广东省广州市六中、二中、广雅、省实、执信五校2022-2023学年高一下学期期末联考数学试题(学生版+解析)

这是一份广东省广州市六中、二中、广雅、省实、执信五校2022-2023学年高一下学期期末联考数学试题(学生版+解析)，共29页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑.
1. 复数(是虚数单位)在复平面内对应的点在( )
A 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2. 已知平面向量与为单位向量，它们的夹角为，则( )
A. B. C. D.
3. 已知函数，则方程的解的个数是( )
A. 0B. 1C. 2D. 3
4. 函数最小正周期是
A B. C. D.
5. 下列不等式恒成立的是( )
A. B.
C. D.
6. 已知，是两条不重合的直线，，，是三个不重合的平面，则下列命题正确的是( )
A. 若，，则B. 若，，则
C. 若，，则D. 若，，则
7. 北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果.在卫星导航系统中，地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度(轨道高度是指卫星到地球表面的距离)为h.将地球看作是一个球心为O，半径为r的球，其上点A的纬度是指与赤道平面所成角的度数.如果地球表面上某一观测点与该卫星在同一条子午线(经线)所在的平面，且在该观测点能直接观测到该卫星.若该观测点的纬度值为，观测该卫星的仰角为，则下列关系一定成立的是( )
A. B.
C. D.
8. 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的边长为2，M是BB1的中点，点P在正方体内部或表面上，且MP平面AB1D1，则动点P的轨迹所形成的区域面积是( )
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑.
9. 已知某地区某周7天每天的最高气温分别为23，25，13，10，13，12，19(单位℃)．则( )
A. 该组数据的平均数为B. 该组数据的中位数为13
C. 该组数据的第70百分位数为16D. 该组数据的极差为15
10. 把函数的图像向左平移个单位长度，再把横坐标变为原来的倍(纵坐标不变)得到函数的图像，下列关于函数的说法正确的是( )
A. 最小正周期为B. 在区间上的最大值为
C. 图像的一个对称中心为D. 图像的一条对称轴为直线
11. 在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则下列结论正确的有( )
A.
B. 的取值范围为
C. 的取值范围为
D. 的取值范围为
12. 如图是一个正方体的侧面展开图，是顶点，是所在棱的中点，则在这个正方体中，下列结论正确的是( )
A. 与异面
B. 平面
C. 平面平面
D. 与平面所成角的正弦值是
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填在答题卡的相应位置上.
13 已知树人中学高一年级总共有学生n人，其中男生550人，按男生、女生进行分层，并按比例分配抽取名学生参加湿地保护知识竞赛，已知参赛学生中男生比女生多10人，则______.
14. 在直角三角形ABC中，已知，，，以AC为旋转轴将旋转一周，AB、BC边形成的面所围成的旋转体是一个圆锥，则经过该圆锥任意两条母线的截面三角形的面积的最大值为______.
15. 已知正四棱台的上、下底面边长分别是1和2，所有顶点都在球O的球面上，若球O的表面积为，则此正四棱台的侧棱长为__________．
16. 如图是正八边形ABCDEFGH，其中O是该正八边形的中心，P是正八边形ABCDEFGH八条边上的动点.若，则该八边形的面积为______，的取值范围为______.

四、解答题：本大题共6小题，第17题10分，18、19、20、21、22题各12分，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效
17. 已知函数，.
(1)求函数的最小正周期和单调递减区间；
(2)求函数在上的最小值及相应自变量的值.
18. 5月11日是世界防治肥胖日.我国超过一半的成年人属于超重或肥胖，6～17岁的儿童青少年肥胖率接近20%，肥胖已成为严重危害我国居民健康的公共卫生问题.目前，国际上常用身体质量指数(BdyMassIndex，缩写BMI)来衡量人体胖瘦程度以及是否健康.我国成人的BMI数值标准为：BMI<18.5为偏瘦；18.5≤BMI<24为正常；24≤BMI<28为偏胖；BMI≥28为肥胖.为了解某公司员工的身体肥胖情况，研究人员从公司员工体检数据中，采用比例分配的分层随机抽样方法抽取了60名男员工、40名女员工的身高和体重数据，通过计算得到男女员工的BMI值并将女员工的BMI值绘制成如图所示的频率分布直方图：

