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2022-2023学年皖豫名校联盟高二上学期阶段性测试（二）数学试题（解析版）
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2022-2023学年皖豫名校联盟高二上学期阶段性测试（二）数学试题一、单选题1．直线：与两坐标轴围成的三角形的面积是（ ）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】D【分析】分别求出与两坐标轴交点即可得到面积.【详解】令，得，令，得由题可知直线与两坐标轴的交点分别为，，所以该直线与两坐标轴围成的三角形的面积是.故选：D.2．已知在空间四边形中，，则（ ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据得到G为CD的中点，再利用平行四边形法则得到，最后代入计算即可.【详解】因为，故G为CD的中点，如图，由平行四边形法则可得，所以.故选：A.3．已知圆关于直线对称，且点在该直线上，则实数（ ）A．3 B．2 C． D．【答案】D【分析】根据圆关于直线对称可知圆心在直线上,代入圆心和点,即可求解.【详解】圆的圆心为，依题意，点在直线，因此，即，又，所以， .故选：D4．已知点，，若过点的直线与线段相交，则该直线的斜率的取值范围是（ ）A． B．C． D．【答案】B【分析】求出两极端位置时的斜率，即，，则得到相交时其斜率范围.【详解】过点C的直线与线段AB相交，，，又该直线与轴垂直时，斜率不存在，所以该直线的斜率的取值范围为.故选：B.5．若圆与圆有且仅有一条公切线，则实数（ ）A．-1 B．1 C．±1 D．0【答案】D【分析】利用配方法，结合两圆公切线的性质进行求解即可.【详解】将化为标准方程得，即圆心为，半径为2，圆的圆心为，半径为1.因为圆与圆有且仅有一条公切线，所以两圆的位置关系为内切，所以，即，解得.故选：D6．在长方体中，，则直线与平面所成角的余弦值为（ ）A． B． C． D．【答案】C【分析】以为坐标原点，建立合适空间直角坐标系，写出相关向量，求出平面的一个法向量为，计算，则可得到线面夹角正弦值.【详解】以为坐标原点，，，的方向为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，.设平面的法向量为，则，令，解得，，∴.∵，，∴直线与平面所成角的余弦值为 .故选：C.7．某公司要建一个以甲、乙、丙三地为顶点的大型三角形养鱼场，若甲、乙两地之间的距离为12km，且甲、丙两地的距离是乙、丙两地距离的倍，则这个三角形养鱼场的面积最大是（ ）A． B． C． D．【答案】B【分析】建立直角坐标系，求出点C的轨迹，再利用三角形面积公式即可求解.【详解】以点A，B，C分别表示甲、乙、丙地，以线段AB的中点О为原点，线段AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，如图，则，，设点，则，即，整理可得，∴点C的轨迹是以点为圆心，为半径的圆除去与轴的交点后所得曲线，∴.故选：B8．已知抛物线的焦点为，点在上，点的横坐标为，点的纵坐标为，若，则（ ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据抛物线方程可确定焦点和准线，知在准线上，根据全等关系和抛物线定义可确定，由此可证得与为全等的等边三角形，则可得直线方程，与抛物线方程联立可求得点坐标，由抛物线焦半径公式可求得结果.【详解】由抛物线方程知：焦点，准线，，，，又点横坐标为，即在准线上，由抛物线定义知：，即轴，，，，与为全等的等边三角形，直线方程为：，由得：或；当时，，不合题意，，即点横坐标为，.