广东省华附、省实、广雅、深中四校2022-2023学年高二下学期期末联考数学试题(学生版+解析)

这是一份广东省华附、省实、广雅、深中四校2022-2023学年高二下学期期末联考数学试题(学生版+解析)，共28页。试卷主要包含了考生必须保持答题卡的整洁， 已知双曲线， 已知定义在上的函数满足等内容，欢迎下载使用。

命题学校：华南师大附中 定稿人：申西芬
本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试用时120分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的校名、姓名、考号、座位号等相关信息填写在答题卡指定区域内，并用2B铅笔填涂相关信息.
2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上.
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的谷案无效.
4.考生必须保持答题卡的整洁.
第一部分 选择题(共60分)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知i为虚数单位，，则( )
A 0B. C. D.
2. 已知集合，，则( )
A. B. C. D.
3. 已知为等差数列的前项和，若，且，则( )
A. B. C. D.
4. 已知向量，满足，且，记为在方向上的投影向量，则( )
A. 4B. 3C. 2D. 1
5. 小明将一颗质地均匀的骰子抛掷三次，观察向上一面的点数，已知三次点数都不相同，则三次点数之和不大于8的概率为( )
A. B. C. D.
6. 已知双曲线：的左、右焦点分别为，，O为坐标原点，过作C的一条渐近线的垂线，垂足为D，且，则C的离心率为( )
A. B. 2C. D. 5
7. 已知定义在上的函数满足：关于中心对称，是偶函数，且.则下列选项中说法正确的有( )
A. 为偶函数B. 周期为2
C. D. 是奇函数
8. 已知实数x，y满足，则满足条件的y的最小值为( )
A. 1B. C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知，且，则下列各选项正确的是( )
A. B.
C D.
10. 在平面直角坐标系中，点绕点O逆时针旋转后到达点，若，则可以取( )
A. B. C. D.
11. 已知点P是圆C：上的动点，直线与x轴和y轴分别交于A，B两点，若为直角三角形，则点P的坐标可以是( )
A. B.
C. D.
12. 如图，已知圆柱母线长为4，底面圆半径为，梯形ABCD内接于下底面圆，CD是直径，，，过点A，B，C，D向上底面作垂线，垂足分别为，，，，点分别是线段，上的动点，点为上底面圆内(含边界)任意一点，则( )
A. 若平面交线段于点，则
B. 若平面过点，则直线过定点
C. 的周长为定值
D. 当点在上底面圆周上运动时，记直线与下底面所成角分别为，，则的取值范围是
第二部分 非选择题(共90分)
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. “”是“”的_________条件.(选填“充分必要”、“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”)
14. 已知某学校高二年级有男生500人、女生450人，调查该年级全部男、女学生是否喜欢徒步运动等高堆积条形图如下，现从所有喜欢徒步的学生中按分层抽样的方法抽取24人，则抽取的女生人数为______．
15. 在三棱锥中，已知平面平面，，，，，则三棱锥的外接球的表面积为______．
16. 若数集S的子集满足：至少含有2个元素，且任意两个元素之差的绝对值大于1，则称该子集为数集S的超子集.已知集合，记的超子集的个数为，则____________.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 如图，在四棱锥中，底面ABCD为菱形，平面底面，且，，E为CD中点，F为AD的中点.

(1)证明：平面；
(2)求三棱锥的体积.
18. 已知函数.
(1)求函数的最小正周期和单调递增区间；
(2)在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，求周长的最大值.
19. 设数列的前n项和为，且满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)解关于n的不等式：.
20. 某篮球联赛分为初赛和复赛两个阶段，组委会根据初赛成绩进行第一阶段排名(假设排名不重复)，前六名的球队直接进入复赛，第七、八名的球队进行第一场复活赛，胜者进入复赛；第九、十名的球队进行一场比赛，胜者与第一场复活赛的败者进行第二场复活赛，本场的胜者成为进入复赛的最后一只球队.假设各场比赛结果互不影响，且每场比赛必须分出胜负
(1)若初赛后，甲、乙、丙、丁四队分别排在第七、八、九、十名，丁队与甲、乙、丙队比赛获胜的概率分别是0.4，0.5，0.6，甲队与乙队比赛获胜的概率是0.6，则丁队进入复赛的概率是多少?
