所以Tn取得最大值时n的值为7．
故选：B．
【点评】本题主要考查了等比数列的通项公式及性质的应用，属于基础题．
8．（5分）已知三次函数f（x）的零点从小到大依次为m，0，2，其图象在x＝﹣1处的切线l经过点（2，0），则m＝（ ）
A．B．﹣2C．D．
【分析】先设f（x）＝a（x﹣m）（x﹣0）（x﹣2）＝a[x3﹣（m+2）x2+2mx]（a≠0），再利用函数在切点处的导数值与切线斜率的关系，以及直线的点斜式方程，求解即可．
【解答】解：∵三次函数f（x）的零点从小到大依次为m，0，2，
则设f（x）＝a（x﹣m）（x﹣0）（x﹣2）＝a[x3﹣（m+2）x2+2mx]（a≠0），
则f′（x）＝a[3x2﹣2（m+2）x+2m]，
∵k＝f′（﹣1）＝a（4m+7），f（﹣1）＝﹣3a（m+1），
∴其图象在x＝﹣1处的切线为y+3a（m+1）＝a（4m+7）（x+1），
∵其图象在x＝﹣1处的切线l经过点（2，0），
∴3a（m+1）＝3a（4m+7），
∵a≠0，∴m＝﹣2，
故选：B．
【点评】本题考查函数的求导公式，函数在切点处的导数值与切线斜率的关系，以及直线的点斜式方程，属于中档题．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分。
（多选）9．（5分）下列式子求导正确的是（ ）
A．（x2﹣csx）′＝2x+sinxB．（）′
C．（xe﹣x）′＝（1﹣x）e﹣xD．（ln2）′
【分析】根据导数的公式即可得到结论．
【解答】解：A，∵（x2﹣csx）′＝2x+sinx，∴A正确，
B，∵，∴B错误，
C，∵（xe﹣x）′＝e﹣x﹣xe﹣x＝（1﹣x）e﹣x，∴C正确，
D，∵（ln2）′＝0，∴D错误，
故选：AC．
【点评】本题主要考查导数的基本运算，比较基础．
（多选）10．（5分）设点A在圆O：x2+y2＝1上，点B在圆C：x2+（y﹣3）2＝2上，则（ ）
A．圆O与圆C外切
B．存在点A，B，|AB|
C．存在点A，B，∠BAC＝60°
D．当直线AB与圆C相切时，|AB|的最小值为
【分析】对于A，利用圆心距与半径之间的关系即可判断求解；对于B，求出|AB|的范围即可判断；对于C，求出∠BAC的最大值即可；对于D，利用勾股定理转化为|AC|的最小值．
【解答】解：设两圆圆心距为d，则d＝3，两圆半径分别为1，，则d＞1，∴两圆相离，故A错误；
由题可知，d﹣1|AB|≤d+1，即2|AB|≤4，而24，
∴存在点A，B，|AB|，故B正确；
对任意的点A，当AB与圆C相切时，∠BAC最大，此时sin∠BAC，A在圆O上运动时，|AC|最小为2，
∴sin∠BAC最大为，从而∠BAC最大为45°，故C错误；
当AB与圆C相切时，|AB|，A在圆O上运动时，|AC|最小为2，
∴|AB|的最小值为，故D正确．
故选：BD．
【点评】本题考查直线与圆、圆与圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．
（多选）11．（5分）设数列{2n•an}是公差为d的等差数列，且a1＞0，d＞0，则下列说法正确的是（ ）
A．{an}是等差数列
B．{an+1an}是等比数列
C．an+2＝an+1an
D．若a1＞d，则an+1＜an
【分析】由已知可得ana1d，结合各个选项条件逐项计算判断即可．
【解答】解：由数列{2n•an}是公差为d的等差数列，得2n•an＝2a1+（n﹣1）d，
∴ana1d，
an+1﹣ana1d﹣（a1d）a1d不为常数，故A错误；
an+1ana1d（a1d）d，故B正确；
an+1ana1d（a1d）a1d，