故选：A.二、多选题9．已知空间中三点，，，则（ ）A．向量与互相垂直B．与方向相反的单位向量的坐标是C．与夹角的余弦值是D．在上的投影向量的模为【答案】ABC【分析】根据空间向量数量积的坐标表示公式，结合投影向量的定义、空间向量夹角公式逐一判断即可.【详解】由已知可得，，.因为，所以与互相垂直，故A正确；，所以与方向相反的单位向量的坐标是，故B正确；，，，所以，故C正确；在上的投影向量的模为，故D错误.故选：ABC10．已知曲线：，则（ ）A．若曲线表示焦点在轴上的双曲线，则的焦距为B．若曲线表示椭圆，则的取值范围是C．若，则的焦点坐标是和D．若，则的渐近线方程为【答案】AC【分析】根据椭圆和双曲线的方程特征，列方程组，判断AB；代入和，得到曲线方程，根据性质判断CD.【详解】A.由题可得，，解得，则，，，则C的焦距为，A正确；B.若曲线C表示椭圆，则 ，B错误；C.当时，曲线：，则，，则，所以的焦点坐标是和，C正确；D.当时，曲线：表示双曲线，则其渐近线方程为，D错误.故选：AC11．已知圆：与圆：，则（ ）A．若圆与轴相切，则B．若，则圆与圆相交C．当时，两圆的公共弦长为D．直线与圆始终有两个交点【答案】BD【分析】由圆的方程得圆是以为圆心，2为半径的圆，分析选项中图形的位置关系判断正误.【详解】由题可知圆：是以为圆心，2为半径的圆，若圆与x轴相切，则有，所以，故A错误；当时，，两圆相交，故B正确；当时，两圆的方程相减可得公共弦所在直线的方程为，圆心到直线的距离为1，所以两圆的公共弦长为，故C错误；直线过定点，而，故点在圆内部，所以直线与圆始终有两个交点，故D正确.故选：BD.12．已知椭圆：的左顶点为，左、右焦点分别为，，点在上，且直线AM的斜率为.点P是椭圆C上的动点，则（ ）A．椭圆的离心率为B．若，则点的横坐标的取值范围是C．的取值范围为D．椭圆上有且只有4个点，使得是直角三角形【答案】CD【分析】由条件列方程求，根据离心率的定义求离心率，判断A，由条件求点的横坐标的取值范围，判断B，利用数量积的坐标运算公式计算，结合椭圆的范围，判断C，讨论直角位置，确定满足条件的点的个数，判断D.【详解】由题意可知直线的方程为，令，可得，则，又椭圆C过点，所以，解得，所以C的方程为.设椭圆的半焦距为，则，椭圆的离心率为，故A错误；设点的坐标为，则，又，所以，所以，又，解得，故点P的横坐标的取值范围是，故B错误；又，，则，因为，所以，所以，故C正确；若为直角三角形，且点为直角顶点，则，故，该方程无解，故以点Р为直角顶点的不存在，又当点的坐标为或时，是以点为直角顶点的三角形，当点的坐标为或时，是以点为直角顶点的三角形，所以C上有且只有4个点P，使得是直角三角形，故D正确.故选：CD.三、填空题13．已知空间向量，，，则与的夹角为__________.【答案】【分析】根据向量相乘的数量积与向量模的关系即可求解.【详解】由题可知，因为，所以，所以，又，所以与的夹角为.故答案为：.14．已知椭圆：的短轴长为6，，是椭圆C的两个焦点，点M在C上，若的最大值为16，则椭圆C的离心率为__________.【答案】【分析】根据基本不等式，结合椭圆的定义，得，再根据条件，求出，即可求椭圆的离心率.【详解】因为，所以（当且仅当时，等号成立）.由题可知，所以，又，解得，所以.故答案为：15．已知直线与圆：交于A，B两点，则的面积的最大值为__________.【答案】【分析】由直线与圆相交根据圆心到直线得距离小于半径可得的取值范围，再有弦长公式求出弦长，再由点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，再代入面积公式得出面积与的关系式，利用基本不等式即可求出面积的最大值.【详解】圆：的圆心坐标为，半径.