(1)求图中a的值，并估计样本中女员工BMI值的70%分位数；
(2)已知样本中男员工BMI值的平均数为22，试估计该公司员工BMI值的平均数.
19. 在中，角所对的边分别是，且满足
(1)求角；
(2)如图，若外接圆半径为，为的中点，且，求的周长.
20. 近年来，我国在航天领域取得了巨大成就，得益于我国先进的运载火箭技术.据了解，在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下，可以用公式计算火箭的最大速度v(单位：m/s).其中(单位m/s)是喷流相对速度，m(单位：kg)是火箭(除推进剂外)的质量，M(单位：kg)是推进剂与火箭质量的总和，称为“总质比”，已知A型火箭的喷流相对速度为2000m/s.参考数据：.
(1)当总质比为230时，利用给出的参考数据求A型火箭的最大速度；
(2)经过材料更新和技术改进后，A型火箭的喷流相对速度提高到了原来的1.5倍，总质比变为原来的，若要使火箭的最大速度增加500m/s，记此时在材料更新和技术改进前的总质比为T，求不小于T的最小整数？
21. 如图，已知四棱锥的底面ABCD为梯形，，，，，，直线PA与底面ABCD所成角为.

(1)若E为PD上一点且，证明：平面；
(2)求二面角的余弦值.
22. 设a为正数，函数满足且
(1)若f(1)=1，求f(x)；
(2)设，若对任意实数t，总存在x1、x2∈[t-1，t+1]，使得f(x1)-f(x2)≥g(x3)-g(x4)对所有x3,x4∈都成立，求a的取值范围.
2022学年下学期高一期末五校联考试卷(数学)
命题学校：广州市第六中学 命题人：陈霞 审核人：冯健俊
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑.
1. 复数(是虚数单位)在复平面内对应的点在( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】C
【解析】
【分析】根据复数除法运算可求得，根据对应点的坐标可得结果.
【详解】，
对应的点为，位于第三象限.
故选：C.
2. 已知平面向量与为单位向量，它们的夹角为，则( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由向量数量积定义可得，根据向量数量积的运算律可由求得结果.
【详解】，
.
故选：D.
3. 已知函数，则方程的解的个数是( )
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】令，则方程的解的个数即函数与函数的图象的交点的个数．作出函数与函数的图象，即可得到两个函数图象的交点的个数．
【详解】解：令，得，
则方程解的个数即函数与函数的图象的交点的个数．
作出函数与函数的图象，可知两个函数图象的交点的个数为2，
故方程的解的个数为2个．
故选：C
4. 函数的最小正周期是
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先由诱导公式及两角的正弦公式将原式展开，再用二倍角公式及半角公式降幂，结合辅助角公式化为一个角的三角函数，用周期公式求出周期;
【详解】
.∴.
故选C.
【点睛】本题主要考查了三角恒等变换、诱导公式、周期公式、辅助角公式等知识，熟练运用这些公式是解题的关键，属于基础题.
5. 下列不等式恒成立的是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用特殊值判断A、C，利用重要不等式判断B，作差可判断D；
【详解】解：对于A：若、时，故A错误；
对于B：因为，所以，所以，即，当且仅当时取等号，故B错误；
对于C：若、时，，故C错误；
对于D：因为，所以，即，当且仅当时取等号，故D正确；
故选：D
6. 已知，是两条不重合的直线，，，是三个不重合的平面，则下列命题正确的是( )
A. 若，，则B. 若，，则
C. 若，，则D. 若，，则
【答案】D
【解析】
【分析】对ABC，举反例判断即可；对D根据线面平行与线面垂直的性质判定即可
【详解】对A，若，，则或，故A错误；
对B，若，，则或，故B错误；
对C，长方体同一顶点所在的三个平面满足，，，故C错误；
对D，若，则平行于内的一条直线，又，故，故成立，故D正确；
故选：D
7. 北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果.在卫星导航系统中，地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度(轨道高度是指卫星到地球表面的距离)为h.将地球看作是一个球心为O，半径为r的球，其上点A的纬度是指与赤道平面所成角的度数.如果地球表面上某一观测点与该卫星在同一条子午线(经线)所在的平面，且在该观测点能直接观测到该卫星.若该观测点的纬度值为，观测该卫星的仰角为，则下列关系一定成立的是( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题意，画出示意图，在三角形OAB中利用正弦定理即求解.
【详解】解：如图所示，，由正弦定理可得，即，化简得，
故选：A.
8. 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的边长为2，M是BB1的中点，点P在正方体内部或表面上，且MP平面AB1D1，则动点P的轨迹所形成的区域面积是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】过点作平面的平行平面，再求解多边形的面积即可.
【详解】根据题意，过点作出平面的平行平面，如下所示：
因为////，////，////，
又，平面，
平面，
故平面//平面.
则点的轨迹图形如上图阴影部分所示.
显然，该六边形是正六边形，边长为.
故该六边形面积为6个全等的边长为的三角形的面积和.
即.
故选：C
