重庆市育才中学2023-2024学年高一数学上学期第一次月考试题(Word版附解析)
展开(满分150分,考试时间120分钟)
本试卷为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.
注意事项:
1.作答前,考生务必将自己的姓名、考场号、座位号填写在试卷的规定位置上.
2.作答时,务必将答案写在答题卡上,写在试卷及草稿纸上无效.
3.考试结束后,答题卡、试卷、草稿纸一并收回.
第Ⅰ卷
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合,集合或,则( )
A. B. C. D. 或
【答案】B
【解析】
【分析】化简集合,利用交集的定义求解.
【详解】化简集合,得,
又集合或,由交集的定义可得,
.
故选:B
2. 命题“,使得”的否定是( )
A. ,均有
B. ,均有
C. ,有
D. ,有
【答案】B
【解析】
【分析】利用含有一个量词的命题的否定的定义求解.
【详解】解:由题意可知,命题“∃x∈R使得x2+3x+2<0”是存在量词命题,
所以其否定是∀x∈R,均有x2+3x+2≥0,
故选:B.
3. 使得不等式“”成立的一个必要不充分条件是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】首先解出一元二次不等式,再根据集合的包含关系判断即可.
【详解】由,即,解得,
因为真包含于,
所以使得不等式“”成立的一个必要不充分条件可以是.
故选:C
4. 若命题“存在”是真命题,则实数m的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题可知方程有实数解,即求.
【详解】由题知方程有实数解,
∴,
解得,
故选:B.
5. 为丰富学生的课外活动,学校开展了丰富的选修课,参与“数学建模选修课”的有169人,参与“语文素养选修课”的有158人,参与“国际视野选修课”的有145人,三项选修课都参与的有30人,三项选修课都没有参与的有20人,全校共有400人,问只参与两项活动的同学有多少人?( )
A. 30B. 31C. 32D. 33
【答案】C
【解析】
【分析】先画出韦恩图,根据荣斥原理求解.
【详解】画出维恩图如下:
设:只参加“数学建模课”和“语文素养课”的有x人,只参加“数学建模课”和“国际视野课”的有y人,只参加“语文素养课”和“国际视野课”的有z人,
则:,;
故答案为:32人.
6. 已知集合,,,则集合,,的关系为( )
A. B.
C. D. ,
【答案】B
【解析】
【分析】对集合中的元素通项进行通分,注意与都是表示同一类数,表示的数的集合是前者表示的数的集合的子集,即可得到结果.
【详解】对于集合,,
对于集合,,
对于集合,,
由于集合中元素的分母一样,只需要比较其分子即可,且,
注意到与表示数都是3的倍数加1,表示的数是6的倍数加1,
所以表示的数的集合是前者表示的数的集合的子集,
所以.
故选:B.
7. 对于集合,定义,,设,,则( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题中集合新定义的特性结合集合的基本运算可求解出结果.
【详解】集合,,
则,,
由定义可得:且,
且,
所以,选项 ABD错误,选项C正确.
故选:C.
8. 已知正数满足,则的最小值为( )
A. 36B. 42C. 46D. 49
【答案】D
【解析】
【分析】由题设可得,利用基本不等式求最小值,注意取值条件.
【详解】由题设,
当且仅当,即时等号成立,
所以的最小值为49.
故选:D
二、多选题:本题共4小题,每小题5分,共20分,在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得2分.
9. 下列关于符号“”使用正确的有( )
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】根据元素与集合、集合与集合的关系判断即可.
【详解】对于A:,故A错误;
对于B:,,所以,故B正确;
对于C:,故C正确;
对于D:或,故D错误;
故选:BC
10. 下列命题为真命题的是( )
A. 若,,则B. 若,,则
C. 若,则D. 若,,则
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据不等式的性质、作差比较法等知识确定正确答案.
【详解】A选项,当,时,根据不等式的性质可知,A选项是真命题.
B选项,当,时,如,,B选项是假命题.
C选项,当时,,两边乘以得,C选项是真命题.
D选项,当,时,,D选项是真命题.
故选:ACD
11. 以下说法正确的有( )
A. 实数是成立的充要条件
B. 对恒成立
C. 若对任意恒成立,则实数的取值范围为
D. 若,则的最小值是2
【答案】BC
【解析】
【分析】A将代入判断;B展开不等式右侧,结合基本不等式判断不等关系;C问题化为,利用基本不等式求最大值即可得参数范围;D基本不等式求最小值,注意等号是否能够成立即可.
【详解】A:当时成立,但不成立,错;
B:有,当且仅当时等号成立,对;
C:由题意在上恒成立,只需即可,
而,当且仅当时等号成立,故,
所以,对;
D:,
而,即,故等号不成立,错.
故选:BC
12. 下列命题正确的是( )
A. 若,,则;
B 若正数a、b满足,则;
C. 若,则的最大值是;
D. 若,,,则的最小值是9;
【答案】BC
【解析】
【分析】A选项用作差法即可,B,C,D选项都是利用基本不等式判断.