由圆心到直线的距离，解得.直线被圆截得的弦长为，所以的面积，当且仅当，即或1时取“=”.故答案为：16．已知，分别为双曲线：的左、右焦点，过点且斜率为的直线与双曲线的右支交于P，Q两点，若是等腰三角形，则双曲线的离心率为__________.【答案】【分析】根据双曲线的定义，结合等腰三角形的性质，分两种情况，分别求得焦半径的长度，再根据直线的倾斜角，根据余弦定理，列式求双曲线的离心率.【详解】不妨设点Р在第一象限，双曲线C的半焦距为，因为与C的右支有两个交点，C的一条渐近线的斜率，则C的离心率.若，根据双曲线的定义知，所以，所以，.由题可知，在中，由余弦定理可得，整理得，即，解得（负值舍去），此时，满足条件.若，则与上面的分析类似可得，，在中，，再由余弦定理求得，此时不满足条件.综上可得.故答案为：四、解答题17．已知在中，边BC和AC所在的直线方程分别为和，边AB的中点为.(1)求点，的坐标；(2)求BC边上的中线所在的直线的方程.【答案】(1)，；(2).【分析】（1）根据中点坐标公式，通过解方程组进行求解即可；（2）根据直线的点斜式方程，结合解方程组进行求解即可.【详解】（1）因为边AB的中点为.设，，则，即，；（2）设边BC的中点为G.由于边BC和AC所在的直线方程分别为和，所以两直线方程联立，解得，，即C点的坐标为.又B点的坐标为，所以点的坐标为.又A点的坐标为，所以直线的方程为，即.18．如图，在棱长为2的正方体中，线段DB的中点为F，点G在棱CD上，且满足.(1)若E为棱的中点，求证：；(2)求直线与所成角的余弦值.【答案】(1)证明见解析；(2).【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量数量积的运算性质进行计算证明即可；（2）利用空间向量夹角公式进行求解即可.【详解】（1）如图，以D为原点，DA，DC，所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则，，，.因为，，所以.所以，故.（2）由（1）中的坐标系及题意可知，，，.因为，.所以，又，，所以，故直线与所成角的余弦值为.19．已知圆：过点，且圆关于直线：对称的圆为圆.(1)求圆的方程；(2)若过点的直线被圆截得的弦长为8，求直线的方程.【答案】(1)(2)或【分析】（1）将点代入圆方程求得半径，利用圆心关于直线对称求圆方程即可；（2）由弦长公式得出圆心到直线的距离，考虑直线斜率存在和不存在两种情况，根据距离公式求解即可.【详解】（1）由题可知.因为圆过点，所以，故，设关于直线的对称点的坐标为，则，解得，所以圆的方程为.（2）因为过点的直线被圆截得的弦长为8，所以圆心到直线的距离为，（ⅰ）当直线的斜率不存在时，其方程为，满足题意；（ⅱ）当直线的斜率存在时，可设其方程为，即，所以圆心到的距离为，解得.综上所述，直线的方程为或.20．已知抛物线：，直线与抛物线C相交于A，B两点，且.(1)求抛物线C的方程；(2)若点P的坐标为，过抛物线焦点的直线交C于M，N两点，求的最小值.【答案】(1)(2)13【分析】(1)联立抛物线和直线方程结合韦达定理得，，已知弦长，解出P即可.(2)设直线方程为，联立抛物线方程得，，代入表达式，转化为求函数最小值.【详解】（1）由可得.∴，.∴，解得（负值舍去），∴抛物线C的方程为.（2）设，.由题意知抛物线的焦点坐标为，直线的斜率不等于0，故可设直线的方程为，由可得，由根与系数的关系得，，∴，∴当时，取得最小值，且最小值为13.【点睛】思路点睛：直线与圆锥曲线的最值问题，先假设直线方程，并先考虑与坐标轴平行的特殊情况，将直线与曲线方程联立得到韦达定理，再将要求的最值问题转化为函数最值问题.21．如图，在三棱锥中，是斜边为AC的等腰直角三角形，是边长为4的等边三角形，且，为棱AC的中点.