(2)若甲，乙两队进入复赛，在复赛中，甲队与乙队需进行一场五局三胜制的比赛，只要其中一方获胜三局，比赛结束、假设各局比赛结果互不影响.若乙队每局比赛获胜的概率为，设比赛结束时乙队获胜的局数为X，求X的概率分布列与均值.
21. 设点F为抛物线C：的焦点，过点F且斜率为的直线与C交于A，B两点(O为坐标原点)
(1)求抛物线C的方程；
(2)过点作两条斜率分别为，直线，，它们分别与抛物线C交于点P，Q和R，S.已知，问：是否存在实数，使得为定值?若存在，求的值，若不存在，请说明理由.
22. 已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若在上存在两个零点，，证明：.
2022学年下学期华附、省实、广雅、深中高二四校联考
数学
命题学校：华南师大附中 定稿人：申西芬
本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试用时120分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的校名、姓名、考号、座位号等相关信息填写在答题卡指定区域内，并用2B铅笔填涂相关信息.
2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上.
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的谷案无效.
4.考生必须保持答题卡的整洁.
第一部分 选择题(共60分)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知i为虚数单位，，则( )
A. 0B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据复数的乘法运算及复数的模的计算公式计算即可.
【详解】由，得.
故选：C.
2. 已知集合，，则( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先根据指数函数的单调性和正弦函数的性质分别求出集合，再根据交集的定义即可得解.
【详解】,
，
所以.
故选：C.
3. 已知为等差数列的前项和，若，且，则( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设等差数列的公差为，根据已知条件可得出关于的等式，求出的值，即可求得的值.
【详解】设等差数列的公差为，由可得，
即，解得，故.
故选：A.
4. 已知向量，满足，且，记为在方向上的投影向量，则( )
A. 4B. 3C. 2D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】先根据投影向量的定义求出，再根据平面向量的模的坐标公式即可得解.
【详解】由，得，
由为在方向上的投影向量，
得，
所以，.
故选：B.
5. 小明将一颗质地均匀的骰子抛掷三次，观察向上一面的点数，已知三次点数都不相同，则三次点数之和不大于8的概率为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据条件概率公式结合计数原理求解即可.
【详解】将这颗骰子连续抛掷三次，三次向上的点数一共有种情况，
设三次点数都不相同为事件，符合事件的点数情况有；
设事件是三次点数之和不大于8，
则事件同时发生的点数情况有种；
则已知三次点数都不相同，则三次点数之和不大于8的概率为
故选：D.
6. 已知双曲线：的左、右焦点分别为，，O为坐标原点，过作C的一条渐近线的垂线，垂足为D，且，则C的离心率为( )
A. B. 2C. D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】利用点到直线的距离公式求出，利用勾股定理求出，由锐角三角函数得出，在利用余弦定理可得出、、的齐次方程，可解出双曲线离心率的值．
【详解】如下图所示，双曲线的右焦点，渐近线的方程为，
由点到直线的距离公式可得，
由勾股定理得，
在中，，，
在中，，，，
，
由余弦定理得，
化简得，，即，因此，双曲线的离心率为，
故选：C．
【点睛】求解椭圆或双曲线的离心率，一般有以下几种方法：
①直接求出、，可计算出离心率；
②构造、的齐次方程，求出离心率；
③利用离心率的定义以及椭圆、双曲线的定义来求解．
7. 已知定义在上的函数满足：关于中心对称，是偶函数，且.则下列选项中说法正确的有( )
A. 为偶函数B. 周期为2
C. D. 是奇函数
【答案】D
【解析】
【分析】由于关于中心对称，又将函数向左平移1个单位后为，可知是奇函数；又是偶函数，又将函数向右平移1个单位后为，可知关于直线对称，由此即可求出函数的周期，进而可判断选项A,B是否正确；利用周期和对称性即可判断选项C，D是否正确.
【详解】由于关于中心对称，又将函数向左平移1个单位后为，所以关于中心对称，即是奇函数；又是偶函数，又将函数向右平移1个单位后为，所以关于直线对称，即；
所以，
所以函数的周期，所以选项A､B错误；
，故选项C错误；
对选项D：由已知关于和直线对称，所以关于对称，
又因为的周期，可得关于对称，
所以是奇函数，D正确.