又an+2a1d，∴an+2＝an+1an，故C正确；
若a1＞d，an+1﹣ana1d﹣（a1d）a1dddd＜0，故D正确；
故选：BCD．
【点评】本题考查数列的递推公式，涉及等差数列的通项公式，属中档题．
（多选）12．（5分）已知F1，F2分别为椭圆C：1的左，右焦点，A为C的上顶点，过F1且垂直于AF2的直线与C交于D、E两点，则（ ）
A．椭圆C的焦距为2B．|DE|
C．△ADE的面积为1D．△ADE的周长为8
【分析】由椭圆方程可得a，b，c，可判断A；求得直线AF2的斜率，由垂直的条件可得直线DE的斜率和方程，联立椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式可得|DE|，可判断B；
求得A到直线DE的距离，运用三角形的面积公式计算可判断C；推得直线DE垂直平分线段AF2，由垂直平分线的性质和椭圆的定义，计算可判断D．
【解答】解：椭圆C：1的a＝2，b，c＝1，即有F1（﹣1，0），F2（1，0），焦距为2，故A正确；
由A（0，），直线AF2的斜率为，直线DE垂直于直线AF2，可得直线DE的斜率为，
直线DE的方程为y（x+1），与椭圆方程3x2+4y2＝12联立，可得13x2+8x﹣32＝0，
设D（x1，y1），E（x2，y2），则x1+x2，x1x2，则|DE|•|x1﹣x2|，故B正确；
由A到直线DE的距离为d1，可得S△ADEd|DE|，故C错误；
因为线段AF2的中点为（，），且（1），又直线DE垂直于直线AF2，
可得直线DF1垂直平分线段AF2，可得|AE|＝|EF2|，|AD|＝|DF2|，所以△ADE的周长为|AD|+|AE|+|DE|＝|DF2|+|EF2|+DF1|+|EF1|＝4a＝8，故D正确．
故选：ABD．
【点评】本题考查椭圆的定义、方程和性质，以及直线和椭圆的位置关系，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3，S9，S6成等差数列，则 2 ．
【分析】设公比为q（q≠0），分类讨论q＝1，q≠﹣1，利用等差数列的性质可得2S9＝S3+S6，化简即可得出答案．
【解答】解：在等比数列{an}中，设公比为q（q≠0），
当q＝1时，显然S3，S9，S6不成等差数列，不符合题意，
当q≠1时，S3，S9，S6成等差数列，
∴2S9＝S3+S6，即2•，即2q6﹣q3﹣1＝0，
∴2，
故答案为：2．
【点评】本题考查等差数列和等比数列的综合，考查转化思想和分类讨论思想、整体思想，考查运算能力和逻辑推理能力，属于中档题．
14．（5分）某同学在劳动实习中，加工制作烟筒，如图，先用矩形铁皮围成一个圆柱，然后用一平面截该圆柱得到两个柱形部件，再将两个部件焊接在一起做成一个直角烟筒弯头，则两个烟筒部件在焊接处的椭圆的离心率为 ．
【分析】设椭圆的长半轴与短半轴分别为a，b，由题意可得：ab，即可得出离心率．
【解答】解：设椭圆的长半轴与短半轴分别为a，b，
由题意可知：平面截圆柱的倾斜角为45°，
∴ab，
∴e，
故答案为：．
【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
15．（5分）已知直线y＝kx与曲线y＝ln（2x﹣1）相切，则实数k＝ ．
【分析】设切点坐标（m，n），再由题意列关于m，n，k的方程组，求解得答案．
【解答】解：由y＝ln（2x﹣1），得y′，
设切点为（m，n），
则，解得k．
故答案为：．
【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查运算求解能力，是中档题．