【点睛】本题考查面面平行的判定，以及正方体的截面问题，属综合中档题.
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑.
9. 已知某地区某周7天每天的最高气温分别为23，25，13，10，13，12，19(单位℃)．则( )
A. 该组数据的平均数为B. 该组数据的中位数为13
C. 该组数据的第70百分位数为16D. 该组数据的极差为15
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据平均数、中位数、百分位数和极差的定义判断即可．
【详解】将23，25，13，10，13，12，19从小到大排列为10，12，13，13，19，23，25，
对于A，该组数据的中位数为，故A正确；
对于B，该组数据的中位数为13，故B正确；
对于C，由，则该组数据的第70百分位数为从小到大排列的第5个数，是19，故C错误；
对于D，该组数据的极差为，故D 正确．
故选：ABD．
10. 把函数的图像向左平移个单位长度，再把横坐标变为原来的倍(纵坐标不变)得到函数的图像，下列关于函数的说法正确的是( )
A. 最小正周期为B. 在区间上的最大值为
C. 图像的一个对称中心为D. 图像的一条对称轴为直线
【答案】AD
【解析】
【分析】根据伸缩平移变换可得函数的解析式，进而判断各选项中图像性质.
【详解】的图像向左平移个单位长度得函数，
再把横坐标变为原来的倍(纵坐标不变)得到函数，
其最小正周期为，A选项正确；
由，得，则当，即时，取最大值为，B选项错误；
令，，得，，所以函数的对称中心为，，所以不成立，C选项错误；
令，，解得，，所以函数的对称轴为，，当时，，D选项正确；
故选：AD.
11. 在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则下列结论正确的有( )
A.
B. 的取值范围为
C. 的取值范围为
D. 的取值范围为
【答案】AC
【解析】
【分析】由余弦定理可得，再由正弦定理将边化角，由两角和的正弦公式可得，即可判断A，再根据三角形为锐角三角形，即可求出角的范围，从而判断B，再根据三角函数的性质判断C、D；
【详解】解：因为，又由余弦定理，
即，
所以，所以，即，
由正弦定理可得，
又，
，即，
，
，，为锐角，
，即，故选项A正确；
，，，故选项B错误；
，故选项C正确；
，
又，，
令，则，
由对勾函数性质可知，在上单调递增，
又， ，
，故选项D错误．
故选：AC．
12. 如图是一个正方体的侧面展开图，是顶点，是所在棱的中点，则在这个正方体中，下列结论正确的是( )
A. 与异面
B. 平面
C. 平面平面
D. 与平面所成的角的正弦值是
【答案】ABD
【解析】
【分析】由展开图还原得到正方体，根据异面直线定义可知A正确；利用平行四边形证得，由线面平行判定可知B正确；假设两平面垂直，可知平面，由线面平行性质得，可知假设错误，即C错误；由线面角定义可知所求角为，由长度关系可求得D正确.
【详解】由展开图还原正方体如下图所示，其中分别为中点，
对于A，平面，平面，，
与为异面直线，A正确；
对于B，连接，
分别为中点，，，
又，，，，四边形为平行四边形，
，又平面，平面，平面，B正确；
对于C，假设平面平面成立，
平面，平面，平面，
平面，平面平面，，显然不成立，
假设错误，平面与平面不垂直，C错误；
对于D，连接，
直线与平面所成角即为直线与平面所成角，
平面，即为直线与平面所成角，
设正方体棱长为，
，
，即直线与平面所成角的正弦值为，D正确.
故选：ABD.
【点睛】关键点点睛：本题考查立体几何中的线线、线面与面面关系有关命题的判断，解题关键是能够根据展开图准确还原正方体，从而确定平面图中的点的具体位置，结合平行与垂直关系相关判定与性质定理得到结果.
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填在答题卡的相应位置上.
13. 已知树人中学高一年级总共有学生n人，其中男生550人，按男生、女生进行分层，并按比例分配抽取名学生参加湿地保护知识竞赛，已知参赛学生中男生比女生多10人，则______.
【答案】1000
【解析】
【分析】根据分层抽样相关知识直接计算即可.
【详解】总共有学生n人，其中男生550人，则女生有人；
抽取名学生，则男生有人，女生有人，
因为参赛学生中男生比女生多10人，
所以，解得.
故答案为：1000
14. 在直角三角形ABC中，已知，，，以AC为旋转轴将旋转一周，AB、BC边形成的面所围成的旋转体是一个圆锥，则经过该圆锥任意两条母线的截面三角形的面积的最大值为______.
【答案】8
【解析】
【分析】设两条母线为AB、AD，则截面面积为，由为定值可知当最大时，截面面积最大，结合图形求出的范围即可求解．
【详解】
如图，圆锥任意两条母线为AB和AD，则截面为等腰三角形ABD，
∴截面面积为：，
由图可知，当截面为圆锥轴截面时，∠BAD最大，最大为120°，
∴，
∴sin∠BAD最大值为1，
∵为定值，
故当sin∠BAD最大时截面面积最大，
故截面面积最大为．
故答案：8
15. 已知正四棱台的上、下底面边长分别是1和2，所有顶点都在球O的球面上，若球O的表面积为，则此正四棱台的侧棱长为__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意可得球O的半径，结合外接球的性质可得外接球心O在底面的中心，再根据几何关系求解侧棱长即可
【详解】设上下底面互相平行的两对角线分别为，则由球O的表面积为可得球O的半径，又正四棱台的上、下底面边长分别是1和2，故，所以球O的球心正好在中点.故.所以正，故，所以正，故此正四棱台的侧棱长
故答案为：
16. 如图是正八边形ABCDEFGH，其中O是该正八边形的中心，P是正八边形ABCDEFGH八条边上的动点.若，则该八边形的面积为______，的取值范围为______.