故选：D.
8. 已知实数x，y满足，则满足条件的y的最小值为( )
A. 1B. C. D.
【答案】C
【解析】
分析】方程化为，，，构造函数，，求出函数的导数，判断函数的单调性，推出，从而，构造函数，利用函数的导数判断函数的单调性求解函数的最值即可．
【详解】由实数，满足，可化为，，，
即，
构造函数，，，
当时，，单调递增，
即，可以得到，
从而，构造函数，
，令可以得到，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
从而当时，取最小值，即有最小值．
故选：C．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知，且，则下列各选项正确的是( )
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】由已知条件逐项判断即可.
【详解】对于，因为，所以，正确.
对于,若，则，即.又，所以，不符合题意，错误.
对于,因为，所以,正确.
对于,设，则，错误.
故选：.
10. 在平面直角坐标系中，点绕点O逆时针旋转后到达点，若，则可以取( )
A. B. C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】根据题意可得，再结合和已知条件可求出.
【详解】因为点绕点O逆时针旋转后到达点，
所以，
因为，所以，
则由，解得，或，
所以可以取或，
故选：AD
11. 已知点P是圆C：上的动点，直线与x轴和y轴分别交于A，B两点，若为直角三角形，则点P的坐标可以是( )
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】设，再分为直角，为直角和为直角三种情况讨论即可得解.
【详解】圆C：的圆心为，半径，
圆心到直线的距离为，
所以直线与圆相切，
由，令，则，令，则，
即，
因为点P是圆C：上的动点，则可设，
则，
当为直角时，则，
即，
整理得，
又，则，解得，
当时，，此时，
当时，，此时，
当为直角时，则，
即，整理得，
又，则，解得，
所以，此时，
当为直角时，则，
即，整理得，
又，则，解得，
所以，此时，
所以BCD可以，A不可以.
故选：BCD.
12. 如图，已知圆柱母线长为4，底面圆半径为，梯形ABCD内接于下底面圆，CD是直径，，，过点A，B，C，D向上底面作垂线，垂足分别为，，，，点分别是线段，上的动点，点为上底面圆内(含边界)任意一点，则( )
A. 若平面交线段于点，则
B. 若平面过点，则直线过定点
C. 的周长为定值
D. 当点在上底面圆周上运动时，记直线与下底面所成角分别为，，则的取值范围是
【答案】ABD
【解析】
【分析】对A：先证面，再利用线面平行的性质，即可判断；对B：根据共面，且面，即可判断；对C：取点与点重合，以及点与中点重合两个位置，分别计算三角形周长，即可判断；对D：根据题意，找到线面角，得到，结合余弦定理、基本不等式求的范围，即可判断结果.
【详解】对A：由题可得面，面，故面；
又面，面，故面；
面，故面面；
又面，故面；
又面，面面，故可得，故A正确；
对B：根据题意，共面，
又分别为上的动点，故直线面；
不妨设直线与平面的交点为，
若要满足与共面，则直线必过点，又为定点，故B正确；
对C：设的周长为，
当点与重合时，；
当点与中点重合时，连接：

此时；
显然周长不为定值，故C错误；
对D：过作底面圆垂线，垂足为且在下底面圆周上，即面，
连接，则、分别是直线，与下底面圆所成角，

所以，，则，，
所以，而，，底面圆半径为，
若在对应优弧上时，，则，
所以，当且仅当时等号成立，
此时，
若在对应劣弧上时，，则，
所以，当且仅当时等号成立，
此时，
综上，，则，
故，即，故D正确
故选：ABD.
【点睛】关键点睛：其中关于D选项中对范围的求解，将空间问题转化为基本不等式问题进行处理，也可以直接建立空间直角坐标系进行处理；同时关于C选项中的定值问题，选取特殊位置验证，不失为一种较好的做题技巧.
第二部分 非选择题(共90分)
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. “”是“”的_________条件.(选填“充分必要”、“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”)
【答案】充分不必要
【解析】
【分析】根据充分条件和必要条件得定义即可得解.
【详解】由可得，故充分性成立，
由，当，，故必要性不成立，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故答案为：充分不必要.