16．（5分）设F是双曲线C：1（a＞0，b＞0）的左焦点，点P是双曲线右支上一点，直线PF与以双曲线实轴为直径的圆交于M，N两点，且，则直线PF的斜率为 ，又|PF|＝9，则点F到该双曲线的一条渐近线的距离为 3 ．
【分析】设F2为双曲线的右焦点，取MN的中点D，则OD⊥PF，可得OD∥PF2，∴|OD||PF2|，设|NM|＝t，利用已知可得|OD|2+|MD|2＝|OM|2，进而可得ta，可求结论．
【解答】解：设为双曲线的右焦点F2，取MN的中点D，则OD⊥PF，
∵，∴D是PF的中点，则OD∥PF2，∴|OD||PF2|，
设|NM|＝t，则|PF|＝3t，|PF2|＝3t﹣2a，|DO|（3t﹣2a），
∵|OD|2+|MD|2＝|OM|2，解得ta，∴|PF|a，|PF2|a，
∴tan∠PFO，
∴直线PF的斜率为．
∵|PF|2+|PF2|2＝|FF2|2，∴（a）2+（a）2＝（2c）2，
解得97a2＝25c2，∵|PF|＝9，∴a，∴c，
∴b3．
∴点F到该双曲线的一条渐近线的距离为3．
故答案为：；3．
【点评】本题考查双曲线的性质，考查运算求解能力，属中档题．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）设m为实数，已知F为抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点，M（m，4）是抛物线上一点，O为坐标原点，且∠MFO＝120°．
（1）求m的值；
（2）过点F垂直于MF的直线与抛物线相交于A，B两点，求AB的长．
【分析】（1）由题意可得，①，（4）2＝2pm，②，解得即可；
（2）根据弦长公式即可求出．
【解答】解：（1）M（m，4）是抛物线上一点，O为坐标原点，且∠MFO＝120°，
则tan（180°﹣120°）＝tan60°，①，（4）2＝2pm，②，
由①②解得m＝6，m＝﹣2（舍去），
（2）由（1）可得p＝4，则抛物线y2＝8x，点M的坐标为（6，4），点F（2，0），
过点F垂直于MF的直线的斜率为，
则直线AB的方程为y（x﹣2），
设A（x1，y1），B（x2，y2），
联立方程可得，消y可得x2﹣28x+4＝0，
∴x1+x2＝28，x1x2＝4，
∴|AB|••．
【点评】本题考查了抛物线的方程，弦长公式，考查了运算求解能力，属于中档题．
18．（12分）在①Sn+2﹣2Sn+1+Sn＝4；②2；③8这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．
问题：已知等差数列{an}的前n项和为Sn，满足a10＝S4，且_____，
（1）求{an}的通项公式；
（2）设数列{}的前n项和为Tn，求满足Tn的最大整数n的值．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【分析】（1）由数列的递推式和等差数列的通项公式、求和公式，解方程可得首项和公差，进而得到所求；
（2）由等差数列的求和公式和数列的裂项相消求和，解不等式可得所求最大值．
【解答】解：（1）选①Sn+2﹣2Sn+1+Sn＝4，
可得Sn+2﹣Sn+1﹣（Sn+1﹣Sn）＝4，
即为an+2﹣an+1＝4，
可得等差数列{an}的公差d＝4，由a10＝S4，
可得a1+9×4＝4a1+6×4，解得a1＝4，
则an＝4+4（n﹣1）＝4n；
选②2，即有a1n﹣a1（n﹣1）2，
可得d＝4，
由a10＝S4，
可得a1+9×4＝4a1+6×4，解得a1＝4，
则an＝4+4（n﹣1）＝4n；
选③8，可得anan+1＝8Sn，
即有an+1an+2＝8Sn+1，