【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】根据正八边形的面积为，根据三角形的面积公式求出的面积即可；根据，求出，则要求的范围，只要求出的范围即可.
【详解】
在正八边形中，
，
所以正八边形的面积为；
因为，
所以，
又，所以，
所以，
因为，
又为定值，所以的取值范围，即取值范围，
设，
所以，当取最小值时，即取最小值，
又表示向量在向量上的投影，故取最小值时，点不可能在路径上(在此路径上为锐角)，
所以点在路径上，
延长与，延长线交于点，
则为等腰直角三角形，且，
所以，
所以当点在上时，向量在向量上的投影最小，即最小，
即，
所以，
所以.
又因为取最大值时，即取最大值，
又表示向量在向量上的投影，故取最大值时，点不可能在路径上(在此路径上为钝角)，所以点在路径上，
延长与，延长线交于点，则三角形为等腰直角三角形，且，
所以，即
所以当点在上时，向量在向量上的投影最大，即最大，
即，
所以
所以.
故答案为： ；.
四、解答题：本大题共6小题，第17题10分，18、19、20、21、22题各12分，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效
17. 已知函数，.
(1)求函数的最小正周期和单调递减区间；
(2)求函数在上的最小值及相应自变量的值.
【答案】(1)函数的最小正周期，单调递减区间为，.
(2)最小值为，相应的.
【解析】
【分析】(1)化简，根据余弦函数的最小正周期公式和单调递减区间可得结果；
(2)根据余弦函数的图象可求出结果.
【小问1详解】
，
函数的最小正周期.
由，，
得，，
所以单调递减区间为，.
【小问2详解】
当时，，
所以当，即时，取得最小值.
18. 5月11日是世界防治肥胖日.我国超过一半的成年人属于超重或肥胖，6～17岁的儿童青少年肥胖率接近20%，肥胖已成为严重危害我国居民健康的公共卫生问题.目前，国际上常用身体质量指数(BdyMassIndex，缩写BMI)来衡量人体胖瘦程度以及是否健康.我国成人的BMI数值标准为：BMI<18.5为偏瘦；18.5≤BMI<24为正常；24≤BMI<28为偏胖；BMI≥28为肥胖.为了解某公司员工的身体肥胖情况，研究人员从公司员工体检数据中，采用比例分配的分层随机抽样方法抽取了60名男员工、40名女员工的身高和体重数据，通过计算得到男女员工的BMI值并将女员工的BMI值绘制成如图所示的频率分布直方图：