14. 已知某学校高二年级有男生500人、女生450人，调查该年级全部男、女学生是否喜欢徒步运动的等高堆积条形图如下，现从所有喜欢徒步的学生中按分层抽样的方法抽取24人，则抽取的女生人数为______．
【答案】9
【解析】
【分析】先根据等高堆积条形图求出喜欢徒步的男女生人数，再由分层抽样方法可得.
【详解】由题可知，喜欢徒步的男生有人，喜欢徒步的女生有人，
则女生应抽取人数为人.
故答案为：9
15. 在三棱锥中，已知平面平面，，，，，则三棱锥的外接球的表面积为______．
【答案】
【解析】
【分析】如图，由题意可得平面，为三角形的外心，则三棱锥的外接球的球心在过垂直于平面的直线上，设为点，则外接球的半径为，然后利用已知的数据求出半径，进而可求出表面积
【详解】解：因为平面平面，平面平面，，
所以平面，
设为三角形的外心，连接，则，
因为，所以,
过作垂直于平面的直线，则三棱锥的外接球的球心在此直线上，设外接球的球心为，连接，设外接球的半径为，则，
因为，所以，即，
所以三棱锥的外接球的表面积为
，
故答案为：
16. 若数集S的子集满足：至少含有2个元素，且任意两个元素之差的绝对值大于1，则称该子集为数集S的超子集.已知集合，记的超子集的个数为，则____________.
【答案】
【解析】
【分析】由题意先将集合的超子集可以分为两类，第一类是超子集中不含，这类超子集有个，第二类是超子集中含，从而求得的递推关系，进而可得出答案.
【详解】集合的超子集可以分为两类，
第一类是超子集中不含，这类超子集有个，
第二类是超子集中含，
这类超子集为的超子集与的并集有个，
或的单元素子集与集合的并集有个，
所以共有个，
所以，
由题意，
所以，
，
，
，
.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：将集合的超子集分为超子集中不含和超子集中含两类，求得的递推关系，是解决本题的关键.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 如图，在四棱锥中，底面ABCD为菱形，平面底面，且，，E为CD的中点，F为AD的中点.

(1)证明：平面；
(2)求三棱锥的体积.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】(1)连接，先证明，根据面面垂直及线面垂直得性质证明，再根据线面垂直的判定定理即可得证；
(2)根据棱锥的体积公式计算即可.
【小问1详解】
连接，
因为E为CD的中点，F为AD的中点，所以，
又底面ABCD为菱形，所以，所以，
因为，所以，
又因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
又平面，所以，
又因平面，
所以平面；
【小问2详解】
由，得，
因为底面ABCD为菱形，，
所以为等边三角形，所以，
则，
所以.
18. 已知函数.
(1)求函数的最小正周期和单调递增区间；
(2)在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，求周长的最大值.
【答案】(1)最小正周期为，单调递增区间为，
(2)
【解析】
【分析】(1)根据题意，由三角恒等变换化简即可得到函数的解析式，再由正弦型函数的周期与单调区间，即可得到结果；
(2)根据题意，由条件可得，再由余弦定理结合基本不等式，即可得到，从而得到结果.
【小问1详解】
因为，
则其最小正周期为，令，，
解得，，所以函数的单调递增区间为
，.
【小问2详解】
由可得，，可得或，且为锐角，则，又因为，由余弦定理可得，，即
，化简可得，且，其中，
所以，解得，所以，当且仅当时，等号成立，所以周长的最大值为.
19. 设数列的前n项和为，且满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)解关于n的不等式：.
【答案】(1)；
(2).
【解析】
【分析】(1)利用给定条件，结合“”求解作答.
(2)由(1)的结论，利用二项式定理化简不等式，再利用指数函数单调性求解作答.
【小问1详解】
在数列中，，当时，，解得，
当时，，则，
因此数列是等比数列，首项为1，公比为2的等比数列，则，
所以数列的通项公式是.
【小问2详解】
由(1)知，
因此原不等式化为，而函数在上单调递增，又，则，
所以原不等式的解为.