(1)证明：平面ABC；(2)问：在棱BC上是否存在点M（不与棱BC的端点重合），使得平面PAM与平面PAC的夹角为30?若存在，指出点M的位置；若不存在，请说明理由.【答案】(1)证明见解析(2)存在，点M在棱BC的靠近点B的三等分点处【分析】（1）由线面垂直的判定定理：若直线垂直于平面内的两条相交的直线，则直线与平面垂直，即可证明；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量的方法即可证明存在并可确定点M的位置.【详解】（1）由题可知，，且，∴.连接BO，如图，则，且.∵是边长为4的等边三角形，∴，，且.从而有，故.∵，∴平面.（2）假设存在满足题意的点.由（1）可知，可以О为坐标原点，OB，OC，OP所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，.，，.设，.则.设平面AMP的法向量为，则令，得.易知平面的一个法向量为.∵平面PAM与平面PAC的夹角为30°，∴，解得或（舍去），∴存在，且点M在棱BC的靠近点B的三等分点处.22．已知椭圆：的左焦点为，左顶点为，离心率为.(1)求的方程；(2)若过坐标原点且斜率为的直线与E交于A，B两点，直线AF与的另一个交点为，的面积为，求直线的方程.【答案】(1)(2)或【分析】（1）由左顶点为得，再根据离心率为，求出值，则得到值，则求出的方程.（2）设直线方程为，联立椭圆方程得，设，，则得到韦达定理式，利用弦长公式得到，则有，解出即可.【详解】（1）设椭圆E的半焦距为.因为椭圆的左顶点为，所以.又离心率，所以.所以，所以的方程为.（2）由（1）可知，设直线的方程为.由消去并整理得.设，，则，，所以.因此，解得，即，所以直线的方程为或.【点睛】关键点睛：第二问通常采取设线法，为了减少计算，我们引入参数，设直线的方程为，联立椭圆得到方程，则得到韦达定理式，再利用弦长公式得到其面积相关方程，解出参数即可.
2022-2023学年皖豫名校联盟高二上学期阶段性测试（二）数学试题一、单选题1．直线：与两坐标轴围成的三角形的面积是（ ）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】D【分析】分别求出与两坐标轴交点即可得到面积.【详解】令，得，令，得由题可知直线与两坐标轴的交点分别为，，所以该直线与两坐标轴围成的三角形的面积是.故选：D.2．已知在空间四边形中，，则（ ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据得到G为CD的中点，再利用平行四边形法则得到，最后代入计算即可.【详解】因为，故G为CD的中点，如图，由平行四边形法则可得，所以.故选：A.3．已知圆关于直线对称，且点在该直线上，则实数（ ）A．3 B．2 C． D．【答案】D【分析】根据圆关于直线对称可知圆心在直线上,代入圆心和点,即可求解.【详解】圆的圆心为，依题意，点在直线，因此，即，又，所以， .故选：D4．已知点，，若过点的直线与线段相交，则该直线的斜率的取值范围是（ ）A． B．C． D．【答案】B【分析】求出两极端位置时的斜率，即，，则得到相交时其斜率范围.【详解】过点C的直线与线段AB相交，，，又该直线与轴垂直时，斜率不存在，所以该直线的斜率的取值范围为.故选：B.5．若圆与圆有且仅有一条公切线，则实数（ ）A．-1 B．1 C．±1 D．0【答案】D【分析】利用配方法，结合两圆公切线的性质进行求解即可.【详解】将化为标准方程得，即圆心为，半径为2，圆的圆心为，半径为1.因为圆与圆有且仅有一条公切线，所以两圆的位置关系为内切，所以，即，解得.故选：D6．在长方体中，，则直线与平面所成角的余弦值为（ ）A． B． C． D．