(1)求图中a的值，并估计样本中女员工BMI值的70%分位数；
(2)已知样本中男员工BMI值的平均数为22，试估计该公司员工BMI值的平均数.
【答案】(1)，样本中女员工BMI值的70%分位数为，
(2)
【解析】
【分析】(1)根据频率分布直方图的矩形面积之和为1可求出a的值，再根据百分位数的定义求解70%分位数；
(2)先根据频率分布直方图计算女员工的平均BMI值，再求解该公司员式BMI值的平均数即可.
【小问1详解】
由题意得，解得，
因为，，
所以分位数在，设分位数为，则
，解得，
所以样本中女员工BMI值的70%分位数为，
【小问2详解】
由题意得，样本中女员工BMI值的平均数为
，
所以估计该公司员工BMI值的平均数为
19. 在中，角所对的边分别是，且满足
(1)求角；
(2)如图，若外接圆半径为，为的中点，且，求的周长.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】(1)利用正弦定理边化角和两角和差正弦公式可化简已知等式求得，由此可得；
(2)利用正弦定理可求得，由余弦定理可得；
方法一：根据，利用余弦定理可得，根据可求得，进而得到三角形周长；
方法二：根据，由向量数量积定义和运算律可左右平方求得，根据可求得，进而得到三角形周长.
【小问1详解】
由正弦定理得：，又，
，
即，又，，，
又，.
【小问2详解】
由正弦定理得：，解得：，即，
为边上的中点，，
由余弦定理得：，即…①；
方法一：在中，，
在中，；
，，
即，整理得：…②，由①②得：，
，解得：，
的周长为.
方法二：由向量加法得：，
，即…②，由①②得：，
，解得：，
的周长为.
20. 近年来，我国在航天领域取得了巨大成就，得益于我国先进的运载火箭技术.据了解，在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下，可以用公式计算火箭的最大速度v(单位：m/s).其中(单位m/s)是喷流相对速度，m(单位：kg)是火箭(除推进剂外)的质量，M(单位：kg)是推进剂与火箭质量的总和，称为“总质比”，已知A型火箭的喷流相对速度为2000m/s.参考数据：.
(1)当总质比为230时，利用给出的参考数据求A型火箭的最大速度；
(2)经过材料更新和技术改进后，A型火箭的喷流相对速度提高到了原来的1.5倍，总质比变为原来的，若要使火箭的最大速度增加500m/s，记此时在材料更新和技术改进前的总质比为T，求不小于T的最小整数？
【答案】(1)
(2)45
【解析】
【分析】(1)运用代入法直接求解即可；
(2)根据题意列出不等式，结合对数的运算性质和已知题中所给的参考数据进行求解即可.
【小问1详解】
当总质比为230时，，
即A型火箭的最大速度为.
【小问2详解】
A型火箭的喷流相对速度提高到了原来的1.5倍，
所以A型火箭的喷流相对速度为，总质比为，
由题意，得
，
因为，所以，
即，所以不小于T的最小整数为45．
21. 如图，已知四棱锥的底面ABCD为梯形，，，，，，直线PA与底面ABCD所成角为.

(1)若E为PD上一点且，证明：平面；
(2)求二面角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】(1)连接,设,连接利用，可得，从而可证平面；
(2)根据线面垂直等知识找到直线PA与底面ABCD所成角，进而求出相关线段长度，再找出二面角的平面角，根据余弦定理求解余弦值即可.
【小问1详解】
连接,设, 如下图所示，

因为，，
所以 ，
又因为，即 ，
所以 ，
因为平面，平面，
所以平面
【小问2详解】
取的中点，连接，如下图所示，

因为，，
所以是等边三角形，
所以，
因为，
所以，
在中，由余弦定理得，，
所以，
所以 ，
所以，
因为分别是的中点，
所以，
所以，
因为，是的中点，
所以，
因为平面，，
所以平面，
因为平面，
所以，
因为，是的中点，
所以，
因为平面，，
所以平面，
所以是直线PA与底面ABCD所成角，所以，
所以，，
因为，
所以，
由已证可知，，，
所以为二面角平面角，
在中，，
在中，
因为，
在中，由余弦定理得，.
所以二面角的余弦值
22. 设a为正数，函数满足且
(1)若f(1)=1，求f(x)；
(2)设，若对任意实数t，总存在x1、x2∈[t-1，t+1]，使得f(x1)-f(x2)≥g(x3)-g(x4)对所有x3,x4∈都成立，求a的取值范围.
【答案】(1)，(2)
【解析】
【分析】(1)由题意得，且，，解方程可得，进而得到函数的解析式；
(2)求得在上的最值，可得的最大值为1，则对任意的实数，总存在，使得，讨论的对称轴和区间的关系，可得的最值，解不等式可得所求范围
【详解】解：(1)函数满足且，
所以，且，得，
因为，所以，得，
所以，
(2)，
当可得的最小值为，最大值为，
所以的最大值为，
所以对任意的实数，总存在，使得，
设在上的最大值为，最小值为，
的对称轴为直线，
令，则对任意实数，，
①当时，在上递增，可得，
则，此时，得，
②当时，，，
，
所以，
③当时，，，
，
所以，
④当时，在上递减，可得，，
则，
此时，得，
综上，的取值范围为
【点睛】此题考查二次函数的解析式的求法，考查函数恒成立问题的解法，考查转化思想和分类讨论思想，考查计算能力，属于难题