重庆市育才中学2022-2023学年高一数学下学期3月月考试题（Word版附解析）

重庆市育才中学校高2025届2022-2023学年（下）3月月考

数学试题

本试卷为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

第I卷

一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知平面向量，若，则（    ）

A. 1 B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】求出的坐标，根据，列出方程，计算可得.

【详解】因为，

所以，

因为，，

所以，解得

故选：C.

2. 已知是第二象限角，则点位于（    ）

A. 第一象限 B. 第二象限

C. 第三象限 D. 第四象限

【答案】D

【解析】

【分析】已知是第二象限角，求和终边所在位置，判断和的符号，确定点所在象限.

【详解】是第二象限角，则，

，的终边在一三象限，，

，的终边在三四象限和轴非负半轴，，

则点位于第四象限.

故选：D

3. 如图，是一种碳原子簇，它是由60个碳原子构成的，其结构是以正五边形和正六边形面组成的凸32面体，这60个原子在空间进行排列时，形成一个化学键最稳定的空间排列位置，恰好与足球表面格的排列一致，因此也叫足球烯.根据杂化轨道的正交归一条件，两个等性杂化轨道的最大值之间的夹角满足：，式中分别为杂化轨道中轨道所占的百分数.中的杂化轨道为等性杂化轨道，且无轨道参与杂化，碳原子杂化轨道理论计算值为，它表示参与杂化的轨道数之比为，由此可计算得一个中的凸32面体结构中的五边形个数和两个等性杂化轨道的最大值之间的夹角的余弦值分别为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】设中的凸32面体结构中共有个五边形，个六边形，列方程即可求解，再根据所给公式求出.

【详解】设一个中的凸32面体结构中共有个五边形，个六边形，

因为每个顶点都是三个面的公共顶点，所以，

又因为，解得，所以共有12个正五边形；

又因为，

所以，解得，

故选：C.

4. 已知 ，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据 ， ，运用同角关系计算.

【详解】 ，

，  ，

；

故选：C.

5. 已知非零向量满足，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】由已知向量的垂直，根据数量积为0，列方程组求解.

【详解】，则，①

，则有，②

，得，则有，代入①式，

，解得，

由，得.

故选：A

6. 已知，则的大小关系为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】通过和中间数比大小即可.

【详解】；

；

；

所以

故选：D

7. 如图，在梯形中，且为以为圆心为半径的圆弧上的一动点，则的最小值为（    ）

A  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算及三角函数的性质求解.

【详解】以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，

则有，，，，设，

得，，，

则

由，当时，有最小值.

故选：B

8. 设函数，若对任意实数在区间上至少有3个零点，至多有4个零点，则的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】由题可转化为研究函数在任意一个长度为的区间上的零点问题，求出函数在轴右侧靠近坐标原点处的零点，得到相邻四个零点之间的最大距离，相邻五个零点之间的距离，结合条件列式即得.

【详解】因为为任意实数，故函数的图象可以任意平移，从而研究函数在区间上的零点问题，

即研究函数在任意一个长度为的区间上的零点问题，

令，得，则它在轴右侧靠近坐标原点处的零点分别为，，，，，，

则它们相邻两个零点之间距离分别为，，，，，

故相邻四个零点之间的最大距离为，相邻五个零点之间的距离为，

所以要使函数在区间上至少有3个零点，至多有4个零点，则需相邻四个零点之间的最大距离不大于，相邻五个零点之间的距离大于，

即，解得.

故选：B.

二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 已知在同一平面内的向量均为非零向量，则下列说法中正确的有（    ）

A. 若，则

B. 若，则

C.

D. 若且，则

【答案】AD

【解析】

【分析】平面向量共线的传递性判断A，由向量数量积的定义可判断B，根据数量积及共线向量的概念可判断C，根据向量垂直及向量数量积的概念可判断D.

【详解】对A，在同一平面内的向量均为非零向量，若且，则，即A正确；

对B，若，则，又，所以，

因为与的夹角不一定相等，所以不一定成立，即B错误；

对C，因为与共线，与共线，所以不一定成立，即C错误；

对D，若且，则，，即D正确.