【详解】对于选项A,,
因为,,所以,
,即,故,所以A错误;
对于选项B,因为,所以,
当且仅当,即时,等号成立,故B正确;
对于选项C,因为,,当且仅当即 时,等号成立,所以,故C正确;
对于选项D,因为,所以,
所以,当且仅当即时,等号成立,所以的最小值是8,故D错误.
故选:BC.
第II卷(非选择题)
三、填空题:本题共4个小题,每小题5分,共20分.
13. 已知实数满足,则的取值范围是_________________.
【答案】
【解析】
【分析】利用不等式的性质即可求得答案
【详解】解:因为,所以,
因为所以,
所以的取值范围是,
故答案为:
14. 不等式的解集是,则______.
【答案】
【解析】
【分析】由一元二次不等式的解集可得求a、b,即可确定目标式的结果.
【详解】由题设,,可得,
∴.
故答案为:
15. 已知,,则______.
【答案】
【解析】
【分析】根据交集定义可联立构造方程组求得的值,从而得到结果.
【详解】由得:或或,.
故答案为:.
16. 已知正实数满足,且,则的最小值为__________.
【答案】
【解析】
【分析】将,变形为,再由,利用基本不等式求解.
【详解】解:因为,
所以,
所以,
(当且仅当时,联立,
解得),
所以的最小值为4,
故答案为:4
四、解答题:本题共6小题,17题10分,其余各题每题12分,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知全集,,.
(1)求;
(2)求.
【答案】(1)
(2)或
【解析】
【分析】(1)根据并集知识求得正确答案.
(2)根据交集和补集的知识求得正确答案.
【小问1详解】
由于,,
所以
【小问2详解】
,
所以或.
18. 在①;②;③这三个条件中任选一个,补充到本题第(2)问的横线处,求解下列问题.
问题:已知集合.
(1)当时,求;
(2)若__________,求实数的取值范围.
【答案】(1);
(2)答案见解析.
【解析】
【分析】(1)解一元二次不等式求集合B,再由集合的交补运算求结果;
(2)根据所选条件判断集合间的关系,注意讨论、分别求参数范围,即可得参数范围.
【小问1详解】
由题设,则或,
所以.
【小问2详解】
选①:,
选②:,
若,则,满足;
若,则;
综上,.
选③:,
若,则,满足;
若,则或;
综上,.
19. 解答下列各题.
(1)已知,试比较与大小;
(2)设均为正数,且,证明:.
【答案】(1);
(2)证明见解析.
【解析】
【分析】(1)应用作差法比较大小即可;
(2)由,应用基本不等式证明结论.
【小问1详解】
,又,
所以,故,即.
【小问2详解】
由题设,
又,
当且仅当时等号成立,
所以,得证.
20. 为了提高某商品的销售额,某厂商采取了“量大价优”“广告促销”的方法,市场调查发现,某件产品的月销售量m(万件)与广告促销费用x(万元)()满足:,该产品的单价n与销售量m之间的关系定为:万元,已知生产一万件该产品的成本为8万元,设该产品的利润为y万元.
(1)请用x表示y并表示出x的范围;(利润=销售额-成本-广告促销费用)
(2)当广告促销费用定为多少万元的时候,该产品的利润最大?最大利润为多少万元?
【答案】(1)且;
(2)广告促销费用定为万元的时候,该产品的利润最大为万元.
【解析】
【分析】(1)根据题设有,结合已有函数模型即得的表达式,并确定自变量范围;
(2)利用基本不等式求函数最大值,并写出利润最大时对应广告促销费用即可.
【小问1详解】
由题意,,
又,
所以且.
【小问2详解】
由(1)知:,
当且仅当时等号成立,
所以,广告促销费用定为万元的时候,该产品的利润最大为万元.
21. 已知正数满足.
(1)求的最小值;
(2)求的最小值.
【答案】(1)4 (2)25
【解析】
【分析】(1)(2)根据基本不等式即可求解,
【小问1详解】
由,故,
当且仅当时等号成立,故最小值为4,
【小问2详解】
由可得,故
因此,
当且仅当,即等号成立,故最小值为25,
22. 若实数满足,则称比远离.
(1)若比远离1,求实数取值范围;
(2)若,试问:与哪一个更远离,并说明理由.
【答案】(1);
(2)答案见解析.
【解析】
【分析】(1)根据题设定义有,解绝对值不等式求范围;
(2)令,,数形结合判断讨论函数、上的点到的距离研究的情况,根据定义判断的情况.
【小问1详解】
由题设或或,
所以实数的取值范围是.
【小问2详解】
由题设,令,,
所以,问题化为讨论在函数、上取相同x值的点到的距离关系,
画出、、的图象如下,、相交于两点,
当,由图有如下情况,
若,到的距离比到的距离近,即更远离;
若,到的距离比到的距离远,即更远离;
若或,、到的距离相同,即、与一样远;
若,到的距离比到的距离近,即更远离;
当,由,则
,
所以,即更远离;
综上,当或,更远离;当,更远离;当或,、与一样远.
【点睛】关键点点睛:第二问,由距离远近的定义,综合运用函数图象及分类讨论研究距离问题.
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