20. 某篮球联赛分为初赛和复赛两个阶段，组委会根据初赛成绩进行第一阶段排名(假设排名不重复)，前六名的球队直接进入复赛，第七、八名的球队进行第一场复活赛，胜者进入复赛；第九、十名的球队进行一场比赛，胜者与第一场复活赛的败者进行第二场复活赛，本场的胜者成为进入复赛的最后一只球队.假设各场比赛结果互不影响，且每场比赛必须分出胜负
(1)若初赛后，甲、乙、丙、丁四队分别排在第七、八、九、十名，丁队与甲、乙、丙队比赛获胜的概率分别是0.4，0.5，0.6，甲队与乙队比赛获胜的概率是0.6，则丁队进入复赛的概率是多少?
(2)若甲，乙两队进入复赛，在复赛中，甲队与乙队需进行一场五局三胜制的比赛，只要其中一方获胜三局，比赛结束、假设各局比赛结果互不影响.若乙队每局比赛获胜的概率为，设比赛结束时乙队获胜的局数为X，求X的概率分布列与均值.
【答案】(1)0.276；
(2)分布列见解析，.
【解析】
【分析】(1)根据给定条件，利用相互独立事件及全概率公式计算作答.
(2)求出的可能值及对应的概率值，列出分布列并求出期望作答.
【小问1详解】
依题意，记丁队进入复赛的事件为，丁队进入复赛需参加两场比赛，第一场战胜丙队，记为事件，
第二场战胜甲乙比赛中的败者，记为事件，甲队战胜乙队记为事件，
则，，
因此，
所以.
【小问2详解】
依题意，的可能值为，
，，
，，
所以的概率分布列为：
数学期望为.
21. 设点F为抛物线C：的焦点，过点F且斜率为的直线与C交于A，B两点(O为坐标原点)
(1)求抛物线C的方程；
(2)过点作两条斜率分别为，的直线，，它们分别与抛物线C交于点P，Q和R，S.已知，问：是否存在实数，使得为定值?若存在，求的值，若不存在，请说明理由.
【答案】(1)；
(2)存在，.
【解析】
【分析】(1)写出直线的方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理结合三角形面积求解作答.
(2)联立直线与抛物线C的方程，结合弦长公式求出，由已知建立关系推理作答.
【小问1详解】
抛物线C：的焦点，直线的方程为，
由消去y并整理得：，设，
则，，
因此，而，解得，
所以抛物线C的方程为.
【小问2详解】
存在，使得为定值.
依题意，直线，直线，
由消去y并整理得，设，
则，，，
设，同理，且有，
由，得，即，而，则，
所以存在，使得为定值0.
【点睛】结论点睛：过定点的直线l：y=kx+b交圆锥曲线于点，，则面积；
过定点直线l：x=ty+a交圆锥曲线于点，，则面积.
22 已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若在上存在两个零点，，证明：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】
【分析】(1)求导函数，确定切线斜率及切点纵坐标，即可得切线方程；
(2)设，则在上存在两个零点，求导结合零点存在定理可得函数的单调性，分别确定函数在处和处的切线方程，构造函数可证得，，考虑和的零点，分别为和，结合不等式的性质即可证明结论.
【小问1详解】
当时，，所以
所以，又因为，
所以在处的切线方程为
【小问2详解】
考虑函数
依题意得在上存在两个零点
而
令，则
因为对任意的，
所以任意的，恒成立，所以在[0,1]上单调递减
而
由零点存在性定理，存在，使得
于是，，，
因此在上单调递增，在上单调递减，
在取到极大值
又因为，由零点存在性定理和的单调性
当且仅当时，在上和上各恰有一个零点，即为， 不妨设
由(1)可得，在处的切线方程为.
令，则
令，则，所以在单调递减
而，所以对任意的， ，所以在单调递减，
又因为，所以对任意的，.
即当时，
同理可计算得，在处的切线方程为
令，则.
令，则，所以在单调递减
而，所以对任意，，所以在单调递增,
又因为，所以对任意的，.
即当时，
考虑和的零点，分别为和
因为，所以，
因为，所以
于，所以.
【点睛】关键点点睛：本题考查函数与导数综合应用，解决函数零点与导数的关系进而证明含零点差的不等式.解决该问题的关键是构造函数，确定函数在处和处的切线方程，利用导数构造函数证明，，从而将零点转化，再结合不等式的性质证得结论.
0
1
2
3