故选：AD．

10. 函数的部分图象如图所示，则下列说法中正确的有（    ）

A.

B. 为函数的一个对称中心点

C. 为函数的一个递增区间

D. 可将函数向右平移个单位得到

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据函数图像可求出、、值，可得的解析式，利用三角函数的性质对各选项进行判断可得答案.

【详解】由题可得得，，，则，故A正确；

又，所以，又，

所以，所以，

对于B，当时，，所以函数图象关于点对称，故B正确；

对于C，由，可得，

令，可得，所以不是函数一个递增区间，故C错误；

对于D，将函数向右平移个单位得到，故D正确.

故选：ABD.

11. 已知分别是定义在上的奇函数和偶函数，且，则下列说法中正确的有（    ）

A.  B.

C.  D. 若，则

【答案】ACD

【解析】

【分析】分别是定义在上的奇函数和偶函数，由可得，可解出，，再逐个验证选项即可.

【详解】函数分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且满足可得，即，与联立，

可得，，

，A选项正确；

，故B选项错误；

，，，C选项正确；

函数是定义在R上的奇函数，且在R上单调递增，

若，则，有，所以，D选项正确.

故选∶ACD．

12. 已知两个不相等的非零向量，两组向量和均由3个和2个排列而成，记表示所有可能取值中的最小值，则下列命题正确的是（    ）

A. 有3个不同的值

B.

C. 若，则与无关

D. 若，则

【答案】AD

【解析】

【分析】求出S的三种结果，得出，对选项进行分析得出答案.

【详解】均由3个和2个排列而成，

所以可能情况有三种︰ ；；，故A选项正确；

.

则中最小为，即，B选项错误；

若 则 与 有关，故C选项错误；

若， ，有，则，D选项正确.

故选：AD．

第II卷

三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 已知点，点，若，则点的坐标是________ ．

【答案】P（3,4）

【解析】

【详解】试题分析：设，代入得

考点：向量的坐标运算

14. 已知，则__________.

【答案】##-0.6

【解析】

【分析】利用诱导公式化简可得，然后根据二倍角公式及同角关系式转化为齐次式即得.

【详解】由，得，

则，所以，

所以.

故答案为：.

15. 写出一个同时满足下列三个条件的函数__________.

①不是常数函数    ②为奇函数    ③

【答案】（答案不唯一）．

【解析】

【分析】写出符合要求的三角函数即可

【详解】分析函数的性质，可考虑三角函数，
 

函数的对称轴为，对称中心，周期可以为4，，

函数解析式可以为（答案不唯一）．

故答案为：（答案不唯一）．

16 已知函数

（1）的值域为__________.

（2）设，若对任意的，总存在，使得，则实数的取值范围为__________.

【答案】    ①.     ②.

【解析】

【分析】利用倍角公式化简函数解析式，由定义域求函数值域；由题意，的值域包含的值域，分类讨论解不等式即可.

【详解】，

由，有，

则当时，有最小值，当或时，有最大值，

所以的值域为.

，

，其中，，，

，，

因为对任意的，总存在，使得，

所以的值域是的值域的子集，

时不合题意，

时，当，有最小值，则有，解得，

此时时，有最大值，

时，当，有最小值，则有，解得，

此时时，有最大值，

则实数的取值范围为.

故答案为：；.

四､解答题：本大题6个小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明､演算步骤或推理过程，并答在答题卡相应的位置上.

17. 已知平面向量满足.

（1）求在上的投影向量的坐标；

（2）当最小时，求与的夹角.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）利用投影向量的公式计算即可；

（2），两边同时平方，最小时，求得，与的夹角即与的夹角，利用向量数量积计算即可.

【小问1详解】

由题意，，设，在上的投影向量为，所以在上的投影向量的坐标为.

【小问2详解】

（时等号成立），

则最小时，，

所以，

因为所以当最小时，与的夹角的大小为.

法二： ，

，得所求夹角为.

18. 如图，在平面直角坐标系中，角的终边与单位圆的交点为，角终边与单位圆的交点为.

（1）若，求的取值范围；

（2）若点的坐标为，求点的坐标.