【答案】C【分析】以为坐标原点，建立合适空间直角坐标系，写出相关向量，求出平面的一个法向量为，计算，则可得到线面夹角正弦值.【详解】以为坐标原点，，，的方向为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，.设平面的法向量为，则，令，解得，，∴.∵，，∴直线与平面所成角的余弦值为 .故选：C.7．某公司要建一个以甲、乙、丙三地为顶点的大型三角形养鱼场，若甲、乙两地之间的距离为12km，且甲、丙两地的距离是乙、丙两地距离的倍，则这个三角形养鱼场的面积最大是（ ）A． B． C． D．【答案】B【分析】建立直角坐标系，求出点C的轨迹，再利用三角形面积公式即可求解.【详解】以点A，B，C分别表示甲、乙、丙地，以线段AB的中点О为原点，线段AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，如图，则，，设点，则，即，整理可得，∴点C的轨迹是以点为圆心，为半径的圆除去与轴的交点后所得曲线，∴.故选：B8．已知抛物线的焦点为，点在上，点的横坐标为，点的纵坐标为，若，则（ ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据抛物线方程可确定焦点和准线，知在准线上，根据全等关系和抛物线定义可确定，由此可证得与为全等的等边三角形，则可得直线方程，与抛物线方程联立可求得点坐标，由抛物线焦半径公式可求得结果.【详解】由抛物线方程知：焦点，准线，，，，又点横坐标为，即在准线上，由抛物线定义知：，即轴，，，，与为全等的等边三角形，直线方程为：，由得：或；当时，，不合题意，，即点横坐标为，.故选：A.二、多选题9．已知空间中三点，，，则（ ）A．向量与互相垂直B．与方向相反的单位向量的坐标是C．与夹角的余弦值是D．在上的投影向量的模为【答案】ABC【分析】根据空间向量数量积的坐标表示公式，结合投影向量的定义、空间向量夹角公式逐一判断即可.【详解】由已知可得，，.因为，所以与互相垂直，故A正确；，所以与方向相反的单位向量的坐标是，故B正确；，，，所以，故C正确；在上的投影向量的模为，故D错误.故选：ABC10．已知曲线：，则（ ）A．若曲线表示焦点在轴上的双曲线，则的焦距为B．若曲线表示椭圆，则的取值范围是C．若，则的焦点坐标是和D．若，则的渐近线方程为【答案】AC【分析】根据椭圆和双曲线的方程特征，列方程组，判断AB；代入和，得到曲线方程，根据性质判断CD.【详解】A.由题可得，，解得，则，，，则C的焦距为，A正确；B.若曲线C表示椭圆，则 ，B错误；C.当时，曲线：，则，，则，所以的焦点坐标是和，C正确；D.当时，曲线：表示双曲线，则其渐近线方程为，D错误.故选：AC11．已知圆：与圆：，则（ ）A．若圆与轴相切，则B．若，则圆与圆相交C．当时，两圆的公共弦长为D．直线与圆始终有两个交点【答案】BD【分析】由圆的方程得圆是以为圆心，2为半径的圆，分析选项中图形的位置关系判断正误.【详解】由题可知圆：是以为圆心，2为半径的圆，若圆与x轴相切，则有，所以，故A错误；当时，，两圆相交，故B正确；当时，两圆的方程相减可得公共弦所在直线的方程为，圆心到直线的距离为1，所以两圆的公共弦长为，故C错误；直线过定点，而，故点在圆内部，所以直线与圆始终有两个交点，故D正确.故选：BD.12．已知椭圆：的左顶点为，左、右焦点分别为，，点在上，且直线AM的斜率为.点P是椭圆C上的动点，则（ ）A．椭圆的离心率为B．若，则点的横坐标的取值范围是C．的取值范围为D．椭圆上有且只有4个点，使得是直角三角形【答案】CD【分析】由条件列方程求，根据离心率的定义求离心率，判断A，由条件求点的横坐标的取值范围，判断B，利用数量积的坐标运算公式计算，结合椭圆的范围，判断C，讨论直角位置，确定满足条件的点的个数，判断D.