2022-2023学年重庆市两江育才中学高二上学期第一次月考试题 数学 解析版

重庆两江育才中学高2021级2022年秋第一次月考

数学试卷

（时间：120分钟，满分：150分）

一、选择题（每小题5分，其中1-8题为单选，9-12题为多选，共60分）

1 已知向量，，且，则实数（    ）

A.  B. 1 C. 0 D.

【答案】C

【解析】

【分析】由向量垂直得到方程，求出的值.

【详解】由题意得：，解得：.

故选：C

2. 每年的10月10日为“辛亥革命”纪恋日，某高中欲从高一、高二、高三分别600人、500人、700人中采用分层抽样法组建一个36人的团队参加活动，则应抽取高三（    ）

A. 10人 B. 12人 C. 14人 D. 16人

【答案】C

【解析】

【分析】求出高一、高二、高三的人数之比，进而按照比例求出抽取高三的人数.

【详解】高一、高二、高三的人数之比为，

故组建一个36人的团队参加活动，则应抽取高三的人数为.

故选：C

3. 设为两个不同的平面，则的一个充分条件可以是（    ）

A. 内有无数条直线与平行 B. 垂直于同一条直线

C. 平行于同一条直线 D. 垂直于同一个平面

【答案】B

【解析】

【分析】利用线面，面面平行垂直的判定或性质对各个选项进行分析即可得到答案.

【详解】对于A，内有无数条直线与平行不能得出两个平面可以相交，故A错；

对于B，垂直于同一条直线可以得出，反之当时，若垂直于某条直线，则也垂直于该条直线，正确；

对于C，平行于同一条直线，则两个平面可以平行也可以相交，故错误；

对于D，垂直于同一平面的两个平面可以平行也可以相交，故错误；

故选：B．

4. 在正方体中，棱长为2，是底面正方形的中心，点在上，是上靠近的三等分点，当直线与垂直的时候，的长为（    ）

A. 1 B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】建立空间直角坐标，设，，表示出，，依题意，即可得到方程，解得即可.

【详解】解：如图建立空间直角坐标系，则、，，

设，，

则，，

因为，所以，解得.

故选：A

5. 为名学校甲、乙、丙三名领导到高二1班，高二2班，高二3班三个班听课，每个人只能去一个班，每个班必须有领导去，则甲恰好去高二3班听课的概率为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】首先求出基本事件总数，再求出甲恰好去高二3班听课的事件数，最后根据古典概型的概率公式计算可得.

【详解】解：甲、乙、丙三名领导到个班听课，每个班一位来领导，则共有情况，

若甲恰好去高二3班听课，则另外两位领导还有种安排，

故甲恰好去高二3班听课的概率.

故选：D

6. 过点的直线与轴､轴分别交于两点，且恰好是的中点，则的斜率为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】利用中点坐标公式可求得坐标，由两点连线斜率公式可求得结果.

【详解】设，，则，解得：，，，

.

故选：D.

7. 某圆柱形容器内盛有高的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球，则一个球的体积为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】设出球的半径，由体积列出方程，求出球的半径，进而得到一个球的体积.

【详解】设球的半径为，则一个球的体积为，

故，解得：，

故一个球的体积为.

故选：B

8. 张衡是中国东汉时期伟大的天文学家、数学家， 他曾在数学著作《算罔论》中得出结论：圆周率的平方除以十六约等于八分之五． 已知在菱形中，， 将沿进行翻折， 使得． 按张衡的结论， 三棱锥外接球的表面积约为（    ）

A. 72 B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】由球的性质确定三棱锥外接球的球心位置和球的半径，由此可求球的表面积.

【详解】如图1，

取BD的中点M，连接．由，可得为正三角形，且，所以，则，

以M为原点，为轴，为轴，过点M且与平面垂直的直线为轴建立空间直角坐标系如图2，

则， ．设为三棱锥的外接球球心，则在平面的投影必为的外心，则设．由可得，解得，所以．

由张衡的结论，，所以，

则三棱锥的外接球表面积为，

故选：B．

9. 从装有2个红球和2个白球的口袋内任取两个球，则下列选项中的两个事件为不是互斥事件的是（    ）

A. 至多有1个白球；都是红球 B. 至少有1个白球；至少有1个红球

C. 恰好有1个白球；都是红球 D. 至多有1个白球；全是白球

【答案】AB

【解析】

【分析】根据互斥事件的概念判断即可.