上面两式相减可得an+1an+2﹣anan+1＝8（Sn+1﹣Sn）＝8an+1，
即有an+2﹣an＝8，可得2d＝8，即d＝4，
由a10＝S4，
可得a1+9×4＝4a1+6×4，解得a1＝4，
则an＝4+4（n﹣1）＝4n；
（2）由（1）可得Sn＝4nn（n﹣1）×4＝2n2+2n，
（），
所以Tn（1...）（1），
由Tn，可得n＜3+26.46，
所以n的最大整数为6．
【点评】本题考查数列的递推式和等差数列的通项公式、求和公式的运用，考查方程思想和转化思想、运算能力，属于中档题．
19．（12分）已知△ABC的一条内角平分线CD的方程为x+y＝0，一个顶点为A（2，1），AC边上的中线BE所在直线的方程为5x﹣2y+10＝0．
（1）求顶点C的坐标；
（2）求△ABC的面积．
【分析】（1）直接利用中点坐标公式建立方程，进一步求出t的值，最后求出点C的坐标；
（2）利用点关于直线的对称和中点坐标公式和点到直线的距离公式及三角形的面积公式求出结果．
【解答】解：（1）由于直线CD的方程为x+y＝0，
设C（t，﹣t），
所以AC的中点为（），由于AC的中点在直线BE上，
所以，整理得7t＝﹣28，
解得t＝﹣4，
故C（﹣4，4）．
（2）由于CD平分∠ACB，
点A关于CD的对称点A′在BC上；
设A′（m，n），
故，解得，即A′（﹣1，﹣2）；
所以kBC＝﹣2，
故直线BC的方程为y﹣4＝﹣2（x+4），整理得2x+y+4＝0．
联立直线BC和直线BE的方程，解得，
故B（﹣2，0）．
点A到直线BC的距离d，
|BC|，
故．
【点评】本题考查的知识要点：中点坐标公式，点关于直线的对称，点到直线的距离公式，三角形的面积公式，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题和易错题．
20．（12分）已知圆O：x2+y2＝16上，圆M：（x﹣2）2+（y﹣4）2＝r2（r＞0）．
（1）圆M与圆O交于点A，B，若|AB|，求圆M的半径r；
（2）是否存在斜率为﹣1的直线l，使以l被圆O截得的弦CD为直径的圆过M点？若有，求出直线l的方程，若不存在，说明理由．
【分析】（1）先利用两圆方程相减求得公共弦的方程，进而利用弦长求得r；
（2）设直线l的方程为y＝﹣x+b，C（x1，y1），D（x2，y2），与圆O方程联立方程可得x1+x2＝b，x1x2b2﹣8，Δ＝4b2﹣4×2（b2﹣16）＞0，解得﹣4b＜4，由已知可得•0，进而可得（x1﹣2）（x2﹣2）+（y1﹣4）（y2﹣4）＝0，可求解．
【解答】解：（1）∵圆O：x2+y2＝16上，圆M：（x﹣2）2+（y﹣4）2＝r2（r＞0），
∴两圆方程相减得公共弦AB所在直线方程为4x+8y＝﹣4﹣r2．
∵|AB|，∴圆心到直线的距离d，
∴，解得r2＝28，∴r＝2，
（2）设直线l的方程为y＝﹣x+b，C（x1，y1），D（x2，y2），
与圆O联立方程消去y得，2x2﹣2bx+b2﹣16＝0，
∴x1+x2＝b，x1x2b2﹣8，Δ＝4b2﹣4×2（b2﹣16）＞0，解得﹣4b＜4，
y1+y2＝﹣（x1+x2）+2b＝﹣b+2b＝b，
y1y2＝（﹣x1+b）（﹣x2+b）＝x1x2﹣b（x1+x2）+b2b2﹣8，
∵以l被圆O截得的弦CD为直径的圆过M点，
∴•0，∴（x1﹣2）（x2﹣2）+（y1﹣4）（y2﹣4）＝0，
∴x1x2﹣2（x1+x2）+4+y1y2﹣4（y1+y2）+16＝0，
∴b2﹣8﹣2b+4b2﹣8﹣4b+16＝0，
解得b＝3±，