【详解】由题意可知直线的方程为，令，可得，则，又椭圆C过点，所以，解得，所以C的方程为.设椭圆的半焦距为，则，椭圆的离心率为，故A错误；设点的坐标为，则，又，所以，所以，又，解得，故点P的横坐标的取值范围是，故B错误；又，，则，因为，所以，所以，故C正确；若为直角三角形，且点为直角顶点，则，故，该方程无解，故以点Р为直角顶点的不存在，又当点的坐标为或时，是以点为直角顶点的三角形，当点的坐标为或时，是以点为直角顶点的三角形，所以C上有且只有4个点P，使得是直角三角形，故D正确.故选：CD.三、填空题13．已知空间向量，，，则与的夹角为__________.【答案】【分析】根据向量相乘的数量积与向量模的关系即可求解.【详解】由题可知，因为，所以，所以，又，所以与的夹角为.故答案为：.14．已知椭圆：的短轴长为6，，是椭圆C的两个焦点，点M在C上，若的最大值为16，则椭圆C的离心率为__________.【答案】【分析】根据基本不等式，结合椭圆的定义，得，再根据条件，求出，即可求椭圆的离心率.【详解】因为，所以（当且仅当时，等号成立）.由题可知，所以，又，解得，所以.故答案为：15．已知直线与圆：交于A，B两点，则的面积的最大值为__________.【答案】【分析】由直线与圆相交根据圆心到直线得距离小于半径可得的取值范围，再有弦长公式求出弦长，再由点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，再代入面积公式得出面积与的关系式，利用基本不等式即可求出面积的最大值.【详解】圆：的圆心坐标为，半径.由圆心到直线的距离，解得.直线被圆截得的弦长为，所以的面积，当且仅当，即或1时取“=”.故答案为：16．已知，分别为双曲线：的左、右焦点，过点且斜率为的直线与双曲线的右支交于P，Q两点，若是等腰三角形，则双曲线的离心率为__________.【答案】【分析】根据双曲线的定义，结合等腰三角形的性质，分两种情况，分别求得焦半径的长度，再根据直线的倾斜角，根据余弦定理，列式求双曲线的离心率.【详解】不妨设点Р在第一象限，双曲线C的半焦距为，因为与C的右支有两个交点，C的一条渐近线的斜率，则C的离心率.若，根据双曲线的定义知，所以，所以，.由题可知，在中，由余弦定理可得，整理得，即，解得（负值舍去），此时，满足条件.若，则与上面的分析类似可得，，在中，，再由余弦定理求得，此时不满足条件.综上可得.故答案为：四、解答题17．已知在中，边BC和AC所在的直线方程分别为和，边AB的中点为.(1)求点，的坐标；(2)求BC边上的中线所在的直线的方程.【答案】(1)，；(2).【分析】（1）根据中点坐标公式，通过解方程组进行求解即可；（2）根据直线的点斜式方程，结合解方程组进行求解即可.【详解】（1）因为边AB的中点为.设，，则，即，；（2）设边BC的中点为G.由于边BC和AC所在的直线方程分别为和，所以两直线方程联立，解得，，即C点的坐标为.又B点的坐标为，所以点的坐标为.又A点的坐标为，所以直线的方程为，即.18．如图，在棱长为2的正方体中，线段DB的中点为F，点G在棱CD上，且满足.(1)若E为棱的中点，求证：；(2)求直线与所成角的余弦值.【答案】(1)证明见解析；(2).【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量数量积的运算性质进行计算证明即可；（2）利用空间向量夹角公式进行求解即可.【详解】（1）如图，以D为原点，DA，DC，所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则，，，.因为，，所以.所以，故.（2）由（1）中的坐标系及题意可知，，，.因为，.