【详解】解：对于A：“至多有1个白球”包含都是红球和一红一白，

“都是红球”包含都是红球，所以“至多有1个白球”与“都是红球”不是互斥事件．故A正确；

对于B：“至少有1个白球”包含都是白球和一红一白，“至少有1个红球”包含都是红球和一红一白，

所以“至少有1个白球”与“至少有1个红球”不是互斥事件．故B正确；

对于C：“恰好有1个白球”包含一红一白，“都是红球”包含都是红球，

所以“恰好有1个白球”与“都是红球”是互斥事件．故C错误；

对于D：“至多有1个白球”包含都是红球和一红一白，“全是白球”包含都是白球，

所以“至多有1个白球”与“全是白球”是互斥事件．故D错误．

故选：AB．

10. 为落实党中央的“三农”政策，某市组织该市所有乡镇干部进行了一期“三农”政策专题培训，并在培训结束时进行了结业考试．如图是该次考试成绩随机抽样样本的频率分布直方图．则下列关于这次考试成绩的估计正确的是（    ）

A. 众数为82.5 B. 80百分位数为91.7

C. 平均数为88 D. 没有一半以上干部的成绩在80～90分之间

【答案】AB

【解析】

【分析】A根据直方图判断众数的位置即可；B利用百分位数的运算方法求出80百分位数即可；C利用直方图求出平均数即可；D求出80~90分之间的频率，与比较大小即可

【详解】由图知：众数出现在之间，故众数为，故A正确；

由图可得该次考试成绩在分以下所占比例为，

在分以下所占比例为，

因此，第百分位数一定位于内，

所以第百分位数为，故B正确；

由，C错误；

由，有一半以上干部的成绩在80~90分之间，D错误.

故选：AB

11. 已知为虚数单位，下列命题中正确的是（    ）

A.  B. 复数，则

C. 若复数，则， D. 若，，则的充要条件是

【答案】AC

【解析】

【分析】利用复数的求模公式和四则运算判断A、B，利用虚数不能比较大小判断C，利用特殊值判断D．

【详解】解：对于A：设，，则，，故A正确，

对于B：，

所以，故B错误；

对于C：虚数不能比较大小，能比较大小的一定为实数，，，故C正确；

当，时，满足，但不成立，故D错误.

故选：AC．

12. 设为外心，且满足，，则下列结论中正确的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】ABC

【解析】

【分析】根据数量积的运算律计算A、B，由数量积的定义及运算律求出、、，再由二倍角公式判断C、D.

【详解】解：有题意可知：．

对于A：．

两边同时平方得到：．

解得，故A正确．

对于B：．

两边再平方得到：．

结合A可得：．所以B正确．

对于C：．

两边平方得到：．

解得．

同理可得，．

，．

，所以，则，，所以，

，．

．故C正确；

由，所以，

所以，所以，显然，故D错误．

故选：ABC．

二、填空题（每小题5分，共20分）

13. 已知为坐标原点，点，，若与共线，则实数_____．

【答案】

【解析】

【分析】利用向量共线的坐标公式即可求解

【详解】因为点，，

所以，

因为与共线，

所以，解得

故答案为：

14. 过点且倾斜角是直线：的倾斜角的两倍的直线的方程为______．

【答案】

【解析】

【分析】求出直线的倾斜角，进而可得出所求直线的方程.

【详解】因为直线的斜率为，所以直线的倾斜角为，

所以所求直线的倾斜角为，又过点，

所以所求直线的方程为．

故答案为：

15. 已知一个圆锥的侧面积是底面积的倍，则这个圆锥侧面展开图的圆心角是____________.

【答案】

【解析】

【分析】由题意得以及，得到，进而结合扇形得面积公式即可求出结果.

【详解】设圆锥得地面半径为，母线为，高为，则，由题意知，所以，设圆锥得侧面展开图得圆心角为，则，所以，即，

故答案为：.