【答案】（1）   

（2）.

【解析】

【分析】（1）由三角函数定义求点的坐标，根据三角恒等变换用表示，结合正弦函数性质求其取值范围；

（2）由三角函数定义可得，根据两角差正弦和余弦公式求可得点的坐标.

【小问1详解】

由题意，

所以

，

由，可得，

所以 ，

所以的取值范围是.

【小问2详解】

由，得，

，

，

，

所以点的坐标为.

19. 已知平面向量不共线，由平面向量基本定理知，对于该平面内的任意向量，都存在唯一的有序实数对，使得.

（1）证明：三点共线的充要条件是；

（2）如图，的重心是三条中线的交点，证明：重心为中线的三等分点.

【答案】（1）证明见解析；   

（2）证明见解析.

【解析】

【分析】（1）根据共线向量基本定理结合充要条件的概念即得；

（2）根据向量共线定理及推论可得，，进而，即证；或利用平面几何知识即得.

【小问1详解】

证明：必要性，三点共线，不妨设，

可得，，

又，

所以，得，得证；

充分性：，

，即，

，又与有公共点，

所以三点共线；

所以三点共线的充要条件是；

【小问2详解】

法一（向量法）

的重心是三条中线的交点，

可设，，

因为三点共线，可设，

则，

所以，解得，

所以，为的三等分点，

同理可证为的三等分点，

重心为中线的三等分点.

法二（几何法）：连接，为的中点，

，

，

所以，同理可得，

所以重心为中线的三等分点.

20. 已知向量，函数.

（1）求函数的单调增区间和对称轴；

（2）若关于的方程在上有两个不同的解，记为.

①求实数的取值范围；

②证明：.

【答案】（1），对称轴为   

（2）①；②证明见解析

【解析】

分析】（1）根据向量点乘和三角函数恒等变换公式化简，利用整体代入法计算出单调增区间和对称轴；

（2）根据范围求实数的取值范围；根据是两个不同解可知，根据图象可得，利用倍角公式计算即可.

【小问1详解】

，

令此时函数单调递增，

函数单调递增区间为.

令得，所以函数的对称轴为；

【小问2详解】

①，，由图象分析得，有两个不同的解，

则，.

②因为是方程的两个根，所以，

由图象分析得，，

.

21. 已知，函数.

（1）若函数的图象经过点，求不等式的解集；

（2）设，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求的取值范围.

【答案】（1）或；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）将点代入可求出，然后根据函数的单调性即得；

（2）由复合函数的单调性知在区间上单调递增，进而得到最大值与最小值，再由题可得对任意恒成立，构造新函数，求最值可得出答案.

【小问1详解】

由题可得，解得，

即

由，可得，

解得或，

所以不等式的解集为或；

【小问2详解】

因为是复合函数，设，，

因为，在区间单调递增，单调递增，

故函数在区间上单调递增，

又，所以，

所以，

由题意，，即，对任意恒成立，

故，对任意恒成立，

整理得：，

令，，只需即可，

因为的对称轴为，图象是开口向下的抛物线，

故在上单调递减，

故，

所以，即的取值范围是.

22. 设次多项式，若其满足，则称这些多项式为切比雪夫多项式.例如：由可得切比雪夫多项式.

（1）求切比雪夫多项式；

（2）求的值；

（3）已知方程在上有三个不同的根，记为，求证：.

【答案】（1）   

（2）   

（3）证明见解析

【解析】

【分析】（1）根据两角和余弦公式和二倍角余弦公式利用表示，由此可得；

（2）由诱导公式可得，根据（1）和二倍角正弦公式和平方关系可求；

（3）方法一：由已知，设，由（1）可求，再根据两角和差余弦公式证明；

方法二：由已知，根据整式性质可得.

【小问1详解】

因为

所以

所以，

所以；

【小问2详解】

因为，

所以，又，

所以，

所以

即，因为，

解得（舍去）；

【小问3详解】

由题意，，

法一：设，代入方程得到，

解三角方程得，不妨取，

，

而，

综上.

法二：令

即

依据多项式系数对应相等得到.

综上.

【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.