所以，又，，所以，故直线与所成角的余弦值为.19．已知圆：过点，且圆关于直线：对称的圆为圆.(1)求圆的方程；(2)若过点的直线被圆截得的弦长为8，求直线的方程.【答案】(1)(2)或【分析】（1）将点代入圆方程求得半径，利用圆心关于直线对称求圆方程即可；（2）由弦长公式得出圆心到直线的距离，考虑直线斜率存在和不存在两种情况，根据距离公式求解即可.【详解】（1）由题可知.因为圆过点，所以，故，设关于直线的对称点的坐标为，则，解得，所以圆的方程为.（2）因为过点的直线被圆截得的弦长为8，所以圆心到直线的距离为，（ⅰ）当直线的斜率不存在时，其方程为，满足题意；（ⅱ）当直线的斜率存在时，可设其方程为，即，所以圆心到的距离为，解得.综上所述，直线的方程为或.20．已知抛物线：，直线与抛物线C相交于A，B两点，且.(1)求抛物线C的方程；(2)若点P的坐标为，过抛物线焦点的直线交C于M，N两点，求的最小值.【答案】(1)(2)13【分析】(1)联立抛物线和直线方程结合韦达定理得，，已知弦长，解出P即可.(2)设直线方程为，联立抛物线方程得，，代入表达式，转化为求函数最小值.【详解】（1）由可得.∴，.∴，解得（负值舍去），∴抛物线C的方程为.（2）设，.由题意知抛物线的焦点坐标为，直线的斜率不等于0，故可设直线的方程为，由可得，由根与系数的关系得，，∴，∴当时，取得最小值，且最小值为13.【点睛】思路点睛：直线与圆锥曲线的最值问题，先假设直线方程，并先考虑与坐标轴平行的特殊情况，将直线与曲线方程联立得到韦达定理，再将要求的最值问题转化为函数最值问题.21．如图，在三棱锥中，是斜边为AC的等腰直角三角形，是边长为4的等边三角形，且，为棱AC的中点.(1)证明：平面ABC；(2)问：在棱BC上是否存在点M（不与棱BC的端点重合），使得平面PAM与平面PAC的夹角为30?若存在，指出点M的位置；若不存在，请说明理由.【答案】(1)证明见解析(2)存在，点M在棱BC的靠近点B的三等分点处【分析】（1）由线面垂直的判定定理：若直线垂直于平面内的两条相交的直线，则直线与平面垂直，即可证明；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量的方法即可证明存在并可确定点M的位置.【详解】（1）由题可知，，且，∴.连接BO，如图，则，且.∵是边长为4的等边三角形，∴，，且.从而有，故.∵，∴平面.（2）假设存在满足题意的点.由（1）可知，可以О为坐标原点，OB，OC，OP所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，.，，.设，.则.设平面AMP的法向量为，则令，得.易知平面的一个法向量为.∵平面PAM与平面PAC的夹角为30°，∴，解得或（舍去），∴存在，且点M在棱BC的靠近点B的三等分点处.22．已知椭圆：的左焦点为，左顶点为，离心率为.(1)求的方程；(2)若过坐标原点且斜率为的直线与E交于A，B两点，直线AF与的另一个交点为，的面积为，求直线的方程.【答案】(1)(2)或【分析】（1）由左顶点为得，再根据离心率为，求出值，则得到值，则求出的方程.（2）设直线方程为，联立椭圆方程得，设，，则得到韦达定理式，利用弦长公式得到，则有，解出即可.【详解】（1）设椭圆E的半焦距为.因为椭圆的左顶点为，所以.又离心率，所以.所以，所以的方程为.（2）由（1）可知，设直线的方程为.由消去并整理得.设，，则，，所以.因此，解得，即，所以直线的方程为或.【点睛】关键点睛：第二问通常采取设线法，为了减少计算，我们引入参数，设直线的方程为，联立椭圆得到方程，则得到韦达定理式，再利用弦长公式得到其面积相关方程，解出参数即可.
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