16. 甲、乙两人拿两颗质地均匀的骰子做抛掷游戏．规则如下：由一人同时掷两颗骰子，观察两颗骰子向上的点数之和，若两颗骰子的点数之和为两位数，则由原掷骰子的人继续掷；若掷出的点数之和不是两位数，就由对方接着掷．第一次由甲开始掷，设第次由甲掷的概率为，求______，求与的关系，______．

【答案】    ①     ②.

【解析】

【分析】据题意列出第次由甲掷的两种情况，根据互斥事件加法公式求得递推关系式，转化为构造数列求解通项公式的问题即可得到答案．

【详解】解：两颗骰子的点数之和为两位数的概率为．

第次由甲掷有两种情况：

①第次由甲掷，第次由甲掷，概率为；

②第次由乙掷，第n次由甲掷，概率为．

这两种情况是互斥的，所以当时，，即，

所以，

则数列是以为首项，为公比的等比数列，

所以，所以.

故答案为：；

三、解答题（共70分）

17. 如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱PA的长为2，且PA与AB、AD的夹角都等于60°，M是PC的中点，设，，.

（1）试用表示向量；

（2）求BM的长.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】利用空间向量基本定理用基底表示；（2）在第一问的基础上运用空间向量数量积运算法则进行运算.

【小问1详解】

【小问2详解】

，所以，则BM的长为.

18. 如图，直三棱柱中，为中点.

（1）证明：平面；

（2）若此三棱柱的体积为1，，，求直线与平面所成角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）连接交于点，连接，证得，利用线面平行的判定定理，即可证得平面.

（2）以B点为坐标原点，BC，BA，所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系，求得平面的一个法向量为和，结合向量的夹角公式，即可求解.

【小问1详解】

证明：连接交于点，连接，

在直三棱柱中，为矩形，所以为中点，

又因为E为BC中点，所以，

又由平面，平面，所以平面.

【小问2详解】

解：在直三棱柱中，平面ABC，所以，

又因为，，所以平面，所以，

由，可得，

以B点坐标原点，BC，BA，所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系，如图所示，则，，，，

可得，，，

设平面的法向量为，则，

令，则，，所以为平面的一个法向量，

设直线与平面所成角为，则，

所以直线与平面所成角的正弦值为.

19. 已知直线，直线

（1）若，求；

（2）当时，设直线的斜率分别为，求的最小值．

【答案】（1）；   

（2）

【解析】

【分析】（1）直接由直线一般式方程的平行公式求出，代入直线方程检验是否重合即可；

（2）先表示出，通过结合基本不等式即可求出最小值.

【小问1详解】

由题意知：，解得或，又时，，，

重合，舍去，故.

【小问2详解】

由题意知，又，则，则

，当且仅当，即时取等.

故的最小值为.

20. 如图，在四边形中，，．且______；在①、②、③中选一个作为条件，解答下列问题；①；②；③．

（1）求四边形的面积；

（2）求的值．

【答案】（1）条件选择见解析，面积为   

（2）

【解析】

【分析】（1）选①：由余弦定理得到，进而求出，由勾股定理逆定理得到，由和诱导公式求出，进而由面积公式求出与，相加后求出四边形面积；

选②：求出，得到，再由余弦定理求出，由勾股定理逆定理得到，由和诱导公式求出，进而由面积公式求出与，相加后求出四边形面积；

选③：由向量数量积公式得到，由余弦定理求出，由勾股定理逆定理得到，由和诱导公式求出，进而由面积公式求出与，相加后求出四边形面积；

（2）先求出，由余弦定理求出，再由正弦定理求出.

【小问1详解】

选①：，

故，

因为，所以，

因为，所以，

由余弦定理得：，

故，

因为，所以，

因为，且为钝角，故，

所以，

故，

又，

故四边形的面积为；

选②：，

即，

在中，，故为锐角，

所以，

由余弦定理得：，

结合，解得：，

因为，所以，

因为，且为钝角，故，

所以，

故，

又，

故四边形的面积为；

选③：，

即，即，

因为，所以，

因为，所以，

由余弦定理得：，

故，

因为，所以，

因为，且为钝角，故，

所以，

故，

又，

故四边形的面积为；

【小问2详解】

选①②③，均求出，

由图可知为锐角三角形，，

由余弦定理得：，

结合，解得：，

由正弦定理得：，即，

解得：.