∴存在斜率为﹣1的直线l，使以l被圆O截得的弦CD为直径的圆过M点，直线方程为y＝﹣x+3±．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查两圆的位置关系，属中档题．
21．（12分）已知函数f（x）＝xe2x，记f1（x）＝f′（x），且fn+1（x）＝fn′（x），n∈N*．
（1）求f1（x）•f2（x）；
（2）设fn（x）＝（anx+bn）e2x，n∈N*，
（ⅰ）证明：数列{}是等差数列；
（ⅱ）求数列{bn}的前n项和Sn．
【分析】（1）求得f（x）的一阶导数、二阶导数，可得所求；
（2）（ⅰ）求得an＝2n，bn＝an﹣1+2bn﹣1，且b1＝1，由等差数列的定义可得证明；
（ⅱ）由等差数列的通项公式和数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，可得所求和．
【解答】解：（1）函数f（x）＝xe2x，f1（x）＝f′（x）＝（1+2x）e2x，
f2（x）＝f1′（x）＝2e2x+2（1+2x）e2x＝（4+4x）e2x，
所以f1（x）•f2（x）＝4（2x2+3x+1）e4x；
（2）（ⅰ）证明：由f1（x）＝（1+2x）e2x，
f2（x）＝（4+4x）e2x，
f3（x）＝f2′（x）＝4e2x+2（4+4x）e2x＝（12+8x）e2x，
，
则an＝2n，bn＝an﹣1+2bn﹣1，且b1＝1，
即有bn＝2bn﹣1+2n﹣1，
可得，
则数列{}是首项为，公差为的等差数列；
（ⅱ）由（ⅰ）可得n，
即有bn＝n•2n﹣1，
数列{bn}的前n项和Sn＝1•20+2•21+3•22+...+n•2n﹣1，
2Sn＝1•2+2•22+3•23+...+n•2n，
上面两式相减可得﹣Sn＝1+21+22+...+2n﹣1﹣n•2n
n•2n，
则Sn＝1+（n﹣1）•2n．
【点评】本题考查导数的运算和等差数列、等比数列的定义、通项公式和求和公式，以及数列的错位相减法求和，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
22．（12分）已知双曲线C：1（a＞0，b＞0）经过点（，1），其离心率为，A，B分别为C的左，右顶点，若P为直线x＝1上的动点，PA与C的另一交点为M，PB与C的另一交点为N．
（1）求C的方程；
（2）证明：直线MN过定点．
【分析】（1）由已知条件c2a2，把点的坐标代入方程可得1，由此能求出椭圆的方程．
（2）设P（1，t），由已知条件分别求出M，N的坐标，设定点为Q，再由kMQ＝kNQ，能证明直线MN经过一定点Q（4，0）．
【解答】解：（1）由离心率为，得c2a2，
又a2+b2＝c2，∴b2a2，
∵双曲线C：1（a＞0，b＞0）经过点（，1），
∴1，∴a2＝4，b2＝2，
∴C的方程；1；
（2）证明：∵椭圆C的左，右顶点分别为A，B，点P是直线x＝1上的动点，
∴A（﹣2，0），B（2，0），设P（1，t），
则kPAt，直线lPA：yt（x+2），
联立得：
整理，得（9﹣2t2）x2﹣8t2x﹣8t2﹣36＝0，
∴﹣2xM，xM，可得M的坐标为（，），
同理得到N的坐标为（，），
由椭圆的对称性可知这样的定点在x轴，
不妨设这个定点为Q（m，0），
又kMQ，kNQ，
∵kMQ＝kNQ，∴（4m﹣16）t2+6m﹣24＝0，m＝4．
∴直线MN经过一定点Q（4，0）．
【点评】本题考查双曲线方程的求法，考查直线一定过定点的证明，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用，属中档题．
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