21. 某校高一举行了一次数学竞赛，为了了解本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100）作为样本（样本容量为）进行统计，按照，，，，的分组作出频率分布直方图，已知得分在，的频数分别为8，2．

（1）求样本容量和频率分布直方图中的的值；

（2）估计本次竞赛学生成绩的中位数；

（3）在选取的样本中，从竞赛成绩在80分以上（含80分）的学生中随机抽取2名学生，求所抽取的2名学生中至少有一人得分在内的概率．

【答案】(1)；(2)；(3).

【解析】

【详解】试题分析：(1)借助题设条件运用频率分布直方图求解；(2)借助题设条件运用频率分布直方图中提供的数据信息求解；(3)运用列举法和古典概型计算公式求解.

试题解析：

（1）由题意可知，样本容量n==50，

，x=0.100﹣0.004﹣0.010﹣0.016﹣0.040=0.030；

（2）设本次竞赛学生成绩的中位数为m，平均分为，

则[0.016+0.03]×10+（m﹣70）×0.040 =0.5，解得，

=（55×0.016+65×0.030+75×0.040+85×0.010+95×0.004]×10=70.6，

（3）由题意可知，分数在[80，90）内的学生有5人，记这5人分别为a1，a2，a3，a4，a5，

分数在[90，100]内的学生有2人，记这2人分别为b1，b2．抽取的2名学生的所有情况有21种，

分别为：（a1，a2），（a1，a3），（a1，a4），（a1，a5），（a1，b1），（a1，b2），（a2，a3），

（a2，a4），（a2，a5），（a2，b1），（a2，b2），（a3，a4），（a3，a5），（a3，b1），

（a3，b2），（a4，a5），（a4，b1），（a4，b2），（a5，b1），（a5，b2），（b1，b2）．

其中2名同学的分数都不在[90，100]内的情况有10种，分别为：

（a1，a2），（a1，a3），（a1，a4），（a1，a5），（a2，a3），（a2，a4），（a2，a5），（a3，a4），（a3，a5），（a4，a5）．

∴所抽取2名学生中至少有一人得分在[90，100]内的概率.

考点：频率分布直方图、频率与频数的关系及古典概型的计算公式等有关知识的综合运用．

【易错点晴】本题以学校中的数学竞赛的数学成绩的抽样统计的频率分布直方图为背景,设置了三个较为平常的数学问题.解答时一定要充分利用题设中提供的频率分布直方图所提供的数据信息,结合题设条件进行求解.第一问中求的是频率分布直方图中的未知数的值,运用该频率分布直方图时一定要注意该图的纵坐标是频率与组距的比值,这一点解题很容易被忽视.第二问中求的是中位数和平均数,求解时先依据中位数这个概念建立了方程求解,再运用平均数公式进行求解；第三问是运用简单枚举法一一列举出基本事件的所有可能和符合条件的事件的可能,最后运用古典概型的计算公式求出其概率的值.这是一道非常平常的考查基础知识和基本方法的基础题.

22. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面底面，为的中点，是棱上的点，，，．

（1）求证：平面平面；

（2）若满足，求异面直线与所成角的余弦值；

（3）若二面角大小为，求的长．

【答案】（1）证明见解析   

（2）   

（3）

【解析】

【分析】（1）证明，根据平面平面可得平面，即可证明平面平面；

（2）确定平面，建立空间直角坐标系，求出，利用向量的夹角公式求异面直线与所成角的余弦值；

（3）根据二面角大小为，利用向量的夹角公式，即可求的长．

【小问1详解】

证明：，，为的中点，

四边形为平行四边形，

．

，即．

又平面平面且平面平面，平面，

平面．

平面，

平面平面．

【小问2详解】

解：，为的中点，

．

平面平面，且平面平面，平面，

平面．

如图，以为原点建立空间直角坐标系．则，0，，，0，，，，

由，且，可得

，

解得，

设异面直线与所成角为，则

异面直线与所成角的余弦值为，

【小问3详解】

解：由（2）知平面的法向量为，

由且，得，

，又，

设平面法向量为，所以，令，则，

平面法向量为．

二面角为，，

．